математика - Национальный институт образования

5 КЛАССА
аз
ов
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ
ан
ия
МАТЕМАТИКА
УЧРЕЖДЕНИЙ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
то
бр
С РУССКИМ ЯЗЫКОМ ОБУЧЕНИЯ
ту
Под редакцией профессора
Л. Б. Шнепермана
ст
и
В 2 частях
Часть 1
ль
ны
й
ин
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
На
ц
ио
на
2-е издание, пересмотренное и дополненное
МИНСК
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ
2013
Правообладатель Национальный институт образования
ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)
ÁÁÊ 22.1ÿ721
Ì34
À â ò î ð û:
аз
ов
Ð å ö å í ç å í ò
ан
ия
Å. Ï. Êóçíåöîâà, Ã. Ë. Ìóðàâüåâà, Ë. Á. Øíåïåðìàí,
Á. Þ. ßùèí, Þ. Ê. Âîéòîâà
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè âûñøåé êàòåãîðèè ãîñóäàðñòâåííîãî ó÷ðåæäåíèÿ îáðàçîâàíèÿ «Áðàñëàâñêàÿ ãèìíàçèÿ» Ä. Ã. Ìàöêåâè÷
На
ц
ио
Ìàòåìàòèêà : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ 5-ãî êë. ó÷ðåæÌ34 äåíèé îáù. ñðåä. îáðàçîâàíèÿ ñ ðóñ. ÿç. îáó÷åíèÿ :
â 2 ÷. / Å. Ï. Êóçíåöîâà [è äð.] ; ïîä ðåä. Ë. Á. Øíåïåðìàíà. — 2-å èçä., ïåðåñì. è äîï. — Ìèíñê : Íàö.
èí-ò îáðàçîâàíèÿ, 2013. — ×. 1. — 224 ñ. : èë.
ISBN 978-985-559-198-7.
ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)
ÁÁÊ 22.1ÿ721
ISBN 978-985-559-198-7 (÷. 1) © Îôîðìëåíèå. ÍÌÓ «Íàöèîíàëüíûé
ISBN 978-985-559-197-0
èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ», 2013
Правообладатель Национальный институт образования
Äîðîãèå ðåáÿòà!
то
бр
аз
ов
ан
ия
Çíàêîìñòâî ñ ìàòåìàòèêîé íà÷èíàëîñü äëÿ âàñ â ìëàäøèõ êëàññàõ â îñíîâíîì ñ àðèôìåòèêè — íàóêè î ÷èñëå.
 5-ì êëàññå âû ïðîäîëæèòå çàíÿòèÿ àðèôìåòèêîé è óçíàåòå, ÷òî òàêîå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è èõ äåëèòåëè è ÷òî òàêîå
êîîðäèíàòíûé ëó÷, íàó÷èòåñü âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå äåéñòâèÿ íàä ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè, ðåøàòü àðèôìåòè÷åñêèå
çàäà÷è, à òàêæå ïðîäîëæèòå çíàêîìñòâî ñ íåêîòîðûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ôèãóðàìè è èõ ñâîéñòâàìè.
ту
* * *
Óïðàæíåíèÿ â ó÷åáíîì ïîñîáèè îáîçíà÷àþòñÿ çíàè íóìåðóþòñÿ ïî ãëàâàì. ×èñëî ïåðåä òî÷êîé îáî-
ст
и
êîì
на
ль
ны
й
ин
çíà÷àåò íîìåð ãëàâû, ÷èñëî ïîñëå òî÷êè — íîìåð óïðàæíåíèÿ. Íàïðèìåð, 1.81 — 81-å óïðàæíåíèå 1-é ãëàâû. Àíàëîãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû.
Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü ðåøàòü âñå, îòìå÷åíû êðóæêîì (íàïðèìåð, 2.56°). Îñòàëüíûå çàäàíèÿ àäðåñîâàíû òåì, êòî õî÷åò ëó÷øå çíàòü ìàòåìàòèêó è ïîëó÷àòü îòìåòêè âûøå, ÷åì 5—6 áàëëîâ. Íàèáîëåå òðóäíûå
çàäàíèÿ ïîìå÷åíû çâåçäî÷êîé (íàïðèìåð, 5.87*).
Íàèáîëåå âàæíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ñîïðîâîæäà-
ио
þòñÿ çíàêîì
На
ц
Çíàê
.
ïîñòàâëåí òàì, ãäå åñòü âîçìîæíîñòü ñðàâíè-
âàòü âàðèàíòû ðåøåíèé èëè èõ îôîðìëåíèÿ.
Èñòîðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ âûäåëåíû â òåêñòå çàêðàøåííûìè êâàäðàòàìè .
Çíàêîì
îòìå÷åíû ìàòåðèàëû è çàäà÷è íà ïîâòî-
ðåíèå.
Æåëàåì óñïåõîâ!
Àâòîðû
Правообладатель Национальный институт образования
3
1
ия
ГЛАВА
ан
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
аз
ов
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü.
Íàòóðàëüíûé ðÿä
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
Êîãäà íàñ ó÷àò ñ÷èòàòü, òî ïåðâûì íàçûâàþò ÷èñëî 1, çàòåì íàçûâàþò ÷èñëî 2, çàòåì — ÷èñëî 3, ÷èñëî 4, ÷èñëî 5 è ò. ä. Ýòè ÷èñëà, âîçíèêàþùèå ïðè
ñ÷åòå, ïîëó÷èëè íàçâàíèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîòðåáëÿþòñÿ íå òîëüêî ïðè
ñ÷åòå. Èõ åùå èñïîëüçóþò, ÷òîáû âûðàçèòü ðåçóëüòàòû
èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí: äëèíû, ïëîùàäè, âðåìåíè, ñêîðîñòè. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà íåîáõîäèìû íàì
äëÿ ðåøåíèÿ ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷.
Êðîìå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìû çíàåì åùå ÷èñëî 0
(íóëü).
ио
на
×èñëî 0 íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì.
На
ц
Ñòàðåéøàÿ (ÕÕÕ â. äî í. ý.) èçâåñòíàÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ çàïèñü
÷èñëà íàéäåíà â 1937 ã. îêîëî äåðåâíè Âåñòîíèöå â Ìîðàâèè
(×åõèÿ). Íà ëó÷åâîé êîñòè ìîëîäîãî âîëêà äëèíîé 18 ñì ñäåëàíî
55 çàðóáîê, âèäèìî, òàê îòìå÷àëè òðîôåè îõîòíèêîâ.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ,
çàïèñàííûå â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì èõ íàçûâàþò ïðè
ñ÷åòå, îáðàçóþò íàòóðàëüíûé ðÿä.
4
Правообладатель Национальный институт образования
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
то
бр
аз
ов
ан
ия
×òî â ýòîé çàïèñè îçíà÷àåò ìíîãîòî÷èå?
 íàòóðàëüíîì ðÿäó çà êàæäûì ÷èñëîì ñëåäóåò
åùå îäíî ÷èñëî, íà 1 áîëüøåå. Ïåðå÷èñëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå èìååò êîíöà; ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí. Âåñü íàòóðàëüíûé ðÿä çàïèñàòü
íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûïèñûâàþò ïîäðÿä íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ 1, ïîñëå ÷åãî ñòàâÿò
ìíîãîòî÷èå.
Ïåðâûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, 1,
à âîò ïîñëåäíåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
Èòàê, ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà ñëåäóþùèå:
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1.  íàòóðàëüíîì ðÿäó åñòü ïåðâîå ÷èñëî — 1.
2.  íàòóðàëüíîì ðÿäó äëÿ êàæäîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.
3.  íàòóðàëüíîì ðÿäó íåò ïîñëåäíåãî ÷èñëà, îí áåñêîíå÷åí.
на
Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì
ðÿäó, êðîìå 1, èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî,
íà 1 ìåíüøåå.
На
ц
ио
Ïî ó÷åíèþ ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äðåâíåé Ãðåöèè Ïèôàãîðà (îê. 580—500 ãã. äî í. ý.), ÷èñëî 2
îçíà÷àëî ãàðìîíèþ; 5 — öâåò; 6 — õîëîä; 7 —
ðàçóì, çäîðîâüå; 8 — ëþáîâü è äðóæáó... Êàæäîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëè Ïèôàãîðà ðàññìàòðèâàëè êàê ñîáðàíèå åäèíèö, ñàìó æå åäèíèöó îíè ÷èñëîì íå ïðèçíàâàëè è ïî÷èòàëè åå êàê
Ïèôàãîð
íå÷òî ñîâåðøåííî îñîáîå.
×èñëî 10, ðàâíîå ñóììå ïåðâûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà
(10 = 1 + 2 + 3 + 4), îíè íàçûâàëè «ñâÿùåííîé ÷åòâåðèöåé».
Правообладатель Национальный институт образования
5
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Âîïðîñû
Äëÿ ÷åãî èñïîëüçóþòñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà?
Íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 10. Ñêîëüêî èõ?
Êàêîå èçâåñòíîå âàì ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì?
Åñòü ëè â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïåðâîå (ïîñëåäíåå) ÷èñëî?
Äëÿ êàæäîãî ëè ÷èñëà â íàòóðàëüíîì ðÿäó ñóùåñòâóåò
ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî?
6. Êàæäîå ëè ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî?
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.
2.
3.
4.
5.
Óïðàæíåíèÿ
ту
1.
1.11. ° Çàïèøèòå ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
ль
ны
й
ин
ст
и
1.
1.22. Çàïèøèòå íàòóðàëüíûì ÷èñëîì êîëè÷åñòâî:
1) ó÷åíèêîâ â êëàññå;
2) äåâî÷åê â êëàññå;
3) ñòîëîâ â êàáèíåòå;
4) ñòðàíèö â ýòîì ó÷åáíèêå.
На
ц
ио
на
1.
1.33. Óçíàéòå è çàïèøèòå êîëè÷åñòâî:
1) ïÿòèêëàññíèêîâ â øêîëå;
2) ó÷èòåëåé â øêîëå;
3) êíèã â øêîëüíîé áèáëèîòåêå;
4) ÷èòàòåëåé â øêîëüíîé áèáëèîòåêå.
1.
1.44. Çàïèøèòå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåííûõ (ðèñ. 1):
1) òðåóãîëüíèêîâ;
2) êâàäðàòîâ.
Ðèñ. 1
6
Правообладатель Национальный институт образования
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
1.
1.55 . Çàïèøèòå äëÿ ýòîé êíèãè êîëè÷åñòâî:
1) ñòðàíèö â ïåðâîé ãëàâå;
2) áóêâ «í» è «ù» â ïîñëåäíåé ñòðîêå ñòðàíèöû 7.
Ðèñ. 2
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.
1.66. ° Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû ÷åòûðå îòðåçêà, êîòîðûå ÷åðòî÷êàìè ðàçäåëåíû íà ÷àñòè ñàíòèìåòðîâîé
äëèíû. Çàïèøèòå äëèíó êàæäîãî îòðåçêà.
ст
и
ту
1.
1.77. Íàéäèòå è íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ðèñóíêå 3. Îáúÿñíèòå íàçíà÷åíèå êàæäîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
ин
200 м
ль
ны
й
00
00
A 6 –23
12
42
102
3
ио
на
302
На
ц
0493 BX-2
302
Ðèñ. 3
1.
1.88 .° Íàçîâèòå (åñëè ýòî âîçìîæíî):
1) äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
2) ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì;
3) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî;
4) íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Правообладатель Национальный институт образования
7
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
1.
1.99.° Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ñëåäóåò çà
÷èñëîì:
1) 1;
2) 999;
3) 7249;
4) 4320;
)
1
6) 303 303.
5) 65 056 ;
то
бр
аз
ов
ан
1.
10
1.10
10.. Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäøåñòâóåò ÷èñëó:
1) 10;
2) 27;
3) 5931;
4) 94 310;
5) 23 188;
6) 627 924.
à + 1
729
ин
à – 1
444
ст
и
537
à
ту
1.
1.111. Íàçîâèòå ÷èñëà, êîòîðûìè íàäî çàïîëíèòü òàáëèöó:
328
на
ль
ны
й
1.
12
1.12
12.. Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïîñëå ÷èñëà:
1) 499;
2) 78;
3) 51 590;
4) 72 837.
На
ц
ио
1.
13
1.13
13.. Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó
äî ÷èñëà:
1) 947;
2) 992;
3) 90 001;
4) 52 903.
1.
14
1.14
14.. Çàïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) ðàñïîëîæåíû ìåæäó 999 è 1002;
2) áîëüøå 98 è ìåíüøå 106.
________
1)
Ïðè çàïèñè áîëüøèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò
ïðîáåëû — çà÷åì ýòî äåëàþò, áóäåò ïîÿñíåíî â ï. 1.5.
8
Правообладатель Национальный институт образования
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
1.
15
1.15
15..* Ïóñòü à + 2 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî:
1) ñëåäóþùåå çà íèì;
2) ïðåäøåñòâóþùåå åìó.
14
99
10
22
96
9
24
98
102
15
16
8
ту
100
17
ст
и
19
ин
23
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.
16
1.16
16..°  òàáëèöå çàïèñàíû 16 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âûïèøèòå èç íèõ êàæäîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî â òàáëèöå
åñòü:
1) ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî;
2) ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî;
3) ïðåäøåñòâóþùåå åìó è ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.
ль
ны
й
1.
17
1.17
17.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 1 = 100;
3) õ − 1 = 10;
2) õ + 1 = 1000;
4) õ − 1 = 10 000.
На
ц
ио
на
1.
18
1.18
18..* 1) Ñåìèçíà÷íûé íîìåð òåëåôîíà Àëåøè — ýòî
òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà. Îïðåäåëèòå íîìåð Àëåøèíîãî òåëåôîíà.
2) Òðåõçíà÷íûé øèôð êîäîâîãî çàìêà íà ïîðòôåëå ñîñòàâëåí èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,
çàïèñàííûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ðèñ. 4).
Îïðåäåëèòå øèôð êîäîâîãî çàìêà.
Ðèñ. 4
1.
19
1.19
19..* Ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ ÷åòâåðîê, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâüòå ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 4, 8, 16, 64, 128, 256.
Правообладатель Национальный институт образования
9
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü
аз
ов
ан
ия
Âû óæå çíàåòå, êàê èçîáðàæàþòñÿ òî÷êà è ïðÿìàÿ.
Âû âèäèòå èõ èçîáðàæåíèå íà ðèñóíêàõ 5 è 6:
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
Òî÷êó îáîçíà÷àþò ïðîïèñíîé (áîëüøîé) áóêâîé ëàòèíñêîãî àëôàâèòà.
Ïðÿìóþ îáîçíà÷àþò ñòðî÷íîé (ìàëîé) áóêâîé ëàòèíñêîãî àëôàâèòà. Ïðÿìàÿ áåñêîíå÷íà, îíà íå èìååò
íè íà÷àëà, íè êîíöà, ïîýòîìó íà ðèñóíêå ìîæíî èçîáðàçèòü ëèøü ÷àñòü ïðÿìîé.
Îòìåòèì íà ïðÿìîé b òî÷êó K
(ðèñ. 7).
Ãîâîðÿò: «òî÷êà K ëåæèò íà
ïðÿìîé b» èëè «ïðÿìàÿ b ïðîõîÐèñ. 7
äèò ÷åðåç òî÷êó K».
×åðåç îäíó òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè ëþáîå ÷èñëî
ïðÿìûõ. Íà ðèñóíêå 8 ÷åðåç òî÷êó P ïðîõîäÿò ÷åòûðå ïðÿìûå. Ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P.
Êîãäà äâå òî÷êè M è N ëåæàò íà ïðÿìîé ñ (ðèñ. 9),
òî ýòó ïðÿìóþ òàêæå íàçûâàþò «ïðÿìàÿ MN».
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, è òîëüêî îäíó.
10
Правообладатель Национальный институт образования
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü
то
бр
аз
ов
ан
ия
Ïîâåðõíîñòè ñòîëà, êëàññíîé äîñêè, îêîííîãî ñòåêëà äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ÷àñòè ïëîñêîñòè. Èçîáðàçèòü
æå âñþ ïëîñêîñòü íåâîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî îíà áåñêîíå÷íà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü ïëîñêîñòè (ðèñ. 10). Òî÷êè è ïðÿìûå ìîãóò ëåæàòü â ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ïðÿìûå à è b, ïåðåñåêàþùèåñÿ â
òî÷êå C, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 11).
Ðèñ. 11
ту
Ðèñ. 10
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
Ïî îäíîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» â ðóññêîì ÿçûêå îçíà÷àëî êîíåö
çàòî÷åííîãî ãóñèíîãî ïåðà, êîòîðûì ðàíüøå ïèñàëè, è ïðîèñõîäèò
îò ñëîâà «òî÷èòü» (ðèñ. 12).
Ïî äðóãîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» ïðîèñõîäèò îò ãëàãîëà «òêíóòü»
òàê æå, êàê ðàâíîçíà÷íîå ñëîâî «ïóíêò» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî
ñëîâà pungo — «óêàëûâàþ» (ðèñ. 13).
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
Âîïðîñû
1. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ: à) òî÷êà; á) ïðÿìàÿ?
2. Ñêîëüêî ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç îäíó òî÷êó?
÷åðåç äâå òî÷êè? ÷åðåç òðè òî÷êè?
3. Ìîãóò ëè äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàòüñÿ áîëåå ÷åì â îäíîé
òî÷êå?
Правообладатель Национальный институт образования
11
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Óïðàæíåíèÿ
1.
20
1.20
20.. ° Íàçîâèòå ïðÿìûå, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 14:
б)
b c
a
ия
а)
d
m
ан
a
k
d
то
бр
Ðèñ. 14
аз
ов
c
ту
1.
21
1.21
21.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ÷åòûðå ïðÿìûå è îáîçíà÷üòå èõ ìàëûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà.
ин
ст
и
1.
22
1.22
22.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè òðè ïðÿìûå, îòìåòüòå íà
êàæäîé èç íèõ ïî äâå òî÷êè. Íàçîâèòå ýòè ïðÿìûå,
èñïîëüçóÿ îòìå÷åííûå òî÷êè.
ль
ны
й
1.
23
1.23
23..° Íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå è íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé a (ðèñ. 15).
a A
на
а)
ио
N
На
ц
E
б)
F
P
C
O
F
K
M
D
E
Ðèñ. 15
T
O
1.
24
1.24
24.. ° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M è N. Ïðîâåäèòå ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå åùå òðè òî÷êè:
1) íà ïðÿìîé MN;
2) íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé MN.
12
Правообладатель Национальный институт образования
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü
ия
1.
25
1.25
25.. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êó M è ïðîâåäèòå ÷åòûðå
ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó M. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå íà êàæäîé ïðÿìîé åùå ïî îäíîé òî÷êå. Çàïèøèòå íàçâàíèå êàæäîé ïðÿìîé.
2) Â;
4) D;
аз
ов
B
D
E
то
бр
1) À;
3) Ñ;
5) E.
ан
1.
26
1.26
26.. Íàçîâèòå èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 16 ïðÿìûå,
ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó:
C
A
ту
Ðèñ. 16
à)
ин
ст
и
1.
27
1.27
27..° Ïðîâåðüòå, ìîæíî ëè ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç
òî÷êè A, B è C íà ðèñóíêå 17.
â)
á)
ль
ны
й
À
ã)
A
B
C
B
B
A
ио
C
на
A
C
C
B
Ðèñ. 17
На
ц
1.
28
1.28
28.. Èçîáðàçèòå òðè òî÷êè A, B è C òàê, ÷òîáû îíè:
1) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé;
2) íå ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé.
1.29. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M, P, T, íå ëåæàùèå
íà îäíîé ïðÿìîé. ×åðåç êàæäûå äâå òî÷êè ïðîâåäèòå ïðÿìóþ. Ñêîëüêî ïîëó÷èëîñü ïðÿìûõ? Çàïèøèòå èõ.
Правообладатель Национальный институт образования
13
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ан
ия
1.
30
1.30
30.. Êàêèå èç ïðÿìûõ íà ðèñóíêå 18 ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ â ïðåäåëàõ ñòðàíèöû ýòîé êíèãè?
аз
ов
Ðèñ. 18
то
бр
1.
31
1.31
31.. ° Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëèò ïëîñêîñòü:
1) îäíà ïðÿìàÿ (ðèñ. 19);
2) äâå ïðÿìûå (ðèñ. 20);
3) òðè ïðÿìûå (ðèñ. 21).
Ðèñ. 19
à)
ин
ст
и
ту
á)
ль
ны
й
Ðèñ. 20
á)
â)
Ðèñ. 21
На
ц
ио
на
à)
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Çàïèñûâàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà ìû óæå óìååì. Òîò
ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûì ìû ïîëüçóåìñÿ, íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ. ×èñëà â
íåé çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äåñÿòè çíàêîâ:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
14
Правообладатель Национальный институт образования
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ýòè çíàêè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè.
ан
ия
Êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà, îïðåäåëÿåòñÿ
íå òîëüêî ñàìîé ýòîé öèôðîé, íî è ïîçèöèåé
(ìåñòîì), ãäå îíà ñòîèò â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
то
бр
аз
ов
Òàê, â çàïèñè ÷èñëà 285 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 åäèíèö, à â çàïèñè ÷èñëà 528 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 ñîòåí.
Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ ïîçèöèîííàÿ.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
Ñóùåñòâóþò è íåïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,
ðèìñêàÿ íóìåðàöèÿ, ãäå ÷èñëà çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðèìñêèõ
öèôð:
I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.
Äëÿ çàïèñè ÷èñåë èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ.
Åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïîñëå áîëüøåé, òî îíà ïðèáàâëÿåòñÿ
ê áîëüøåé, à åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïåðåä áîëüøåé, òî îíà
âû÷èòàåòñÿ èç áîëüøåé. Íàïðèìåð:
III = 3, ò. å. 1 + 1 + 1; VII = 7, ò. å. 5 + 1 + 1; XXI = 21, ò. å. 10 + 10 + 1;
I V = 4, ò. å. 5 − 1; IX = 9, ò. å. 10 − 1; XIX = 19, ò. å. 10 + (10 − 1);
MCMXLV = 1945 (1000 + (1000 − 100) + (50 − 10) + 5).
Ðèìñêóþ íóìåðàöèþ ñåé÷àñ èñïîëüçóþò òîëüêî äëÿ çàïèñè ïîðÿäêîâûõ ÷èñëèòåëüíûõ. Òàê, çàïèñü «XXI â.» ÷èòàþò: «äâàäöàòü ïåðâûé âåê», à çàïèñü «V êëàññ» — «ïÿòûé êëàññ».
Çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ.
×èñëî «íóëü» è êàæäîå èç ïåðâûõ äåâÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë çàïèñûâàþòñÿ îäíîé öèôðîé; ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ îäíîçíà÷íûìè.
Правообладатель Национальный институт образования
15
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñàííîå áîëåå ÷åì îäíîé
öèôðîé, íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íûì. Ñðåäè ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë äâóçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ äâóìÿ öèôðàìè, òðåõçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå
çàïèñûâàþòñÿ òðåìÿ öèôðàìè, è ò. ä.
то
бр
аз
ов
ан
«Íóëü» ïî-àðàáñêè — «ñèôð», îòêóäà è ïîøëî íàçâàíèå öèôðà.
Èíòåðåñíî, ÷òî ìû íàçûâàåì öèôðû 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 àðàáñêèìè, òàê êàê çàèìñòâîâàëè èõ ó àðàáîâ, íî ñàìè àðàáû íàçûâàþò
ýòè öèôðû èíäèéñêèìè, ïîñêîëüêó çàèìñòâîâàëè èõ ó èíäèéöåâ.
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1. Êàê íàçûâàåòñÿ ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûìè ìû
ïîëüçóåìñÿ?
2. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàþòñÿ ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ? Êàê íàçûâàþòñÿ ýòè çíàêè?
3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ, êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà â çàïèñè
÷èñëà?
4. Ñ êàêîé öèôðû íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà?
Óïðàæíåíèÿ
ио
на
1.
32
1.32
32.. ° Ïðèâåäèòå ïðèìåð ÷èñëà:
1) äâóçíà÷íîãî;
2) òðåõçíà÷íîãî;
3) îäíîçíà÷íîãî;
4) ÷åòûðåõçíà÷íîãî.
На
ц
1.
33
1.33
33..° Ñðåäè ÷èñåë 137, 731, 317 íàéäèòå ÷èñëî, â êîòîðîì öèôðà 1 íàõîäèòñÿ íà ïîçèöèè:
1) åäèíèö;
2) äåñÿòêîâ;
3) ñîòåí.
1.
34
1.34
34..° Çàïèøèòå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ íà ïîçèöèÿõ åäèíèö è äåñÿòêîâ öèôðû îäèíàêîâûå. Ñêîëüêî
òàêèõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü?
16
Правообладатель Национальный институт образования
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
1.
35
1.35
35.. Äàíî ÷èñëî: 1) 782; 2) 780. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýòîãî
÷èñëà, ìåíÿÿ ïîçèöèè åãî öèôð. Ñêîëüêî òàêèõ ÷èñåë
ïîëó÷èëîñü?
аз
ов
ан
ия
1.
36
1.36
36.. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî
ñîñòàâèòü èç öèôð:
1) 3 è 6;
2) 4 è 0;
3) 2, 0 è 8;
4) 1, 5 è 0.
ту
то
бр
1.
37
1.37
37.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:
1) 2569;
2) 7183;
3) 40 104;
4) 69 001.
Çàïèøèòå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç òåõ æå öèôð, íî â
îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííîå ÷èñëî.
ль
ны
й
ин
ст
и
1.
38
1.38
38.. Çàïèøèòå ïåðâûå â íàòóðàëüíîì ðÿäó:
1) âîñåìü îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë;
2) ÷åòûðå äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;
3) òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.
ио
на
1.
39
1.39
39.. Çàïèøèòå ïîñëåäíèå òðè â íàòóðàëüíîì ðÿäó:
1) îäíîçíà÷íûõ ÷èñëà;
2) äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;
3) òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.
На
ц
1.
40
1.40
40.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå ÷èñëà ñðåäè ÷èñåë:
1) äâóçíà÷íûõ;
2) òðåõçíà÷íûõ;
3) ïÿòèçíà÷íûõ;
4) øåñòèçíà÷íûõ.
1.
41
1.41
41..° Ñêîëüêî öèôð èñïîëüçîâàíî äëÿ çàïèñè ÷èñåë
è ñêîëüêî ñðåäè íèõ ðàçëè÷íûõ:
1) 290 290;
2) 345 543;
3) 59 585;
4) 47 917?
Правообладатель Национальный институт образования
17
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
1.
42
1.42
42.. Ñîñòàâüòå:
1) âñå äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð
êîòîðûõ ðàâíà 5;
2) âñå òðåõçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð
êîòîðûõ ðàâíà 4.
аз
ов
ан
1.
43
1.43
43..* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü, çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå òðè ÷èñëà, ñëåäóþùèå çà óêàçàííûìè:
5; 50; 505; 5050; ... .
ст
и
ту
то
бр
1.
44
1.44
44..* Îáðàòèòå âíèìàíèå, ñ êàêîé ñòðàíèöû íà÷èíàåòñÿ íóìåðàöèÿ â âàøåì ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà».
1) Ñêîëüêî öèôð ïîòðåáîâàëîñü íàïå÷àòàòü äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà»?
2) Ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àåòñÿ êàæäàÿ èç öèôð?
ль
ны
й
ин
1.
45
1.45
45.. * Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ñáîðíèêå «Çàäà÷è
íà ñìåêàëêó» ïîòðåáîâàëîñü 787 öèôð. Êàêîé íîìåð
èìååò ïîñëåäíÿÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà, åñëè ïåðâàÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà èìååò íîìåð 3?
На
ц
ио
на
1.
46
1.46
46.. * Ìåæäó ÷èñëàìè 1, 3, 5, 7, 9 ðàññòàâüòå çíàêè
àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ áûëî ðàâíî:
1) 0;
2) 1;
3) 3;
4) 5;
5) 7;
6) 9.
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà
Ïîçèöèÿ (ìåñòî), íà êîòîðîé â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñòîèò öèôðà, íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì. Ïåðâàÿ öèôðà ñïðàâà â çàïèñè ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé
ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðàÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé âòî18
Правообладатель Национальный институт образования
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà
ан
ия
ðîãî ðàçðÿäà, òðåòüÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé òðåòüåãî
ðàçðÿäà è ò. ä. Ïåðâûé ðàçðÿä íàçûâàåòñÿ òàêæå ðàçðÿäîì åäèíèö, âòîðîé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ,
òðåòèé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì ñîòåí è ò. ä.
Öèôðû â ðàçðÿäàõ ïîêàçûâàþò, ÷òî, íàïðèìåð, ÷èñëî 9702 ñîñòîèò èç 9 òûñÿ÷, 7 ñîòåí, 0 äåñÿòêîâ è
2 åäèíèö, ò. å.
аз
ов
9702 = 9000 + 700 + 0 + 2 = 9 . 1000 + 7 . 100 + 0 . 10 + 2 . 1.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
×èñëà 9000, 700, 0 è 2 íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè
ñëàãàåìûìè ÷èñëà 9702.
Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ.
×èñëà 1, 10, 100 è ò. ä. íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè
åäèíèöàìè:
1 — åäèíèöà ïåðâîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà åäèíèö,
10 — åäèíèöà âòîðîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà äåñÿòêîâ,
100 — åäèíèöà òðåòüåãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà ñîòåí
è ò. ä.
Êàæäàÿ åäèíèöà ñëåäóþùåãî ðàçðÿäà â 10 ðàç áîëüøå åäèíèöû ïðåäûäóùåãî ðàçðÿäà, ò. å. 10 åäèíèö
ëþáîãî ðàçðÿäà ñîñòàâëÿþò 1 åäèíèöó ñëåäóþùåãî
ðàçðÿäà. Èìåííî ïîýòîìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé.
Ïåðâàÿ öèôðà ñëåâà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íàçûâàåòñÿ öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà. Òàê êàê çàïèñü
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ, òî
öèôðà âûñøåãî ðàçðÿäà âñåãäà îòëè÷íà îò íóëÿ.
