Решение. Заметим, что в результате повот рота вектора AC на

ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
C
N
A
C
K
M
B
Ðèñ. 2
Ðåøåíèå. Çàìåòèì,
÷òî â ðåçóëüòàòå
uuuuïîâîr
ðîòà âåêòîðà AC íà
45° âîêðóã òî÷êè À
òî÷êà Ñ ïåðåõîäèò â
òî÷êó C1 , ëåæàùóþ íà
äèàãîíàëè êâàäðàòà,
ïîñòðîåííîãî íà ñòîuuuuur uuuur 45o
ðîíå ÀÑ: AC1 = AC .
 ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà
âåêòîðà äëèíà åãî íå
ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó
1
, òî AN = ACl ⋅
2
uuuur
1 uuuuur
1 uuuur 45o
AC1 =
AC .
äà èìååì, ÷òî AN =
2
2
uuuuur
1 uuuuur
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî BM =
BC1 =
2
AC1 = AC. Òàê êàê AN = AC ⋅
1
2
. Îòñþ-
1 uuuur –45
BC .
2
Íà÷íåì äâèãàòü òî÷êó Ñ ïî ïëîñêîñòè, îñòàâèâ ñòîðîíó À íåïîäâèæíîé. Ïðîñëåäèì, ÷òî áóäåò ïðîèñõîäèòü ïðè ýòîì ñ öåíòðàìè ïîñòðîåííûõ êâàäðàòî⠖
òî÷êàìè N è Ì.
 ïðîöåññå äâèæåíèÿ òî÷êè Ñ (ñîãëàñíî 13 o) áóäåò
âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
r
1 r 45o
VN =
V .
2 C
(1)
( ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ðàäèóñû-âåêòîðû èìåþò íà÷àëî â òî÷êå À.)
Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè, âçÿâ íà÷àëî â òî÷êå
r
r
r
1 r −45o
VC , îòêóäà VC = 2VM45.
M
2
r
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà VC â
ðàâåíñòâî (1), âûâîäèì (èñïîëüçóÿ 5 o), ÷òî
Â, ïîëó÷àåì, ÷òî VM =
Èëëþñòðàöèÿ Ï.×åðíóñêîãî
r
1
VN =
2
(
r o
2VM45
)
45o
r 90o
= VM
.
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò (ñîãëàñíî 14 o), ÷òî
r
r
r
r o
rN = rM90 + R , ãäå R – íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåêòîð,
ò.å. âåêòîð, êîòîðûé íå ìåíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè òî÷êè
Ñ. Ïîýòîìó, åñëè
ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ
r íåêîòîðîì
r ïðè
r r
îêàæåòñÿ, ÷òî R = 0 , òî R = 0 è ïðè ëþáîì äðóãîì
r
r o
ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ, à òîãäà rN = rM90 òàêæå ïðè ëþáîì
ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ.
Ïîìåñòèì òî÷êó Ñ
â ïîëîæåíèå, êîãäà
C
îíà ÿâëÿåòñÿ âåðøèN
M
íîé ðàâíîáåäðåííîãî
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
ÂÑÀ
(ðèñ.3).
Òîãäà,
î÷åK
B
A
âèäíî, öåíòðû êâàäÐèñ. 3
ðàòî⠖ òî÷êè Ì è N
– è ñåðåäèíà îòðåçêà À – òî÷êà K – ÿâëÿþòñÿ
âåðøèíàìè ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëür
r o
íèêà NKM, ò.å. rN = rM90 (åñëè çà íà÷àëî ðàäèóñîââåêòîðîâ ïðèíÿòü òî÷êó K). rÑëåäîâàòåëüíî,
â ýòîì
r
=
ïîëîæåíèè
òî÷êè
Ñ
èìååì
,
à
ïî
ñêàçàííîìó
R
0
r r
âûøå R = 0 ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ. Íî òîãäà
òðåóãîëüíèê NKM – ðàâíîáåäðåííûé ïðÿìîóãîëüíûé
òàêæå ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ.
Ïðåæäå ÷åì äâèíóòüñÿ äàëüøå, îòìåòèì, ÷òî âàæíóþ
ðîëü çäåñü ñûãðàëî íàõîæäåíèå «õîðîøåé òî÷êè» (ìû
3 Êâàíò ¹5
Â
ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈÈ
9
áóäåì íàçûâàòü åå ïîC
ëþñîì) äëÿ íà÷àëà
ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ (òàêîé òî÷êîé îêàçàëàñü
L
òî÷êà K).
