Российский государственный университет нефти и газа имени

"#
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
-6
êîñòü êîíäåíñàòîðà ðàâíà 10 Ô . Íàéäèòå àìïëèòóäíîå
çíà÷åíèå ñèëû òîêà â êîíòóðå.
1) 2 × 10 -6 A ; 2) 2 × 10 -3 A ; 3) 0,2 À; 4) 0,5 À; 5) 2 À.
10. Ïðåäåëüíûé óãîë ïîëíîãî îòðàæåíèÿ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ïðîçðà÷íîé ïëåíêè ñ âîçäóõîì ðàâåí 60° . Íàéäèòå
ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëåíêè.
1) 1,155; 2) 1,25; 3) 1,67; 4) 1,732; 5) 2.
4 ðàçà; 5) óìåíüøèòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé â 2 ðàçà.
10. Íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ïî íîðìàëè ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò. Èçâåñòíî, ÷òî ïåðèîä ðåøåòêè â 10 ðàç
áîëüøå äëèíû âîëíû ïàäàþùåãî ñâåòà. Ïîä êàêèì óãëîì
äèôðàêöèè áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìóì 1-ãî ïîðÿäêà?
1) arcsin 0,1 ; 2) arcsin 0,05 ; 3) arcsin 0,01 ; 4) 10° ; 5) 30° .
Âàðèàíò 3
Âàðèàíò 2
Âûáåðèòå ïðàâèëüíûé îòâåò
1. Ïðè äâèæåíèè òåëà âäîëü îñè Õ åãî êîîðäèíàòà çàâèñèò
îò âðåìåíè ïî çàêîíó x (t ) = 60 - 15 t (ì ) . Íàéäèòå ïóòü,
ïðîéäåííûé òåëîì çà 6 ñ.
1) 30 ì; 2) 60 ì; 3) 90 ì; 4) 150 ì; 5) 360 ì.
2. Òåëó ñîîáùàþò íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü 6 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè (ðèñ.4). Óãîë íàêëîíà
ïëîñêîñòè ñîñòàâëÿåò 30° . Ïðè
äâèæåíèè íà òåëî äåéñòâóåò
ñèëà òðåíèÿ, ðàâíàÿ ïîëîâèíå
ñèëû òÿæåñòè. Íàéäèòå âðåìÿ
äâèæåíèÿ òåëà äî îñòàíîâêè.
1) 0,4 ñ; 2) 0,5 ñ; 3) 0,6 ñ;
4) 1 ñ; 5) 1,2 ñ.
Ðèñ. 4
3. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âàãîíåòêè, äâèæóùåéñÿ ïî ðåëüñàì áåç òðåíèÿ, ðàâíà 12 Äæ.
Ïîñëå çàãðóçêè ìàññà âàãîíåòêè óâåëè÷èâàåòñÿ â 3 ðàçà, à åå
èìïóëüñ íå èçìåíÿåòñÿ. Íàéäèòå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
ãðóæåíîé âàãîíåòêè.
1) 4 Äæ; 2) 8 Äæ; 3) 12 Äæ; 4) 24 Äæ; 5) 36 Äæ.
4.  îäíîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ àçîò, à â äðóãîì – ãåëèé.
Êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë ãåëèÿ â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë àçîòà. Ïëîòíîñòü êàêîãî ãàçà áîëüøå è
âî ñêîëüêî ðàç? Ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ 4 ã/ìîëü, àçîòà
28 ã/ìîëü.
1) Ïëîòíîñòü ãåëèÿ â 2 ðàçà áîëüøå; 2) ïëîòíîñòü àçîòà â
3,5 ðàçà áîëüøå; 3) ïëîòíîñòü àçîòà â 7 ðàç áîëüøå;
4) ïëîòíîñòü àçîòà â 14 ðàç áîëüøå; 5) íåîáõîäèìî çíàòü
òåìïåðàòóðû ãàçîâ.
