Российский государственный педагогический университет им. А

"
ÊÂÀÍT 2007/¹2
ðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè ñèììåòðèè â âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé Â. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
òîêà â ïåðåìû÷êå. Ðàçìåðû ðàìêè ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå.
3. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C0 çàðÿäèëè äî íàïðÿæåíèÿ
U0 . Ïîñëå ýòîãî êîíäåíñàòîð îòñîåäèíèëè îò èñòî÷íèêà
íàïðÿæåíèÿ è îòïóñòèëè åãî íèæíþþ ïëàñòèíó. Îíà íà÷àëà ïàäàòü è, ïðîëåòåâ ðàññòîÿíèå h ïî âåðòèêàëè, ïðèîáðåëà ñêîðîñòü v. Íàéäèòå åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ â ýòîò
ìîìåíò, åñëè ìàññà ïëàñòèíû m, à óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ g.
4. Îáîëî÷êó âîçäóøíîãî øàðà íàïîëíÿþò íàãðåòûì âîçäóõîì. Îöåíèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå äîëæíî ïîéòè íà íàãðåâ âîçäóõà, ÷òîáû âîçäóøíûé øàð ìîã ïîäíÿòü
âàñ. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ðàâíà 1,0 êÄæ ( êã × Ê ) .
5. Ìàññèâíîå êîëåñî íàäåòî íà ñîãíóòûé ñòåðæåíü êàê íà
îñü. Åãî ñòàâÿò íà íàêëîííóþ äîñêó òàê, ÷òî ñòåðæåíü
óïèðàåòñÿ â íåå. Êîëåñî îòïóñêàþò – îíî ñòîèò. Òåïåðü
âñòàâëÿþò äðóãîé ñòåðæåíü, ñ áîëüøåé äëèíîé îò îñè äî
äîñêè. Îòïóùåííîå êîëåñî ñêàòûâàåòñÿ ïî äîñêå. Îáúÿñíèòå
äåìîíñòðèðóåìîå ÿâëåíèå.
Âàðèàíò 3
1. Íà äíå êîðîáêè ñòîèò áðóñîê ìàññîé Ì, íà êîòîðîì
íàõîäèòñÿ êóáèê ìàññîé m (ðèñ.4). Êóáèê ïðèâÿçàí ê ïðàâîé
ñòåíêå êîðîáêè íèòüþ, ïàðàëëåëüíîé äíó. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è
äíîì ðàâåí µ , òðåíèÿ ìåæäó
áðóñêîì è êóáèêîì íåò. Ïðè
êàêîì óãëå íàêëîíà êîðîáêè
α áðóñîê íà÷íåò âûñêàëüçûâàòü èç ïîä êóáèêà?
2. Ïðè òåìïåðàòóðå T0 òîíÐèñ. 4
êîñòåííûé ñòàêàí ñå÷åíèåì
S ïëàâàåò â âîäå ââåðõ äíîì, âûñòóïàÿ èç âîäû íà âûñîòó h0
(ðèñ. 5). Íàéäèòå íà÷àëüíûé îáúåì âîçäóõà â ñòàêàíå, åñëè
ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû äî Ò
ñòàêàí íà÷àë âûñòóïàòü èç âîäû íà
âûñîòó h. Èçìåíåíèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè âîäû ïðåíåáðå÷ü.
3. Íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ ïîäñîåäèíåí ê ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ðàâíî ρ íà åäèíèöó äëèíû, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè Í (ðèñ.
6). Ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïðîÐèñ. 5
âîäîâ èìååòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé Â. Ðàâíîìåðíî äâèæóùàÿñÿ ïðîâîäÿùàÿ ïåðåìû÷êà
â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íà÷èíàåò çàìûêàòü ýòè ïðîâîäà. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ïåðåìû÷êè òîê â êîíòóðå áóäåò
îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì?
Íàéäèòå âåëè÷èíó ýòîãî
òîêà, åñëè â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïåðåìû÷êè ñ
ïðîâîäàìè ñîïðîòèâëåíèå
êîíòóðà áûëî ðàâíî R0 .
4. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû
ïëûâåòå íà ëîäêå, â äíå êîÐèñ. 6
òîðîé ïîÿâèëàñü ïðîáîèíà.
Îöåíèòå, ïðè êàêîé åå ïëîùàäè âû áóäåòå óñïåâàòü îò÷åðïûâàòü íàáèðàþùóþñÿ âîäó
ëèòðîâîé áàíêîé.
5. Ïîïëàâêè, îäèí ñ âîòêíóòûì ñâåðõó òîíêèì ñòåðæíåì, âòîðîé – ñ òîëñòûì, ïëàâàþò â ñîëåâîì ðàñòâîðå, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 7. Åñëè èõ
îïóñòèòü â ïðåñíóþ âîäó, òî ïåðâûé ïîïëàâîê ïîãðóæàåòñÿ ïî÷òè
íà âñþ äëèíó ñòåðæíÿ, à âòîðîé
îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íà ïðåæíåì
óðîâíå ïîãðóæåíèÿ. Îáúÿñíèòå íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
È.Âîðîáüåâ, Ã.Ìåëåäèí,
Ã.Ôåäîòîâè÷, Ì.Áëèíîâ
Ðèñ. 7
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé
óíèâåðñèòåò èì. À.È.Ãåðöåíà
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Âàðèàíò 1
1. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
f (x) =
(
x -1
log 3 2x2 - 7x + 6
).
2. Îïðåäåëèòå ñóììó âñåõ òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ
íà 4.
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
7-x
£ 3.
5x - 2
4. Äâà çàâîäà ïî ïëàíó äîëæíû áûëè âûïóñòèòü çà ìåñÿö
360 ñòàíêîâ. Ïåðâûé çàâîä âûïîëíèë ïëàí íà 112%, à âòîðîé
íà 110%, âìåñòå çàâîäû âûïóñòèëè çà ìåñÿö 400 ñòàíêîâ.
Ñêîëüêî ñòàíêîâ ñâåðõ ïëàíà âûïóñòèë çà ìåñÿö êàæäûé
çàâîä â îòäåëüíîñòè?
5. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ
ôóíêöèé f ( x ) = 4 x +
x2 - 2
x2 - 2
- 6 è g ( x ) = 5 × 2x -1+
.
6. Îïðåäåëèòå â óðàâíåíèè x - 2k + 1 x + k + 2 = 0 çíà÷åíèå k òàêîå, ÷òî îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâåí ïîëîâèíå äðóãîãî. Íàéäèòå ýòè êîðíè.
7. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3 sin x = 1 - cos x . Îïðåäåëèòå
2
2
ñóììó êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ èç ïðîìåæóòêà [0; 2π] .
8. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà ïðÿìîãî óãëà äåëèò ïîïîëàì óãîë ìåæäó ìåäèàíîé è
âûñîòîé, ïðîâåäåííûìè èç ýòîãî óãëà.
9. Â òåòðàýäð, âñå ðåáðà êîòîðîãî ðàâíû, âïèñàí êîíóñ.
Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ðàâåí 5. Îïðåäåëèòå îáúåì ïèðàìèäû.
Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìï2x × 4y = 32,
í
2
ïîlg x - y - 2 lg 2 = 0.
æ 24 2
ö
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log ç 64 2x - 40 x ÷ ³ 0 .
è
ø
(
)
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x ctg 2 x - 1 = 0 . Óêàæèòå ÷èñëî
êîðíåé íà ïðîìåæóòêå [0; 2π] .
4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ m, ïðè êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
mx 2 - 4 x + 3m + 1 > 0 âåðíî äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ õ.
"!
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
2 x -1
1+ 2 x -1
- 3×2
+8=0.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4
x + 6 > 2x - 5 + x + 1 .
6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
7. Êàêîå äâóçíà÷íîå ÷èñëî â 4 ðàçà áîëüøå ñóììû ñâîèõ
öèôð è â òðè ðàçà áîëüøå ïðîèçâåäåíèÿ öèôð?