Ïåðåéäåì òåïåðü ê
ðåøåíèþ áîëåå îáùåé
K
çàäà÷è.
β
Çàäà÷à 2 (òåîðåòèα
÷åñêàÿ). Ïóñòü íàì
äàí òðåóãîëüíèê ÀÂÑ,
A
B
À = ñ. Ïóñòü îòðåÐèñ.
4
çîê AL ðàñïîëîæåí
òàê, ÷òî ∠LAC = α è
AL : AC = m, à îòðåçîê BK – òàê, ÷òî ∠KBC = β è
BK : BC = n (ðèñ.4). (Íà ýòîì ðèñóíêå óãëû α , β
ïîëîæèòåëüíû – äëÿ îïðåäåëåííîñòè, íà ñàìîì äåëå
O – ïðîèçâîëüýòî íå ïðèíöèïèàëüíî.) Ïóñòü òî÷êà
uuuur 1 r
uuuuur r
íàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè. Îáîçíà÷èì O1L = rL , O1K = rK .
r
r
Òðåáóåòñÿ íàéòè ñîîòíîøåíèå ìåæäó rL è rK ÷åðåç
r
r
m, n, α , β , òî÷íåå, âûðàçèòü rL ÷åðåç rK è ýòè
ïàðàìåòðû.
uuuur
uuur
Ðåøåíèå. Âåêòîð AL ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì âåêòîðà AC
r
â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà åãî íà óãîë α è óìíîæåíèÿ íà
÷èñëî m. Òàêèì îáðàçîì,
uuur
uuuur α
AL = mAC .
Àíàëîãè÷íî,
(2)
uuuur
uuuurβ
BK = nBC .
(3)
Òåïåðü çàêðåïèì âåðøèíû À, Â òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ
è
r
áóäåì äâèãàòü òî÷êó Ñ r ñî ñêîðîñòüþ
VC . Ñêîðîñòè
r
òî÷åê K è L îáîçíà÷èì VK , VL ñîîòâåòñòâåííî. Èç (2)
è (3) ïîëó÷àåì òàêèå ðàâåíñòâà:
r
r
VL = mVCα ,
r
r
VK = nVCβ .
Èç (5) ïîëó÷èì, ÷òî
(4)
(5)
r
1 r
VC = VK−β .
n
(6)
α
r
r
m r
1 r 
VL = mVCα = m  VK−β  = VKα−β .
n
n


(7)
r
mr
r
rL = rKα−β + R .
n
(8)
r
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå â (6) çíà÷åíèå äëÿ VC â (4) è
ïîëó÷èì
Ïåðåõîäÿ ê ñîîòíîøåíèþ ìåæäó ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè, ïîëó÷èì (èñïîëüçóÿ 14 o )
Òåì ñàìûì ìû ðåøèëè ïîñòàâëåííóþ
r
r çàäà÷ó – íàøëè
ñîîòíîøåíèå ìåæäó
âåêòîðàìè rL è rK . Òàê êàê ïîñòîr
ÿííûé âåêòîð
r
r R çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà ðàäèóñîââåêòîðîâ rL , rK , òî ïîïûòàåìñÿ ïîäõîäÿùèì âûáîðîì
íà÷àëà îáðàòèòü ýòîò âåêòîð â íóëåâîé. Òîãäà, åñëè
óäàñòñÿ íàéòè òàêóþ «õîðîøóþ òî÷êó», ôîðìóëà (8)
ïðèìåò âèä
r
mr
rL = rKα−β .
n
Èíà÷å ãîâîðÿ,
åñëè íàì óäàñòñÿ îáðàòèòü ïîñòîÿííûé
r
âåêòîð R â íóëåâîé (çà ñ÷åò âûáîðà íà÷àëà ðàäèóñîââåêòîðîâ â íåêîòîðîé òî÷êå Ð, êîòîðóþ ìû áóäåì
íàçûâàòü ïîëþñîì), òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, ò.å.
ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè òî÷êè Ñ, îòðåçîê KL áóäåò
âèäåí èç ïîëþñà Ð ïîä óãëîì α − β , à îòðåçêè PL è PK