5. Ïðè ñæàòèè íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà èäåàëüíîãî ãàçà íàä
íèì ñîâåðøàþò ðàáîòó 300 Äæ, ïðè ýòîì âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ
ãàçà óìåíüøàåòñÿ íà 300 Äæ. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïåðåõîäå
òåïëà â ýòîì ïðîöåññå?
1) Ãàç ïîëó÷àåò 300 Äæ òåïëà; 2) ãàç ïîëó÷àåò 600 Äæ
òåïëà; 3) ãàç îòäàåò 300 Äæ òåïëà; 4) ãàç îòäàåò 600 Äæ òåïëà;
5) ãàç íå îòäàåò è íå ïîëó÷àåò òåïëî.
6. Ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì 4 Îì
ïîäêëþ÷åí ðåîñòàò. Óêàæèòå äâà çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ
ðåîñòàòà, ïðè êîòîðûõ íà íåì âûäåëÿåòñÿ îäíà è òà æå
ìîùíîñòü. Ñîïðîòèâëåíèåì ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü.
1) 1 Îì è 5 Îì; 2) 1 Îì è 16 Îì 3) 2 Îì è 6 Îì; 4) 2 Îì
è 10 Îì; 5) 2 Îì è 16 Îì.
7. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà +1 ìêÊë è –4 ìêÊë íàõîäÿòñÿ â
âàêóóìå íà ðàññòîÿíèè 0,5 ì äðóã îò äðóãà. Êàêóþ ðàáîòó
íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ñäåëàòü ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè î÷åíü áîëüøèì? Êîýôôèöèåíò â çàêîíå Êóëîíà
k = 9 × 109 Í × ì2 Êë2 .
1) 9 ìÄæ; 2) 18 ìÄæ; 3) 36 ìÄæ; 4) 72 ìÄæ; 5) 144 ìÄæ.
8.  êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè òå÷åò òîê 2 À, ìàãíèòíûé
ïîòîê ÷åðåç êàòóøêó ðàâåí 0,12 Âá. ×åìó ðàâíà ýíåðãèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýòîé êàòóøêè?
1) 0,01 Äæ; 2) 0,02 Äæ; 3) 0,03 Äæ; 4) 0,06 Äæ; 5) 0,12 Äæ.
9. ×òî íóæíî ñäåëàòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ ÷àñòîòû êîëåáàíèé
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â 2 ðàçà? Êîëåáàíèÿ ñ÷èòàòü
ìàëûìè.
1) Óâåëè÷èòü äëèíó â 2 ðàçà; 2) óâåëè÷èòü äëèíó â 4
ðàçà; 3) óìåíüøèòü äëèíó â 2 ðàçà; 4) óìåíüøèòü äëèíó â
(îëèìïèàäà-2007)
1. Àòìîñôåðà Âåíåðû ñîñòîèò â îñíîâíîì èç óãëåêèñëîãî
ãàçà. Ó ïîâåðõíîñòè ýòîé ïëàíåòû àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
ðàâíà 9 ÌÏà, ïëîòíîñòü àòìîñôåðû 64 êã ì 3 . ×åìó ðàâíà
ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü ìîëåêóë óãëåêèñëîãî ãàçà
ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ?
2. Ìàãíèò ìàññîé 50 ã ïðèêëàäûâàþò ê âåðòèêàëüíîé
ñòåíêå õîëîäèëüíèêà. Ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ìàãíèòà ê ñòåíêå
ðàâíà 5 Í, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ìàãíèòîì è ñòåíêîé
0,2. Óäåðæèòñÿ ëè ìàãíèò? ×åìó áóäåò ðàâíà ñèëà òðåíèÿ
ìåæäó ìàãíèòîì è ñòåíêîé?
3. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ðàäèîïðèåìíèêà íàñòðîåí íà
ïðèåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí äëèíîé 60 ì. Â êîíòóðå
ïðîèñõîäÿò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, çà êîòîðîå çàðÿä êîíäåíñàòîðà ýòîãî êîíòóðà
óáûâàåò îò àìïëèòóäíîãî çíà÷åíèÿ äî íóëÿ. Ñêîðîñòü ñâåòà
â âàêóóìå c = 3 × 108 ì ñ .
4. Ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì 8 Îì
ïîäêëþ÷àþò íàãðóçêó. Ïðè ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè 5 Îì íà
íåé âûäåëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ìîùíîñòü Ð. Ïðè êàêîì åùå
ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè íà íåé áóäåò âûäåëÿòüñÿ òàêàÿ æå
ìîùíîñòü Ð? Ñîïðîòèâëåíèåì ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü.
5. Òåïëîâîé äâèãàòåëü ðàáîòàåò ïî öèêëó, êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 5. Ðàáî÷èì òåëîì ÿâëÿåòñÿ 1 ìîëü èäåàëüíîãî
îäíîàòîìíîãî ãàçà. Ïðè
èçîòåðìè÷åñêîì ñæàòèè
ãàçà íà ó÷àñòêå 4–1 âíåøíèå ñèëû ñîâåðøàþò ðàáîòó 1150 Äæ. Íàéäèòå
ÊÏÄ öèêëà.
6.  óñêîðèòåëå ïó÷îê
ïðîòîíîâ, ïðîøåäøèõ óñêîðÿþùåå íàïðÿæåíèå
50 êÂ, íàïðàâëÿþò íà íåïîäâèæíóþ ñâèíöîâóþ Ðèñ. 5
ìèøåíü. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòîíîâ ñ ÿäðàìè àòîìîâ ñâèíöà. Àòîìíûé íîìåð ñâèíöà 82.
Êîýôôèöèåíò â çàêîíå Êóëîíà k = 9 × 109 Í × ì2 Êë2 , ýëå-19
Êë .
ìåíòàðíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä e = 1,6 × 10
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áðàóí, Å.Ââåäåíñêàÿ,
Í.Âûñê, Ì.Êóçüìèí, À.Ìèðîíîâ, Ë.Ìóðàâåé,
Ã.Íèêóëèí, À.Ïîêðîâñêèé, Ï.Ñåëèí, À.Ñèìîíîâ,
Â.Ôåäîð÷óê
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
1. Óïðîñòèòå
a6 + 0,064
a 4 - 0,16
- 2
.
2
a - 0,4a + 0,16
a + 0,4
4
"$
ÊÂÀÍT 2008/¹2
2. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èç
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
(
)
f ( x ) = log 5 2x2 + 3x - 14 .
x
3. Ñóììà ïåðâûõ 12 ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè
ðàâíà 198. Íàéäèòå ðàçíîñòü ïðîãðåññèè, åñëè åå ïåðâûé
÷ëåí ðàâåí 33.
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x - 7x - 24 = 0 .
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
( 23 )
x -3
8
4 ù log64 3 3
6. Âû÷èñëèòå éë 4 û
=
( 24 )
9
x -3
.
.
(
= 400õ – 100. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå çíà÷åíèå, êîòîðîå
ìîæåò ïðèíèìàòü ïàðàìåòð à.
10. Íàéäèòå 3x , ãäå õ – ìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ
)
7. Âû÷èñëèòå cos2 65° + cos2 25° ( 4 tg 45° + 1) .
8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ
cos 12x + cos 6 x = 7 cos 3x .
3x × 2 x-1 = 36 .
11. Îêîëî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ÀÂ = ÂÑ)
ïëîùàäè 132 îïèñàíà îêðóæíîñòü. Ïðîäîëæåíèå áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû À, ïåðåñåêàåò ýòó îêðóæíîñòü
â òî÷êå L, à ïðîäîëæåíèå ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé èç òîé æå
âåðøèíû, – â òî÷êå Ì. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ALC ðàâíà 77.
Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÌÑ.