Àáà́ê — ñ÷åòíûé ïðèáîð — ïîÿâèëñÿ ó äðåâíèõ àðàáîâ (ðèñ. 22).
Ëàòèíñêîå ñëîâî calculare — «ñ÷èòàòü» (îòñþäà «êàëüêóëÿòîð»
(ðèñ. 23), «êàëüêóëÿöèÿ») — ïðîèñõîäèò îò ñëîâà calculus —
«êàìåøåê».
Правообладатель Национальный институт образования
19
Ðèñ. 23
ан
Ðèñ. 22
ия
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
б)
1
ту
а)
то
бр
аз
ов
Ìåñòà äëÿ îòäåëüíûõ ðàçðÿäîâ ÷èñåë áûëè íå òîëüêî íà àáàêå, íî
è, íàïðèìåð, íà ñ÷åòàõ, íà ðàçãðàôëåííîé äîñêå (áóìàãà â êëåòêó
â òåòðàäÿõ ïî ìàòåìàòèêå íàì åå íàïîìèíàåò). Íà ðèñóíêå 24, à, á,
ïîêàçàíî ñëîæåíèå ÷èñåë 123 è 64.
ст
и
+
8
6
4
7
ин
1
3
2
Âîïðîñû
ль
ны
й
Ðèñ. 24
На
ц
ио
на
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì?
2. Êàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè åäèíèöàìè?
3. Ïî÷åìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé?
4. Êàêàÿ öèôðà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ
öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà?
Óïðàæíåíèÿ
1.
47
1.47
47.. ° Ñêîëüêî åäèíèö ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðîãî ðàçðÿäà, òðåòüåãî ðàçðÿäà, ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà ñîäåðæèòñÿ
â ÷èñëå:
1) 2946;
2) 3052;
3) 9107;
4) 1840;
5) 6010;
6) 2002?
20
Правообладатель Национальный институт образования
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà
ия
1.
48
1.48
48.. ×òî ïîêàçûâàåò öèôðà 4 â çàïèñè ÷èñëà:
1) 641;
2) 29 451;
3) 70 340;
4) 948 356;
5) 40 404;
6) 3 244 444?
аз
ов
ан
1.
49
1.49
49..° Ñðåäè ÷èñåë 5137, 7351, 3715 è 1573 íàéäèòå
÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà 5 çàïèñàíà â ðàçðÿäå:
1) åäèíèö;
2) äåñÿòêîâ;
3) ñîòåí;
4) òûñÿ÷.
ст
и
ту
то
бр
1.
50
1.50
50..  êàæäîì ÷èñëå íàçîâèòå ðàçðÿä, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ öèôðà 9:
1) 9;
2) 98;
3) 139;
4) 9507;
5) 19 342;
6) 916 001.
ио
на
ль
ны
й
ин
1.
51
1.51
51..° Çàïèøèòå ÷èñëî, â êîòîðîì:
1) 4 åäèíèöû øåñòîãî ðàçðÿäà, 5 åäèíèö ÷åòâåðòîãî
ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 3 åäèíèöû
ïåðâîãî ðàçðÿäà;
2) 9 åäèíèö øåñòîãî ðàçðÿäà, 4 åäèíèöû ïÿòîãî
ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 1 åäèíèöà
âòîðîãî ðàçðÿäà.
На
ц
1.
52
1.52
52.. Çàïèøèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, â êîòîðîì:
1) 6 òûñÿ÷, 2 äåñÿòêà, 3 åäèíèöû;
2) 4 òûñÿ÷è, 3 ñîòíè, 5 åäèíèö;
3) 8 òûñÿ÷, 6 äåñÿòêîâ;
4) 9 òûñÿ÷, 4 ñîòíè.
1.
53
1.53
53.. Íàçîâèòå ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå ÷èñëà:
1) 325;
2) 786;
3) 7896;
4) 9341;
5) 6021;
6) 3203;
7) 2090;
8) 5004.
Правообладатель Национальный институт образования
21
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
1.
54
1.54
54.. Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ
÷èñëî:
1) 542;
2) 5420;
3) 5042;
4) 5402;
5) 504 020;
6) 500 204.
ин
ст
и
ту
1.
56
1.56
56.. Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 100 + 20 + 9;
2) 5000 + 800 + 80 + 1;
3) 4 000 000 + 700 + 8;
4) 500 000 + 30 000.
то
бр
аз
ов
ан
1.
55
1.55
55.. Çàïèøèòå ÷èñëî, çàäàííîå ñóììîé ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ:
1) 3 . 100 + 8 . 10 + 6 . 1;
2) 3 . 1000 + 8 . 100 + 6 . 1;
3) 3 . 10 000 + 8 . 100 + 6 . 10;
4) 3 . 100 000 + 8 . 10 000 + 6 . 1000.
ль
ны
й
1.
57
1.57
57.. Ïî çàïèñè ÷èñëà â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ íàçîâèòå ðàçðÿä, ãäå íàõîäèòñÿ öèôðà 6:
1) 5 . 10 000 + 6 . 1000 + 8 . 10 + 2;
2) 6 . 100 000 + 3 . 10 000 + 6 . 100.
На
ц
ио
на
1.
58
1.58
58.. Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ
íàèáîëüøåå ÷èñëî:
1) äâóçíà÷íîå;
2) òðåõçíà÷íîå;
3) ÷åòûðåõçíà÷íîå;
4) ïÿòèçíà÷íîå.
1.
59
1.59
59.. Ìàëüâèíà ïðåäëîæèëà Áóðàòèíî çàäàíèå: ïîä÷åðêíè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ â êàæäîì ÷èñëå:
345 637, 198 054 163. Áóðàòèíî âûïîëíèë åãî òàê:
345 637, 198 054 163.
Ïî÷åìó Ìàëüâèíà ñêàçàëà, ÷òî Áóðàòèíî âûïîëíèë
ýòî çàäàíèå íåïðàâèëüíî?
22
Правообладатель Национальный институт образования
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà
1.
60
1.60
60..* Íàéäèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë 1, 3, 5, 7, 9, âçÿòûõ ïî îäíîìó
ðàçó, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê.
аз
ов
ан
ия
1.
61
1.61
61..* Âðà÷ ïðåäïèñàë áîëüíîìó ïðèíÿòü 5 òàáëåòîê
ïî îäíîé ÷åðåç êàæäûå ïîëòîðà ÷àñà. Ïåðâóþ òàáëåòêó
áîëüíîé ïðèíÿë â 8 ÷ 30 ìèí. Êîãäà îí ïðèíÿë ïîñëåäíþþ òàáëåòêó?
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
×òîáû áûëî óäîáíî ïðî÷èòàòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî,
åãî ðàçðÿäû îáúåäèíÿþò â ãðóïïû, ïî òðè ðàçðÿäà â
êàæäîé ãðóïïå, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ðàçðÿäà, ò. å. ñïðàâà
íàëåâî. Êàæäàÿ òàêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êëàññîì.
 êëàññå öèôðû ñïðàâà íàëåâî îáîçíà÷àþò ÷èñëî åäèíèö, äåñÿòêîâ è ñîòåí ýòîãî êëàññà.
Íàçâàíèÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññîâ è ðàçðÿäîâ, âõîäÿùèõ â ýòè êëàññû, ïðèâåäåíû â òàáëèöå.
на
Êëàññ åäèíèö
На
ц
ио
Êëàññ òûñÿ÷
åäèíèöû
äåñÿòêè
ñîòíè
åäèíèöû òûñÿ÷
äåñÿòêè òûñÿ÷
ñîòíè òûñÿ÷
Êëàññ ìèëëèîíîâ
åäèíèöû ìèëëèîíîâ
äåñÿòêè ìèëëèîíîâ
Êëàññ ìèëëèàðäîâ
ñîòíè ìèëëèîíîâ
åäèíèöû ìèëëèàðäîâ
äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ
ñîòíè ìèëëèàðäîâ
...
...
Правообладатель Национальный институт образования
23
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Íàçâàíèå ìèëëèîí ïîÿâèëîñü â 1500 ã. â Èòàëèè, à íàçâàíèå ìèëëèàðä — â 1871 ã. âî Ôðàíöèè.
то
бр
аз
ов
ан
ия
Çà êëàññîì ìèëëèàðäîâ ñëåäóåò êëàññ òðèëëèîíîâ
(òðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 12 íóëÿìè). À çà êëàññîì òðèëëèîíîâ èäåò êëàññ êâàäðèëëèîíîâ (êâàäðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 15 íóëÿìè). Íî íàòóðàëüíûé
ðÿä áåñêîíå÷åí, ïîýòîìó âñå êëàññû ïåðå÷èñëèòü íåâîçìîæíî.
Ïðè çàïèñè ÷èñëà êëàññ îò êëàññà óäîáíî îòäåëÿòü
íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî óäîáíî ÷èòàòü ìíîãîçíà÷íûå ÷èñëà.
ст
и
ту
Ïð
èìåð 1. Ïðî÷èòàòü ÷èñëî:
Ïðèìåð
à) 239073972;
á) 43231000732.
ин
Îáúÿñíåíèå. à) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:
239 073 972.
ль
ны
й
Íàçîâåì ÷èñëî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñëåâà íàïðàâî:
239 ìèëëèîíîâ 73 òûñÿ÷è 972.
На
ц
ио
на
Íàçâàíèå êëàññà åäèíèö íå ïðîèçíîñèòñÿ.
Öèôðà 0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå åäèíèö ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçðÿäà è ïðè ÷òåíèè íå ïðîèçíîñèòñÿ.
á) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:
43 231 000 732
è ïðî÷òåì åãî:
43 ìèëëèàðäà 231 ìèëëèîí 732.
Íàçâàíèå êëàññà, âñå òðè öèôðû êîòîðîãî íóëè, íå
ïðîèçíîñèòñÿ.
Ïð
èìåð 2. Çàïèñàòü öèôðàìè ÷èñëî 51 ìèëëèàðä 28 òûÏðèìåð
ñÿ÷ 935.
24
Правообладатель Национальный институт образования
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà
то
бр
аз
ов
ан
ия
Ðåøåíèå. Ïèøåì ñëåâà íàïðàâî.  ðàçðÿäå äåñÿòêîâ ìèëëèàðäîâ 5, çàòåì â êàæäîì ðàçðÿäå — êîëè÷åñòâî åäèíèö ýòîãî ðàçðÿäà. Åñëè åäèíèöà êàêîãî-ëèáî ðàçðÿäà îòñóòñòâóåò, òî ïèøåì öèôðó íóëü.  ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåì: 51 000 028 935.
Çàìåòèì, ÷òî: ìèëëèîí ñåêóíä (1 000 000 ñ) ïðîòåêàþò ìåíüøå ÷åì çà 2 íåäåëè, à ìèëëèàðä ñåêóíä
(1 000 000 000 ñ) äëÿòñÿ ñâûøå 3 ëåò.
×åëîâå÷åñêèé âîëîñ, óâåëè÷åííûé â ìèëëèîí ðàç,
èìåë áû òîëùèíó 70 ì, à åñëè óâåëè÷èòü â ìèëëèîí
ðàç êîìàðà, òî îí áûë áû äëèíîé 5 êì.
Âîïðîñû
Óïðàæíåíèÿ
ин
ст
и
ту
1. Êàê ðàçáèòü ÷èñëî íà êëàññû?
2. Êàêèå êëàññû è ðàçðÿäû âû çíàåòå (íàçîâèòå èõ, èñïîëüçóÿ òàáëèöó)?
ио
на
ль
ны
й
1.
62
1.62
62..° Çàïèøèòå öèôðàìè ÷èñëî:
1) äâàäöàòü øåñòü òûñÿ÷ òðè;
2) ñåìüñîò îäèí ìèëëèîí îäèííàäöàòü òûñÿ÷;
3) âîñåìüäåñÿò ìèëëèàðäîâ äâàäöàòü ïÿòü òûñÿ÷;
4) øåñòü ìèëëèàðäîâ øåñòüñîò øåñòü.
На
ц
1.63. Çàïèøèòå ÷èñëà, èçîáðàæåííûå íà àáàêå (ðèñ. 25).
а)
г)
б)
в)
д)
Ðèñ. 25
Правообладатель Национальный институт образования
25
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
64
1.64
64..° Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå ÷èñëà, çàäàííûå òàáëèöåé.
Êëàññ
ìèëëèîíîâ
Êëàññ
òûñÿ÷
Êëàññ
åäèíèö
6
5
7
3
1
9
1
3
1
7
6
6
3
7
1
9
3
7
4
1
6
åäèíèöû
9
5
5
8
3
3
9
4
7
то
бр
7
ту
6
ст
и
5
аз
овñîòíè
ан
ия
äåñÿòêè
ñîòíè
ìèëëèàðäîâ
äåñÿòêè
ìèëëèàðäîâ
åäèíèöû
ìèëëèàðäîâ
ñîòíè
ìèëëèîíîâ
äåñÿòêè
ìèëëèîíîâ
åäèíèöû
ìèëëèîíîâ
ñîòíè
òûñÿ÷
äåñÿòêè
òûñÿ÷
åäèíèöû
òûñÿ÷
Êëàññ
ìèëëèàðäîâ
7
5
6
6
1
6
7
1
5
ль
ны
й
ин
1.
65
1.65
65.. ° Ðàçáåéòå íà êëàññû è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:
1) 94012;
2) 836100;
3) 37001285;
4) 203748108;
5) 230001003005;
6) 900300573296.
На
ц
ио
на
1.
66
1.66
66.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëà:
1) 378;
2) 1529;
3) 478916;
4) 401238;
5) 23000501;
6) 7600800009.
Çàïèøèòå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåïèñàâ
èõ ñïðàâà íàëåâî. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííûå ÷èñëà.
1.
67
1.67
67..  çàïèñè ÷èñëà 7054932816 ïî îäíîìó ðàçó èñïîëüçîâàíà êàæäàÿ èç äåñÿòè öèôð. Îïðåäåëèòå, êàêàÿ öèôðà çàïèñàíà íà ìåñòå:
1) ðàçðÿäà ñîòåí êëàññà åäèíèö;
2) ðàçðÿäà äåñÿòêîâ êëàññà òûñÿ÷;
26
Правообладатель Национальный институт образования
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà
3) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ;
4) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ.
Íàçîâèòå ðàçðÿäû, êëàññû, â êîòîðûõ çàïèñàíû öèôðû 1, 2, 5.
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.
68
1.68
68.. Ñêîëüêî òûñÿ÷ ñîäåðæèòñÿ â:
1) 6 äåñÿòêàõ òûñÿ÷;
2) 7 òûñÿ÷àõ è 3 ñîòíÿõ;
3) 4 ñîòíÿõ òûñÿ÷, 7 äåñÿòêàõ òûñÿ÷ è 1 òûñÿ÷å;
4) 1 ñîòíå òûñÿ÷, 2 äåñÿòêàõ òûñÿ÷, 3 òûñÿ÷àõ è
4 ñîòíÿõ?
ту
1.
69
1.69
69.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,
åñëè 514 çàïèñàòü ïîäðÿä:
1) òðè ðàçà;
2) ÷åòûðå ðàçà.
ин
ст
и
1.
70
1.70
70.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,
åñëè ÷èñëî 72 çàïèñàòü ïîäðÿä:
1) ïÿòü ðàç;
2) øåñòü ðàç.
ль
ны
й
1.
71
1.71
71.. Ñêîëüêî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñîäåðæèòñÿ â
÷èñëå:
1) 61901000;
2) 8001004;
3) 40501040009;
4) 510402060020?
На
ц
ио
на
1.
72
1.72
72.. Íàçîâèòå è çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:
1) 13 åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ, 13 åäèíèö êëàññà
ìèëëèîíîâ, 13 åäèíèö êëàññà òûñÿ÷, 13 åäèíèö
êëàññà åäèíèö;
2) 801 åäèíèöó êëàññà ìèëëèàðäîâ, 108 åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ, 801 åäèíèöó êëàññà òûñÿ÷, 108 åäèíèö êëàññà åäèíèö.
1.
73
1.73
73.. Çàïèøèòå öèôðàìè èíôîðìàöèþ î Ñîëíöå:
1) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà — 6 ìèëëèàðäîâ
87 ìèëëèîíîâ êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ;
2) âîçðàñò Ñîëíöà — 5 ìèëëèàðäîâ ëåò.
Правообладатель Национальный институт образования
27
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
74
1.74
74.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:
1) 5 ìèëëèàðäîâ, 7 ìèëëèîíîâ, 9 òûñÿ÷, 6 åäèíèö;
2) 12 ìèëëèàðäîâ, 51 ìèëëèîí, 79 åäèíèö.
аз
ов
ан
ия
1.
75
1.75
75.. Ñêîëüêî ìèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â:
1) 4 ñîòíÿõ ìèëëèîíîâ è 4 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ;
2) 7 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ è 9 ìèëëèîíàõ?
1.
76
1.76
76.. * Ïåðâûå ñòî ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà çàïèñàëè
áåç ïðîïóñêîâ è ïîëó÷èëè ÷èñëî
то
бр
12345678910111213141516...979899100.
ту
Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà:
1) öèôð;
2) êëàññîâ.
ль
ны
й
ин
ст
и
1.
77
1.77
77.. *  ÷èñëå 139506 íå áîëåå òðåõ öèôð ìîæíî çàìåíèòü ðàçíûìè öèôðàìè, êîòîðûõ íåò â çàïèñè ÷èñëà. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî è êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêèì îáðàçîì?
На
ц
ио
на
1.
78
1.78
78..* Ìåæäó ÷èñëàìè 3, 2, 1 ðàññòàâüòå çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå
÷èñëîâîå âûðàæåíèå ïðèíèìàëî çíà÷åíèå:
1) 0;
2) 1;
3) 2;
4) 3;
5) 4;
6) 5;
7) 6;
8) 7;
9) 9.
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà
Ðèñ. 26
28
Ïóñòü K è L — òî÷êè íà ïðÿìîé. Âñå òî÷êè ïðÿìîé, ëåæàùèå
ìåæäó íèìè, âìåñòå ñ òî÷êàìè K
è L îáðàçóþò îòðåçîê (ðèñ. 26).
Òî÷êè K è L íàçûâàþòñÿ êîíöà-
Правообладатель Национальный институт образования
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà
ìè îòðåçêà. Îòðåçîê ñ êîíöàìè K è L îáîçíà÷àåòñÿ KL èëè LK. ×èòàþò òàê: «îòðåçîê KL», «îòðåçîê LK».
ан
ия
Äâà îòðåçêà, êîòîðûå ìîæíî ñîâìåñòèòü íàëîæåíèåì, íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè.
D
то
бр
C
ту
A
аз
ов
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 27 èçîáðàæåíû ðàâíûå îòðåçêè AB è CD.
ст
и
B
Ðèñ. 27
на
ль
ны
й
ин
Äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû îòðåçêà èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ.  áîëüøèíñòâå ñòðàí çà
îñíîâíóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíû ïðèíÿò ìåòð,
à äðóãèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû, ñîîòâåòñòâåííî,
ñâÿçàíû ñ ìåòðîì. Ìåòð äåëèòñÿ íà 10 äåöèìåòðîâ,
äåöèìåòð — íà 10 ñàíòèìåòðîâ, ñàíòèìåòð — íà 10 ìèëëèìåòðîâ:
ио
1 ì = 10 äì = 100 ñì = 1000 ìì.
На
ц
Áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ êèëîìåòðàìè:
1 êì = 1000 ì.
Îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ïðèíÿòà çà åäèíèöó
èçìåðåíèÿ, íàçûâàþò åäèíè÷íûì îòðåçêîì.
Ïóñòü â êà÷åñòâå åäèíè÷íîãî îòðåçêà âçÿò îòðåçîê
äëèíîé 1 ìì. Òîãäà, åñëè íàäî èçìåðèòü äëèíó îòðåçПравообладатель Национальный институт образования
29
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
êà AB, åå òîæå îáîçíà÷àþò ÀÂ, êàê è ñàì îòðåçîê, òî
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè
äåëåíèÿìè (ðèñ. 28).
AB = 87 мм
5
4
6
Ðèñ. 28
7
8
ия
3
9
ан
2
1
0
B
10
аз
ов
A
то
бр
Èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà — ýòî çíà÷èò íàéòè, ñêîëüêî åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ ñîäåðæèòñÿ â äàííîì îòðåçêå.
ту
Åñëè îòðåçêè ðàâíû, òî è äëèíû èõ ðàâíû.
ин
ст
и
Åñëè äëèíû îòðåçêîâ ðàâíû, òî è îòðåçêè
ðàâíû.
Ðèñ. 29
На
ц
ио
на
ль
ны
й
Äëèíó îòðåçêà ÀÂ íàçûâàþò òàêæå ðàññòîÿíèåì
ìåæäó òî÷êàìè À è Â.
Åñëè òî÷êà ðàçáèâàåò îòðåçîê íà äâå ÷àñòè, òî äëèíà îòðåçêà ðàâíà ñóììå äëèí åãî ÷àñòåé. Íàïðèìåð, À = ÀÑ + Ñ (ðèñ. 29).
Îòðåçêè ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ
èëè ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ èõ äëèí.
 ñòàðèíó èñïîëüçîâàëè è äðóãèå ìåðû äëèíû: âåðñòó, ñàæåíü,
àðøèí, âåðùîê, ôóò, äþéì è ò. ä.
Ñ 1504 ã. â äîêóìåíòàõ óïîìèíàåòñÿ è îñîáûé áåðåñòåéñêèé àðøèí,
÷òî ãîâîðèò îá èçâåñòíîñòè Áðåñòà êàê òîðãîâîãî ãîðîäà.
30
Правообладатель Национальный институт образования
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà
Âîïðîñû
ан
ия
Èçîáðàçèòå íà ïðÿìîé îòðåçîê è íàçîâèòå åãî êîíöû.
Êàê îáîçíà÷àåòñÿ îòðåçîê?
Êàêèå îòðåçêè íàçûâàþò ðàâíûìè?
Êàêèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû âû çíàåòå?
×òî òàêîå åäèíè÷íûé îòðåçîê?
×òî çíà÷èò: èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà?
×òî íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è Â?
Êàê ñðàâíèâàþòñÿ îòðåçêè?
аз
ов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
то
бр
Óïðàæíåíèÿ
ин
ст
и
ту
1.
79
1.79
79..° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè À è Â. Ñ ïîìîùüþ
ëèíåéêè ïîñòðîéòå îòðåçîê ÀÂ. Îòìåòüòå íà ýòîì îòðåçêå òî÷êè M è N. Íàçîâèòå îòðåçêè, íà êîòîðûå
ýòè òî÷êè äåëÿò îòðåçîê ÀÂ.
ль
ны
й
1.
80
1.80
80.. Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÑ è îòìåòüòå íà
íåì òî÷êè M è N. Çàïèøèòå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ îòðåçêè.
На
ц
ио
на
1.
81
1.81
81..° Óêàæèòå òî÷êè íà ðèñóíêå 30, êîòîðûå:
1) ëåæàò íà îòðåçêå MN;
2) íå ëåæàò íà îòðåçêå MN.
Ðèñ. 30
1.
82
1.82
82.. Óêàæèòå, êàêèå èç òî÷åê íà ðèñóíêå 31 ëåæàò
ìåæäó òî÷êàìè:
1) A è C;
2) K è D;
3) A è B;
4) B è D.
Правообладатель Национальный институт образования
31
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
Ðèñ. 31
ту
то
бр
аз
ов
ан
1.
83
1.83
83.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî (ðèñ. 32):
1) ÀÂ = AD + DB;
2) AB = AD + PB;
3) KR = KE + KD;
4) KD = KE + ED?
ст
и
Ðèñ. 32
ль
ны
й
ин
1.
84
1.84
84.. Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÂ, èçìåðüòå åãî
äëèíó. Èçîáðàçèòå îòðåçîê KM, äëèíà êîòîðîãî áîëüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ, è îòðåçîê KN, äëèíà êîòîðîãî
ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ.
ио
на
1.
85
1.85
85.. ° Èçìåðüòå äëèíó îòðåçêà (ðèñ. 33):
1) KP;
2) KS;
3) KM;
4) PM;
5) PS;
6) SM.
На
ц
1.86. Ñêîëüêî îòðåçêîâ ïîëó÷àåòñÿ,
åñëè íà ïðÿìîé îòìå÷åíà:
1) 1 òî÷êà;
2) 2 òî÷êè;
3) 3 òî÷êè;
4) 4 òî÷êè?
Ðèñ. 33
1.
87
1.87
87.. Íàéäèòå íà ðèñóíêå 34 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè:
1) A è B;
2) A è M;
3) A è P;
4) B è M;
5) B è P;
6) P è M.
32
Правообладатель Национальный институт образования
ия
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà
ан
Ðèñ. 34
то
бр
аз
ов
1.
88
1.88
88.. 1) Èçîáðàçèòå òî÷êè P, S è N òàê, ÷òîáû îíè ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé è òî÷êà P ëåæàëà ìåæäó òî÷êàìè S è N.
2) Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî SP + PN = SN, âûïîëíèâ íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ.
ин
ст
и
ту
1.
89
1.89
89.. Èçîáðàçèòå äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà AN è PK,
îáîçíà÷üòå òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ áóêâîé O. Íàéäèòå:
1) äëèíû ïîëó÷èâøèõñÿ îòðåçêîâ;
2) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A è P, A è K, N è K,
N è P.
Ðèñ. 35
На
ц
ио
на
ль
ны
й
1.
90
1.90
90.. Íàéäèòå ðàâíûå îòðåçêè (ðèñ. 35).
1.
91
1.91
91.. Íà÷åðòèòå îòðåçêè, ðàâíûå îòðåçêàì, èçîáðàæåííûì íà ðèñóíêå 36.
Ðèñ. 36
Правообладатель Национальный институт образования
33
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
C
á) S
T
A
D
P
V
K
аз
ов
ã) N
â)
ан
à) B
ия
1.
92
1.92
92.. Íàéäèòå íà ðèñóíêå 37 ðàâíûå îòðåçêè.
P
M
C
F
ту
A
то
бр
E
ст
и
Ðèñ. 37
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
1.
93
1.93
93.. Íà ðèñóíêå 38 èçîáðàæåíû ïðÿìûå à, b è îòðåçêè BC, KL è FR. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè:
1) a è BC;
2) a è KL;
3) BC è FR;
4) b è KL;
5) b è BC;
6) BC è KL?
Ðèñ. 38
1.
94
1.94
94.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 5 ì 29 ñì + 3 ì 44 ñì;
2) 7 äì 3 ìì + 26 äì 59 ìì;
3) 1 ì 13 äì + 50 äì 4 ñì;
4) 28 äì 2 ñì + 2 äì 17 ìì.
34
Правообладатель Национальный институт образования
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
1.
95
1.95
95.. * Äåíèñ, Þðà è Âàäèì ñîáðàëè 48 ìåøêîâ êàðòîôåëÿ. Âàäèì ñîáðàë íà 10 ìåøêîâ ìåíüøå, ÷åì Þðà,
à Äåíèñ íà 5 ìåøêîâ áîëüøå, ÷åì Âàäèì. Ñêîëüêî
ìåøêîâ êàðòîôåëÿ ñîáðàë êàæäûé?
аз
ов
ан
ия
1.
96
1.96
96.. Âî âðåìÿ èñïûòàíèÿ íà ïîëèãîíå íîâûé àâòîìîáèëü çà ïåðâûé äåíü ïðîåõàë 93 êì 860 ì, à çà âòîðîé — íà 15 êì 390 ì áîëüøå. Îïðåäåëèòå îáùèé
ïðîáåã àâòîìîáèëÿ çà äâà äíÿ èñïûòàíèé.
то
бр
1.
97
1.97
97..* Ïðûæîê çàéöà â 2 ðàçà êîðî÷å, íî â 3 ðàçà
÷àùå, ÷åì ó âîëêà. Êòî áûñòðåå ïðåîäîëååò ðàññòîÿíèå â 1 êì?
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1.
98
1.98
98..* ×åáóðàøêà çàïèñàë íà äîñêå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà. À ñòàðóõà Øàïîêëÿê ñòåðëà âñå çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Âîññòàíîâèòå èõ.
1) 1 2 3 = 4;
2) 1 2 3 4 5 = 5;
3) 1 2 3 4 5 = 6;
4) 1 2 3 4 5 6 = 7;
5) 1 2 3 4 5 6 7 = 8;
6) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9.
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ио
на
Êàê óçíàòü, êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå?
На
ц
Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíüøå.
Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøèì ñ÷èòàåòñÿ òî, êîòîðîå â íàòóðàëüíîì ðÿäó
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...
ðàñïîëîæåíî ëåâåå, à áîëüøèì — òî, êîòîðîå ðàñïîëîæåíî ïðàâåå.
Правообладатель Национальный институт образования
35
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Ñðàâíèòü äâà ÷èñëà — ýòî çíà÷èò îïðåäåëèòü, êàêîå èç íèõ ìåíüøå, à êàêîå áîëüøå.
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
 íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 ðàñïîëîæåíî ëåâåå
÷èñëà 11, çíà÷èò, 7 ìåíüøå 11.
Ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë çàïèñûâàþò ïðè
ïîìîùè çíàêîâ áîëüøå «>» è ìåíüøå «<».
Òàê, 7 < 11, à 11 > 7. Òàêèå çàïèñè íàçûâàþò íåðàâåíñòâàìè.
Ïðè ñðàâíåíèè äâóõ ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî
ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî ÷èñëà, èëè áîëüøå åãî,
èëè ðàâíî åìó.
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ ïðàâèëàìè.
ин
ст
и
1. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ðàçíûì êîëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ìåíüøå òî, ó êîòîðîãî
ðàçðÿäîâ ìåíüøå.
ль
ны
й
Íàïðèìåð, ñðàâíèì ÷èñëà 9879 è 12 893. Òàê êàê
ó ÷èñëà 9879 ÷åòûðå ðàçðÿäà, à ó ÷èñëà 12 893 ïÿòü
ðàçðÿäîâ, òî 9879 < 12 893.