8.  ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè äèàãîíàëè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà m. Âû÷èñëèòå ïëîùàäü
òðàïåöèè.
9. Äèàãîíàëü îñåâîãî ñå÷åíèÿ öèëèíäðà ðàâíà 12 è îáðàçóåò ñ îñíîâàíèåì öèëèíäðà óãîë 60°. Îïðåäåëèòå îáúåì
ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû, âïèñàííîé â ýòîò öèëèíäð.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ã.Õàìîâ, Î.Êîðñàêîâà
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
èì. Ê.Ý.Öèîëêîâñêîãî (ÌÀÒÈ)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x2 - 13x + 12 = 2 - x .
2. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
óðàâíåíèå
1
1
1
1
=
+
+K+
x x + 2 x + 2 x + 4 (x + 2 (n - 1)) ( x + 2n) 40
ðàçðåøèìî â öåëûõ ÷èñëàõ.
5. Èç ðàéîííûõ êîìàíä áûëà ñîçäàíà ñáîðíàÿ êîìàíäà
ãîðîäà ïî ãàíäáîëó èç 7 èãðîêîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâà
ñïîðòñìåíà ñáîðíîé çíàêîìû äðóã ñ äðóãîì, åñëè îíè ðàíåå
êàêîå-òî âðåìÿ âûñòóïàëè çà îäíó êîìàíäó. Íà ïåðâîì
òðåíèðîâî÷íîì ñáîðå âûÿñíèëîñü, ÷òî ñðåäè ýòèõ ñåìè
èãðîêîâ äâîå çíàêîìû ñ ïÿòüþ èãðîêàìè, äâîå çíàêîìû ñ
òðåìÿ èãðîêàìè, îäèí çíàêîì ñ äâóìÿ èãðîêàìè è äâîå
çíàêîìû ñ îäíèì èãðîêîì. Íàéäèòå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî
ñïîðòñìåíîâ ñáîðíîé ãîðîäà, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íå
ÿâëÿþòñÿ çíàêîìûìè.
6. Îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû À è Ñ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ïåðåñåêàåò åãî ñòîðîíû À è ÂÑ â òî÷êàõ Ì è N
ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà
MBN ê ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà AMNC, åñëè â AMNC
ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è åãî äèàãîíàëü AN – äèàìåòð
ýòîé îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü ÌÑ âèäíà èç öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè ïîä óãëîì 120°.
ÔÈÇÈÊÀ
ìï x + y = 7,
í 2
2
ïî x - y = 21.
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
3. Íàéäèòå ñóììó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
cos2 x
+ 2 2 sin x = 0
1+
sin2 x
íà îòðåçêå [ - π; π] .
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log1- x 16 £ 2 .
5. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå
7t + (a + 1) 7-t = 4 èìååò îäíî ðåøåíèå?
6.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD, äèàãîíàëè êîòîðîãî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î, äèàãîíàëü BD – ýòî áèññåêòðèñà óãëà ÀÂÑ.
Íàéäèòå îòíîøåíèå OD : AD, åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü è ÐABC = 120° ,
ÂÑ : ÀÂ = 1 : 4.
7. Ðåøèòå óðàâíåíèå
Âûáåðèòå ïðàâèëüíûé îòâåò
1. Òåëî ïàäàåò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è äîñòèãàåò ïîâåðõíîñòè çåìëè ÷åðåç 4 ñ. Ñ êàêîé âûñîòû ïàäàëî òåëî?
Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1) 20 ì; 2) 40 ì; 3) 80 ì; 4) 120 ì; 5) 160 ì.
2. Çà ñíåãîõîäîì íà òðîñå òÿíóò ãðóç ìàññîé 500 êã.
Íàéäèòå íàèáîëüøóþ ñèëó íàòÿæåíèÿ òðîñà, åñëè ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå ñíåãîõîäà 2 ì ñ2 . Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ãðóçà î ñíåã 0,1. Òðîñ íàòÿíóò ãîðèçîíòàëüíî.