12.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå SABCD ñ
îñíîâàíèåì ABCD áîêîâàÿ ãðàíü îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ
îñíîâàíèÿ óãîë, êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0,6. Â ïèðàìèäó
âïèñàíà ñôåðà ðàäèóñà 1. Íàéäèòå ðàäèóñ ñôåðû, êîòîðàÿ
ïðîõîäèò ÷åðåç âñå âåðøèíû îñíîâàíèÿ òàê, ÷òî âïèñàííàÿ
ñôåðà êàñàåòñÿ åå èçíóòðè.
ÔÈÇÈÊÀ
9. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à, ïðè
êîòîðîì íåðàâåíñòâî
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
x 6 - ax 2 + 20 10 > 0
Âíèìàíèå! Åñëè åäèíèöû èçìåðåíèÿ íå óêàçàíû, âûðàçèòå
îòâåò â åäèíèöàõ ÑÈ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 .
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé õ.
10. Ñêîëüêî öåëûõ ðåøåíèé èìååò íåðàâåíñòâî
x
x2 + 2 x - 48
< 1?
11. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ ãèïîòåíóçîé ÀÂ
ïðîâåäåíà âûñîòà ÑÍ. Ýòà âûñîòà ïåðåñåêàåò áèññåêòðèñó
AL â òî÷êå Ð, à ìåäèàíó ÀÌ – â òî÷êå Q. Èçâåñòíî, ÷òî
PL : AP = 2 : 1. Íàéäèòå îòíîøåíèå QM : AQ.
12. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû îïèñàíà
ñôåðà. Äâå äðóãèå ñôåðû ðàäèóñîâ 13 è 7 ðàñïîëîæåíû òàê,
÷òî êàæäàÿ èç íèõ ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíû âñåõ ñòîðîí
îñíîâàíèÿ è êàñàåòñÿ îïèñàííîé ñôåðû èçíóòðè. Íàéäèòå
ðàäèóñ îïèñàííîé ñôåðû.
Âàðèàíò 2
1. Óïðîñòèòå è âû÷èñëèòå ïðè a = 5 + 7 , c = 1 31 :
æ
2c2
ç4
è 2ac - a2
4
a ö
a
.
÷
2c - a ø a + 4 2c
2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà
3 ( x + 2) > 2 x + 1 .
3. Ñóììà ñåìíàäöàòîãî è òðèäöàòü ïåðâîãî ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà 22. Íàéäèòå äâàäöàòü ÷åòâåðòûé
÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè.
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
0,8 x - 0,4 = x 2 + 0,48 .
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
( 12 )
x -9
(
)
3
: 5x - 9 =
12
.
25
6. Âû÷èñëèòå lg 23 log2 10 .
cos2 186° - sin2 6°
.
7. Âû÷èñëèòå
0,5 cos 12°
8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèáîëüøèé îòðèöàòåëüíûé êîðåíü
tg 8 x - tg 5°
= -1 .
óðàâíåíèÿ
1 + tg 8 x tg 5°
4
2 2
4
9. Ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x - 6a x - 3a ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ êàñàòåëüíóþ, ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìîé ó =
Âàðèàíò 1
1. Êàìåíü, áðîøåííûé ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó, íàõîäèëñÿ
â ïîëåòå 4 ñ. Êàêîé íàèáîëüøåé âûñîòû äîñòèã êàìåíü?
2. Ðàäèóñ íåêîòîðîé ïëàíåòû â 3 ðàçà ìåíüøå ðàäèóñà
Çåìëè, à óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû â
3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Âî ñêîëüêî ðàç
ìàññà ïëàíåòû ìåíüøå ìàññû Çåìëè?
3. Òåëî áðîøåíî âåðòèêàëüíî âíèç ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ ñ
âûñîòû 45 ì. Íà êàêîé âûñîòå îò ïîâåðõíîñòè çåìëè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà óâåëè÷èòñÿ âäâîå?