На
ц
ио
на
2. Äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà ñ îäèíàêîâûì êîëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ñðàâíèâàþò ïîðàçðÿäíî, íà÷èíàÿ ñ âûñøåãî ðàçðÿäà (ñëåâà íàïðàâî). Ìåíüøå òî ÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà íàèáîëüøåãî îòëè÷àþùåãîñÿ ðàçðÿäà ìåíüøå.
Ïîÿñíèì ýòî ïðàâèëî íà äâóõ ïðèìåðàõ.
Ïð
èìåð 1. Ñðàâíèòü ÷èñëà 2739 è 5300.
Ïðèìåð
Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.
Ó ïåðâîãî ÷èñëà 2 åäèíèöû ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà, ó âòîðîãî — 5 åäèíèö. Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî: 2739 < 5300.
36
Правообладатель Национальный институт образования
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïð
èìåð 2. Ñðàâíèòü ÷èñëà 2789 è 2769.
Ïðèìåð
аз
ов
ан
ия
Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.
Ïîñëåäîâàòåëüíî óáåæäàåìñÿ, ÷òî â ÷åòâåðòîì è â òðåòüåì ðàçðÿäàõ ñòîÿò îäèíàêîâûå öèôðû (ò. å. êîëè÷åñòâî òûñÿ÷ è êîëè÷åñòâî ñîòåí ó ýòèõ ÷èñåë îäèíàêîâîå). À âîò âî âòîðîì ðàçðÿäå ó ïåðâîãî ÷èñëà ñòîèò 8,
à ó âòîðîãî — 6 (ò. å. êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ ó ïåðâîãî
÷èñëà 8, à ó âòîðîãî — 6). Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî áîëüøå âòîðîãî: 2789 > 2769.
ст
и
ту
то
бр
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íóëü ìåíüøå ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
Íàïðèìåð, íóëü ìåíüøå ñåìè. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ
òàê: 0 < 7.
Âîïðîñû
на
ль
ны
й
ин
1. Êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå? áîëüøå?
2. ×òî çíà÷èò: ñðàâíèòü äâà ÷èñëà?
3. Ïðè ïîìîùè êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàåòñÿ ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë? Êàê íàçûâàþò òàêèå çàïèñè?
4. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàêîå ìåíüøå (áîëüøå),
åñëè ó íèõ êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ: à) ðàçíîå; á) îäèíàêîâîå?
На
ц
ио
Óïðàæíåíèÿ
1.
99
1.99
99.. ° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå
÷èñëà:
1) 312;
2) 9999;
3) 1;
4) 0.
1.
100
1.100
100..° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå
÷èñëà:
1) 99;
2) 10 000;
3) 3524;
4) 12 345.
Правообладатель Национальный институт образования
37
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
101
1.101
101.. ° Ïðî÷èòàéòå çàïèñè:
1) 1 < 8;
2) 30 > 2;
3) 92 < 100;
4) 378 > 360;
5) a > 18;
6) m < 20.
аз
ов
ан
ия
1.
102
1.102
102..° Èñïîëüçóÿ çíàê «>», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ ÷èñåë:
1) 257 910 è 259 710;
2) 1 300 531 è 130 531.
ту
то
бр
1.
103
1.103
103..° Èñïîëüçóÿ çíàê «<», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ ÷èñåë:
1) 78 290 132 è 7 830 132;
2) 4 893 910 è 4 903 810.
ль
ны
й
ин
ст
и
1.
104
1.104
104.. Ñðàâíèòå ÷èñëà, ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ çàïèøèòå
ñ ïîìîùüþ çíàêîâ «>» èëè «<»:
1) 809 è 908;
2) 5588 è 8555;
3) 475 869 è 475 870;
4) 1 111 431 è 11 111 431.
ио
на
1.
105
1.105
105.. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëüíîì ðÿäó ëåâåå:
1) 772 èëè 812;
2) 92 756 èëè 100 000;
3) 1000 èëè 1001;
4) 54 321 èëè 54 317?
На
ц
1.
106
1.106
106.. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïðàâåå:
1) 820 324 èëè 820 410;
2) 5 670 435 èëè 5 670 436;
3) 110 110 110 èëè 110 110 100;
4) 50 000 000 èëè 499 999 999?
1.
107
1.107
107.. Çàïèøèòå âñå ïÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) ìåíüøå 10 003;
2) áîëüøå 99 996.
38
Правообладатель Национальный институт образования
1.8. Ëó÷
1.
108
1.108
108.. Íàçîâèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå:
1) áîëüøå ÷èñëà 163 831 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0;
2) ìåíüøå ÷èñëà 79 000 321 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 5.
аз
ов
ан
ия
1.
109
1.109
109.. Çàïèøèòå:
1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå áîëüøå 93;
2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 è áîëüøå 90.
ст
и
ту
то
бр
1.
1.1110
10.. Ñðàâíèòå âåëè÷èíû è çàïèøèòå îòâåò ñ ïîìîùüþ
çíàêîâ «>», «<», «=»:
1) 978 ñì è 9 ì;
2) 4782 ì è 4 êì;
3) 27 920 êã è 28 ò;
4) 3 êã è 3400 ã;
5) 6 ÷ è 600 ìèí;
6) 370 ñ è 6 ìèí 30 ñ.
ль
ны
й
ин
1.
1.1111. * Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå (åñëè ýòî âîçìîæíî)
öèôðó òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå íåðàâåíñòâî:
1) 905 > 9☺4;
2) 908 > 9☺9;
3) ☺☺1 > 991;
4) 9☺☺ < ☺00;
5) ☺☺8 < 99☺;
6) 7☺2 < 796.
На
ц
ио
на
1.
1.1112
12..* Ñ ïîìîùüþ äåñÿòè åäèíèö è çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4;
5) 5;
6) 6;
7) 7;
8) 8;
9) 9;
10) 10;
11) 11;
12) 12.
1.8. Ëó÷
Òî÷êà Î, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé (ðèñ. 39), äåëèò åå
íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ ëó÷îì ñ
íà÷àëîì â òî÷êå Î. Ó ëó÷à íåò êîíöà.
Правообладатель Национальный институт образования
39
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
A
O
B
Ðèñ. 40
ия
Ðèñ. 39
то
бр
аз
ов
ан
Ëó÷, êàê è ïðÿìóþ, îáîçíà÷àþò äâóìÿ ïðîïèñíûìè
(áîëüøèìè) áóêâàìè. Íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòñÿ áóêâà,
îáîçíà÷àþùàÿ íà÷àëî ëó÷à, íà âòîðîå — áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ ëþáóþ òî÷êó íà ëó÷å. Íà ðèñóíêå 40 èçîáðàæåíû ëó÷è ÎÀ è ÎÂ. ×èòàþò: «ëó÷ ÎÀ», «ëó÷ λ.
Âîïðîñû
ин
ст
и
ту
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëó÷îì?
2. Ïðÿìûå ÀÂ è CD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå K (ðèñ. 41). Ïðè ýòîì îáðàçóþòñÿ ëó÷è. Íàçîâèòå ýòè ëó÷è.
Ñêîëüêî èõ?
ль
ны
й
Ðèñ. 41
Óïðàæíåíèÿ
ио
на
1.
1.1113
13.. ° Íàçîâèòå è çàïèøèòå ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà
ðèñóíêå 42:
На
ц
а)
O
б)
в) E
D
г)
Q
T
F
A
K
S
C
B
O
R
Ðèñ. 42
1.
1.1114
14.. Íàçîâèòå ëó÷è íà ïðÿìîé MN, âûõîäÿùèå èç
òî÷êè D (ðèñ. 43).
40
Правообладатель Национальный институт образования
ан
Ðèñ. 44
аз
ов
Ðèñ. 43
ия
1.8. Ëó÷
1.
1.1115
15.. Ñêîëüêî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå K èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 44?
то
бр
1.
1.1116
16..° Îòìåòüòå òî÷êó F. Ïðîâåäèòå òðè ëó÷à ñ íà÷àëîì â òî÷êå F. Îáîçíà÷üòå è çàïèøèòå èõ.
ль
ны
й
P
ин
ст
и
ту
1.
1.1117
17.. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè íà ðèñóíêå 45 ïðÿìàÿ AB è
ëó÷:
1) OM;
2) RL;
3) DP;
4) ST?
R
B
L
T
O
S
На
ц
ио
D
на
A
M
Ðèñ. 45
1.
1.1118
18.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ PS è îòìåòüòå íà íåé äâå
òî÷êè A è E. Íàçîâèòå âñå ëó÷è è îòðåçêè, êîòîðûå
îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.
1.
1.1119
19.. Èçîáðàçèòå ëó÷ KR è îòìåòüòå íà íåì òî÷êè L
è S. Çàïèøèòå ëó÷è, êîòîðûå îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.
Правообладатель Национальный институт образования
41
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
120
1.120
120.. Èçîáðàçèòå ïðÿìûå MK è NR òàê, ÷òîáû îíè
ïåðåñåêàëèñü â òî÷êå Å. Íàçîâèòå âñå ëó÷è, îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå.
аз
ов
ан
ия
1.
121
1.121
121.. Îòìåòüòå òî÷êó Ñ è ïðîâåäèòå ÷åðåç íåå:
1) 2 ïðÿìûå;
2) 3 ïðÿìûå;
3) 4 ïðÿìûå;
4) 5 ïðÿìûõ.
Îïðåäåëèòå ÷èñëî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå Ñ.
ту
то
бр
1.
122
1.122
122.. Íà÷åðòèòå ëó÷ PL. Ïðîâåäèòå ëó÷ PT òàê, ÷òîáû
ëó÷è PL è PT:
1) áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé;
2) íå áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé.
O
M
P
F
E
T
на
â)
D
ль
ны
й
à)
ин
ст
и
1.
123
1.123
123.. Ïðèíàäëåæàò ëè ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 46, îäíîé ïðÿìîé?
ã)
á)
E
K
K
T
F
B
C
T
Ðèñ. 46
На
ц
ио
1.
124
1.124
124.. Íà ðèñóíêå 47 èçîáðàæåíû òî÷êè A, B, C, D, K, T.
Íàçîâèòå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå, è òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå ëó÷ó: 1) ÎÌ; 2) ÌÎ.
T
A
B
M
O
K
C
Ðèñ. 47
42
Правообладатель Национальный институт образования
D
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷
1.
125
1.125
125.. Èçîáðàçèòå ëó÷ ÀÑ. Ïîñòðîéòå íà íåì îòðåçîê:
1) ÀÂ = 1 ñì;
3) AD = 1 äì;
2) ÀÌ = 5 ñì;
4) AP = 45 ìì.
аз
ов
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷
ан
ия
Ìîæíî ëè íà ëó÷å ÀÑ îòëîæèòü îòðåçîê äëèíîé 1 ì,
100 ì, 1 êì?
ту
то
бр
Èçîáðàçèì ëó÷ ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î. Çàäàäèì íà
íåì åäèíè÷íûé îòðåçîê OE (ðèñ. 48).
ст
и
Ðèñ. 48
ль
ны
й
ин
Ëó÷ ñ çàäàííûì íà íåì åäèíè÷íûì îòðåçêîì
íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì.
На
ц
ио
на
Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü åäèíè÷íûé
îòðåçîê îò íà÷àëà êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. Òåì ñàìûì
ìû îòìåòèì íà ëó÷å òî÷êè. Ïðîòèâ êàæäîé îòìå÷åííîé òî÷êè çàïèøåì ÷èñëî, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç îòëîæèëè åäèíè÷íûé îòðåçîê îò íà÷àëà ëó÷à
(ñì. ðèñ. 48).
Íà ðèñóíêå 48 ÷èñëî 7 èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé K íà
êîîðäèíàòíîì ëó÷å. ×èñëî 7 íàçûâàþò êîîðäèíàòîé
òî÷êè K è ïèøóò: K(7). Ãîâîðÿò òàêæå: «òî÷êà K
ñ êîîðäèíàòîé 7» èëè ïðîñòî: «òî÷êà 7».
Òî÷êà Î — íà÷àëî ëó÷à — èìååò êîîðäèíàòó 0 (íóëü).
Îáû÷íî êîîðäèíàòíûé ëó÷ ðàñïîëàãàþò ãîðèçîíòàëüíî ñëåâà íàïðàâî (ñì. ðèñ. 48). Òî÷êà Ñ(4) ñ ìåíüøåé êîîðäèíàòîé ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å
Правообладатель Национальный институт образования
43
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ëåâåå òî÷êè K(7). Ïðè ñðàâíåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
èñïîëüçóþò ïðàâèëî:
ия
èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ðàñïîëîæåíî ëåâåå.
ан
Âîïðîñû
то
бр
аз
ов
1. ×òî íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì?
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.
Óïðàæíåíèÿ
ин
ст
и
ту
1.
126
1.126
126.. ° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëàì 1, 2, 5, 7, 8, 10, åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàâåí:
1) 2 ìì;
2) 5 ìì;
3) 8 ìì;
4) 12 ìì.
ль
ны
й
1.
127
1.127
127..° Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 10 ìì, îòìåòüòå òî÷êè À(3), Â(5), Ñ(6), D(9).
Êàêèå èç ýòèõ òî÷åê ëåæàò íà îòðåçêå:
1) AD;
2) AC;
3) BD;
4) BC?
На
ц
ио
на
1.
128
1.128
128.. Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 1 ñì, îòìåòüòå òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ îò íà÷àëà
ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:
1) 4 ñì;
2) 3 ñì;
3) 7 ñì;
4) 6 ñì.
Îáîçíà÷üòå ýòè òî÷êè è çàïèøèòå èõ êîîðäèíàòû.
1.
129
1.129
129.. ° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì
îòðåçêîì, ðàâíûì ñòîðîíå îäíîé êëåòêè â òåòðàäè,
÷èñëà:
1) 0, 2, 4, 6, 12, 16, 20, 24;
2) 1, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19.
44
Правообладатель Национальный институт образования
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷
1.
130
1.130
130.. Êàêèì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò íà êîîðäèíàòíîì
ëó÷å òî÷êè A, B, C, D (ðèñ. 49)?
3)
4)
O
A
2
O
A
3
B
O
A
4
B
D
C
B
D
C
ан
B
ия
A
1
аз
ов
2)
O
D
C
D
C
Ðèñ. 49
то
бр
1)
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1.
131
1.131
131..° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè:
1) À(0), Â(4), Ì(8), Ð(12), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê
ðàâåí 2 êëåòêàì1);
2) G(1), Q(2), R(3), S(4), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê
ðàâåí 5 êëåòêàì.
ио
на
1.
132
1.132
132.. Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 5 ìì, îòìåòüòå òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ îò íà÷àëà ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:
1) 10 ìì;
2) 25 ìì;
3) 4 ñì;
4) 5 ñì.
Îáîçíà÷üòå ýòó òî÷êó è çàïèøèòå åå êîîðäèíàòû.
На
ц
1.
133
1.133
133.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.
Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ÷åòûðå êëåòêè, îáîçíà÷üòå òî÷êó À(2). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:
1) K(4);
2) D(3);
3) M(5);
4) L(8).
________
1)
Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îòðåçîê ðàâåí, íàïðèìåð, 2 êëåòêàì,
òî èìåþò â âèäó, ÷òî åãî äëèíà ðàâíà óäâîåííîé äëèíå
ñòîðîíû îäíîé êëåòêè â òåòðàäè.
Правообладатель Национальный институт образования
45
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
134
1.134
134.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.
Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ïÿòü êëåòîê, îáîçíà÷üòå òî÷êó N(10). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:
2) F(8);
3) E(20);
4) S(30).
ия
1) T(2);
M
K
N
10
100
M
2)
L
то
бр
1)
аз
ов
ан
1.135. Çàïèøèòå êîîðäèíàòû îòìå÷åííûõ òî÷åê, èñïîëüçóÿ ðèñóíîê 50, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ÷àñòü
êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.
N
K
6000
ту
1000
L
ст
и
Ðèñ. 50
ль
ны
й
ин
1.
136
1.136
136.. Âûáåðèòå åäèíè÷íûé îòðåçîê è îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êó:
1) F(16);
2) K(20);
3) Z(24);
4) V(40).
1.
137
1.137
137.. Êàêàÿ èç òî÷åê — À(12) èëè Â(19) — ðàñïîëîæåíà áëèæå ê òî÷êå Ñ(15)?
ио
на
1.
138
1.138
138.. Íàçîâèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(21) íà 6 åäèíèö.
На
ц
1.
139
1.139
139.. Íàçîâèòå êîîðäèíàòû êàêèõ-ëèáî òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(7) íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå.
1.
140
1.140
140.. Íà ðèñóíêå 51 èçîáðàæåíà ÷àñòü êîîðäèíàòíîãî
ëó÷à, íà êîòîðîì îòìå÷åíû êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê.
Óêàæèòå êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ îòìå÷åííûõ òî÷åê.
46
Правообладатель Национальный институт образования
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4)
A F
B
C
92
96
M
N
K
13
17
M
N
K
26
34
C
K
Ðèñ. 51
P
ия
32
ан
3)
B
аз
ов
2)
A
24
P
то
бр
1)
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1.
141
1.141
141.. Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òðè òî÷êè ñ
êîîðäèíàòàìè:
1) ìåíüøå 4;
2) áîëüøå 6;
3) áîëüøå 1 è ìåíüøå 7;
4) áîëüøå 0 è ìåíüøå 5.
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
На
ц
ио
на
Åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
äâóìÿ ãîðîäàìè îêàæåòñÿ, ÷òî îíî ðàâíî 392 êì, òî
ìû ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 400 êì. À åñëè
îêàæåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü ðàâíûì 303 êì,
òî ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 300 êì.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû çàìåíÿåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî
áëèæàéøèì ê íåìó «êðóãëûì» ÷èñëîì, ò. å. ÷èñëîì,
îêàí÷èâàþùèìñÿ íóëÿìè (îäíèì èëè íåñêîëüêèìè).
Òàêàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ îêðóãëåíèåì. À ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå îêðóãëåíèÿ, íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
Правообладатель Национальный институт образования
47
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îêðóãëÿþò äî äåñÿòêîâ, ñîòåí,
òûñÿ÷, äåñÿòêîâ òûñÿ÷ è ò. ä.
ия
Ïð
èìåð 1. Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî:
Ïðèìåð
à) 374;
á) 377;
â) 375.
372
371
374
373
376
378
то
бр
370
аз
ов
ан
Ðåøåíèå. à) ×òîáû îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 374,
íóæíî èç äâóõ ÷èñåë 370 è 380, ìåæäó êîòîðûìè îíî
ðàñïîëîæåíî (ðèñ. 52), âûáðàòü òî, êîòîðîå áëèæå
ê 374. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëî 370.
375
377
380
379
ту
Ðèñ. 52
ст
и
Ðåçóëüòàò îêðóãëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
ин
374 ≈ 370.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
×èòàåòñÿ: «òðèñòà ñåìüäåñÿò ÷åòûðå ïðèáëèæåííî ðàâíî òðåìñòàì ñåìèäåñÿòè».
Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 374 äî äåñÿòêîâ, ìû
çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì.
á) Àíàëîãè÷íî îêðóãëÿåòñÿ äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 377.
Îíî áëèæå ê 380, ÷åì ê 370, ïîýòîìó 377 ≈ 380.
Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 377 äî äåñÿòêîâ, ìû
çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì è óâåëè÷èëè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ íà åäèíèöó.
â) ×èñëî 375 ðàñïîëîæåíî íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ÷èñåë 370 è 380.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî îêðóãëÿåòñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó: 375 ≈ 380.
×òîáû îêðóãëèòü ÷èñëî äî îïðåäåëåííîãî
ðàçðÿäà, íóæíî:
1) âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíèòü íóëÿìè;
48
Правообладатель Национальный институт образования
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
2) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ íóëåì öèôðà 5,
6, 7, 8 èëè 9, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî óâåëè÷èòü
íà åäèíèöó ðàçðÿäà, äî êîòîðîãî îêðóãëÿåì;
3) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ öèôðà 0, 1, 2, 3
èëè 4, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî îñòàâèòü áåç
èçìåíåíèÿ.
то
бр
ту
Ðåøåíèå.
à) 183 398 ≈ 180 000;
á) 295 301 ≈ 300 000;
â) 4987 ≈ 0 äåñÿòêîâ òûñÿ÷.
аз
ов
Ïð
èìåð 2. Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ ÷èñëî:
Ïðèìåð
à) 183 398;
á) 295 301;
â) 4987.
ин
ст
и
Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàðèííûõ ìåð äëèíû: 1 âåðñòà ≈ 1 êì,
1 ñàæåíü ≈ 2 ì, 1 àðøèí ≈ 71 ñì, 1 âåðøîê ≈ 45 ìì, 1 ôóò ≈ 30 ñì,
1 äþéì ≈ 25 ìì.
ль
ны
й
Âîïðîñû
ио
на
1. ×òî çíà÷èò: îêðóãëèòü ÷èñëî äî äåñÿòêîâ? äî òûñÿ÷?
2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî ÷èñëà?
3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî îêðóãëåíèÿ ÷èñëà.
На
ц
Óïðàæíåíèÿ
1.
142
1.142
142.. Îïðåäåëèòå, êàêèå çíà÷åíèÿ òî÷íûå, à êàêèå —
ïðèáëèæåííûå:
1) â øêîëå ðàáîòàþò 124 ó÷èòåëÿ;
2) â øêîëüíîé áèáëèîòåêå áîëåå 25 000 êíèã;
3) ðàññòîÿíèå îò Ìèíñêà äî Ãîìåëÿ îêîëî 325 êì;
4) ïîåçä îò Ãîìåëÿ äî ñòàíöèè Çÿáðîâêà èäåò ïî÷òè 30 ìèí.
Правообладатель Национальный институт образования
49
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.
143
1.143
143.. ° Íàçîâèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ ìåæäó 23 è 32:
1) áëèæå ê 23;
2) áëèæå ê 32.
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.
144
1.144
144.. ° Íàïèøèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ:
1) ìåæäó 91 è 100 è áëèæå ê 91;
2) ìåæäó 158 è 198 è áëèæå ê 198;
3) ìåæäó 2467 è 2471 è áëèæå ê 2471;
4) ìåæäó 76 800 è 76 900 è áëèæå ê 76 800.
ин
ст
и
ту
1.
145
1.145
145.. Êàêîå èç ïðèáëèæåííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷åííîå
ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, âåðíîå:
1) 67 ≈ 60 èëè 67 ≈ 70;
2) 236 ≈ 240 èëè 236 ≈ 230;
3) 4904 ≈ 4910 èëè 4904 ≈ 4900;
4) 6875 ≈ 6870 èëè 6875 ≈ 6880?
Îêðóãëèòå ÷èñëî: à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí;
òûñÿ÷; ã) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷:
73 649;
2) 57 034;
1245;
4) 4678.
На
ц
ио
1.
147
1.147
147..
â) äî
1)
3)
на
ль
ны
й
1.
146
1.146
146.. ° Ïðî÷èòàéòå ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà è îïðåäåëèòå, äî êàêîãî ðàçðÿäà îêðóãëèëè ÷èñëî:
1) 973 ≈ 970;
2) 3182 ≈ 3000;
3) 4767 ≈ 4800;
4) 34 983 ≈ 35 000;
5) 57 442 ≈ 60 000;
6) 978 105 ≈ 1 000 000.
1.
148
1.148
148.. Îêðóãëèòå ÷èñëà:
1) 4 027 482, 352 996, 520 808 äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷;
2) 173 936, 37 078 520, 62 860 012 äî ñîòåí òûñÿ÷.
1.
149
1.149
149.. Ïîñëå îêðóãëåíèÿ ÷èñëà 1 275 409 Ëåíà ïîëó÷èëà ÷èñëî 1 300 000, Øóðà — 1 275 000, à ó Êîëè
50
Правообладатель Национальный институт образования
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 1 275 410. Îïðåäåëèòå, äî êàêèõ
ðàçðÿäîâ êàæäûé èç íèõ âûïîëíÿë îêðóãëåíèå.
аз
ов
ан
ия
1.
150
1.150
150.. 1) Þëÿ çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî äåñÿòêîâ, ïîëó÷èëà 60. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü
Þëÿ?
2) Ëåíà çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî ñîòåí,
çàïèñàëà 300. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü Ëåíà?
то
бр
1.
151
1.151
151.. Íàçîâèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî è íàèìåíüøåå ÷èñëî, ïðè îêðóãëåíèè êîòîðûõ äî òûñÿ÷ ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî 798 000.
ст
и
ту
1.
152
1.152
152..  ðóññêî-íåìåöêîì ñëîâàðå ñîäåðæèòñÿ 9752 ñëîâà. Óêàæèòå ïðèìåðíîå êîëè÷åñòâî ñëîâ, îêðóãëèâ
äàííîå ÷èñëî äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷.
ль
ны
й
ин
1.
153
1.153
153.. Çàïèøèòå ðÿä ÷èñåë, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíî îêðóãëÿòü ÷èñëî 39 602 649 äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ è ò. ä.
ио
на
1.
154
1.154
154.. Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, èñïîëüçóÿ îêðóãëåíèå:
1) 9 090 909, 9 090 910, 9 090 900, ... ;
2) 6 794 238, 6 794 240, 6 794 200, ... .
На
ц
1.
155
1.155
155.. Îïðåäåëèòå, ìåæäó êàêèìè ÷èñëàìè íàòóðàëüíîãî ðÿäà íàõîäÿòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè
äî òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû:
1) 1000;
2) 57 000;
3) 10 000;
4) 90 000.
1.
156
1.156
156.. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ÷èñåë, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû
îäíîìó è òîìó æå íàòóðàëüíîìó ÷èñëó.
Правообладатель Национальный институт образования
51
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
то
бр
аз
ов
1.
159
1.159
159.. Îêðóãëèòå äî äåöèìåòðîâ:
1) 4 äì 3 ñì;
2) 768 ìì;
3) 29 ñì;
4) 549 ñì.
ан
1.
158
1.158
158.. Îêðóãëèòå äî öåíòíåðîâ:
1) 3 ö 56 êã;
2) 9 ö 90 êã;
3) 781 êã;
4) 909 êã.
ия
1.
157
1.157
157.. Îêðóãëèòå äî êèëîãðàììîâ:
1) 8 êã 360 ã;
2) 29 êã 500 ã;
3) 1 êã 980 ã;
4) 44 830 ã.
ин
ст
и
ту
1.
160
1.160
160..* Íàéäèòå íàèìåíüøåå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ñóììà öèôð áîëüøå, ÷åì:
1) ó ëþáîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå èñêîìîãî;
2) ó ëþáîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå
èñêîìîãî.
ль
ны
й
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
на
1.
161
1.161
161.. Âû÷èñëèòå:
1) 86 + 2473;
3) 123 + 73 563;
На
ц
ио
1.
162
1.162
162.. Âû÷èñëèòå:
1) 3248 − 359;
3) 4802 − 995;
2) 66 + 5634;
4) 947 + 48 432.
2) 6056 − 132;
4) 2093 − 535.
1.
163
1.163
163.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 5086 . 40;
2) 3110 . 80;
3) 180 414 : 9;
4) 226 804 : 4.
1.
164
1.164
164.. Âûïîëíèòå äåéñòâèå:
1) 702 . 69;
2) 537 . 201;
3) 3952 : 38;
4) 28 334 : 457.
52
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
1.
166
1.166
166.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
ту
то
бр
êì 320 ì + 1 êì 906 ì;
ì 4 äì − 2 ì 48 ñì;
ì 25 ñì + 9 äì 15 ìì;
äì 62 ìì + 3 ì 48 ñì.
ст
и
1) 5
2) 6
3) 1
4) 8
аз
ов
ан
ия
1.
165
1.165
165.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 320 − (56 . 2 + 120 : 6);
2) 320 − 56 . 2 + 120 : 6;
3) 738 : 6 − 861 : 7;
4) 1872 : 8 − 29 . 8;
5) (225 − 875 : 5) : 25;
6) 7992 : (207 − 135) : 3.
1.
167
1.167
167.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
ин
÷ 28 ìèí + 3 ÷ 43 ìèí;
ìèí 42 ñ − 6 ìèí 53 ñ;
÷ 3 ìèí 27 ñ + 2 ÷ 48 ìèí 38 ñ;
÷ 57 ìèí 41 ñ + 34 ìèí 29 ñ.
ль
ны
й
1) 1
2) 8
3) 1
4) 3
На
ц
ио
на
1.
168
1.168
168.. Ó Ëèçû 8 êîìïàêò-äèñêîâ ñ ìóçûêàëüíûìè çàïèñÿìè. À ó Îëè íà 3 äèñêà áîëüøå. Ó Íàñòè ñòîëüêî æå
êîìïàêò-äèñêîâ, ñêîëüêî ó Îëè. Íà äåíü ðîæäåíèÿ
Íàñòå ïîäàðèëè åùå 2 äèñêà. Ñêîëüêî âñåãî äèñêîâ
ó äåâî÷åê?
1.
169
1.169
169.. Íà òðåõ àâòîáóñàõ âåçóò äåòåé íà ýêñêóðñèþ â
Áðåñòñêóþ êðåïîñòü.  ïåðâîì àâòîáóñå åõàëî 40 äåòåé, âî âòîðîì — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì,
à â òðåòüåì — íà 10 äåòåé ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì
è âòîðîì àâòîáóñàõ âìåñòå. Ñêîëüêî äåòåé åõàëî â
òðåòüåì àâòîáóñå?
Правообладатель Национальный институт образования
53
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ия
1.
170
1.170
170.. Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ óêðàøåíèÿ èç áèñåðà Ãàëèíà
ïîäãîòîâèëà 250 øòóê çåëåíîãî áèñåðà, æåëòîãî —
íà 70 øòóê áîëüøå, ÷åì çåëåíîãî, à îðàíæåâîãî —
íà 150 øòóê ìåíüøå, ÷åì çåëåíîãî è æåëòîãî âìåñòå.
Ñêîëüêî âñåãî áèñåðà ïîäãîòîâèëà Ãàëèíà?
то
бр
аз
ов
ан
1.