1) 500 Í; 2) 750 Í; 3) 1000 Í; 4) 1250 Í; 5) 1500 Í.
3. Äâà øàðà äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ïî îäíîé
ïðÿìîé. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïåðâîãî øàðà 1 Äæ. Êàêîé
äîëæíà áûòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âòîðîãî øàðà, ÷òîáû
ïîñëå óäàðà øàðû îñòàíîâèëèñü? Ìàññû øàðîâ 1 êã è 2 êã.
1) 0,25 Äæ; 2) 0,5 Äæ; 3) 1 Äæ; 4) 2 Äæ; 5) 2,5 Äæ.
4. Îäèí ìîëü êèñëîðîäà çàíèìàåò îáúåì 10 ë, äâà ìîëÿ
àçîòà çàíèìàþò îáúåì 20 ë. Ñðàâíèòå äàâëåíèÿ ãàçîâ, åñëè
èõ òåìïåðàòóðû îäèíàêîâû.
1) Äàâëåíèÿ îäèíàêîâû; 2) äàâëåíèå êèñëîðîäà â 2 ðàçà áîëüøå;
3) äàâëåíèå àçîòà â 2
ðàçà áîëüøå; 4) äàâëåíèå àçîòà â 4 ðàçà áîëüøå; 5) íåîáõîäèìî çíàòü
ìîëÿðíûå ìàññû ãàçîâ.
5. Íàéäèòå ðàáîòó, Ðèñ. 1
êîòîðóþ ñîâåðøèëà ïîñòîÿííàÿ ìàññà èäåàëüíîãî ãàçà â ïðîöåññå 1–2 (ðèñ.1). Íà
ãðàôèêå èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ ãàçà îò îáúåìà â
ýòîì ïðîöåññå.
1) 1000 Äæ; 2) 2000 Äæ; 3) 3000 Äæ; 4) 4000 Äæ;
5) 8300 Äæ.
6. Òðè ðåçèñòîðà ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Îáùåå íàïðÿæåíèå íà ýòîì ó÷àñòêå öåïè 20 Â, ïðè ýòîì íàïðÿæåíèå
íà òðåòüåì ðåçèñòîðå 8 Â. Íàéäèòå ñèëó òîêà â öåïè, åñëè
ñîïðîòèâëåíèå ïåðâîãî ðåçèñòîðà 4 Îì, âòîðîãî ðåçèñòîðà
6 Îì.
3
cos x - cos2 x
sin x
1
× 3 sin x - 3
1
3
× 3sin x + 3
Âàðèàíò 1
3+ 2
6
=3
1
+ ctg x
2
.
Âàðèàíò 2
(îëèìïèàäà-2006)
1. Â êíèæíûé ìàãàçèí ïðèâåçëè íåñêîëüêî îäèíàêîâûõ
êîðîáîê ñ êíèãàìè, êîòîðûå ïåðåëîæèëè íà ïîëêè. Ïîëó÷èëîñü äåâÿòü ïîëíûõ ïîëîê è åùå äâå êíèãè îñòàëîñü.
Êîãäà êíèãè ïðîäàëè, ïðèâåçëè äðóãîå êîëè÷åñòâî òàêèõ
æå êîðîáîê ñ êíèãàìè, êîòîðûå ïåðåëîæèëè íà ïîëêè.
Ïîëó÷èëîñü øåñòü ïîëíûõ ïîëîê, à íà ñåäüìîé ïîëêå îñòàëîñü ìåñòî äëÿ îäíîé êíèãè. Ñêîëüêî êíèã áûëî â îäíîé
êîðîáêå?
2. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà α, β è γ , óäîâëåòâîðÿþùèå
óðàâíåíèþ
3
cos α + cos β + cos γ = .
2
3. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ b íåðàâåíñòâî
x2 + b £
1
1 - x2
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé õ?
4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ïðè êîòîðîì