4. Ãîðÿ÷åå òåëî, òåìïåðàòóðà êîòîðîãî 65 °C , ïðèâåäåíî
â ñîïðèêîñíîâåíèå ñ õîëîäíûì òåëîì ñ òåìïåðàòóðîé 20 °C .
 òåïëîâîì ðàâíîâåñèè óñòàíîâèëàñü òåìïåðàòóðà 35 °C . Âî
ñêîëüêî ðàç òåïëîåìêîñòü õîëîäíîãî òåëà áîëüøå òåïëîåìêîñòè ãîðÿ÷åãî?
5. Êàêîâà äîëæíà áûòü åìêîñòü (â ïÔ) êîíäåíñàòîðà,
êîòîðûé íàäî ñîåäèíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êîíäåíñàòîðîì
åìêîñòüþ 20 ïÔ, ÷òîáû ïîëó÷èòü áàòàðåþ êîíäåíñàòîðîâ
åìêîñòüþ 16 ïÔ?
6. Êàêîé äëèíû íóæíî âçÿòü íèêåëèíîâóþ ëåíòó, ÷òîáû
èçãîòîâèòü ðåîñòàò ñîïðîòèâëåíèåì 12 Îì? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå íèêåëèíà 4 × 10 -7 Îì × ì , òîëùèíà ëåíòû 1,5 ìì,
øèðèíà 20 ìì.
7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 2,5 ñì ñîâåðøàåò
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé 0,003 ì. Îïðåäåëèòå
íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðóçèêà ìàÿòíèêà (â ñì/ñ).
12
8. Â ðåàêöèè èçîòîïà àëþìèíèÿ 27
13 Al è óãëåðîäà 6 C
îáðàçóþòñÿ α -÷àñòèöà, íåéòðîí è ÿäðî íåêîòîðîãî èçîòîïà.
Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî íåéòðîíîâ â îáðàçóþùåìñÿ ÿäðå.
9. Øàðèê, ïîäâåøåííûé íà ëåãêîé íèòè ê ïîòîëêó, âðàùàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, ëåæàùåé â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè,
ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ 5 ðàä ñ . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå (â ñì)
ìåæäó òî÷êîé ïîäâåñà è öåíòðîì îêðóæíîñòè.
10. Â ãëàäêèé âûñîêèé ñòàêàí ðàäèóñîì 4 ñì ïîñòàâèëè
ïàëî÷êó äëèíîé 10 ñì è ìàññîé 90 ã. Ïîñëå òîãî êàê â ñòàêàí
íàëèëè äî âûñîòû 4 ñì æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ 900 êã ì 3 ,
ñèëà äàâëåíèÿ âåðõíåãî êîíöà ïàëî÷êè íà ñòåíêó ñòàêàíà
ñòàëà 0,4 Í. ×åìó ðàâíà ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ïàëî÷êè?
11. Äàâëåíèå âîçäóõà âíóòðè ïëîòíî çàêóïîðåííîé áóòûëêè ïðè òåìïåðàòóðå 7 °Ñ ðàâíî 150 êÏà. Äî êàêîé òåìïåðàòóðû (ïî øêàëå Öåëüñèÿ) íàäî íàãðåòü áóòûëêó, ÷òîáû èç íåå
âûëåòåëà ïðîáêà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ âûíèìàíèÿ ïðîáêè
"%
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
äî íàãðåâàíèÿ áóòûëêè òðåáîâàëàñü ìèíèìàëüíàÿ ñèëà 90 Í?
Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïðîáêè 8 ñì2 .
12. Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì 30° ê
ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü áåç òðåíèÿ ïåðåìû÷êà
ìàññîé 30 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè 10 ñì, åå ñîïðîòèâëåíèå
1 ìÎì, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ 0,1 Òë. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì
ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.