171
1.171
171.. Âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî ïîåçäà èç Ìèíñêà â Ïîëîöê ïî ðàñïèñàíèþ — 23 ÷ 27 ìèí. Îäíàêî
èç-çà ðåìîíòíûõ ðàáîò ïóòåé ïîåçä áûë çàäåðæàí íà
1 ÷ 24 ìèí. Çàòåì îòñòàâàíèå áûëî ñîêðàùåíî íà
40 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî
ïîåçäà.
ин
ст
и
ту
1.172. Íà÷àëî ïåðâîãî ñåàíñà â êèíîòåàòðå «Ìèð» —
10 ÷ 30 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ íà÷àëà ñëåäóþùèõ äâóõ
êèíîñåàíñîâ, åñëè äëèòåëüíîñòü ñåàíñà 2 ÷ 15 ìèí,
à ïåðåðûâ ìåæäó ñåàíñàìè ñîñòàâëÿåò 20 ìèí.
ль
ны
й
1.
173
1.173
173.. Â îäèí ðÿä àëëåè ñ ïðîìåæóòêîì 4 ì áûëè
ïîñàæåíû 15 äåðåâüåâ. Êàêîâà äëèíà ðÿäà àëëåè?
1.
174
1.174
174.. Âî ñêîëüêî ðàç ïîäúåì ñ ïåðâîãî ýòàæà íà âòîðîé êîðî÷å ïîäúåìà ñ ïåðâîãî ýòàæà íà äåñÿòûé?
На
ц
ио
на
1.
175
1.175
175.. * Ó äâóõ ìàëü÷èêîâ èìååòñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî êîíôåò. Íà ñêîëüêî êîíôåò ó îäíîãî èç íèõ
ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ó äðóãîãî, åñëè îí îòäàñò åìó òðè
êîíôåòû?
1.
176
1.176
176.. * Íàéäèòå ÷èñëî, ðàâíîå óäâîåííîé ñóììå åãî
öèôð.
1.
177
1.177
177.. * Ïîñìîòðåâ â êàëåíäàðü, Ôåäÿ ñêàçàë, ÷òî ñ íà÷àëà ìåñÿöà ïðîøëî 16 äíåé, à äî êîíöà ìåñÿöà îñòàëîñü îòîðâàòü â êàëåíäàðå 13 ëèñòêîâ. Íàçîâèòå äåíü
è ìåñÿö, êîãäà Ôåäÿ ïðîâåë íàáëþäåíèå.
54
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
1.
178
1.178
178.. * Íàéäèòå òàêîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, âû÷åðêèâàÿ
èç êîòîðîãî îäíó öèôðó, ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëî 73.
Íàéäèòå âñå òàêèå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ñêîëüêî èõ?
аз
ов
ан
ия
1.
179
1.179
179.. * 1) Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ öèôð, ÷òîáû çàïèñàòü
âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 5 äî 35?
2) Íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñàíû ïîäðÿä, íà÷èíàÿ
ñ 5 è çàêàí÷èâàÿ 35. Êàêàÿ öèôðà â ïîëó÷èâøåìñÿ
÷èñëå ñòîèò íà 17 ìåñòå? íà 35 ìåñòå?
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
1.
180
1.180
180.. * Èñïîëüçóÿ öèôðû 6 è 9, ñêîëüêî ìîæíî çàïèñàòü:
1) äâóçíà÷íûõ ÷èñåë;
2) òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë?
Правообладатель Национальный институт образования
2
ия
ГЛАВА
аз
ов
ан
ÑËÎÆÅÍÈÅ È ÂÛ×ÈÒÀÍÈÅ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
то
бр
2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ин
ст
и
ту
Êàê ñëîæèòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, íàïðèìåð, 7 è 4?
Âîçüìåì â íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 (ðèñ. 53). Îòñ÷èòàåì ñëåäóþùèå çà íèì ÷åòûðå ÷èñëà: 8, 9, 10, 11.
Ðèñ. 53
ль
ны
й
Ïîñëåäíåå ïîëó÷åííîå ïðè ñ÷åòå ÷èñëî 11 íàçûâàåòñÿ ñóììîé ÷èñåë 7 è 4:
11 = 7 + 4.
На
ц
ио
на
Ñóììîé ÷èñåë 7 è 4 íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 7 + 4,
à ñàìè ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñëàãàåìûìè.
Êîãäà ê ÷èñëó 7 ïðèáàâëÿþò ÷èñëî 4, ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ÷èñëî 7 óâåëè÷èâàþò íà 4.
Åñëè îäíî èç ñëàãàåìûõ ðàâíî íóëþ, òî ñóììà ðàâíà äðóãîìó ñëàãàåìîìó,
ò. å. ïðè ëþáîì ÷èñëå à
à+0=0+à=à
Íàïðèìåð, 17 + 0 = 0 + 17 = 17; 0 + 0 = 0.
56
Правообладатель Национальный институт образования
2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ñëåäóþùèõ äâóõ
ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà ñòîëáèêîì.
á)
аз
ов
ан
ия
à)
Âîïðîñû
ин
Óïðàæíåíèÿ
ст
и
ту
то
бр
1. Êàê íàçûâàþò ÷èñëà 19 è 23 â ðàâåíñòâå 19 + 23 = 42?
À ÷èñëî 42?
2. Êàê íàçûâàåòñÿ çàïèñü 19 + 23?
3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ñêëàäûâàþò ÷èñëî ñ íóëåì?
ль
ны
й
2.1 .° Ïðî÷èòàéòå çàïèñü:
1) 307 + 672;
3) 480 001 + 7003;
2) 3009 + 601;
4) 0 + 0.
ио
на
2.2 .° Çàïèøèòå ñóììó ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå:
1) 0 è 689;
2) 2525 è 0;
3) 4601 è 2;
4) 7 è 77 777.
На
ц
2.3 .° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 48 + 521;
2) 196 + 83;
3) 521 + 480;
4) 160 + 740.
2.4 .° Âû÷èñëèòå:
1) 679 234 + 48 976;
2) 57 080 + 742 931;
3) 7 068 946 + 485 068;
4) 789 456 + 2 213 579.
Правообладатель Национальный институт образования
57
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
аз
ов
2. 6. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå:
1) 711 íà 389;
2) 920 íà 180;
3) ñóììû ÷èñåë 32 è 78 íà 120;
4) ñóììû ÷èñåë 26 è 91 íà 158.
ия
2. 5. ° Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë:
1) 999 è 1;
2) 1 è 9999;
3) 99 999 è 1;
4) 1 è 99 999.
ст
и
ту
то
бр
2. 7. ×åìó ðàâíà ñóììà íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà è:
1) íàèìåíüøåãî îäíîçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà;
3) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà?
ль
ны
й
ин
2. 8. Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
è íàèáîëüøåãî:
1) øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà.
на
2. 9. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 20,
òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 31 áîëüøå ïðåäûäóùåãî.
На
ц
ио
2. 10
10.. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 125
òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 125 áîëüøå ïðåäûäóùåãî.
2.1
1. Ñóììà äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèô2.11.
ðîé 9. Êàêèìè öèôðàìè ìîãóò îêàí÷èâàòüñÿ ñëàãàåìûå?
2. 12
12.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 24 â âèäå ñóììû:
1) ÷åòûðåõ ðàâíûõ ñëàãàåìûõ;
2) òðåõ íåðàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
58
Правообладатель Национальный институт образования
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
ия
2.13
13.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 4 êì 540 ì + 790 ì;
2) 8 ì 70 ñì + 13 ì 9 ñì;
3) 42 ì 76 ñì + 1 ì 54 ñì;
4) 12 êì 39 ì + 9 êì 24 ì.
аз
ов
ан
2.14
14.. Ìàøà íà÷àëà ãîòîâèòü óðîêè â 16 ÷ 40 ìèí è
çàòðàòèëà íà ïîäãîòîâêó 50 ìèí.  êîòîðîì ÷àñó
Ìàøà çàêîí÷èëà äåëàòü óðîêè?
то
бр
2.15
15.. Ýêñïåäèöèÿ âûåõàëà 14 ìàÿ è âîçâðàòèëàñü ÷åðåç 4 ìåñÿöà 21 äåíü. Êîãäà ýêñïåäèöèÿ âîçâðàòèëàñü
îáðàòíî?
ин
ст
и
ту
2.16
16.. Îò ðóëîíà òêàíè îòðåçàëè 10 ì 75 ñì, ïîñëå
÷åãî îñòàëîñü åùå 8 ì 15 ñì. Ñêîëüêî òêàíè áûëî â
ðóëîíå?
ль
ны
й
2.17
17..* Âàíÿ ïðîïëûâàåò äèñòàíöèþ çà 2 ìèí. Çà âòîðóþ ìèíóòó îí ïðîïëûë 56 ì, ÷òî íà 8 ì ìåíüøå,
÷åì çà ïåðâóþ ìèíóòó. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîïëûë
Âàíÿ?
На
ц
ио
на
2.18
18.. * Èç 10 ëèñòèêîâ áóìàãè íåêîòîðûå ðàçðåçàëè íà
4 ÷àñòè. Ïîëó÷èëñÿ âñåãî 31 ëèñòèê. Ñêîëüêî ëèñòèêîâ áóìàãè ðàçðåçàëè?
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
Ïðèìåð. Â ñïîðòèâíóþ øêîëó ïðèâåçëè 18 ôóòáîëüíûõ
è 23 âîëåéáîëüíûõ ìÿ÷à. Ñêîëüêî âñåãî ìÿ÷åé ïðèâåçëè â øêîëó?
Ðåøåíèå. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèáàâèâ ê ÷èñëó ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé ÷èñëî âîëåéáîëüíûõ
Правообладатель Национальный институт образования
59
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
ìÿ÷åé: 18 + 23 = 41. À ìîæíî ê ÷èñëó âîëåéáîëüíûõ
ìÿ÷åé ïðèáàâèòü ÷èñëî ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé: 23 + 18 =
= 41. Ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà ÷èñëà ìÿ÷åé ðåçóëüòàò áóäåò îäíèì è òåì æå, ò. å. 18 + 23 = 23 + 18.
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 18 è 23 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà a è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
аз
ов
a+b=b+a
то
бр
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
ст
и
ту
îò ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ ñóììà íå ìåíÿåòñÿ.
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
на
Óêàæèòå ðàâíûå ñóììû:
154 + 318;
2) 19 + 555;
5807 + 2090;
4) 555 + 19;
2090 + 5807;
6) 318 + 154.
На
ц
ио
2. 19
19.. °
1)
3)
5)
2. 20
20.. ° Óêàæèòå, çíà÷åíèå êàêîé ñóììû áîëüøå:
1) 39 999 + 218 888 èëè 218 888 + 38 999;
2) 284 367 + 358 347 èëè 353 874 + 284 367.
2. 21
21.. Âåðíî ëè, ÷òî:
1) 60 000 + 400 + 3 < 3 + 90 + 400 + 60 000;
2) 1 + 40 + 700 + 8000 > 8000 + 600 + 40 + 1?
60
Правообладатель Национальный институт образования
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
Çèìà
Ëåòî
54 êì
то
бр
Ðèñ. 54
аз
ов
ан
43 êì
ия
2.22
22..° Íà äîðîæíîì óêàçàòåëå (ðèñ. 54) óêàçàíû ðàññòîÿíèÿ äî íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ëåòî è Çèìà. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó íàñåëåííûìè ïóíêòàìè.
Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ст
и
ту
2.23
23..° Äëÿ îêëåéêè ñòåí êîìíàòû êóïèëè îáîè äâóõ
âèäîâ: îäíîòîííûå è ñ ðèñóíêîì. Îäíîòîííûõ êóïèëè
20 ì, ñ ðèñóíêîì — 75 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ îáîåâ áûëî êóïëåíî? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ль
ны
й
ин
2.24
24..° Âàäèì ðàññòàâèë ñâîè êíèãè íà äâóõ ïîëêàõ.
Íà íèæíþþ — ó÷åáíèêè è ñïðàâî÷íóþ ëèòåðàòóðó,
âñåãî 24 êíèãè. Íà âåðõíþþ — õóäîæåñòâåííóþ ëèòåðàòóðó, âñåãî 38 êíèã. Ñêîëüêî êíèã ðàçìåñòèë Âàäèì íà äâóõ ïîëêàõ? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
На
ц
ио
на
2.25
25.. Ñàøà è Âèòÿ èäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîм
м
ðîñòÿìè 80
è 60
ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 55).
мин
мин
Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîéäóò ìàëü÷èêè çà 1 ìèí? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
80
м
мин
60
Ñàøà
м
мин
Âèòÿ
Ðèñ. 55
Правообладатель Национальный институт образования
61
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
м
мин
120
то
бр
Ðèñ. 56
м
мин
аз
ов
130
ан
Âèêà
Êàòÿ
ия
2. 26
26.. Êàòÿ è Âèêà ïîáåæàëè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîм
м
ðîíû ñî ñêîðîñòÿìè 130
è 120
(ðèñ. 56).
мин
мин
Êàêîå ðàññòîÿíèå áóäåò ìåæäó äåâî÷êàìè ÷åðåç 1 ìèí?
Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ст
и
ту
2. 27
27.. Ïëîùàäü Áåðåçèíñêîãî çàïîâåäíèêà 76 200 êì2.
Íàéäèòå ïëîùàäü çàïîâåäíèêà «Áåëîâåæñêàÿ ïóùà»,
åñëè îíà íà 11 300 êì2 áîëüøå.
ль
ны
й
ин
2. 28
28.. Ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü íà ñòàíöèþ â 22 ÷ 38 ìèí. Íàçîâèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ, åñëè
ïîåçä îïîçäàë íà:
1) 20 ìèí;
2) 40 ìèí;
3) 1 ÷ 30 ìèí.
На
ц
ио
на
2. 29
29.. * Îïðåäåëèòå öèôðû íà ÷åòûðåõçíà÷íîì íîìåðå
àâòîìîáèëÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâàÿ è ÷åòâåðòàÿ
öèôðû îäèíàêîâûå, âòîðàÿ è òðåòüÿ öèôðû òàêæå
îäèíàêîâûå, íî ÷åòâåðòàÿ öèôðà â 2 ðàçà ìåíüøå
òðåòüåé, à ñóììà ïåðâîé è âòîðîé öèôð ðàâíà 12.
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
Ïðèìåð. Ñàøå è Äèìå â ñóááîòó è âîñêðåñåíüå íàäî
ïðî÷èòàòü òðè ðàññêàçà.  ïåðâîì ðàññêàçå 14 ñòðàíèö, âî âòîðîì — 21 ñòðàíèöà, â òðåòüåì — 11 ñòðàíèö. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó ïåðâûé è âòîðîé ðàññêàçû, à â âîñêðåñåíüå — òðåòèé. Äèìà ïðî÷èòàë â
62
Правообладатель Национальный институт образования
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
ñóááîòó ïåðâûé ðàññêàç, à â âîñêðåñåíüå — âòîðîé
è òðåòèé. Ñêîëüêî âñåãî ñòðàíèö ïðî÷èòàë êàæäûé
èç ìàëü÷èêîâ?
ан
(14 + 21) + 11 = 35 + 11 = 46 (ñòðàíèö).
ия
Ðåøåíèå. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó (14 + 21) ñòðàíèö,
à â âîñêðåñåíüå — 11 ñòðàíèö. Âñåãî Ñàøà ïðî÷èòàë
аз
ов
Äèìà ïðî÷èòàë â ñóááîòó 14 ñòðàíèö, à â âîñêðåñåíüå — (21 + 11) ñòðàíèö. Âñåãî Äèìà ïðî÷èòàë
то
бр
14 + (21 + 11) = 14 + 32 = 46 (ñòðàíèö).
ст
и
ту
Ñàøà è Äèìà ïðî÷èòàëè îäíè è òå æå ðàññêàçû,
ïîýòîìó íå óäèâèòåëüíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ñëîæåíèÿ
îäèíàêîâûå:
(14 + 21) + 11 = 14 + (21 + 11).
ль
ны
й
ин
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 14, 21 è 11 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà a, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(à + b) + ñ = à + (b + ñ)
ио
на
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ. Åãî
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
На
ц
÷òîáû ê ñóììå äâóõ ÷èñåë ïðèáàâèòü òðåòüå
÷èñëî, ìîæíî ê ïåðâîìó ÷èñëó ïðèáàâèòü
ñóììó âòîðîãî è òðåòüåãî.
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è ïî-äðóãîìó:
îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ñóììà íå
ìåíÿåòñÿ.
Правообладатель Национальный институт образования
63
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïîñêîëüêó ñóììà íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê, òî ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:
(à + b) + ñ = à + (b + ñ) = à + b + ñ
ан
ия
Èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ
ñëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
аз
ов
ñëàãàåìûå â ñóììå ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè
è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.
то
бр
Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ïåðåìåñòèòåëüíîãî è
ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü
âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó:
ту
43 + 236 + 64 + 47 = (43 + 47) + (236 + 64) = 90 + 300 = 390.
ст
и
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?
(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
ñëîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
ио
на
2. 30
30.. ° Íàéäèòå ñóììó íàèáîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì:
1) 26 + 19 + 34 + 51;
2) 32 + 29 + 28 + 41;
3) 630 + 40 + 160 + 70;
4) 350 + 130 + 250 + 270.
2. 31
31.. ° Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ, ïðèìåíÿÿ ñî÷åòàòåëüíûé
çàêîí ñëîæåíèÿ:
1) (637 + 1004) + 996;
2) 729 + (47 + 271);
3) 398 989 + (201 011 + 6482);
4) 15 824 + (37 301 + 24 176).
64
Правообладатель Национальный институт образования
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
ия
2.32
32.. Âû÷èñëèòå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæåíèÿ:
1) 5807 + 2090 + 1103;
2) 154 + 318 + 46 + 182;
3) 29 + 97 + 31 + 43;
4) 145 + 981 + 19 + 555.
то
бр
аз
ов
ан
2.33
33..° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 6 + 32 + 27 + 4 + 28 + 13;
2) 81 + 143 + 455 + 1000 + 67 + 19 + 345;
3) 182 + 4593 + 29 561 + 5407 + 818 + 70 439;
4) 6001 + 472 + 80 109 + 999 + 528 + 1891.
ст
и
ту
2.34
34.. Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà,
íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
ль
ны
й
ин
2.35
35.. Ó÷åíèêè òðåõ ïÿòûõ êëàññîâ ñàæàëè äåðåâüÿ íà
óëèöàõ ïîñåëêà. Ó÷åíèêè 5 «À» êëàññà ïîñàäèëè 14 äåðåâüåâ, ó÷åíèêè 5 «Á» ïîñàäèëè íà 5 äåðåâüåâ áîëüøå,
à ó÷åíèêè 5 «Â» — íà 2 äåðåâà áîëüøå, ÷åì ó÷åíèêè
5 «À». Ñêîëüêî äåðåâüåâ ïîñàäèëè ïÿòèêëàññíèêè?
На
ц
ио
на
2.36
36.. Äÿäÿ Ôåäîð, Øàðèê è êîò Ìàòðîñêèí îòïðàâèëèñü èç Ïðîñòîêâàøèíî â Ñìåòàíèíî ÷åðåç Êåôèðîâî
è Òâîðîæüå (ðèñ. 57). Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî êèëîìåòðîâ ïðåäñòîèò ïðîéòè äÿäå Ôåäîðó, Øàðèêó è êîòó
Ìàòðîñêèíó.
Ïðîñòîêâàøèíî
Òâîðîæüå
Ñìåòàíèíî
Êåôèðîâî
Ðèñ. 57
Правообладатель Национальный институт образования
65
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2. 37
37.. Â ïåðâûé äåíü òóðèñòû ïðîøëè 23 êì, ÷òî íà
6 êì ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.  òðåòèé äåíü
îíè ïðîøëè íà 4 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.
Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîøëè òóðèñòû çà òðè äíÿ?
аз
ов
ан
ия
2.38
38.. Ìàññà îäíîãî ÿáëîêà 175 ã, è îíà íà 35 ã ìåíüøå
ìàññû ãðóøè. À ìàññà îäíîãî àïåëüñèíà íà 40 ã áîëüøå ìàññû ãðóøè. Êàêîâà ìàññà òðåõ ôðóêòîâ?
то
бр
2. 39
39.. Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà, åñëè îäíî ñëàãàåìîå:
1) óâåëè÷èòü íà 15, à âòîðîå óìåíüøèòü íà 15;
2) óìåíüøèòü íà 8, à âòîðîå óâåëè÷èòü íà 9?
ин
ст
и
ту
2. 40
40.. * Èç òðåõ ñòàðûõ îëîâÿííûõ ëîæåê è íîæà ïîëó÷èòñÿ 10 îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ; èç ëîæêè, äâóõ
âèëîê è äâóõ íîæåé — 9; èç äâóõ âèëîê è íîæà —
5 ñîëäàòèêîâ. Ñêîëüêî îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ ïîëó÷èòñÿ èç äâóõ ëîæåê, äâóõ âèëîê è äâóõ íîæåé?
2.4. Óãîë
на
ль
ны
й
2. 41
41.. * Èìååòñÿ 11 ÿáëîê. Ñ ïîìîùüþ âåñîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ìàññó ëþáûõ äâóõ ÿáëîê. Êàê ñ ïîìîùüþ ñåìè
âçâåøèâàíèé îïðåäåëèòü îáùóþ ìàññó âñåõ ÿáëîê?
На
ц
ио
Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì äâà
ëó÷à À è AC ñ îáùèì íà÷àëîì â òî÷êå À (ðèñ. 58).
Îíè äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ
÷àñòåé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óãëîì. Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, à ëó÷è À è ÀÑ — ñòîðîB
A
C
Ðèñ. 58
66
Ðèñ. 59
Правообладатель Национальный институт образования
2.4. Óãîë
то
бр
аз
ов
ан
ия
íàìè óãëà. Ëþáîé èç óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 58, ìîæíî îáîçíà÷èòü ∠ BAC èëè ∠ CAB. Åñòü è
áîëåå êîðîòêàÿ çàïèñü: ∠ A. Çíàê «∠ » çàìåíÿåò ñëîâî
«óãîë». Çàìåòèì, ÷òî åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ òðåìÿ
áóêâàìè, òî áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ âåðøèíó, ïèøåòñÿ
ïîñåðåäèíå. À åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ îäíîé áóêâîé,
òî òîé, êîòîðîé îáîçíà÷åíà âåðøèíà.
Íà ðèñóíêå 59 óãîë KLM îòìå÷åí äóãîé. Òî÷êà P
ëåæèò âíóòðè ýòîãî óãëà, à òî÷êà Q — âíå åãî. Òî÷êà R ëåæèò íà ñòîðîíå óãëà.
Óãëû ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ.
ту
Äâà óãëà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäèí
èç íèõ ìîæíî íàëîæèòü íà äðóãîé òàê, ÷òî
îíè ñîâìåñòÿòñÿ.
ин
ст
и
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 60 ∠ BAC = ∠ PQR. Ãîâîðÿò:
«óãîë ÂÀÑ ðàâåí óãëó PQR». Ðàâíûå óãëû ÷àñòî îòìå÷àþò îäèíàêîâûì ÷èñëîì äóã.
ль
ны
й
Q
B
B
А
А
(Q)
P
R
R
C
Ðèñ. 60
ио
на
C
P
На
ц
Íà ðèñóíêå 61 èçîáðàæåíû ðàâíûå óãëû ABD è
DBC, à óãîë ÀÂÑ áîëüøå óãëà DBC.
A
D
C
B
Ðèñ. 61
Правообладатель Национальный институт образования
67
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîïðîñû
ия
Êàê èçîáðàçèòü óãîë íà ïëîñêîñòè?
Êàê ìîæíî îòìå÷àòü è îáîçíà÷àòü óãîë?
Êàê ìîæíî ñðàâíèâàòü óãëû?
Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè?
ан
1.
2.
3.
4.
аз
ов
Óïðàæíåíèÿ
б) N
C
M
г)
Q
K
F
ин
B
в) E
ст
и
P
ту
а) А
то
бр
2. 42
42.. Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå óãëû, èçîáðàæåííûå íà
ðèñóíêå 62. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû êàæäîãî
óãëà.
D
T
ль
ны
й
Ðèñ. 62
на
2. 43
43.. Èçîáðàçèòå òðè ëó÷à ÀK, AB, AE.
1) Çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
2) Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü òðè ëó÷à ñ
îáùåé âåðøèíîé?
На
ц
ио
2. 44
44.. ° Èçîáðàçèòå äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå AB è
MN. Îáîçíà÷üòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóêâîé Î.
Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
2. 45
45.. ×åðåç âåðøèíó K óãëà AKB ïðîâåäèòå ïðÿìóþ SP
è çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
2. 46
46.. Íà ïðÿìîé DE îòìåòüòå òî÷êó S è òî÷êó F íå
íà ýòîé ïðÿìîé. Èçîáðàçèòå ëó÷ SF. Çàïèøèòå âñå
îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
68
Правообладатель Национальный институт образования
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû
2.47
47..° Íà ðèñóíêå 63 èçîáðàæåíû òðè ïàðû ðàâíûõ
óãëîâ. Çàïèøèòå ðàâíûå óãëû.
D
Q
E
K
N
L
X
ия
B
M
A
C
S
O F
H
аз
ов
Y
ан
T
P
Ðèñ. 63
то
бр
2. 48
48.. Âûðåæüòå èç ëèñòà áóìàãè òðè ðàçíûõ óãëà.
Ïîñòðîéòå â òåòðàäè óãëû, ðàâíûå âûðåçàííûì.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
2.49
49.. Èçîáðàçèòå óãîë MBE è ïðÿìóþ AC, ïåðåñåêàþùóþ ñòîðîíû óãëà MBE. Îòìåòüòå íà ïðÿìîé AC
òî÷êó:
1) D òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíóòðè óãëà MBE;
2) P òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíå óãëà MBE;
3) F òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BM óãëà MBE;
4) K òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BE óãëà MBE.
на
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû.
Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû
На
ц
ио
Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì ÷åðåç
íåå ïðÿìóþ ÂÑ (ðèñ. 64). Ëó÷è À è ÀÑ äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé ïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ óãëîì. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì.
Ïåðåãíåì ëèñò áóìàãè òàê, ÷òîáû ëó÷è À è ÀÑ
ñîâïàëè, à çàòåì ðàñïðàâèì åãî. Ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ
ëèíèÿ ñãèáà KL (ðèñ. 65). Óãëû BAK è CAK ñîâìåùà-
B
A
C
Ðèñ. 64
Правообладатель Национальный институт образования
69
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
þòñÿ ïðè íàëîæåíèè, çíà÷èò, îíè ðàâíû. Êàæäûé èç
ýòèõ ðàâíûõ óãëîâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì óãëîì.
Ðèñ. 65
то
бр
Ïðÿìîé óãîë ÷àñòî îòìå÷àþò ñïåöèàëüíûì çíà÷êîì (ðèñ. 66).
Ìû âèäèì, ÷òî
ту
Ðèñ. 66
ин
ст
и
ïðÿìîé óãîë — ýòî ïîëîâèíà ðàçâåðíóòîãî
óãëà.
ио
на
ль
ны
й
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîãî óãëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü
÷åðòåæíûé òðåóãîëüíèê — óãîëüíèê (ðèñ. 67).
На
ц
Ðèñ. 67
Ñ ïîìîùüþ óãîëüíèêà ìîæíî ñðàâíèòü èçîáðàæåííûé óãîë ñ ïðÿìûì. Íà ðèñóíêå 68 ïîêàçàíî, êàê ñ
B
K
N
C
A
M
Ðèñ. 68
70
Правообладатель Национальный институт образования
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû
ия
ïîìîùüþ óãîëüíèêà îïðåäåëèëè, ÷òî óãîë KMN áîëüøå ïðÿìîãî, à óãîë ABC ðàâåí ïðÿìîìó.
Ïóñòü ÂÀÑ — ðàçâåðíóòûé óãîë (ðèñ. 69). Ïðîâåäåì ëó÷ ÀÅ è ðàññìîòðèì óãëû ÂÀÅ è ÑÀÅ.
A
C
аз
ов
B
ан
E
Ðèñ. 69
Ðèñ. 70
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
Ó íèõ îäíà ñòîðîíà ÀÅ îáùàÿ, à äâå äðóãèå — ÀÂ
è ÀÑ — îáðàçóþò ïðÿìóþ. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ
ñìåæíûìè.
Ïóñòü ïðÿìàÿ MK ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé PN â òî÷êå Î (ðèñ. 70). Óãëû MOP è NOK, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ ïðÿìûõ, íàçûâàþò âåðòèêàëüíûìè. Óãëû MON è POK òîæå âåðòèêàëüíûå.
Çàìåòèì, ÷òî
T
âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.
M
на
Íà ðèñóíêå 70 ìîæíî óêàçàòü è
íåñêîëüêî ïàð ñìåæíûõ óãëîâ. Íàïðèìåð, ∠ ÌÎÐ è ∠ ÌÎN.
N
Q
P
ио
Ðèñ. 71
На
ц
Âîïðîñû
1.
2.
3.
4.
Êàê èçîáðàçèòü ðàçâåðíóòûé óãîë?
×òî òàêîå ïðÿìîé óãîë?
Êàê èçîáðàçèòü ñìåæíûå óãëû?
Óêàæèòå íà ðèñóíêàõ 70, 71 è 72 âñå
ïàðû: à) ñìåæíûõ óãëîâ; á) âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
5. Êàêèå èç óãëîâ íà ðèñóíêàõ 71 è 72
ïðÿìûå?
E
R
O
S
F
T
Ðèñ. 72
Правообладатель Национальный институт образования
71
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Óïðàæíåíèÿ
M
D
K
C
E
то
бр
E
B
аз
ов
A
ан
ия
2. 50
50.. ° Íàéäèòå íà ðèñóíêå 73 è çàïèøèòå:
1) ðàçâåðíóòûå óãëû;
2) ñìåæíûå óãëû;
3) âåðòèêàëüíûå óãëû.
T
S
Ðèñ. 73
ин
ст
и
ту
2. 51
51.. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë ABC è îòìåòüòå
åãî äóãîé. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû óãëà. Îòìåòüòå òî÷êè:
1) F è D, ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC;
2) E è O, íå ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC.
Ðèñ. 74
ио
на
ль
ны
й
2. 52
52.. ° 1) Íà ðèñóíêå 74 íàéäèòå âñå
óãëû, ñìåæíûå ñ óãëîì:
à) BQD;
á) AQF;
â) KQB;
ã) DQK.
2) Ïî ðèñóíêó 74 íàçîâèòå ïàðû
âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
На
ц
2. 53
53.. Íà÷åðòèòå äâå ïðÿìûå AF è BK, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå N. Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå:
1) ðàçâåðíóòûå óãëû;
2) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;
3) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
2. 54
54.. Íà÷åðòèòå òðè ëó÷à ñ îáùèì íà÷àëîì òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü ñìåæíûå óãëû:
1) íåðàâíûå;
2) ðàâíûå.
72
Правообладатель Национальный институт образования
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
2.55
55.. ° Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë KOM è ïðîâåäèòå
÷åðåç òî÷êó Î ïðÿìóþ ÑD. Çàïèøèòå:
1) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;
2) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
аз
ов
ан
2.56
56.. Èçîáðàçèòå äâà óãëà ñ îáùåé ñòîðîíîé, êîòîðûå:
1) ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè;
2) íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè.
то
бр
2.57
57.. Ñòîðîíàìè êàêîãî óãëà ÿâëÿþòñÿ áîëüøàÿ è ìàëåíüêàÿ ñòðåëêè íà ÷àñàõ, åñëè îíè ïîêàçûâàþò:
1) 18 ÷;
2) 15 ÷;
3) 21 ÷?
ст
и
ту
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ль
ны
й
ин
Ïðèìåð.  ñóááîòó è âîñêðåñåíüå Ìàøå íàäî ïðî÷èòàòü
ðàññêàç, â êîòîðîì 49 ñòðàíèö. ×àñòü ðàññêàçà Ìàøà ïðî÷ëà â ñóááîòó, à â âîñêðåñåíüå — îñòàâøèåñÿ
28 ñòðàíèö. Ñêîëüêî ñòðàíèö ïðî÷ëà Ìàøà â ñóááîòó?
на
Ðåøåíèå. ×èñëî ñòðàíèö, ïðî÷èòàííûõ Ìàøåé â ñóááîòó,
îáîçíà÷èì áóêâîé k. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü òàê:
k + 28 = 49.
На
ц
ио
 ýòîì ðàâåíñòâå íàäî íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå k. Îíî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èòàíèÿ:
k = 49 − 28.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë 49 è 28.
Âîçüìåì òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 49 è 28 ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà a è b.
Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî k,
ïðè ñëîæåíèè êîòîðîãî ñ b ïîëó÷àåòñÿ a:
k + b = a.
Правообладатель Национальный институт образования
73
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðàçíîñòü ÷èñåë a è b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a − b.
k = a − b.
óìåíüøàåìîå
âû÷èòàåìîå
=
k
ан
b
аз
ов
−
a
ия
ðàçíîñòü
ин
ст
и
ту
то
бр
Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå
a − b. ×èñëî à íàçûâàåòñÿ óìåíüøàåìûì, ÷èñëî b —
âû÷èòàåìûì.
Êîãäà èç ÷èñëà 49 âû÷èòàþò ÷èñëî 28, ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî 49 óìåíüøàþò íà 28.
Ðàçíîñòü 49 − 28 = 21 ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷èñëî 49 áîëüøå ÷èñëà 28 íà 21. Ñëåäîâàòåëüíî,
ио
на
ль
ны
й
÷òîáû óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî, íàäî èç áîëüøåãî ÷èñëà âû÷åñòü
ìåíüøåå.
Óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæíî òàê: ñëîæèòü ðàçíîñòü è âû÷èòàåìîå — â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ óìåíüøàåìîå.
На
ц
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èìååì:
à − 0 = à , òàê êàê à + 0 = à;
à − à = 0 , òàê êàê 0 + à = à.
Îáðàòèòå âíèìàíèå: ìû çíàåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà
è íóëü. À ñ ïîìîùüþ ýòèõ ÷èñåë âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b ìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî à áîëüøå b èëè à ðàâíî b.
74
Правообладатель Национальный институт образования
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü äâóõ ïðèìåðîâ
è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà âû÷èòàþòñÿ ñòîëáèêîì.
37854
5423
32431
á)
−
37854
5963
31891
ия
−
аз
ов
ан
à)
ту
то
бр
 ÕV â. âïåðâûå ïîÿâèëñÿ çíàê ñëîæåíèÿ «Ð~ » (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà
plus) è çíàê âû÷èòàíèÿ «m ~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà minus).  êîíöå
ÕV â. íåìåöêèå ìàòåìàòèêè ñòàëè èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííûå
çíàêè «+» è «−».
Âîïðîñû
ст
и
Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 42, 23, 19 â ðàâåíñòâå 42 − 23 = 19?
×òî íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë à è b?
Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå à − b?
Ïî êàêîìó ïðàâèëó èç ÷èñëà à âû÷èòàåòñÿ: à) íóëü;
á) ÷èñëî à?
5. Êîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b?
6. Êàê óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî?
7. Êàê ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî?
ио
на
ль
ны
й
ин
1.
2.
3.
4.
На
ц
Óïðàæíåíèÿ
2.58
58..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
1) 28 903 − 7661;
2) 1 429 506 − 917 830;
3) 269 001 − 50 003;
4) 3 030 303 − 100 100.
2.59
59..° Íàéäèòå ðàçíîñòü:
1) 178 − 107;
3) 9632 − 632;
2) 600 − 200;
4) 7814 − 7014.
Правообладатель Национальный институт образования
75
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2. 60
60.. Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 4391 − (32 + 190);
2) 40 404 + (761 − 39);
3) (89 − 15) + 501;
4) (9410 + 472) − 76.
аз
ов
2) 26 560 − 5794;
4) 79 607 − 9999.
то
бр
2. 62
62.. ° Âû÷èñëèòå:
1) 10 000 − 6996;
3) 35 000 − 19 673;
ан
ия
2. 61
61.. ° Çàïèøèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è íàéäèòå åå:
1) 750 è 729;
2) 1256 è 128;
3) 40 000 è 3;
4) 790 861 è 1861.
ин
ст
и
ту
2. 63
63.. ° Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë:
1) 70 504 è 34 086;
2) 60 250 è 37 839;
3) 8 000 000 è 6 888 888;
4) 5 021 060 è 3 049 879.
ль
ны
й
2. 64
64.. 1) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 120, à âû÷èòàåìîå íà 60
ìåíüøå. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü?
2) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 150, ðàçíîñòü 124. Íàéäèòå
âû÷èòàåìîå.
ио
на
2. 65
65.. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è íà ñêîëüêî:
1) 1720 èëè 1801;
2) 39 200 èëè 39 019?
На
ц
2. 66
66.. Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è íà ñêîëüêî:
1) 147 èëè 174;
2) 11 871 èëè 11 859?
2. 67
67.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
2063 + 5971 = 8034,
âû÷èñëèòå:
1) 8034 − 2063;
3) 8034 − 2063;
76
2) 8035 − 5971;
4) 8034 − 5971.
Правообладатель Национальный институт образования
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
2.68
68.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ÷èñåë:
1) òðåõçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî;
2) ÷åòûðåõçíà÷íîãî è òðåõçíà÷íîãî;
3) øåñòèçíà÷íûõ;
4) äåâÿòèçíà÷íûõ.
то
бр
аз
ов
ан
2.69
69.. Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò âû÷èòàíèåì:
1) 1692 + 5024;
2) 40 297 + 13 711;
3) 144 691 + 56 419;
4) 325 432 + 524 568.
ст
и
ту
2.70
70.. Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò
ñëîæåíèåì:
1) 1406 − 711;
2) 13 915 − 9526;
3) 385 796 − 196 886;
4) 52 555 − 51 767.
ио
на
ль
ны
й
ин
2.71
71.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 6 ò − 372 êã;
2) 23 ö 5 êã − 12 ö 9 êã;
3) 687 ì − 9 ì 64 ñì;
4) 18 äì 3 ñì − 99 ñì;
5) 6 ÷ 12 ìèí − 72 ìèí;
6) 42 ìèí 2 ñ − 27 ìèí 5 ñ.
На
ц
2.72
72.. Íàéäèòå ðàçíîñòü íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî:
1) äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
2) ÷åòûðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
2.73
73.. Íàéäèòå ðàçíîñòü äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
1) íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî;
2) íàèáîëüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî.
Правообладатель Национальный институт образования
77
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
2. 74
74.. 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
2) Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü ÷èñåë, åñëè óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óâåëè÷èòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî?
Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
то
бр
аз
ов
2. 75
75.. 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë ðàâíà íóëþ. ×òî ìîæíî
ñêàçàòü îá ýòèõ ÷èñëàõ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
2) Äâà ÷èñëà è èõ ðàçíîñòü îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
öèôðîé. Êàêàÿ ýòî öèôðà?
ин
ст
и
ту
2. 76
76.. Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè:
1) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 10;
2) âû÷èòàåìîå óìåíüøèòü íà 5;
3) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 20, à âû÷èòàåìîå
óìåíüøèòü íà 3?
ль
ны
й
2. 77
77.. * Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè óìåíüøàåìîå:
1) óìåíüøèòü íà ðàçíîñòü;
2) óâåëè÷èòü íà âû÷èòàåìîå?
ио
на
2. 78
78.. ° Ïëîùàäü âîäíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîñòàâëÿåò
361 ìëí êì2, à ïëîùàäü ìàòåðèêîâ è îñòðîâîâ ðàâíà
149 ìëí êì2. Íà ñêîëüêî êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ
âîäíàÿ ïîâåðõíîñòü Çåìëè áîëüøå ïîâåðõíîñòè ñóøè?
На
ц
2. 79
79.. Âðàùàÿñü âîêðóã Çåìëè, Ëóíà ïðèáëèæàåòñÿ ê
Çåìëå íà ðàññòîÿíèå 356 400 êì — ïåðèãåé è óäàëÿåòñÿ îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèå 406 700 êì — àïîãåé
(ðèñ. 75). ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ìåæäó àïîãååì è
ïåðèãååì?
2. 80
80.. ° Äëèíà ýêâàòîðà Çåìëè 40 075 704 ì, à äëèíà
çåìíîãî ìåðèäèàíà íà 67 156 ì ìåíüøå (ðèñ. 76).
×åìó ðàâíà äëèíà çåìíîãî ìåðèäèàíà?
78
Правообладатель Национальный институт образования
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Луна
апогей
аз
ов
ан
перигей
ия
меридиан
Земля
Ðèñ. 75
Ðèñ. 76
ту
то
бр
2.81
81.. Ïîåçä îïàçäûâàåò íà 1 ÷ 45 ìèí. Êàêèì áóäåò
îïîçäàíèå, åñëè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè îòñòàâàíèå óäàëîñü ñîêðàòèòü íà:
1) 20 ìèí;
2) 50 ìèí;
3) 1 ÷ 30 ìèí?
на
ль
ны
й
ин
ст
и
2.82
82.. 1) Àâòîìîáèëü çà òðè äíÿ ïðîåõàë 1475 êì. Çà
ïåðâûå äâà äíÿ îí ïðîåõàë 964 êì. Ñêîëüêî êèëîìåòðîâ àâòîìîáèëü ïðîåõàë çà êàæäûé èç ýòèõ äíåé,
åñëè âî âòîðîé äåíü îí ïðîåõàë íà 245 êì áîëüøå,
÷åì çà òðåòèé äåíü?
2) Â òðåõ êîðîáêàõ áûëî 2 êã 423 ã êîíôåò. Â ïåðâîé è âòîðîé êîðîáêàõ — 1 êã 489 ã êîíôåò, âî âòîðîé
è òðåòüåé — 1 êã 589 ã. Ñêîëüêî êîíôåò áûëî â êàæäîé êîðîáêå?
На
ц
ио
2.83
83.. Â ÿùèêå 925 ì ïðîâîëîêè — ñèíåãî, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà. Ñèíåãî, çåëåíîãî è êðàñíîãî
öâåòà âìåñòå — 728 ì, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî
öâåòà — 799 ì, ñèíåãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà —
682 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîâîëîêè êàæäîãî öâåòà â
îòäåëüíîñòè?
2.84
84..* Êàêàÿ öèôðà ñòîèò â ÷èñëå
345 673 456 734 567...
íà 100-ì ìåñòå? íà 2015-ì ìåñòå?
Правообладатель Национальный институт образования
79
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2.7. Ëîìàíàÿ
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè òî÷êè À è F, ñîåäèíèì èõ
ëèíèåé, ñîñòîÿùåé èç îòðåçêîâ (ðèñ. 77), êîíåö êàæäîãî èç êîòîðûõ, êðîìå ïîñëåäíåãî, ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì
ñëåäóþùåãî, ïðè ýòîì ñîñåäíèå îòðåçêè íå ëåæàò íà
îäíîé ïðÿìîé. Òàêàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé, îòðåçêè, ñîñòàâëÿþùèå åå, çâåíüÿìè ëîìàíîé, à èõ êîíöû — âåðøèíàìè ëîìàíîé. Ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 77
íàçûâàþò «ëîìàíàÿ ABCDEF».
Ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 77, íàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòîé. À ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 78, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòóþ ëîìàíóþ
ìîæíî íàçûâàòü, íà÷èíàÿ ñ ëþáîé âåðøèíû. Íàïðèìåð, ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 78 íàçûâàþò KLMNPQ èëè
PQKLMN.
K
L
ль
ны
й
B
A
M
Q
C
D
ио
на
F
E
P
Ðèñ. 78
На
ц
Ðèñ. 77
N
Äëèíîé ëîìàíîé íàçûâàåòñÿ ñóììà äëèí åå
çâåíüåâ.
Âîïðîñû
1. ×òî òàêîå: à) çâåíüÿ ëîìàíîé; á) âåðøèíû ëîìàíîé?
Íàçîâèòå çâåíüÿ è âåðøèíû ëîìàíûõ, èçîáðàæåííûõ
íà ðèñóíêàõ 77, 78.
2. ×òî íàçûâàåòñÿ äëèíîé ëîìàíîé?
80
Правообладатель Национальный институт образования
2.7. Ëîìàíàÿ
Óïðàæíåíèÿ
M
в)
г)
S
E
B
B
X
Q
L
Y
Z
N
P
Ðèñ. 79
D
A
то
бр
T
ан
б)
M
K
аз
ов
а)
ия
2.85
85..° Íàçîâèòå ïî ðèñóíêó 79:
1) çàìêíóòóþ ëîìàíóþ;
2) íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ.
C
ст
и
ту
2.86
86.. Ìåæäó ïàíñèîíàòàìè «Âåòåðîê» è «×àéêà» ïðîëîæåíû òðè ìàðøðóòà (ðèñ. 80). Êàêîé ìàðøðóò
ñàìûé êîðîòêèé?
I марш
II маршрут
ль
ны
й
Пансионат
«Ветерок»
ин
рут
Пансионат
«Чайка»
III маршрут
Ðèñ. 80
На
ц
ио
на
2.87
87..° Íà÷åðòèòå ëîìàíóþ, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ çâåíüåâ.
Íàéäèòå äëèíó êàæäîãî çâåíà ëîìàíîé. Ïîñòðîéòå
îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà äëèíå ëîìàíîé.
2.88
88.. Îäíî çâåíî ëîìàíîé èìååò äëèíó 1 äì 3 ñì,
äðóãîå — íà 8 ñì áîëüøå, à òðåòüå — íà 1 äì 4 ñì
áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå äëèíó ëîìàíîé.
2.89
89.. Äëèíà çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç òðåõ
çâåíüåâ, ðàâíà 23 ñì. Äâà çâåíà ëîìàíîé ðàâíû ìåæäó ñîáîé, à òðåòüå íà 5 ñì áîëüøå êàæäîãî èç íèõ.
Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.
Правообладатель Национальный институт образования
81
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2. 90
90.. Äëèíà íåçàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, ðàâíà 22 ñì, à êàæäîå åå çâåíî íà 1 ñì
áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.
аз
ов
ан
ия
2. 91
91.. Èçâåñòíû äëèíû îòðåçêîâ ÀÂ = 5 ñì, ÀÑ = 8 ñì,
ÂÑ = 7 ñì, AD = 10 ñì, DB = 12 ñì. Íàéäèòå äëèíó
íåçàìêíóòîé ëîìàíîé:
1) ÀÂÑ;
2) ADB;
3) DACB;
4) DABC.
ту
то
бр
2. 92
92.. * Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ, ó êîòîðîé äëèíà
êàæäîãî çâåíà âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à äëèíà ëîìàíîé ðàâíà:
1) 2 ñì;
2) 3 ñì;
3) 4 ñì;
4) 5 ñì;
5) 6 ñì;
6) 7 ñì.
ль
ны
й
ин
ст
и
2.93
93.. Èçîáðàçèòå íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó åå êðàéíèìè âåðøèíàìè áûëî ðàâíî:
1) 2 ñì;
2) 8 ñì;
3) 4 ñì;
4) 5 ñì.
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê
На
ц
ио
на
Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ABC, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ çâåíüåâ, ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ è
âíåøíþþ (ðèñ. 81). ×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ
âíóòðè ëîìàíîé, âìåñòå ñ ýòîé ëîìàíîé îáðàçóþò
òðåóãîëüíèê.
Òî÷êè À,  è Ñ íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà, îòðåçêè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè
òðåóãîëüíèêà, à ∠ À, ∠ Â è ∠ Ñ — óãëàìè òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñóíêå 82 èçîáðàæåíà ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ
çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, —
òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîì.
82
Правообладатель Национальный институт образования
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê
M
N
ия
L
Ðèñ. 82
аз
ов
Ðèñ. 81
ан
K
ст
и
ту
то
бр
Òðåóãîëüíèê è ÷åòûðåõóãîëüíèê — ýòî âèäû ìíîãîóãîëüíèêîâ. Íà ðèñóíêå 83 èçîáðàæåíî åùå íåñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ: ïÿòèóãîëüíèê, øåñòèóãîëüíèê è ñåìèóãîëüíèê.
ин
Ðèñ. 83
На
ц
ио
на
ль
ны
й
Ðàññìàòðèâàÿ ýòè ìíîãîóãîëüíèêè, äåëàåì âûâîä:
÷èñëî óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíî ÷èñëó åãî âåðøèí è ðàâíî ÷èñëó åãî ñòîðîí.
Òðåóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 81, íàçûâàþò òàê: òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, èëè ÀCB, èëè BAC, èëè
CBA è ò. ä. ×åòûðåõóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 82, ìîæíî íàçâàòü òàê: ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN,
èëè ÷åòûðåõóãîëüíèê MNKL, èëè NMLK è ò. ä.
Ñóììó äëèí âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà íàçûâàþò åãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêîé áóêâîé Ð.
Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî âìåñòî ñëîâ «äëèíà ñòîðîíû»
ãîâîðÿò ïðîñòî «ñòîðîíà».
Правообладатель Национальный институт образования
83
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîïðîñû
Q
1. Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèê, èçîáðàæåíP
íûé íà ðèñóíêå 84, åãî âåðøèíû, ñòîðîíû, óãëû. Ñêîëüêî èõ? À ñêîëüêî èõ
ó ìíîãîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 82?
T
2. ×òî íàçûâàåòñÿ ïåðèìåòðîì ìíîãîóãîëüíèêà?
R
ия
S
аз
ов
ан
Ðèñ. 84
Óïðàæíåíèÿ
P
N
E
ль
ны
й
L
C
H
ин
K
ст
и
S
M
B
ту
T
то
бр
2. 94
94.. ° Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 85, èõ âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû (ðèñ. 85).
D
K
A
F
J
O
V
Ðèñ. 85
ио
на
2.95
95.. ° Îïðåäåëèòå âèä ìíîãîóãîëüíèêà ïî åãî îáîçíà÷åíèþ, íàçîâèòå åãî âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû:
1) ABC;
2) ABCD;
3) ACBD;
4) ABCEP.
На
ц
2.96
96.. Èçìåðüòå äëèíû ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà è íàéäèòå åãî ïåðèìåòð (ðèñ. 86).
а)
б)
B
E
C
N
D
K
A
E
Ðèñ. 86
84
F
M
Правообладатель Национальный институт образования
H
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê
2.97
97..° Èçîáðàçèòå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Ñîåäèíèòå
îòðåçêàìè òî÷êè A è C, B è D. Íàçîâèòå ïîëó÷èâøèåñÿ íà ÷åðòåæå òðåóãîëüíèêè.
ан
ия
2.98
98.. Èçîáðàçèòå ïÿòèóãîëüíèê EHFKM. Ñîåäèíèòå
âåðøèíó F ñ íåñîñåäíèìè âåðøèíàìè ïÿòèóãîëüíèêà.
Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå?
то
бр
аз
ов
2.99
99..* Îòìåòüòå òî÷êè A, B, C, D. Óñòàíîâèòå, ñêîëüêî
òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ âåðøèíàìè â òðåõ
èç óêàçàííûõ òî÷åê.
2.100
100.. Çàïèøèòå âñå òðåóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 87.
б)
ту
а)
R
S
F
ст
и
O
E
ин
A
B
C
D
ль
ны
й
K
P
M
Ðèñ. 87
N
На
ц
а)
ио
на
2.101
101.. Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû è ðàâíûå óãëû êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 88.
M
б)
в)
B
L
M
A
C
K
P
S
P
D
N
R
T
Ðèñ. 88
Правообладатель Национальный институт образования
85
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2. 102
102.. Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê. Èçîáðàçèòå îòðåçîê,
äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïåðèìåòðó ýòîãî òðåóãîëüíèêà.
ан
ия
2. 103
103.. Â ïÿòèóãîëüíèêå ABCDE ìåíüøàÿ ñòîðîíà AB
ðàâíà 3 ì, à êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ íà 2 ì áîëüøå ïðåäûäóùåé. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïÿòèóãîëüíèêà.
то
бр
аз
ов
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè
ту
Ïð
èìåð
Ïðèìåð
èìåð.. Â äâóõ êîðçèíàõ 70 ÿáëîê. Â ïåðâîé êîðçèíå
íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî ÿáëîê
â êàæäîé êîðçèíå?
ин
ст
и
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ
(ðèñ. 89).
ль
ны
й
 ïåðâîé êîðçèíå
14 ÿáëîê
70 ÿáëîê
Âî âòîðîé êîðçèíå
Ðèñ. 89
На
ц
ио
на
Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè èç ïåðâîé êîðçèíû âûíóòü 14 ÿáëîê, òî â íåé ñòàíåò ñòîëüêî æå
ÿáëîê, ñêîëüêî âî âòîðîé. À â äâóõ êîðçèíàõ ñòàíåò
íà 14 ÿáëîê ìåíüøå, ò. å. 70 − 14 = 56 (ÿáëîê). Òàê
êàê â ïåðâîé è âî âòîðîé êîðçèíàõ ÿáëîê ñòàëî ïîðîâíó, òî â êàæäîé èç íèõ 56 : 2 = 28 (ÿáëîê). Ýòî
ñòîëüêî, ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî áûëî âî âòîðîé êîðçèíå. À â ïåðâîé êîðçèíå áûëî íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ò. å.
28 + 14 = 42 (ÿáëîêà).
Îòâåò: 42; 28.
86
Правообладатель Национальный институт образования
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïî-äðóãîìó:
аз
ов
ан
ия
1) 70 + 14 = 84 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî áû â îáåèõ
êîðçèíàõ âìåñòå, åñëè áû âî âòîðîé êîðçèíå áûëî
ñòîëüêî æå ÿáëîê, ñêîëüêî â ïåðâîé;
2) 84 : 2 = 42 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî â ïåðâîé
êîðçèíå;
3) 42 − 14 = 28 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî âî âòîðîé
êîðçèíå.
то
бр
Îòâåò: 42; 28.
ту
Óïðàæíåíèÿ
ин
ст
и
2.104
104..  äâóõ êîðçèíàõ 80 áîðîâèêîâ.  ïåðâîé êîðçèíå íà 10 áîðîâèêîâ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî
áîðîâèêîâ â êàæäîé êîðçèíå?
на
ль
ны
й
2.105
105.. Íà îâîùíóþ áàçó ïðèâåçëè 150 êîíòåéíåðîâ
ñ îãóðöàìè è ïîìèäîðàìè. Êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè
áûëî íà 30 áîëüøå, ÷åì êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè.
Ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè è ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè ïðèâåçëè íà áàçó?
На
ц
ио
2.106
106.. Ìîäåëü òåëåáàøíè âûñîòîé 4 ì 70 ñì ñîñòîèò
èç äâóõ áëîêîâ. Êàêîâà âûñîòà âåðõíåãî è íèæíåãî
áëîêîâ, åñëè íèæíèé áëîê íà 130 ñì êîðî÷å âåðõíåãî?
2.107
107.. Äîñêà áûëà ðàçðåçàíà íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü
íà 30 ñì êîðî÷å äðóãîé. Êàêîâà äëèíà êàæäîé ÷àñòè, åñëè äëèíà äîñêè áûëà 2 ì 90 ñì?
2.108
108.. Â øâåéíîå àòåëüå ïîñòóïèëî 480 ì äæèíñîâîé
òêàíè è äðàïà. Äæèíñîâîé òêàíè ïîñòóïèëî íà 140 ì
Правообладатель Национальный институт образования
87
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
áîëüøå, ÷åì äðàïà. Ñêîëüêî ìåòðîâ äæèíñîâîé òêàíè
ïîñòóïèëî â àòåëüå?
аз
ов
ан
ия
2. 109
109.. Ñ òðåõ ÿáëîíü ñîáðàëè 30 êã ÿáëîê. Ñ ïåðâîé
ÿáëîíè ñîáðàëè íà 4 êã ìåíüøå, ÷åì ñî âòîðîé, à ñ
òðåòüåé ÿáëîíè íà 4 êã áîëüøå, ÷åì ñî âòîðîé. Ñêîëüêî êèëîãðàììîâ ÿáëîê ñîáðàëè ñ êàæäîé ÿáëîíè?
ту
то
бр
2. 110
10.. Çà òðè äíÿ âûñòàâêó ïîñåòèëè 1500 ó÷àùèõñÿ.
Âî âòîðîé äåíü âûñòàâêó ïîñåòèëè íà 120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì â ïåðâûé äåíü, â òðåòèé äåíü — íà
120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Ñêîëüêî
ó÷àùèõñÿ ïîñåòèëè âûñòàâêó â êàæäûé èç òðåõ äíåé?
ль
ны
й
ин
ст
и
2. 111. Â òðåõ ïàêåòàõ 1 êã 800 ã êîíôåò. Â ïåðâîì
ïàêåòå íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîì, à â òðåòüåì
íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì. Êàêîâà ìàññà êàæäîãî ïàêåòà?
2.10. Óðàâíåíèå
ио
на
2. 112
12..* Åñëè ñëîæèòü óìåíüøàåìîå, âû÷èòàåìîå è ðàçíîñòü, òî ïîëó÷èòñÿ 120. Íàéäèòå êàæäîå èç íèõ, åñëè
ðàçíîñòü ìåíüøå óìåíüøàåìîãî íà 24.
На
ц
Ïð
èìåð 11.. Ìàìà êóïèëà Ïåòå 8 òåòðàäåé, è òåïåðü ó
Ïðèìåð
íåãî 21 òåòðàäü. Ñêîëüêî òåòðàäåé áûëî ó Ïåòè äî
ìàìèíîé ïîêóïêè?
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì íåèçâåñòíîå ÷èñëî òåòðàäåé áóêâîé x, ò. å. äî ïðèõîäà ìàìû ó Ïåòè áûëî x òåòðàäåé,
à ïîñëå åå ïðèõîäà ñòàëî (x + 8) òåòðàäåé. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è x + 8 = 21. Òàêîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì x.
88
Правообладатель Национальный институт образования
2.10. Óðàâíåíèå
Ðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå îäíî íåèçâåñòíîå, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì.
ан
аз
ов
x = 21 − 8,
x = 13.
ия
 ðàâåíñòâå x + 8 = 21 áóêâà x îáîçíà÷àåò íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå. Ìû çíàåì, ÷òî íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå íàõîäÿò âû÷èòàíèåì:
то
бр
Çíà÷èò, ó Ïåòè áûëî 13 òåòðàäåé.
(Åñëè â ðàâåíñòâå x + 8 = 21 âìåñòî áóêâû x ïîäñòàâèòü ÷èñëî 13, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî 13 + 8 = 21.)
ту
Îòâåò: 13 òåòðàäåé.
ин
ст
и
Çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî,
íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ.
ль
ны
й
Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå
åãî êîðíè.
Ïð
èìåð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 11 − õ = 9.
Ïðèìåð
На
ц
ио
на
Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, íàäî
èç óìåíüøàåìîãî âû÷åñòü ðàçíîñòü:
õ = 11 − 9,
õ = 2.
Îòâåò: 2.
Ïð
èìåð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå (x − 10) + 3 = 15.
Ïðèìåð
Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå, íàäî èç
ñóììû âû÷åñòü èçâåñòíîå ñëàãàåìîå:
x − 10 = 15 − 3,
x − 10 = 12.
Правообладатель Национальный институт образования
89
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, íàäî ê ðàçíîñòè ïðèáàâèòü âû÷èòàåìîå:
x = 12 + 10,
ия
îòêóäà x = 22.
ан
Îòâåò: 22.
Óïðàæíåíèÿ
ту
то
бр
×òî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì?
×òî íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ?
×òî çíà÷èò: ðåøèòü óðàâíåíèå?
Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå: à) ñëàãàåìîå; á) óìåíüøàåìîå;
â) âû÷èòàåìîå?
ст
и
1.
2.
3.
4.
аз
ов
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
2. 113
13.. ° Ñðåäè ÷èñåë 0, 6, 9, 13, 35, 37, 38, 49, 72 íàéäèòå
êîðåíü óðàâíåíèÿ:
1) õ + 14 = 23;
2) 78 + õ = 78;
3) õ − 16 = 22;
4) y − 49 = 0;
5) 24 − y = 11;
6) 72 − y = 72.
На
ц
ио
на
2. 114
14.. ° Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 1042 = 1042;
3) õ − 173 812 = 0;
5) õ − 0 = 25 306;
2) 51 724 − õ = 0;
4) 934 507 − õ = 934 507;
6) 0 + õ = 79 442.