ìèíèìàëüíîé öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòå ω ìàãíèò îòîðâåòñÿ îò
ïëèòû?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Á.Ïèñàðåâñêèé, À.×åðíîóöàí
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 2
1. Àâòîìîáèëü, äâèãàÿñü ðàâíîóñêîðåííî, ÷åðåç 4 ñ ïîñëå
íà÷àëà äâèæåíèÿ äîñòèã ñêîðîñòè 8 ì/ñ. Êàêîé ïóòü ïðîøåë
àâòîìîáèëü çà ÷åòâåðòóþ ñåêóíäó äâèæåíèÿ?
2. Ââåðõ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè âûñîòîé 9 ì è äëèíîé
15 ì ïóùåíà øàéáà. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,5. Íàéäèòå
óñêîðåíèå øàéáû.  îòâåòå óêàæèòå àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó
óñêîðåíèÿ.
3. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ëåæèò òîíêàÿ öåïü äëèíîé 1 ì è ìàññîé 4 êã. ×åìó ðàâíà ìèíèìàëüíàÿ ðàáîòà ïî
ïîäúåìó öåïè, âçÿòîé çà îäèí êîíåö, íà âûñîòó, ïðè êîòîðîé
íèæíèé åå êîíåö îòñòîèò îò ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå
äëèíå öåïè?
4. Îäíîðîäíûé øàð ïëàâàåò íà ïîâåðõíîñòè âîäû, íà 60%
ïîãðóæåííûé â âîäó. ×åìó ðàâåí îáúåì øàðà (â ñì 3 ), åñëè
íà íåãî äåéñòâóåò âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà 3 Í? Ïëîòíîñòü âîäû
1000 êã ì 3 .
5. Ðåçèíîâóþ ëîäêó íàäóëè óòðîì, êîãäà òåìïåðàòóðà
âîçäóõà áûëà 7 °C . Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èëîñü
äàâëåíèå âîçäóõà â ëîäêå, åñëè äíåì îí ïðîãðåëñÿ ïîä
ëó÷àìè ñîëíöà äî 21 °C ? Èçìåíåíèåì îáúåìà ëîäêè ïðåíåáðå÷ü.
6. Íàéäèòå ïîëåçíóþ ìîùíîñòü áàòàðåè, ÝÄÑ êîòîðîé
48 Â, åñëè âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå 23 Îì, à âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåè 1 Îì.
7. Íà êàòóøêå ñîïðîòèâëåíèåì 2 Îì ïîääåðæèâàåòñÿ
íàïðÿæåíèå 80 Â. ×åìó ðàâíà ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
êàòóøêè, åñëè åå èíäóêòèâíîñòü 15 ìÃí?
8. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðåäìåòîì è åãî óìåíüøåííûì â 6 ðàç
ìíèìûì èçîáðàæåíèåì ðàâíî 25 ñì. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò
ïðåäìåòà äî ëèíçû (â ñì).
9. Ñòàëüíîé øàð ìàññîé 300 ã ïàäàåò áåç íà÷àëüíîé
ñêîðîñòè ñ âûñîòû 5 ì íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, ñîñòàâëÿþùóþ óãîë 60° ñ ãîðèçîíòîì. Ñ÷èòàÿ óäàð àáñîëþòíî
óïðóãèì, íàéäèòå ñðåäíþþ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ øàðà ñ
íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü óäàðà ñîñòàâëÿåò 0,02 ñ. Äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè çà âðåìÿ óäàðà è
ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
10. Øàðèê ìàññîé 5 ã ñ çàðÿäîì 2 ìÊë ïîäâåøåí íà íèòè
â ãîðèçîíòàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ
20 Â/ì, íàïðàâëåííîé ñëåâà íàïðàâî. Øàðèê ñ íèòüþ
îòâîäÿò âïðàâî äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ íèòè è îòïóñêàþò. Íàéäèòå íàòÿæåíèå íèòè (â ìÍ) â òîò ìîìåíò, êîãäà
îíà âïåðâûå ñîñòàâèò ñ âåðòèêàëüþ óãîë α ( cos α = 0,8 ).