2. 115
15.. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå, êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí:
1) 3;
2) 0;
3) 12;
4) 21;
5) 16;
6) 100.
2. 116
16.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 518 = 518 + 979;
2) 3452 + 729 = 3452 + õ;
90
Правообладатель Национальный институт образования
2.10. Óðàâíåíèå
3) õ + (7048 + 961) = (504 + 7048) + 961;
4) 14 007 + (õ + 53) = (14 007 + 299) + 53.
ан
то
бр
аз
ов
27 093 + 52 907 = 80 000,
ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 52 907 = 80 000;
2) 27 093 + õ = 80 000;
3) õ − 27 093 = 52 907;
4) 80 000 − õ = 27 093.
ия
2.117
17.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
2.118
18.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
135 418 − 99 322 = 36 096,
ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 135 418 − õ = 36 096;
2) 135 418 − õ = 99 322;
3) õ + 36 096 = 135 418;
4) 99 322 + õ = 135 418.
на
2.119
19.. Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ:
1) õ + 8930 = 14 301;
2) 672 105 − y = 999;
3) k − 302 = 86 041;
4) m + 3821 = 6 080 281.
На
ц
ио
2.120
120.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) (õ − 49) + 71 = 145;
3) (õ + 179) − 178 = 1;
5) 276 − (227 − õ) = 51;
7) 437 − (õ − 83) = 20;
2) 94 + (õ − 76) = 211;
4) 134 − (õ + 100) = 0;
6) 358 − (843 − õ) = 5;
8) (õ + 463) − 440 = 27.
2.121
121.. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî óðàâíåíèþ èç óïðàæíåíèÿ
2.120 è ðåøèòå åå.
2.122
122.. Äèìà çàäóìàë ÷èñëî, ïðèáàâèë ê íåìó 48, çàòåì
âû÷åë 94 è ïîëó÷èë 21. Êàêîå ÷èñëî îí çàäóìàë?
Правообладатель Национальный институт образования
91
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
2. 123
123.. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è è ðåøèòå åãî.
1) Èðå õ ëåò, à Òàíÿ íà 5 ëåò ñòàðøå è åé 12 ëåò.
Ñêîëüêî ëåò Èðå?
2) Ó Âåðû áûëî 42 íàêëåéêè, îíà âûèãðàëà õ íàêëååê, 15 íàêëååê îíà îòäàëà ñåñòðå, è ó íåå
îñòàëîñü ðîâíî 50 íàêëååê. Ñêîëüêî íàêëååê
âûèãðàëà Âåðà?
ин
ст
и
ту
то
бр
2. 124
124.. Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ çàäà÷ó.
1) Â ìîòêå áûëî íåñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà. Ïîñëå
òîãî êàê îò ìîòêà øïàãàòà îòðåçàëè 6 ì, â íåì
îñòàëñÿ 41 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà áûëî â
ìîòêå?
2) Ðåéñîâûé àâòîáóñ áûë â ïóòè 2 ÷ 5 ìèí. Íà
åçäó îí çàòðàòèë 1 ÷ 27 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè
çàíÿëè îñòàíîâêè?
На
ц
ио
на
ль
ны
й
2. 125
125.. Ïîñëå òîãî êàê èç êîðçèíû ñ ãðèáàìè âçÿëè
10 ãðèáîâ, à çàòåì â íåå ïîëîæèëè 14 ãðèáîâ, â êîðçèíå ñòàëî 85 ãðèáîâ. Ñêîëüêî ãðèáîâ áûëî â êîðçèíå
ïåðâîíà÷àëüíî?
км
2. 126
126.. * Àâòîìîáèëü åäåò ñî ñêîðîñòüþ 60
. Íà ñêîëüч
êî äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ ñêîðîñòü, ÷òîáû àâòîìîáèëü
ñòàë ïðîåçæàòü 1 êì íà ïîëìèíóòû áûñòðåå?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
2. 127
127.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) (4024 − 3949) ⋅ (67 + 29) : 120;
2) 308 . 21 : 12 + 6021 − 2326;
3) (5049 + 1999) . 102 − 3248 : 16;
4) ((460 . 73 − 246) + 47 918) : 148.
92
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
ия
2.128
128.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 258 + (134 + 144) + (742 + 856);
2) (183 + 347) + (514 + 653) + 817;
3) (3829 + 1008) + (7071 + 1002);
4) (4052 + 379) + (9621 + 7948).
аз
ов
ан
2.129
129.. Îêðóãëèòå ÷èñëî 19 972:
1) äî äåñÿòêîâ;
2) äî ñîòåí;
3) äî òûñÿ÷;
4) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷.
ст
и
ту
то
бр
2.130
130.. Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî òûñÿ÷ è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó
èçìåðåíèÿ:
1) 15 823 ã;
2) 28 518 êã;
3) 803 êã;
4) 4378 ö.
ль
ны
й
ин
2.131
131.. Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî ñîòåí
è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ:
1) 445 êã;
2) 983 ñì;
3) 993 ì;
4) 960 êã.
ио
на
2.132
132.. ×èñëî 15 îêðóãëèëè äî äåñÿòêîâ, äî ñîòåí
è äî òûñÿ÷ è ïîëó÷èëè îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò —
11 000. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî.
На
ц
2.133
133.. Ïðè îêðóãëåíèè ÷èñëà 16 äî äåñÿòêîâ, äî
ñîòåí, äî òûñÿ÷ è äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ áûëî ïîëó÷åíî
îäíî è òî æå ÷èñëî — 20 000. Êàêîå ÷èñëî îêðóãëÿëè?
2.134
134.. 1) Ñóììà òðåõ ÷èñåë 749 013. Ïåðâîå ÷èñëî
185 640 íà 859 áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå òðåòüå
÷èñëî.
2) Ïåðâîå ÷èñëî 7570, è îíî íà 38 ìåíüøå âòîðîãî
è íà 430 ìåíüøå òðåòüåãî. Íàéäèòå ñóììó òðåõ ÷èñåë.
Правообладатель Национальный институт образования
93
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
2. 135
135.. Áàáóøêà ñâàðèëà íà çèìó âàðåíüå. Êëóáíè÷íîãî
âàðåíüÿ îêàçàëîñü 9 áàíîê, ñëèâîâîãî — â 2 ðàçà áîëüøå. Âàðåíüÿ èç ÿáëîê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì âàðåíüÿ
èç ñëèâ. Ñêîëüêî âñåãî áàíîê âàðåíüÿ èç êëóáíèêè,
ñëèâ è ÿáëîê çàãîòîâëåíî íà çèìó?
аз
ов
ан
2. 136
136.. Ó Ïåòè áûëî 5 îðåõîâ, ó Ñàøè — íà 12 îðåõîâ
áîëüøå, à ó Îëè â 2 ðàçà ìåíüøå îðåõîâ, ÷åì ó Ïåòè
è Ñàøè âìåñòå. Ñêîëüêî îðåõîâ áûëî ó äåòåé?
ст
и
ту
то
бр
2. 137
137.. Òóðèñò â ïåðâûé äåíü ïðîåõàë íà âåëîñèïåäå
68 êì, ÷òî íà 12 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.
 òðåòèé äåíü îí ïðîåõàë íà 15 êì ìåíüøå, ÷åì âî
âòîðîé äåíü. Êàêîå ðàññòîÿíèå òóðèñò ïðîåõàë çà òðè
äíÿ?
ль
ны
й
ин
2.138.* Íà êëóìáå âîçëå øêîëû ðîñëè ðàçíûå öâåòû.
Ãåîðãèí è õðèçàíòåì áûëî 12 êóñòîâ, õðèçàíòåì è
ïèîíîâ — 9 êóñòîâ, ïèîíîâ è ãåîðãèí áûëî 11 êóñòîâ. Ñêîëüêî öâåòîâ êàæäîãî âèäà ðîñëî íà êëóìáå?
ио
на
2. 139
139.. * Ó Ïåòè è Ñàøè — 17 íàêëååê, ó Ñàøè è Ñëàâû — 18 íàêëååê, à ó Ïåòè è Ñëàâû — 25 íàêëååê.
Ñêîëüêî íàêëååê ó êàæäîãî ìàëü÷èêà?
На
ц
2. 140
140.. * Âû÷èñëèòå:
1) 20 + 40 + 60 + ... + 460 + 480 + 500;
2) 30 + 60 + 90 + ... + 540 + 570 + 600.
2. 141
141.. * Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü è íàïèøèòå åùå
5 ÷èñåë, ñëåäóþùèõ çà óêàçàííûìè:
1) 2, 4, 8, 16, 32, ... ;
2) 2, 6, 10, 14, 18, ... ;
3) 1, 1, 2, 3, 5, ... ;
4) 1, 2, 2, 4, 8, ... .
94
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
ия
2.142
142..* Äàíû ÷èñëà 5, 6, 7, 8, 9. Îíè èçìåíÿþòñÿ â
íåñêîëüêî ýòàïîâ. Íà êàæäîì ýòàïå ìîæíî ê ëþáûì
äâóì èç èìåþùèõñÿ ÷èñåë ïðèáàâëÿòü ïî 1. Ìîãóò
ëè íà êàêîì-òî ýòàïå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ïÿòü ÷èñåë
îêàçàòüñÿ ðàâíûìè?
то
бр
аз
ов
ан
2.143
143..* Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 11, çàïèñàíû
îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè÷åñòâî:
1) âñåõ öèôð;
2) äåâÿòîê;
3) åäèíèö;
4) øåñòåðîê.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
2.144
144..* Âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ìåíüøèå 60, çàïèñàíû
îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè÷åñòâî:
1) âñåõ öèôð;
2) íóëåé;
3) åäèíèö;
4) øåñòåðîê.
Правообладатель Национальный институт образования
3
ия
ГЛАВА
аз
ов
ан
ÓÌÍÎÆÅÍÈÅ È ÄÅËÅÍÈÅ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
то
бр
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ин
Òàêèì îáðàçîì,
ст
и
ту
Ìû çíàåì, ÷òî óìíîæèòü, íàïðèìåð, ÷èñëà 23 è 9 —
îçíà÷àåò íàéòè ñóììó 9 ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíî 23, ò. å.
23 . 9 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 207.
ль
ны
й
23 . 9 = 207.
×èñëî 207 íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë 23
è 9. Òàê æå íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 23 . 9, à ñàìè
÷èñëà 23 è 9 íàçûâàþòñÿ ìíîæèòåëÿìè.
На
ц
ио
на
Ïð
èìåð. Â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ
Ïðèìåð.
â ïÿòè ñâÿçêàõ? ßñíî, 7 . 5. À â òðåõ? Êîíå÷íî, 7 . 3.
Ìîæíî è äëÿ îäíîé ñâÿçêè çàïèñàòü ÷èñëî áàíàíîâ
â òàêîì æå âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, — ïîëó÷èòñÿ 7 . 1. Íî â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ïîýòîìó
ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 1 = 7.
À ñêîëüêî áóäåò áàíàíîâ, åñëè ÷èñëî ñâÿçîê ðàâíî
íóëþ (ò. å. íåò íè îäíîé ñâÿçêè)? ßñíî, 0 áàíàíîâ.
Åñëè æå çàïèñàòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ â òàêîì æå
âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, òî ïîëó÷èì 7 . 0 áàíàíîâ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 0 = 0.
96
Правообладатель Национальный институт образования
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîîáùå, ïðè ëþáîì ÷èñëå à ïðèíÿòî:
a.1=a
a.0=0
â)
× 478
103
1434
+
+ 000
478
49234
ан
×
аз
ов
478
130
000
+
1434
+
478
62140
á)
то
бр
478
13
1434
+
478
6214
×
ту
à)
ия
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü òðåõ ïðèìåðîâ
è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà óìíîæàþòñÿ ñòîëáèêîì.
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
ст
и
1. Êàê â ðàâåíñòâå 7 . 4 = 28 íàçûâàþòñÿ: à) ÷èñëà 7 è 4;
á) ÷èñëî 28?
2. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå 7 . 4?
3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ÷èñëî à óìíîæàþò: à) íà 1; á) íà 0?
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
ио
на
3.1.° Çàïèøèòå ñóììó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ è âû÷èñëèòå:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
2) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0;
3) 12 + 12 + 12 + 12 + 12;
4) 101 + 101 + 101 + 101 + 101.
3.2 .° Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ïðîèçâåäåíèå:
1) 21 . 4;
2) 31 . 5;
3) 992 . 3;
4) 215 . 6.
3.3 .° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 212 . 1;
2) 105 . 0;
.
3) 400 70;
4) 90 . 50.
Правообладатель Национальный институт образования
97
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
3. 5. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 258 . 7;
2) 4907 . 3;
3) 81 709 . 6;
4) 416 103 . 5.
ия
3. 4. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå ÷èñëà:
1) 201 â 2 ðàçà;
2) 76 â 10 ðàç;
3) 14 â 20 ðàç;
4) 1 â 999 ðàç.
то
бр
аз
ов
3. 6. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 1320 . 19;
2) 6704 . 14;
3) 609 372 . 65;
4) 26 840 . 78.
ст
и
ту
3. 7. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 36 . 4739;
2) 803 . 503;
3) 591 . 1351;
4) 201 . 59 372.
ль
ны
й
ин
3. 8. Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:
1) 5, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì
ïðåäûäóùåãî íà 4;
2) 111, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 2 ðàçà áîëüøå ïðåäûäóùåãî.
На
ц
ио
на
3. 9. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 400 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:
1) îäíîçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî ÷èñåë;
2) äâóõ äâóçíà÷íûõ íå ðàâíûõ ÷èñåë.
3. 10
10.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë:
1) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî;
2) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî
âîñüìèçíà÷íîãî.
3. 11. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë â 32 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî ìíîæèòåëÿ. ×åìó ðàâåí âòîðîé ìíîæèòåëü?
98
Правообладатель Национальный институт образования
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.12
12.. Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ÷èñëî, åñëè ê íåìó
ñïðàâà ïðèïèñàòü:
1) îäèí íóëü;
2) äâà íóëÿ;
3) ïÿòü íóëåé;
4) äåâÿòü íóëåé?
аз
ов
ан
ия
3.13
13.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà:
1) 18 è ñóììû ÷èñåë 38 è 6;
2) 21 è ðàçíîñòè ÷èñåë 28 è 11.
то
бр
3.14
14.. Ñåìüÿ ñêâîðöîâ çà 1 äåíü óíè÷òîæàåò äî 800 ëè÷èíîê âðåäèòåëåé. Êàêîå êîëè÷åñòâî ëè÷èíîê óíè÷òîæàåò åæåäíåâíî êîëîíèÿ èç 25 ñåìåé ñêâîðöîâ?
ту
3.15
15.. Çà êàêîå âðåìÿ Ëåíÿ ðåøèë 6 ïðèìåðîâ, åñëè
íà êàæäûé ïðèìåð åìó òðåáîâàëîñü 1 ìèí 15 ñ?
ст
и
3.16
16..° Îòðåçîê ÀÂ ðàçáèò íà 26 îòðåçêîâ ïî 12 ñì â
êàæäîì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÀÂ.
ль
ны
й
ин
3.17
17.. 1) Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ îäíîé äåòàëè íóæíî 28 ìèí.
Êàêîå âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ 22 òàêèõ
äåòàëåé?
2) Íà îêðàñêó 4 áëþäåö òðåáóåòñÿ 3 ìèí. Êàêîå
âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ íà îêðàñêó 32 òàêèõ æå áëþäåö?
ио
на
3.18
18..  äâóõ ÿùèêàõ ëåæàò àïåëüñèíû.  ïåðâîì ÿùèêå â 2 ðàçà áîëüøå àïåëüñèíîâ, ÷åì âî âòîðîì. Ñêîëüêî àïåëüñèíîâ â îáîèõ ÿùèêàõ, åñëè âî âòîðîì 8 êã?
На
ц
3.19
19.. Â ïåðâîé êîðîáêå ôëîìàñòåðîâ â 3 ðàçà ìåíüøå,
÷åì âî âòîðîé, è â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â òðåòüåé.
Ñêîëüêî ôëîìàñòåðîâ â òðåõ êîðîáêàõ, åñëè â òðåòüåé
èõ 12 øòóê?
3.20
20..* Èñïîëüçóÿ òðè ðàçëè÷íûå öèôðû, íå ðàâíûå íóëþ, ñîñòàâüòå èç íèõ âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà è íàéäèòå èõ ñóììó. Ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà
ñóììó òðåõ âûáðàííûõ öèôð ïîëó÷èòñÿ 222. Ïî÷åìó?
Правообладатель Национальный институт образования
99
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
то
бр
аз
ов
ан
ия
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû êðóæêè. Îíè ðàñïîëîæåíû â 4 ñòðîêàõ è 7 ñòîëáöàõ. Ñêîëüêî êðóæêîâ
èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 90?
Ðèñ. 90
ст
и
ту
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê.  êàæäîé ñòðîêå 7 êðóæêîâ, à òàêèõ ñòðîê 4. Çíà÷èò, âñåãî êðóæêîâ 7 . 4.
ль
ны
й
ин
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Â êàæäîì
ñòîëáöå 4 êðóæêà, à òàêèõ ñòîëáöîâ 7. Çíà÷èò,
âñåãî êðóæêîâ 4 . 7.
Íî ÷èñëî êðóæêîâ íà ðèñóíêå íå çàâèñèò îò òîãî,
êàêèì ñïîñîáîì ìû åãî ïîäñ÷èòûâàåì. Ïîýòîìó
на
4 . 7 = 7 . 4.
На
ц
ио
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 4 è 7 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà
à è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
a.b=b.a
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
îò ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèå
íå ìåíÿåòñÿ.
100
Правообладатель Национальный институт образования
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
Âîïðîñû
ия
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?
то
бр
ст
и
ту
3.21
21.. ° Âåðíî ëè, ÷òî:
1) 67 . 32 = 32 . 67;
2) 54 . 49 = 49 . 45;
3) 29 + 29 + 29 + 29 = 4 . 29;
4) 5 . 13 = 13 + 13 + 13 + 13;
5) 89 . 51 > 50 . 89;
6) 103 . 120 < 115 . 103?
аз
ов
ан
Óïðàæíåíèÿ
ль
ны
й
ин
3.22
22.. ° Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå ÷èñëî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:
1) ☺ . 27 190 = 27 190 . 36 363;
2) 2 000 201 . ☺ = 1 . 2 000 201.
ио
на
3.23
23..° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â âèäå ñóììû
ñëàãàåìûõ äâóìÿ ñïîñîáàìè:
1) 4 . 6;
2) 2 . 5;
3) 7 . 3;
4) 9 . 1.
На
ц
3.24
24.. ° Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 25 è 248 ðàâíî 6200. ×åìó
ðàâíî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 248 è 25?
3.25
25.. Èñïîëüçóÿ äàííîå
äâóõ âûðàæåíèé:
1) 36 . 49 = 1764;
2) 52 . 35 = 1820;
3) 105 . 8 = 840;
4) 95 . 45 = 4275;
ðàâåíñòâî, íàéäèòå çíà÷åíèÿ
49 . 36 = ?;
35 . 52 = ?;
8 . 105 = ?;
45 . 95 = ?;
(40 + 9) . 36 = ?;
35 . (55 − 3) = ?;
(10 − 2) . 105 = ?;
45 . (100 − 5) = ?.
Правообладатель Национальный институт образования
101
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðèñ. 91
аз
ов
ан
ия
3. 26
26.. Â ñàäó ïîñàäèëè êóñòû ñìîðîäèíû (ðèñ. 91).
Ñêîëüêî êóñòîâ ñìîðîäèíû ïîñàäèëè? Ðåøèòå çàäà÷ó
äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ст
и
ту
то
бр
3. 27
27.. *  îäíîì èç äâóõ ïÿòûõ êëàññîâ íà 22 ó÷åíèêà
ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ ïÿòûõ êëàññàõ, à â äðóãîì —
íà 25 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ êëàññàõ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â êàæäîì èç ïÿòûõ êëàññîâ?
ль
ны
й
ин
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
óìíîæåíèÿ
На
ц
ио
на
Ïð
èìåð
Ïðèìåð
èìåð.. Ìàãàçèí ïðîäàë 72 ÿùèêà áàíàíîâ. Â êàæäîì
ÿùèêå 16 ñâÿçîê, à â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ ïðîäàë ìàãàçèí?
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî
áàíàíîâ â îäíîì ÿùèêå: 7 . 16. Òàê êàê ÿùèêîâ 72,
òî âñåãî ìàãàçèí ïðîäàë (7 . 16) . 72 áàíàíîâ.
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî ñâÿçîê â 72 ÿùèêàõ: 16 . 72. Òàê
êàê â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ, òî áûëî ïðîäàíî
7 . (16 . 72) áàíàíîâ.
×èñëî ïðîäàííûõ áàíàíîâ íå çàâèñèò, êîíå÷íî, îò
ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ. Ïîýòîìó
(7 . 16) . 72 = 7 . (16 . 72).
102
Правообладатель Национальный институт образования
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 7, 16 è 72 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(a . b) . c = a . (b . c)
аз
ов
ан
ия
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ. Åãî
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
то
бр
÷òîáû ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü
íà òðåòüå ÷èñëî, ìîæíî ïåðâîå ÷èñëî óìíîæèòü íà ïðîèçâåäåíèå âòîðîãî è òðåòüåãî.
ту
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è ïî-äðóãîìó:
ин
ст
и
îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ.
ль
ны
й
Áëàãîäàðÿ ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíó ïðîèçâåäåíèå íå
çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Ïîýòîìó ñêîáêè
ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:
на
(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c
На
ц
ио
Ïîêàæåì, êàê ñî÷åòàòåëüíûé è ïåðåìåñòèòåëüíûé
çàêîíû ïðèìåíÿþòñÿ ïðè óìíîæåíèè íåñêîëüêèõ ÷èñåë. Ýòî ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå:
125 . 873 . 8 = (125 . 8) . 873 = 1000 . 873 = 873 000.
Èç çàêîíîâ óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ìíîæèòåëè â ïðîèçâåäåíèè ìîæíî ìåíÿòü
ìåñòàìè è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.
Правообладатель Национальный институт образования
103
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîïðîñû
аз
ов
ан
ия
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?
(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
óìíîæåíèÿ?
3. ×òî ñëåäóåò èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ óìíîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
то
бр
3. 28
28.. ° Âû÷èñëèòå:
1) 25 . 52 . 4;
3) 2 . 21 . 50;
5) 2 . 439 . 5;
ту
2) 17 . 5 . 20;
4) 125 . 9 . 8;
6) 4 . 110 . 5.
ин
ст
и
3. 29
29.. ° Âûïîëíèòå óìíîæåíèå:
1) 2 . 10 . 639 . 5;
2) 21 . 100 . 50 . 2;
3) 8 . 29 . 125;
4) 25 . 63 . 8 . 125 . 4.
на
ль
ны
й
3. 30
30.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 4 . 21 . 25 . 3;
2) 2 . 14 . 2 . 5 . 5;
3) 2 . 3 ⋅ 2 . 2 . 5 . 11 . 5 . 5;
4) 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 3 . 5 . 5 . 5.
На
ц
ио
3. 31
31.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 2 . 37 . 25;
2) 128 . 5;
3) 50 . 73;
4) 39 . 125 . 4.
3. 32
32.. ° Íàçîâèòå ÷èñëî, êîòîðîå íóæíî ïîñòàâèòü âìåñòî
ñèìâîëà ☺, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:
1) 50 . 84 . ☺ = 84 . 39 . 50;
2) 125 . ☺ . 9 = 9 . 125 . 962;
3) 125 . 39 . ☺ = 39 000;
4) 4 . ☺ . 25 = 7800.
104
Правообладатель Национальный институт образования
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
3.33
33.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
3 . 37 = 111,
âû÷èñëèòå:
1) (37 . 5) . 3;
2) 2 . (37 . 5) . 3;
3) 25 . (37 . 4) . 3;
4) (37 . 125) . 24;
5) 75 . (37 . 4) . 6;
6) 37 . (28 . 3) . 25.
3.34
34.. Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 90. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) a . (4 . b);
2) 3 . (a . 2) . b;
3) 2 . a . (b . 5) . 7;
4) a . (a . b) . 2 . b.
3.35
35.. Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 110. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) a . 2 . 3 . b;
2) a . 3 . b . 3;
3) a . 2 . b . 5 . 4;
4) 2 . a . 2 . 5 . b . 5.
ль
ны
й
ин
ст
и
3.36
36.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
7 . 11 . 13 = 1001,
âû÷èñëèòå:
1) (3 . 7) . 11 . 13;
2) (22 . 7) . 65;
3) 25 . (91 . 28) . 11;
4) 28 . (125 . 13) . 88.
На
ц
ио
на
3.37. Äëÿ ïåðåâîçêè ÿèö èñïîëüçóþò êàðòîííûå ÿùèêè, â êîòîðûå óêëàäûâàþò ëîòêè â øåñòü
ñëîåâ ïî 2 ëîòêà â êàæäîì ñëîå
Ðèñ. 92
(ðèñ. 92). Ñêîëüêî ÿèö ïîìåùàåòñÿ â ÿùèêå, åñëè â ëîòêå 30 ÿèö? Ðåøèòå çàäà÷ó
äâóìÿ ñïîñîáàìè.
3.38
38.. ×åòûðå ÷åðíåíüêèõ ÷óìàçåíüêèõ ÷åðòåíêà ÷åðòèëè ÷åðíûìè ÷åðíèëàìè ÷åðòåæ. Ñêîëüêî ôëàêîíîâ
÷åðíèë èçðàñõîäîâàëè ÷åðòÿòà, åñëè êàæäûé íà÷åðòèë ïî 4 ÷åðòåæà, à íà âûïîëíåíèå îäíîãî ÷åðòåæà
óõîäèëî ïî 5 ôëàêîíîâ ÷åðíèë? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ
ñïîñîáàìè.
Правообладатель Национальный институт образования
105
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
3.39. Äëÿ áëàãîóñòðîéñòâà èãðîâîé
ïëîùàäêè ïðèâåçëè 4 ïîääîíà, â
êîòîðûõ òðîòóàðíàÿ ïëèòêà óëîæåíà â äåñÿòü ñëîåâ ïî 5 ïëèòîê
â øèðèíó è ïî 8 ïëèòîê â äëèíó
Ðèñ. 93
(ðèñ. 93). Ñêîëüêî âñåãî ïðèâåçëè
ïëèòîê? Ðåøèòå çàäà÷ó íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè.
то
бр
аз
ов
3. 40
40.. Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå, åñëè îäèí ìíîæèòåëü óâåëè÷èòü:
1) â 6 ðàç, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 2 ðàçà;
2) â 3 ðàçà, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 3 ðàçà?
ст
и
ту
3. 41
41.. Êàê ìîæíî èçìåíèòü ìíîæèòåëè, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå óâåëè÷èëîñü:
1) â 10 ðàç;
2) â 7 ðàç?
ль
ны
й
ин
3. 42
42.. * Ãóñåíèöà ïîëçëà ââåðõ ïî äåðåâó. Çà äåíü îíà
óñïåâàëà ïðîïîëçòè 3 ì, à çà íî÷ü îïóñêàëàñü íà 2 ì.
Íà êàêîé äåíü îíà äîñòèãëà âûñîòû 7 ì?
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà
ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì
На
ц
ио
на
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à2 (÷èòàåòñÿ
«à â êâàäðàòå»), ò. å.
a2 = a . a
Íàïðèìåð, 52 = 5 . 5 = 25.
Ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâàåòñÿ êóáîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à3 (÷èòàåòñÿ
«à â êóáå»), ò. å.
a3 = a . a . a
Íàïðèìåð, 53 = 5 . 5 . 5 = 125.
106
Правообладатель Национальный институт образования
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì
Âîîáùå, ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à,
îáîçíà÷àåòñÿ àn (÷èòàåòñÿ «à â ñòåïåíè n» èëè «à â
n-é ñòåïåíè»), ò. å.
ия
an = a . a . ... . a
ан
n ðàç
аз
ов
×èñëî à íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè, ÷èñëî n —
ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, an — ñòåïåíüþ.
Íàïðèìåð,
то
бр
35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
(×èòàåòñÿ: «òðè â ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíî äâóìñòàì
ñîðîêà òðåì».)
Çäåñü 3 — îñíîâàíèå ñòåïåíè, 5 — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, 243 — ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 3.
Çàìåòèì, ÷òî êâàäðàò ÷èñëà à — ýòî âòîðàÿ ñòåïåíü
÷èñëà à; êóá ÷èñëà à — ýòî òðåòüÿ ñòåïåíü ÷èñëà à.
Ïèôàãîðåéöû çàìåòèëè, ÷òî 100 = 13 + 23 + 33 + 43.
Âîïðîñû
На
ц
ио
на
1. ×òî òàêîå êâàäðàò ÷èñëà à? êóá ÷èñëà à?
2.* ×òî òàêîå âòîðàÿ, òðåòüÿ, ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà à?
3. Êàê ÷èòàåòñÿ è ÷òî îçíà÷àåò âûðàæåíèå an?
Óïðàæíåíèÿ
3.43
43..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:
2) 73;
1) 42;
3) 57;
4) 132 ;
5) 105;
6) 9908;
21
7) 10 000 ;
8) 500013.
Правообладатель Национальный институт образования
107
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
3. 44
44.. Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
2) (6 + 9) 2;
1) 62 + 92;
3) 43 + 73;
4) (4 + 7) 3;
5
5) (12 − 2) ;
6) 122 − 24;
7) (15 − 6)8;
8) 159 − 63.
то
бр
аз
ов
ан
3. 45
45..° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå â âèäå ñòåïåíè. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:
1) 17 . 17;
2) 29 . 29 . 29;
3) 603 . 603 . 603 . 603;
4) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4;
5) p . p . p . p . p;
6) t . t . t . t . t . t . t.
ин
ль
ны
й
3. 47
47.. ° Âû÷èñëèòå:
1) 153;
3) 202 + 23;
ст
и
ту
3. 46
46.. ° Ïðåäñòàâüòå ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ:
2) 763;
3) 2504;
4) 5265;
1) 1302;
3
2
7
5) 1611 ;
6) 7503 ;
7) 1 ;
8) 96344.
2) 23 . 44;
4) 53 . 62;
6) 73 . 22.
ио
на
3. 48
48.. ° Âû÷èñëèòå:
1) 32 . 53;
3) 52 . 34;
5) 62 . 72;
2) 2842;
4) 25 + 104.
На
ц
3. 49
49.. ° Âû÷èñëèòå: à) êâàäðàòû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; á) êóáû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
3. 50
50.. ° Âû÷èñëèòå ïåðâûå äåñÿòü ñòåïåíåé ÷èñëà:
1) 2;
2) 3.
3. 51
51.. Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë:
1) 1, 4, 9, 16, ... , ... , ... ;
2) 1, 8, 27, 64, ... , ... , ... .
108
Правообладатель Национальный институт образования
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì
3.53
53.. Âû÷èñëèòå:
1) 1002;
3) 10002;
5) 10 0002;
аз
ов
2) 1003;
4) 10003;
6) 10 0003.
ан
ия
3. 52
52.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå êâàäðàòà èëè êóáà
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà:
1) 125;
2) 121;
3) 729;
4) 216;
5) 343;
6) 1000.
ль
ны
й
ин
ст
и
3.55
55.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 32 + 42 = 52;
2) 62 + 82 = 102;
3) 32 + 42 + (3 . 4) 2 = 132;
4) 42 + 62 + 122 = 142?
ту
то
бр
3.54
54.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
2) 42 . 52 − 26;
1) 52 . 22 + 210;
2
2
4
3) 6 . 5 − 3 ;
4) 34 . 72 + 43.
ио
на
3.56
56.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 13 + 23 = 32;
2) 13 + 63 + 83 = 93;
3) 33 + 43 + 53 = 63;
4) 113 + 123 + 133 + 143 = 203?
На
ц
3.57
57.. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:
1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;
2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;
3) ÷èñåë.
3.58
58.. Íàéäèòå ñóììó êóáîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:
1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;
2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;
3) ÷èñåë.
Правообладатель Национальный институт образования
109
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
3. 59
59.. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî â âèäå
ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ:
2) 7 . 102 + 3 . 10;
1) 7 . 103 + 3;
3
3) 7 . 10 + 3 . 10;
4) 7 . 103 + 3 . 102.
аз
ов
ан
3. 60
60.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ, èñïîëüçóÿ ñòåïåíè ÷èñëà 10:
1) 904 001 523;
2) 1 634 785;
3) 28 912 765;
4) 5 007 001 232.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
3. 61
61..  êà÷åñòâå øèôðîâ òðåõçíà÷íûõ êîäîâûõ çàìêîâ
÷åìîäàíà Îëåã íàáðàë ñëåâà íàèìåíüøåå, à ñïðàâà —
íàèáîëüøåå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðàòàìè íåêîòîðûõ ÷èñåë (ðèñ. 94). Íàéäèòå øèôðû çàìêîâ, êîòîðûå óñòàíîâèë Îëåã.
Ðèñ. 94
На
ц
ио
на
3. 62
62.. * Êàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ:
2) a3 = a;
1) a2 = a;
3) x2 = x3;
4) 2 . x2 = x3;
5) y2 = 11 . y;
6) 25 . y = y3?
3. 63
63.. * 1) Ïðåäñòàâüòå 24 â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 24.
2) Ïðåäñòàâüòå 72 â âèäå ñóììû êóáîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 72.
3. 64
64.. * Ïÿòü êîøåê ïîéìàþò ïÿòü ìûøåê çà ïÿòü ìèíóò. Ñêîëüêî ìûøåê ïîéìàþò 10 êîøåê çà 10 ìèí?
110
Правообладатель Национальный институт образования
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò
A
аз
ов
C
то
бр
B
ан
ия
×åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû: AB = CD è BC = AD (ðèñ. 95).
D
Ðèñ. 95
ин
ст
и
ту
Äâå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, êîòîðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ äëèíîé è øèðèíîé (ðèñ. 96).
Äëèíà è øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè.
á)
ль
ны
й
à)
На
ц
ио
на
øèðèíà
øèðèíà
äëèíà
äëèíà
Ðèñ. 96
Åñëè ñòîðîíû íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà à è b
(ñì. ðèñ. 96), òî åãî ïåðèìåòð P íàõîäèì òàê:
P = 2 . (a + b)
Ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì.
Правообладатель Национальный институт образования
111
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
a
Åñëè Ð — ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à (ðèñ. 97), òî:
P = a + a + a + a = a . 4 = 4 . a,
a
ò. å.
ан
ия
P=4.a
Ðèñ. 97
то
бр
аз
ов
Óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà), ìîæíî ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ: åñëè ïðè íàëîæåíèè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü, òî îíè íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè. Âîîáùå,
ту
äâå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïðè íàëîæåíèè.
ст
и
Âîïðîñû
на
ль
ны
й
ин
1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ïðÿìîóãîëüíèêîì; á) êâàäðàòîì?
2. Íàçîâèòå ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà.
3. Êàê íàçûâàþò ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà?
4. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð Ð: à) ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè à è b; á) êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à?
5. Êàê óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà)?
ио
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
3. 65
65.. ° Íàçîâèòå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 98).
Ðèñ. 98
112
Правообладатель Национальный институт образования
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò
3.66
66..° Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ñì.
ðèñ. 98).
ия
3.67
67..° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè:
1) 6 ñì è 4 ñì;
2) 20 ìì è 45 ìì.
аз
ов
ан
3.68
68.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé:
1) 3 ñì;
2) 55 ìì.
то
бр
3.69
69.. Â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD äëèíû ñòîðîí ÀÂ è BC
ðàâíû ïî 9 ñì. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
3.70
70.. Ïðîâåäèòå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ è íàéäèòå
ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 99).
Ðèñ. 99
ио
на
3.71
71..° Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:
1) 12 ìì è 19 ìì;
2) 7 ñì 3 ìì è 11 ñì 9 ìì.
На
ц
3.72
72.. Íàéäèòå ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:
1) 82 ìì;
2) 4 ì 8 äì 2 ñì 5 ìì.
C
B
3.73
73.. Èç ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD âûðåçàëè êâàäðàò AMNK (ðèñ. 100).
Âåðíî ëè, ÷òî ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïåðèìåòðó
ìíîãîóãîëüíèêà BCDKNM?
N
M
A
K
D
Ðèñ. 100
Правообладатель Национальный институт образования
113
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.74. Îò ëèñòà êàðòîíà êâàäðàòíîé ôîðìû
îòðåçàëè ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 101). Âåðíî
ëè, ÷òî ïåðèìåòð îñòàâøåéñÿ ôèãóðû ðàâåí ïåðèìåòðó èñõîäíîãî êâàäðàòà?
3. 75
75.. Ïðÿìîóãîëüíèê, øèðèíà êîòîðîãî
ðàâíà 5 ñì, à äëèíà — 7 ñì, ðàçáèëè íà
äâå ôèãóðû — ïðÿìîóãîëüíèê è êâàäðàò. Íàéäèòå
ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ôèãóð.
аз
ов
ан
ия
Ðèñ. 101
то
бр
3. 76
76.. Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 6 ñì ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïåðèìåòð êàæäîãî èç
íèõ.
ин
ст
и
ту
3. 77
77.. Ïðÿìîóãîëüíèê, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 4 äì
è 6 äì, ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà.
Íàéäèòå ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à?
ль
ны
й
3. 78
78.. Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî
ðàâåí 12 ñì. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà âûðàæåíû íàòóðàëüíûì
÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ?
на
3. 79
79.. Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïåðèìåòðó ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè 6 ñì è 8 ñì.
На
ц
ио
3. 80
80.. Îäíà èç ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 39 ñì,
à äðóãàÿ â 3 ðàçà ìåíüøå. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.
3.81
81.. Íàéäèòå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî äëèíà
â 4 ðàçà áîëüøå øèðèíû, à ïåðèìåòð ðàâåí 90 ñì.
3. 82
82..*  ÷åòûðåõ ìåøî÷êàõ ñîäåðæèòñÿ êðóïà.  ïåðâîì ìåøî÷êå åå íå ìåíüøå, ÷åì â êàæäîì èç îñòàëüíûõ, à âî âòîðîì — íå áîëüøå, ÷åì â êàæäîì èç
îñòàëüíûõ. Âåðíî ëè, ÷òî â ïåðâîì è âî âòîðîì ìåøî÷êàõ êðóïû áîëüøå, ÷åì â äðóãèõ?
114
Правообладатель Национальный институт образования
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.
Åäèíèöû ïëîùàäè
S = 3 . 4 = 12 (ñì2).
Ðèñ. 102
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
×òîáû èçìåðÿòü ïëîùàäè, íàäî âûáðàòü åäèíèöó
èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà
åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.
Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Íàïðèìåð:
ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ì ðàâíà îäíîìó êâàäðàòíîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ì, èëè 1 ì2);
ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ñì ðàâíà îäíîìó êâàäðàòíîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ñì,
èëè 1 ñì2).
Íàçâàíèå åäèíèöû ïëîùàäè ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êâàäðàòíûé».
Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êâàäðàòû, òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ
åå åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ.
Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 102 ðàâíà 12 åäèíè÷íûõ
êâàäðàòîâ, ò. å.
Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëèíû è øèðèíû.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà
à è b åäèíèö äëèíû, à åãî ïëîùàäü S, òî:
S=a.b
Правообладатель Национальный институт образования
115
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Êîãäà ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ñî ñòîðîíîé à, òî a = b è
S = a2
аз
ов
ан
ия
(Èìåííî ïîýòîìó à2 ÷èòàåòñÿ: «à êâàäðàò» èëè
«à â êâàäðàòå».)
Ðàâåíñòâî S = a2 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü îäíè
åäèíèöû ïëîùàäè ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:
то
бр
1 ì2 = 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì = 1002 ñì2 = 10 000 ñì2;
1 êì2 = 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì = 10002 ì2 =
= 1 000 000 ì2.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
Åùå äâå åäèíèöû ïëîùàäè — ãåêòàð è àð —
óïîòðåáëÿþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé çåìåëüíûõ
ó÷àñòêîâ.
1 ãåêòàð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ãà) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 100 ì. Òàêèì îáðàçîì,
1 ãà = 100 ì . 100 ì = 1002 ì2 = 10 000 ì2.
1 àð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 à) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà
ñî ñòîðîíîé 10 ì. Òàêèì îáðàçîì,
на
1 à = 10 ì . 10 ì = 102 ì2 = 100 ì2.
На
ц
ио
 îáèõîäå îäèí àð íàçûâàåòñÿ òàêæå «ñîòêîé»;
ãîâîðÿò: «äà÷íûé ó÷àñòîê 6 ñîòîê».
Çàìåòèì åùå, ÷òî 1 ãà = 100 a (ïðîâåðüòå).
Âîïðîñû
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Êàêîé êâàäðàò íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì?
×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäè?
×òî òàêîå: à) 1 ì2; á) 1 ñì2?
×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà?
×åìó ðàâíà ïëîùàäü êâàäðàòà?
×òî òàêîå: à) 1 ãåêòàð; á) 1 àð?
116
Правообладатель Национальный институт образования
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè
Óïðàæíåíèÿ
а)
б)
то
бр
Ðèñ. 103
аз
ов
ан
1см2
ия
3.83
83.. ° Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû (â êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðàõ), èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 103.
ст
и
2) 5 ñì è 8 ñì;
4) 2 äì è 3 ì?
ин
1) 1 ñì è 3 ñì;
3) 1 äì è 3 ñì;
ту
3.84
84..° Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé
1 ñì ìîæíî ðàçáèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè:
На
ц
ио
на
ль
ны
й
3.85
85.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà â êâàäðàòíûõ
ñàíòèìåòðàõ (ðèñ. 104).
Ðèñ. 104
3.86
86..° Íà ñêîëüêî ðàâíûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì
ìîæíî ðàçáèòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé:
1) 6 ñì;
2) 3 ñì?
Правообладатель Национальный институт образования
117
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3. 87
87.. Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ìîæíî ðàçáèòü
ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè 3 ì è 4 ì, åñëè ñòîðîíà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ðàâíà:
1) 1 ì;
2) 1 äì;
3) 1 ñì;
4) 1 ìì?
аз
ов
ан
ия
3. 88
88.. ° Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:
1) 14 ñì;
2) 17 äì;
3) 30 ìì;
4) 11 ì.
то
бр
3. 89
89.. ° Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:
2) 9 ñì2;
1) 25 ñì2;
3) 4 ñì2;
4) 16 ñì2.
ст
и
ту
3.90
90..° Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè:
1) 1 ñì è 8 ñì;
2) 8 ìì è 21 ìì;
3) 7 äì è 6 ì;
4) 12 ìì è 9 äì.
ль
ны
й
ин
3. 91
91.. Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:
2) 8 ñì2;
1) 12 ñì2;
3) 14 ñì2;
4) 5 ñì2.
На
ц
ио
на
3. 92
92.. Ñóùåñòâóåò ëè êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à ïëîùàäü
ðàâíà:
2) 10 ñì2;
1) 4 ñì2;
2
3) 1 äì ;
4) 12 äì2?
Åñëè òàêîé êâàäðàò ñóùåñòâóåò, òî íàéäèòå åãî ñòîðîíó.
3. 93
93.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 1 êì2 72 ì2 + 3 êì2 39 ì2;
2) 3 à 68 ì2 + 7 à 56 ì2;
3) 42 ãà 425 ì2 + 4 ãà 978 à;
4) 71 ãà 76 à + 5 ãà 217 ì 2.
118
Правообладатель Национальный институт образования
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè
3.94
94.. Íàéäèòå ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè êâàäðàòà íà
ðèñóíêå 105, ïîëàãàÿ, ÷òî âñå ðàçìåðû óêàçàíû â ìåòðàõ è ñòîðîíà êâàäðàòà ðàçäåëåíà íà ðàâíûå ÷àñòè.
б)
в)
аз
ов
ан
ия
а)
4
Ðèñ. 105
то
бр
3
4
На
ц
ио
20
20
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
3. 95
95.. 1) Èç ïðÿìîóãîëüíèêà, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 8 ñì è
10 ñì, áûëè âûðåçàíû êâàäðàòû
ñî ñòîðîíîé 2 ñì (ðèñ. 106). Íàéäèòå ïëîùàäü îñòàâøåãîñÿ çàêðàÐèñ. 106
øåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
2) Êàêîå êîëè÷åñòâî êåðàìè÷åñêîé ïëèòêè ðàçìåðîì 20 ñì × 20 ñì íåîáõîäèìî äëÿ ïîêðûòèÿ ïàíåëè
íàä ðàáî÷èì ñòîëîì, åñëè ðàçìåð ïàíåëè 80 ñì × 800 ñì
(ðèñ. 107)?
80
800
Ðèñ. 107
3.96
96.. Ðàçìåðû êàæäîé ôèãóðû óêàçàíû â ìåòðàõ
(ðèñ. 108, 109). Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå:
1) 108, à;
2) 108, á;
3) 109, à;
4) 109, á.
Правообладатель Национальный институт образования
119
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
11
б)
а)
3
2
4
2
5
2
2
7
10
б)
2
6
2
6
2
2
аз
ов
12
4
ан
а)
ия
Ðèñ. 108
4 6
то
бр
6
Ðèñ. 109
ин
ст
и
ту
3. 97
97.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè îäíà èç
åãî ñòîðîí ðàâíà:
1) 36 ñì, à äðóãàÿ íà 4 ñì áîëüøå;
2) 18 ñì, à äðóãàÿ â 2 ðàçà ìåíüøå.
на
ль
ны
й
3. 98
98.. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 60 ñì2, îäíà èç
ñòîðîí ðàâíà:
1) 12 ñì;
2) 4 ñì;
3) 1 äì;
4) 3 äì.
Âû÷èñëèòå äðóãóþ ñòîðîíó ïðÿìîóãîëüíèêà.
На
ц
ио
3. 99
99.. Âûðàçèòå â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ:
1) 7 ãà;
2) 40 à;
3) 90 ãà 6 à;
4) 3 910 êì2.
3. 100
100.. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, çíàÿ
åãî øèðèíó à è ïëîùàäü S:
1) S = 2 ãà, à = 500 ì;
2) S = 4 à, à = 10 ì;
3) S = 5 ì2, à = 400 ñì2;
4) S = 8 êì2, à = 20 ì.
120
Правообладатель Национальный институт образования
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ан
ия
3. 101
101..* Ôåäÿ, Æîðà, Ñàøà è Âëàä ðîäèëèñü 17 îêòÿáðÿ,
27 ìàÿ, 17 èþíÿ, 21 îêòÿáðÿ. Æîðà è Ñàøà ðîäèëèñü
â îäíîì ìåñÿöå, à ó Ñàøè è Ôåäè äåíü ðîæäåíèÿ âûðàæåí îäíèì ÷èñëîì. Óêàæèòå äåíü ðîæäåíèÿ êàæäîãî ìàëü÷èêà.
аз
ов
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
ст
и
ту
то
бр
Ïðèìåð. Ìàãàçèí ïîëó÷èë 3 êîíòåéíåðà ñ òåëåâèçîðàìè.  êàæäîì êîíòåéíåðå 19 æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ
òåëåâèçîðîâ è 16 ïëàçìåííûõ. Ñêîëüêî âñåãî òåëåâèçîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí?
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Ñíà÷àëà óçíàåì, ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â îäíîì êîíòåéíåðå: 19 + 16. Çàòåì óçíàåì,
ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â òðåõ êîíòåéíåðàõ: (19 + 16) . 3.
ио
на
ль
ны
й
ин
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì,
ñêîëüêî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ òåëåâèçîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí: 19 . 3 è ñêîëüêî ïëàçìåííûõ: 16 . 3.
Òîãäà âñåãî ìàãàçèí ïîëó÷èë (19 . 3 + 16 . 3) òåëåâèçîðîâ.
Òàê êàê êîëè÷åñòâî òåëåâèçîðîâ íå çàâèñèò îò ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ, òî
(19 + 16) . 3 = 19 . 3 + 16 . 3.
На
ц
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 19, 16 è 3 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(a + b) . c = a . c + b . c
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
òàê:
Правообладатель Национальный институт образования
121
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë è ÷èñëà ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî ñëàãàåìîãî è ýòîãî
÷èñëà.
ия
Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
ïî-äðóãîìó:
аз
ов
ан
÷òîáû ñóììó äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî,
ìîæíî êàæäîå ñëàãàåìîå óìíîæèòü íà ýòî
÷èñëî è ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîæèòü.
то
бр
Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí âåðåí íå òîëüêî äëÿ äâóõ,
íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð,
(5 + 7 + 9 + 11) . 13 = 5 . 13 + 7 . 13 + 9 . 13 + 11 . 13.
ту
Êîãäà à áîëüøå èëè ðàâíî b, òî
ст
и
(a − b) . c = a . c − b . c
ль
ны
й
ин
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
ио
на
÷òîáû ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî, ìîæíî óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî è èç ïåðâîãî ïðîèçâåäåíèÿ âû÷åñòü âòîðîå.
На
ц
Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ïîçâîëÿåò
ìåíÿòü ìåñòàìè ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó áåçðàçëè÷íî, ãäå
ñòîèò ìíîæèòåëü ñ — ïåðåä ñêîáêîé èëè ïîñëå íåå.
Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó:
743 . 37 + 112 . 37 + 145 . 37 = 37 . (743 + 112 + 145) =
= 37 . 1000 = 37 000.
122
Правообладатель Национальный институт образования
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
Âîïðîñû
то
бр
аз
ов
ан
ия
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ?
3. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ? (Äàéòå äâå ôîðìóëèðîâêè.)
4. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
ст
и
ту
3.102
102.. ° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) (69 − 9) . 5;
2) 2 . (125 + 75);
3) 32 . 19 + 68 . 19;
4) 83 . 47 − 73 . 47.
ль
ны
й
ин
3.103
103..° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) (10 + 1) . 32;
2) (1 + 100) . 64;
3) 25 . (1000 + 4);
4) 20 . (8 + 10 000);
5) 40 . (500 − 1);
6) (1000 − 1) . 101.
На
ц
ио
на
3.104
104..° Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 11 . 64;
2) 92 . 9;
.
3) 101 35;
4) 1001 . 56;
5) 72 . 99;
6) 24 . 999.
3.105
105.. Âû÷èñëèòå:
1) 125 . 5 + 3 . 125;
2) 53 . 11 + 53 . 89;
3) 74 . 97 − 64 . 97;
4) 23 . 99 − 99 . 13;
5) 137 . 85 + 137 . 15 − 137 . 90;
6) 213 . 27 + 213 . 96 − 213 . 113.
Правообладатель Национальный институт образования
123
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðèñ. 110
аз
ов
ан
ия
3. 106
106.. Íà ïîë èãðîâîé êîìíàòû äåòñêîãî ñàäà ïîëîæèëè êâàäðàòíóþ ïëèòêó äâóõ öâåòîâ — çåëåíîãî è
ñåðîãî (ðèñ. 110).
ту
то
бр
Ïîêðûòèå çåëåíîãî ó÷àñòêà ñîñòàâëåíî èç 6 ðÿäîâ
ïî 5 ïëèòîê â êàæäîì ðÿäó, ñåðîãî — èç 6 ðÿäîâ
ïî 7 ïëèòîê â êàæäîì. Ñêîëüêî ïëèòîê óøëî íà ïîêðûòèå ïîëà? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
ин
ст
и
3. 107
107.. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà 25 ñì, 17 ñì è 13 ñì.
Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî â
2 ðàçà áîëüøå.
ль
ны
й
3. 108
108..  òðåõ ïÿòûõ êëàññàõ ó÷èòñÿ ïî 12 ìàëü÷èêîâ
è ïî 18 äåâî÷åê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â ýòèõ êëàññàõ?
На
ц
ио
на
3. 109
109.. Ó÷àñòîê èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà øèðèíîé
6 ì è äëèíîé 12 ì. Îäíà åãî ÷àñòü ðàçìåðîì 6 ì × 7 ì
çàñàæåíà ãàçîííîé òðàâîé, äðóãàÿ — ðîçàìè (ðèñ. 111).
Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, îòâåäåííîãî ïîä ðîçû.
Ðèñ. 111
3. 110
10.. * Ñóììà äâóõ ÷èñåë 781. Îäíî èç íèõ îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Åñëè â ýòîì ÷èñëå íóëü çà÷åðêíóòü,
òî ïîëó÷èòñÿ äðóãîå ÷èñëî. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà.
124
Правообладатель Национальный институт образования
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê.
Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
ия
Êîãäà ìû ÷èòàåì ðàâåíñòâî
(a + b) . c = a . c + b . c
то
бр
(a + b) . c = a . c + b . c
аз
ов
ан
ñëåâà íàïðàâî, ò. å. ïåðåõîäèì îò ïðîèçâåäåíèÿ
(a + b) . c ê ñóììå a . c + b . c, òî ãîâîðèì, ÷òî ðàñêðûâàåì ñêîáêè.
Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî
ñïðàâà íàëåâî:
ту
a . c + b . c = (a + b) . c
ин
ст
и
Êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò ñóììû a . c + b . c ê ïðîèçâåäåíèþ (a + b) . c, òî ãîâîðèì, ÷òî âûíîñèì îáùèé
ìíîæèòåëü çà ñêîáêè.
Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàâåíñòâ
ль
ны
й
(a − b) . c = a . c − b . c
è
a . c − b . c = (a − b) . c
на
Èíîãäà âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,
112 . 6 − 22 . 6 = (112 − 22) . 6 = 90 . 6 = 540;
На
ц
ио
57 . 316 + 43 . 175 − 57 . 16 + 43 . 125 =
= (57 . 316 − 57 . 16) + (43 . 175 + 43 . 125) =
= 57 . (316 − 16) + 43 . (175 + 125) =
= 57 . 300 + 43 . 300 = 300 . (57 + 43) =
= 300 . 100 = 30 000.
Âîïðîñû
1. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ïðîèçâåäåíèÿ (a + b) ⋅ c
ê ñóììå a ⋅ c + b ⋅ c?
2. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ñóììû a ⋅ c + b ⋅ c ê ïðîèçâåäåíèþ (a + b) ⋅ c?
Правообладатель Национальный институт образования
125
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ту
то
бр
3. 112
12.. ° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 10 + 2 . (5 + 3) = 10 + 10 + 3;
2) 10 + 2 . (5 − 3) = 10 + 10 − 6;
3) 10 + (5 − 3) = 10 + 5 − 3;
4) 10 + (5 + 3) = 10 + 5 + 3?
аз
ов
ан
3. 111. Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:
1) 6 . 5 + 8 . 5 è 5 . (6 + 8);
2) 12 . 9 − 9 . 10 è 9 . (12 − 10);
3) 13 . 6 + 5 . 6 + 8 . 6 è 6 . (13 + 5);
4) 24 . 8 − 6 . 8 − 2 . 8 è 8 . (24 − 6 − 8).
ия
Óïðàæíåíèÿ
ль
ны
й
ин
ст
и
3. 113
13.. Ðàñêðîéòå ñêîáêè íå âû÷èñëÿÿ:
1) 2 . (5 + 7) − 11;
2) 3 . (7 − 5) + 13;
3) 17 . (52 − 19) + 19 . (17 − 4);
4) 15 . (43 + 19) + 43 . (17 − 15).
ио
на
3. 114
14.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 92 . 375 − 92 . 625;
2) 51 . 134 + 49 . 134;
3) 81 . 120 − 31 . 120;
4) 147 ⋅ 38 − 38 . 47.
На
ц
3. 115
15.. Âû÷èñëèòå:
1) 362 . 25 + 228 . 25 + 410 . 25;
2) 723 . 40 − 121 . 40 − 102 . 40;
3) 958 . 50 − 235 . 50 − 323 . 50;
4) 897 . 75 − 326 . 75 + 429 . 75.
3. 116
16.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 9 . 7 + 9 . 3 + 100 . 13 − 100 . 4;
2) 60 . 5 + 15 . 5 + 13 . 10 + 12 . 10;
126
Правообладатель Национальный институт образования
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
ан
аз
ов
3.117
17.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 52 . 71 + 28 . 71 − 40 . 71 − 71;
2) 100 . 51 + 10 . 51 − 99 . 51 − 51;
3) 874 . 64 + 874 . 132 + 3 . 874 + 874;
4) 45 . 210 + 45 . 11 − 45 − 45 . 20.
ия
3) 25 . 11 + 25 . 9 + 30 . 8 + 30 . 5 + 7 . 30;
4) 6 . 47 − 2 . 47 + 24 . 4 + 36 . 4 + 18 . 4.
ту
то
бр
3.118
18.. Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå óâåëè÷èòü:
1) â 2 ðàçà;
2) íà 2;
3) íà 10;
4) â 10 ðàç?
ль
ны
й
ин
ст
и
3.119
19.. Ìåñòà äëÿ ïàðêîâêè àâòîìîáèëåé íà àâòîñòîÿíêå
ðàçìå÷åíû ðÿäàìè: 8 ðÿäîâ ïî 34 ìåñòà â êàæäîì
ðÿäó è 8 ðÿäîâ ïî 36 ìåñò â êàæäîì ðÿäó. Êàêîå
êîëè÷åñòâî àâòîìàøèí ìîæíî ðàçìåñòèòü íà àâòîñòîÿíêå?
На
ц
ио
на
3.120
120.. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî
ñòîðîíû ðàâíû:
1) 28 ñì è 62 ñì;
2) 7 ñì 5 ìì è 25 ìì;
3) 3 ì 65 ñì è 2 ì 40 ñì;
4) 1 ì 90 ñì è 33 äì.
3.121
121.. Õâàòèò ëè 1 ì ïðîâîëîêè, ÷òîáû èçãîòîâèòü
êàðêàñíóþ ìîäåëü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî
ðàâíû 24 ñì è 29 ñì?
3.122
122.. Ïîä ïàñòáèùå îòâåëè ó÷àñòîê ëóãà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû øèðèíîé 110 ì è äëèíîé 140 ì. Ñêîëüêî
ìåòðîâ ïðîâîäà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ åãî îãðàæäåíèÿ?
Правообладатель Национальный институт образования
127
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
3. 123
123..* Íåçíàéêà íåïðàâèëüíî ñïèñàë ñ äîñêè óñëîâèå
ïðèìåðà íà ñëîæåíèå íåñêîëüêèõ ÷èñåë.  îäíîì èç
ñëàãàåìûõ âìåñòî öèôðû åäèíèö 5 îí íàïèñàë 8, â
äðóãîì — âìåñòî öèôðû äåñÿòêîâ 4 îí íàïèñàë 9 è
â îäíîì èç îñòàâøèõñÿ ñëàãàåìûõ öèôðó ñîòåí 3
ïðèíÿë çà 1.  ñóììå ïîëó÷èëîñü 55 561. Íàéäèòå
âåðíóþ ñóììó.
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ту
то
бр
Ïðèìåð. Ñàìîñâàë ïåðåâîçèò çà îäèí ðåéñ 7 ò ïåñêà.
Ñêîëüêî ðåéñîâ íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû ïåðåâåçòè 112 ò
ïåñêà?
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
Ðåøåíèå. ×èñëî ðåéñîâ, êîòîðûå äîëæåí ñäåëàòü ñàìîñâàë, îáîçíà÷èì áóêâîé p. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü òàê: 7 . p = 112.  ýòîì ðàâåíñòâå íàäî
íàéòè íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü p. Îí íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ äåëåíèÿ: p = 112 : 7. ×èñëî p íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë 112 è 7.
À òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 112 è 7 âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà à è b.
×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî p,
ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðîå ÷èñëà b ïîëó÷àåòñÿ à:
b . p = a.
×àñòíîå ÷èñåë à è b îáîçíà÷àåòñÿ a : b:
p = a : b.
×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå a : b.
×èñëî à íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî b — äåëèòåëåì.
Óáåäèòüñÿ, ÷òî äåëåíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæíî òàê: óìíîæèòü äåëèòåëü íà ÷àñòíîå; â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ äåëèìîå.