11. Ïóëÿ, ëåòåâøàÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ 500 ì/ñ,
ïðîáèëà íàñêâîçü äîñêó íà âûñîòå 20 ñì îò çåìëè. Ïðè ýòîì
òåìïåðàòóðà ïóëè óâåëè÷èëàñü íà 150 °C . Ñ÷èòàÿ, ÷òî íà
íàãðåâàíèå ïóëè ïîøëà âñÿ âûäåëèâøàÿñÿ ýíåðãèÿ, íàéäèòå,
íà êàêîì ðàññòîÿíèè (ïî ãîðèçîíòàëè) îò ìåñòà óäàðà ïóëÿ
óïàëà íà çåìëþ. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ìàòåðèàëà ïóëè
300 Äæ (êã × Ê ) .
12. Ìàãíèò ìàññîé 200 ã ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîé ìåòàëëè÷åñêîé ïëèòå. ×òîáû îòîðâàòü ìàãíèò îò ïëèòû, åãî
íàäî ïîòÿíóòü ââåðõ ñ ñèëîé 16 Í. Âìåñòî ýòîãî ïëèòó
çàñòàâëÿþò êîëåáàòüñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè ïî çàêîíó y = A sin ωt ñ àìïëèòóäîé À = 5 ñì. Ïðè êàêîé
Âàðèàíò 1
(ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèé ôàêóëüòåò)
x + 3ö x - 1
æ
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå ç 4 x +
.
÷:
è
x - 2ø x - 2
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x - 1 < 2 .
2
3. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèþ y = 2x x + x â
òî÷êå õ = 1.
4. Îäíó èç ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà óâåëè÷èëè íà 25%. Íà
ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñëåäóåò óìåíüøèòü äðóãóþ ñòîðîíó, ÷òîáû âåðíóòü ïëîùàäü ê ïðåæíåìó çíà÷åíèþ?
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 3 £ 9 - x .
6. Âû÷èñëèòå x13 x25 + x15 x23 , åñëè x1 , x2 – êîðíè óðàâíåíèÿ
x - 4x + 2 = 0 .
7. Íàéäèòå öåëîå ÷èñëî – çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
2
ctg 15° + 2 2 cos 105° .
8. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 2x - 3 = 3 cos x - 3 sin x .
9. Íàéäèòå öåëîå ÷èñëî – çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
log 2
log8
( 19 - 3 2 )
( 19 + 3 2 ) .
10. Êàêîå ÷èñëî áîëüøå:
(
)
a = log
2 +1
(
2+2
)
èëè
b = log 2 2 + 1 ?
11. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x + 5 x = 23 x .
12. Íàéäèòå ðàçíîñòü âîçðàñòàþùåé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ öåëî÷èñëåííûìè ÷ëåíàìè, ñðåäè ïåðâûõ 20 ÷ëåíîâ
êîòîðîé èìåþòñÿ ÷èñëà 33, 48, 88.
13. Íàéäèòå öåëîå ÷èñëî – çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
15
112π
arcsin sin
.
15
π
π
14. Ðåøèòå óðàâíåíèå arccos 2x2 - 1 + arcsin x = .
2
15. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
(
y=
)
( 6 - x ) log3 ( x - 1) .
16. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè
y = 2 sin2 x - sin x .
17. Ðåøèòå óðàâíåíèå x - x - 3 =
3- x-4 .
18. Áèññåêòðèñà è ìåäèàíà, ïðîâåäåííûå èç âåðøèíû
ïðÿìîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, îáðàçóþò óãîë,
ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 1 3 . Âû÷èñëèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, åñëè áèññåêòðèñà èìååò äëèíó 3.
19. Âû÷èñëèòå îáúåì ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, ïëîùàäü
ïîëíîé ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ðàâíà 16 3 .
20. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à > 0 îêðóæíîñòè
( x - 6a )2 + ( y - 2a )2
ñÿ äðóã äðóãà?
2
2
= 36a2 è ( x - 3) + ( y - 2) = 9 êàñàþò-