128
Правообладатель Национальный институт образования
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
Íàïðèìåð, 96 : 8 = 12, òàê êàê 8 . 12 = 96.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à
èìååì:
a : 1 = a , òàê êàê 1 . a = a;
ан
a : a = 1 , òàê êàê a . 1 = a.
аз
ов
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
äåëèòñÿ íà 1 è ñàìî íà ñåáÿ.
то
бр
Ïðè äåëåíèè íóëÿ íà ëþáîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî ÷àñòíîå ðàâíî íóëþ:
ту
0 : b = 0 , òàê êàê b . 0 = 0.
ст
и
Äåëèòü íà íóëü íåëüçÿ!
à)
на
â)
ã)
На
ц
ио
á)
ль
ны
й
ин
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ÷åòûðåõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê âûïîëíèòü äåëåíèå ÷èñåë
óãîëêîì.
Ñîâðåìåííîå îáîçíà÷åíèå çíàêîâ äåëåíèÿ è óìíîæåíèÿ ââåë íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãîòôðèä Ëåéáíèö (1646—1716). Çíàê äåëåíèÿ «:»
ïîÿâèëñÿ â 1684 ã., à çíàê óìíîæåíèÿ « . » — â 1698 ã.
Правообладатель Национальный институт образования
129
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîïðîñû
Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 60, 5, 12 â ðàâåíñòâå 60 : 5 = 12?
×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë à è b?
Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå a : b?
×åìó ðàâíî ÷àñòíîå a : 1?
Åñëè à — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ÷åìó ðàâíî ÷àñòíîå:
à) 0 : a; á) a : a?
6. Ìîæíî ëè äåëèòü íà íóëü?
аз
ов
ан
ия
1.
2.
3.
4.
5.
то
бр
Óïðàæíåíèÿ
ст
и
ту
3.124
124..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 60 : 6;
2) 75 : 1;
3) 143 : 143;
4) 505 : 5.
ль
ны
й
ин
3. 125
125.. ° Íàéäèòå:
1) ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå ðàâíî 60, à äåëèòåëü ðàâåí 20;
2) äåëèìîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 25, à ÷àñòíîå 0;
3) äåëèòåëü, åñëè äåëèìîå ðàâíî 624, à ÷àñòíîå 1;
4) ÷àñòíîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 10, à äåëèìîå 0.
На
ц
ио
на
3. 126
126.. ° Âûïîëíèòå äåëåíèå:
1) 48 : 12;
2) 60 : 15;
3) 80 : 20;
4) 100 : 25.
3. 127
127.. ° Âû÷èñëèòå:
1) 107 : 107;
3) 1000 : 1;
2) 1000 : 1000;
4) 0 : 100.
3. 128
128.. ° Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) 6 813 040 : 16;
3) 6 221 660 : 20;
2) 859 265 : 11;
4) 357 100 : 50.
130
Правообладатель Национальный институт образования
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.129
129.. Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ:
1) 82 836 : 354;
2) 260 428 : 497;
3) 976 860 : 243;
4) 215 040 : 168.
аз
ов
ан
ия
3.130
130.. Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïîìîùüþ äåëåíèÿ:
1) 92 500 : 37;
2) 1920 : 15;
3) 393 254 : 83;
4) 71 325 : 951.
ту
ин
ст
и
3.132
132..° Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) 30 500 : 100;
2) 142 000 : 100;
3) 234 000 : 1000;
4) 816 036 000 : 1000.
то
бр
3.131
131..° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 8200 : 100 = 82;
2) 56 000 : 1000 = 560;
3) 920 : 10 = 92;
4) 370 000 : 100 = 370?
ль
ны
й
3.133
133..° Âû÷èñëèòå:
1) 1800 : 900;
3) 10 000 : 250;
2) 270 : 30;
4) 3 330 000 : 300.
На
ц
ио
на
3.134
134..° Óìåíüøèòå â 9 ðàç ÷èñëî:
1) 549;
2) 4689;
3) 9 900 909;
4) 900 900 900.
3.135
135.. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ìåíüøå ÷èñëà:
1) 12 â 3 ðàçà;
2) 100 â 25 ðàç;
3) 150 â 10 ðàç;
4) 1000 â 8 ðàç.
3.136
136.. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è âî ñêîëüêî ðàç:
1) 25 èëè 75;
2) 57 èëè 19;
3) 2 ìëí èëè 2 òûñ.?
Правообладатель Национальный институт образования
131
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
3. 137
137.. Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è âî ñêîëüêî ðàç:
1) 10 000 èëè 10 000 000;
2) 5757 èëè 57;
3) 55 ìëí èëè 11 òûñ.?
аз
ов
2) 550 : 55 = 50 : 5;
4) 70 : 10 = 14 : 2?
то
бр
3. 139
139.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 300 : 150 = 2 : 1;
3) 135 : 15 = 45 : 5;
ан
3. 138
138.. ×èñëî 288 óìåíüøèëè â 2 ðàçà, à çàòåì â 9 ðàç.
Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèëè ÷èñëî 288?
ин
ст
и
ту
3. 140
140.. Èçâåñòíî, ÷òî 916 ⋅ 205 = 187 780. Íå âûïîëíÿÿ
äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 187 780 : 205 = 916;
2) 187 780 : 916 = 205;
3) 205 . 916 = 187 780;
4) 916 . 187 780 = 205.
на
ль
ны
й
3. 141
141.. Èçâåñòíî, ÷òî 34 020 : 108 = 315. Íå âûïîëíÿÿ
äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 108 . 315 = 34 020;
2) 34 020 : 315 = 108;
3) 315 . 34 020 = 108;
4) 315 . 108 = 34 020.
На
ц
ио
3.142
142.. Êàê èçìåíèòñÿ ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå óâåëè÷èòü:
1) â 6 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 3 ðàçà;
2) â 8 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 2 ðàçà?
3. 143
143.. Êàê ìîæíî óìåíüøèòü äåëèìîå è äåëèòåëü,
÷òîáû ÷àñòíîå:
1) óâåëè÷èëîñü â 5 ðàç;
2) óìåíüøèëîñü â 4 ðàçà?
3. 144
144.. Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:
132
Правообладатель Национальный институт образования
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
1) 729, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 3 ðàçà ìåíüøå ïðåäûäóùåãî;
2) 1024, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àþò èç ïðåäûäóùåãî äåëåíèåì íà 2.
то
бр
аз
ов
ан
3.145
145.. Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
3. 146
146.. Íà äâîðå òðàâà, íà òðàâå äðîâà. Îïðåäåëèòå
÷èñëî îäèíàêîâûõ ïîëåíüåâ, êîòîðûå ïëîòíî óëîæåíû
â îäèí ðÿä íà òðàâÿíîì ãàçîíå ïëîùàäüþ 240 äì2,
åñëè îäíî ïîëåíî çàíèìàåò 2 äì2 (ðèñ. 112).
Ðèñ. 112
ио
на
3. 147
147.. Äåòè ðàññûïàëè 216 öâåòíûõ êàðàíäàøåé è
ðàçëîæèëè èõ â 18 êîðîáîê ïîðîâíó. Ñêîëüêî êàðàíäàøåé îêàçàëîñü â êàæäîé êîðîáêå?
На
ц
3.148
148.. Çàêëàäûâàÿ íîâóþ ïëàíòàöèþ íîâîãîäíèõ åëîê,
ëåñîïîñàäî÷íàÿ ìàøèíà ôîðìèðóåò 32 îäèíàêîâûõ
ðÿäà. Ñêîëüêî åëîê áóäåò ïîñàæåíî â êàæäîì ðÿäó,
åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ñàæåíöåâ 1440 øòóê?
3.149
149.. Â êàæäîé êîðîáêå 60 óïàêîâîê ìåëêîâ, à â êàæäîé óïàêîâêå 80 ìåëêîâ. Åæåäíåâíî íà óðîêàõ ìàòåìàòèêè ðàñõîäóåòñÿ 16 ìåëêîâ. Íà ñêîëüêî äíåé äëÿ
óðîêîâ ìàòåìàòèêè õâàòèò îäíîé êîðîáêè?
Правообладатель Национальный институт образования
133
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
90 см
то
бр
аз
ов
ан
ия
3. 150
150.. Íà èçãîòîâëåíèå îäíîé ñêàòåðòè òðåáóåòñÿ êóñîê ëüíÿíîãî ïîëîòíà îïðåäåëåííîé øèðèíû äëèíîé
90 ñì, à íà èçãîòîâëåíèå øåñòè ñàëôåòîê êâàäðàòíîé
ôîðìû óõîäèò êóñîê ýòîãî æå ïîëîòíà äëèíîé 20 ñì
(ðèñ. 113). Ñêîëüêî òàêèõ êîìïëåêòîâ ìîæíî èçãîòîâèòü èç ëüíÿíîãî ïîëîòíà äëèíîé 33 ì? Îïðåäåëèòå
øèðèíó ïîëîòíà.
20 см
ту
Ðèñ. 113
ин
ст
и
3. 151
151.. * Äåëèìîå â 7 ðàç áîëüøå äåëèòåëÿ, à äåëèòåëü
íà 2 áîëüøå ÷àñòíîãî. Íàéäèòå äåëèìîå, äåëèòåëü,
÷àñòíîå.
на
ль
ны
й
3. 152
152.. * Èçâåñòíî, ÷òî 5 êðàñíûõ ñòåðæíåé äîðîæå
6 ÷åðíûõ ñòåðæíåé. ×òî äîðîæå: 9 êðàñíûõ ñòåðæíåé èëè 10 ÷åðíûõ?
На
ц
ио
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó
Ïð
èìåð. Ïåòÿ è Âàñÿ ïîéìàëè âäâîåì 42 ðàêà. ÑêîëüÏðèìåð.
êî ðàêîâ ïîéìàë êàæäûé èç íèõ, åñëè Ïåòÿ ïîéìàë
â 5 ðàç áîëüøå ðàêîâ, ÷åì Âàñÿ?
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ
(ðèñ. 114).
Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ðàêîâ, ïîéìàííûõ
Âàñåé, ïðèíÿòü çà 1 ÷àñòü, òî ðàêè, ïîéìàííûå Ïåòåé,
134
Правообладатель Национальный институт образования
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó
Ïåòèíû ðàêè
42 ðàêà
Âàñèíû ðàêè
ия
Ðèñ. 114
то
бр
аз
ов
ан
ñîñòàâëÿþò 5 òàêèõ ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîéìàííûå ðåáÿòàìè ðàêè ñîñòàâëÿþò 1 + 5 = 6 (÷àñòåé).
Íà ýòè 6 ÷àñòåé ïðèõîäèòñÿ 42 ðàêà. Çíà÷èò, íà îäíó
÷àñòü ïðèõîäèòñÿ 42 : 6 = 7 (ðàêîâ). Ýòî ñòîëüêî ðàêîâ,
ñêîëüêî ïîéìàë Âàñÿ. À Ïåòÿ ïîéìàë â 5 ðàç áîëüøå,
ò. å. 7 . 5 = 35 (ðàêîâ).
Îòâåò: Ïåòÿ ïîéìàë 35 ðàêîâ, à Âàñÿ — 7 ðàêîâ.
ст
и
ту
Çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è ïî äåéñòâèÿì.
ль
ны
й
ин
À âîò ðåøåíèå ýòîé æå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèÿ.
Ïóñòü õ ðàêîâ ïîéìàë Âàñÿ, òîãäà õ . 5 ðàêîâ ïîéìàë Ïåòÿ. Ïîñêîëüêó âìåñòå îíè ïîéìàëè 42 ðàêà, òî
ñîñòàâèì óðàâíåíèå:
õ + õ . 5 = 42.
ио
Âîïðîñû
на
Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 7.
На
ц
1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?
2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíûé äåëèòåëü, çíàÿ äåëèìîå è ÷àñòíîå?
Óïðàæíåíèÿ
3.153
153..° Â äâóõ ðóëîíàõ 1080 ì òêàíè. Â îäíîì èç íèõ
â 3 ðàçà áîëüøå òêàíè, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî ìåòðîâ òêàíè â êàæäîì ðóëîíå?
Правообладатель Национальный институт образования
135
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3. 154
154.. °  äâóõ ïàêåòàõ 1350 ã ïå÷åíüÿ.  îäíîì èç
íèõ ïå÷åíüÿ â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî
ãðàììîâ â êàæäîì ïàêåòå?
аз
ов
ан
ия
3.155
155..° Â ìàãàçèíå çà äåíü ïðîäàíî 1020 êã êàðòîôåëÿ.
Ïîñëå îáåäà ïðîäàíî êàðòîôåëÿ â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì
äî îáåäà. Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ áûëî ïðîäàíî äî è ïîñëå îáåäà?
ту
то
бр
3. 156
156.. Äëÿ ñïîðòèâíîãî êëóáà êóïèëè 70 áîëüøèõ
è ìàëåíüêèõ ìÿ÷åé. Áîëüøèõ ìÿ÷åé êóïèëè â 4 ðàçà
ìåíüøå, ÷åì ìàëåíüêèõ. Ñêîëüêî êóïèëè áîëüøèõ
ìÿ÷åé è ñêîëüêî ìàëåíüêèõ?
ль
ны
й
ин
ст
и
3. 157
157.. Íà òðåõ ïîëêàõ ðàññòàâèëè 36 ÷àøåê òàê, ÷òî
íà âåðõíåé ïîëêå ÷àøåê âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé, à íà ñðåäíåé ïîëêå ÷àøåê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì
íà âåðõíåé. Ñêîëüêî ÷àøåê íà êàæäîé ïîëêå?
на
3. 158
158.. Íà òðåõ ïîëêàõ 44 êíèãè ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî
íà âåðõíåé ïîëêå êíèã âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé,
à íà ñðåäíåé ïîëêå êíèã â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà âåðõíåé. Ñêîëüêî êíèã íà êàæäîé ïîëêå?
На
ц
ио
3. 159
159.. Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè ïðîøåäøàÿ ÷àñòü ñóòîê â 3 ðàçà ìåíüøå îñòàâøåéñÿ?
3. 160
160.. Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ñóòîê â 2 ðàçà ìåíüøå ïðîøåäøåé?
3. 161
161.. * Ýäèê, Ïàøà è Äèìà â ïðûæêàõ â âûñîòó ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû 105 ñì, 100 ñì è 95 ñì. Ýäèê ïðûãíóë íå íèæå Ïàøè, à Äèìà ïðûãíóë íå âûøå Ïàøè.
Íà êàêóþ âûñîòó ïðûãíóë êàæäûé èç ìàëü÷èêîâ?
136
Правообладатель Национальный институт образования
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó
ðèñóíîê
óñëîâèÿ
аз
ов
ñõåìàòè÷åñêèé
×èñëî ìåñò â ïëàöêàðòíîì
âàãîíå
×èñëî ìåñò â êóïåéíîì
âàãîíå
то
бр
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì
(ðèñ. 115).
ан
ия
Ïð
èìåð. Â ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå,
Ïðèìåð.
÷åì â êóïåéíîì. Ñêîëüêî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãîíå, åñëè â íåì â 3 ðàçà áîëüøå ìåñò, ÷åì â êóïåéíîì?
36 ìåñò
ту
Ðèñ. 115
ль
ны
й
ин
ст
и
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì ÷èñëî ìåñò
â êóïåéíîì âàãîíå çà 1 ÷àñòü, òîãäà ÷èñëî ìåñò â
ïëàöêàðòíîì âàãîíå ñîñòàâëÿåò 3 ÷àñòè.
 ïëàöêàðòíîì âàãîíå ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì, íà
3 − 1 = 2 (÷àñòè).
Íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ
на
36 : 2 = 18 (ìåñò).
ио
Çíà÷èò, â ïëàöêàðòíîì âàãîíå
18 . 3 = 54 (ìåñòà).
На
ц
Îòâåò: 54 ìåñòà.
Ïóñòü â êóïåéíîì âàãîíå õ ìåñò, òîãäà â
ïëàöêàðòíîì — õ . 3 ìåñò. Ïîñêîëüêó â ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì,
òî ñîñòàâèì óðàâíåíèå:
õ . 3 − õ = 36.
Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 18.
Правообладатель Национальный институт образования
137
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Âîïðîñû
ан
ия
1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, çíàÿ óìåíüøàåìîå
è ðàçíîñòü?
2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, çíàÿ âû÷èòàåìîå
è ðàçíîñòü?
3. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?
аз
ов
Óïðàæíåíèÿ
ст
и
ту
то
бр
3. 162
162.. ° Ñîâåðøàÿ îäíîäíåâíûé ïîõîä, ó÷àùèåñÿ ñäåëàëè ïðèâàë. Îáñóäèâ äàëüíåéøèé ìàðøðóò, îíè ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî èì îñòàëîñü ïðîéòè ïóòü â 3 ðàçà
ìåíüøèé è îí íà 8 êì êîðî÷å ïðîéäåííîãî. Íàéäèòå
äëèíó âñåãî òóðèñòñêîãî ìàðøðóòà.
ль
ны
й
ин
3. 163
163.. Ìàëü÷èê ðàçðåçàë ïðîâîä íà äâå ÷àñòè òàê, ÷òî
îäíà èç íèõ îêàçàëàñü â 6 ðàç äëèííåå äðóãîé. Íàéäèòå ïåðâîíà÷àëüíóþ äëèíó ïðîâîäà, åñëè áîëüøàÿ
÷àñòü íà 35 ñì äëèííåå ìåíüøåé.
На
ц
ио
на
3. 164
164.. °  ëèòåðàòóðíîì êðóæêå â 3 ðàçà ìåíüøå ó÷àùèõñÿ, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì êðóæêå. Ñêîëüêî âñåãî ó÷àùèõñÿ çàíèìàþòñÿ â ýòèõ êðóæêàõ, åñëè â ëèòåðàòóðíîì íà 16 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì?
3. 165
165.. Â æåëòîé ïàïêå â 4 ðàçà áîëüøå ëèñòîâ áóìàãè,
÷åì â êðàñíîé. Ñêîëüêî âñåãî ëèñòîâ áóìàãè â ýòèõ
ïàïêàõ, åñëè â êðàñíîé ïàïêå íà 30 ëèñòîâ ìåíüøå,
÷åì â æåëòîé?
3. 166
166.. Ó Íàòàøè â 7 ðàç áîëüøå îòêðûòîê, ÷åì ó Òàíè. Ñêîëüêî âñåãî îòêðûòîê ó äåâî÷åê, åñëè ó Íàòàøè
íà 24 îòêðûòêè áîëüøå, ÷åì ó Òàíè?
138
Правообладатель Национальный институт образования
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ
ия
3.167
167.. Òóðáþðî â òå÷åíèå ëåòíåãî ïåðèîäà ïðîäàëî â
3 ðàçà ìåíüøå ïóòåâîê â ñàíàòîðèè, ÷åì íà òóðáàçó,
íî íà 88 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ïðîôèëàêòîðèè. Ñêîëüêî âñåãî ïðîäàíî ïóòåâîê, åñëè íà òóðáàçó áûëî ïðîäàíî íà 312 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ñàíàòîðèè?
то
бр
аз
ов
ан
3.168
168.. Íà ýëåâàòîð ïîñòóïèëî ïøåíèöû â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì ðæè, à îâñà — â 3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ðæè.
Ñêîëüêî çåðíà êàæäîé êóëüòóðû ïîñòóïèëî íà ýëåâàòîð, åñëè ïøåíèöû ïîñòóïèëî íà 720 ò áîëüøå, ÷åì ðæè?
ин
ст
и
ту
3.169
169..* Íà êíèæíîì ñêëàäå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
áûëî â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïî èñòîðèè, ïî ëèòåðàòóðå — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïî èñòîðèè. Ó÷åáíèêîâ
ïî ëèòåðàòóðå áûëî íà 30 450 ìåíüøå, ÷åì ïî ìàòåìàòèêå. Ñêîëüêî ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå âûâåçëè
ñî ñêëàäà, åñëè èõ îñòàëîñü íà 28 620 ìåíüøå, ÷åì
âûâåçëè?
На
ц
ио
на
ль
ны
й
3.170
170..* Îò äà÷íîãî ó÷àñòêà äî æåëåçíîäîðîæíîé ñòàíöèè è îáðàòíî äà÷íèê íà âåëîñèïåäå åäåò 24 ìèí.
Åñëè îí äî ñòàíöèè ïîåäåò íà âåëîñèïåäå, à íàçàä
ïîéäåò ïåøêîì, òî çàòðàòèò 42 ìèí. Çà êàêîå âðåìÿ
äà÷íèê ïðîéäåò ïóòü ïåøêîì îò äà÷è äî ñòàíöèè è
îáðàòíî?
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ
Íàïîìíèì, ÷òî çàïèñü, ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ
÷èñëîâûì âûðàæåíèåì.
Çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ âñåõ
óêàçàííûõ â ýòîì âûðàæåíèè äåéñòâèé.
Правообладатель Национальный институт образования
139
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè ïåðâîé ñòóïåíè. Óìíîæåíèå è äåëåíèå
íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè âòîðîé ñòóïåíè.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
Íàïîìíèì ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé.
1. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò
äåéñòâèÿ òîëüêî îäíîé ñòóïåíè, òî ýòè äåéñòâèÿ
âûïîëíÿþò ïî ïîðÿäêó ñëåâà íàïðàâî.
Íàïðèìåð:
à) 283 − 13 + 105 = 270 + 105 = 375;
á) 340 : 17 . 45 = 20 . 45 = 900.
2. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò
äåéñòâèÿ ðàçíûõ ñòóïåíåé, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò
óìíîæåíèå è äåëåíèå (ñëåâà íàïðàâî), à çàòåì ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå (ñëåâà íàïðàâî).
Íàïðèìåð:
475 − 750 : 10 + 20 . 15 = 475 − 75 + 300 =
= 400 + 300 = 700.
На
ц
ио
на
3. Åñëè â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò âñå äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ (ñëåâà íàïðàâî),
à çàòåì âñå äåéñòâèÿ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè (ñëåâà íàïðàâî).
Íàïðèìåð:
475 − 750 : (10 + 20) . 15 = 475 − 750 : 30 . 15 =
= 475 − 25 . 15 = 475 − 375 = 100.
Îáðàòèòå âíèìàíèå, âûðàæåíèÿ
475 − 750 : 10 + 20 . 15 è 475 − 750 : (10 + 20) . 15
îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñêîáêàìè. Íî ñêîáêè ìåíÿþò ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ó ýòèõ
âûðàæåíèé ðàçíûå, ñîîòâåòñòâåííî, 700 è 100.
140
Правообладатель Национальный институт образования
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ
Âîïðîñû
аз
ов
ан
ия
1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì; á) çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ?
2. Êàêèå äåéñòâèÿ íàçûâàþò äåéñòâèÿìè: à) ïåðâîé ñòóïåíè; á) âòîðîé ñòóïåíè?
3. Êàêîâ ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè
çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé?
Óïðàæíåíèÿ
ст
и
3.172
172..° Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå
çíà÷åíèå:
1) 18 : 9 + 11 . 6;
3) (86 + 67) : 17;
5) (159 − 29) : (98 − 33);
ту
то
бр
3.171
171.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
çíà÷åíèå:
1) 42 + 69;
2) 97 − 11;
3) 47 . 25;
4) 33 : 3.
ль
ны
й
ин
âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
2) 511 + 804 : 12;
4) (34 + 19) . (62 + 5);
6) 23 . (76 − 41).
На
ц
ио
на
3.173
173.. Ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
çíà÷åíèå:
1) ñóììà ÷èñëà 39 è ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 11 è 7;
2) ñóììà ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 21 è 8 è ÷àñòíîãî
÷èñåë 305 è 61;
3) ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë 83 è 27 è ÷èñëà 25;
4) ÷àñòíîå ðàçíîñòè ÷èñåë 69 è 21 è ÷èñëà 12.
3.174
174.. Íàéäèòå çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ:
1) 10 . (324 230 + 125) − 346 210 : 2;
2) (526 280 − 3625) : 5 + 3104 . 323;
3) 130 800 : 25 . 137 − (17 260 + 668);
4) (732 534 − 37 200) + 304 : 2 . 326.
Правообладатель Национальный институт образования
141
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
âûðàæåíèé:
è 5642 − (2483 − 984);
è 6142 − (1542 − 949);
è 48 910 + (981 − 799);
è 53 207 + (473 − 192).
ия
3. 175
175.. Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ
1) 5642 − (2483 − 987)
2) 6142 − (1542 − 947)
3) 48 913 + (981 − 799)
4) 53 204 + (473 − 194)
аз
ов
ан
3.176
176.. ×èñëî 36 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ òàê, ÷òîáû îäíî èç íèõ áûëî áîëüøå äðóãîãî:
1) íà 12;
2) â 5 ðàç.
то
бр
3. 177
177.. Ìàññà áåãåìîòèõè äîñòèãàåò 550 êã, à ìàññà åå
äåòåíûøà â 5 ðàç ìåíüøå. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà áåãåìîòèõè è åå äåòåíûøà?
ст
и
ту
3.178
178.. Äëèíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 18 äì, à øèðèíà —
íà 17 äì ìåíüøå. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà.
на
ль
ны
й
ин
3. 179
179.. Íà îòðåçêå KÌ (ðèñ. 116) îòìåòèëè òî÷êè À è Â
òàê, ÷òî äëèíà îòðåçêà KÀ ðàâíà 4 ñì, äëèíà îòðåçêà ÀÂ íà 1 ñì ìåíüøå äëèíû îòðåçêà KÀ, à äëèíà
îòðåçêà ÂÌ ðàâíà ñóììå äëèí îòðåçêîâ KÀ è ÀÂ.
Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà KÌ.
Ðèñ. 116
На
ц
ио
3. 180
180.. Äëÿ øêîëüíîãî ïðàçäíèêà áûëî êóïëåíî 93 øàðèêà òðåõ öâåòîâ. Êðàñíûõ øàðèêîâ áûëî íà 12 ìåíüøå, ÷åì áåëûõ, à ñèíèõ íà 12 áîëüøå, ÷åì áåëûõ. Ñêîëüêî øàðèêîâ êàæäîãî öâåòà êóïèëè äëÿ ïðàçäíèêà?
3. 181
181.. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî ÷èñëîâîìó âûðàæåíèþ:
1) (32 + 45) . 2;
2) 64 : 8 − 72 : 9.
3. 182
182.. Ñîñòàâüòå ñóììó ÷åòûðåõ ÷èñåë, ïåðâîå èç êîòîðûõ ðàâíî 12, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Íàéäèòå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ.
142
Правообладатель Национальный институт образования
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
ан
ту
то
бр
аз
ов
3.184
184.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 86 + õ + 138 = 250;
2) 250 − (175 − y) = 125;
3) (x − 84) . 11 = 176;
4) 723 − (246 + õ) = 123;
5) 24 . (94 − y) = 384;
6) 76 659 : y + (32 . 22 − 62) : 507 = 101.
ия
3.183
183.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 43 578 + 41 200 : 200 − 812 . 13;
2) ((526 + 375) . 68 − 14 . (674 + 348)) : 16;
3) ((3026 + 2175) . 8 − 2 . (3074 + 2050)) : 16;
4) 43 500 780 + 412 000 : 2000 − 81 201 . 13.
ин
ст
и
3.185
185.. Äëèíà îòðåçêà ÀÂ ðàâíà 16 äì 8 ñì, äëèíà îòðåçêà CD — 420 ìì. Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îòðåçêà CD
ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ?
ль
ны
й
3.186
186..* Íàéäèòå òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñëà, åñëè èõ ñóììà ðàâíà 840.
На
ц
ио
на
3.187
187..* Ïåòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìåíüøå 100.
Ïîêàæèòå, ÷òî âû ìîæåòå îïðåäåëèòü ýòî ÷èñëî, çàäàâ
Ïåòå íå áîëåå 7 âîïðîñîâ, íà êîòîðûå îí áóäåò äàâàòü
îòâåòû ñëîâàìè «äà» èëè «íåò».
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
Ïð
èìåð 1. Ðàññòîÿíèå îò òóðèñòñêîãî ëàãåðÿ äî ãîðîäà
Ïðèìåð
Áîðèñîâà 28 êì. Òóðèñòû èäóò èç ëàãåðÿ â ãîðîä ñî
км
ñêîðîñòüþ 4
. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà
ч
îíè áóäóò:
à) ÷åðåç 2 ÷; á) ÷åðåç 3 ÷; â) ÷åðåç t ÷?
Правообладатель Национальный институт образования
143
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðåøåíèå.
à) Çà 2 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 2 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
2 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
28 − 4 . 2, ò. å. 20 êì.
аз
ов
ан
ия
á) Çà 3 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 3 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
3 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
28 − 4 . 3, ò. å. 16 êì.
то
бр
â) Çà t ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . t êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
t ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
(28 − 4 . t) êì.
ст
и
ту
Çàïèñü, ñîñòîÿùàÿ èç ÷èñåë, áóêâ, çíàêîâ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì.
ль
ны
й
ин
Òåïåðü, åñëè íóæíî áóäåò óçíàòü, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà òóðèñòû áóäóò ÷åðåç 5 ÷, ìû
ïðîñòî ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå 28 − 4 . t âìåñòî áóêâû t ÷èñëî 5 è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ:
28 − 4 . 5 = 8 (êì).
На
ц
ио
на
 áóêâåííîì âûðàæåíèè 28 − 4 . t áóêâà t, âìåñòî
êîòîðîé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé, à ñàìî âûðàæåíèå — âûðàæåíèåì ñ ïåðåìåííîé. Âîîáùå, ïåðåìåííûå — ýòî áóêâû, âõîäÿùèå â áóêâåííîå âûðàæåíèå, êîòîðûå ìîãóò
ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.
Åñëè â âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè âìåñòî ïåðåìåííûõ ïîäñòàâèòü ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå. Åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ
çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðè
äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
144
Правообладатель Национальный институт образования
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
Ïðèìåð 2. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 17 ⋅ a − b : 3 ïðè
à = 4, b = 33.
Ðåøåíèå. Ïðè à = 4 è b = 33 ïîëó÷èì
ия
17 . a − b : 3 = 17 . 4 − 33 : 3 = 68 − 11 = 57.
ан
Îòâåò: 57.
то
бр
аз
ов
Ãîâîðèì: «Ïðè à, ðàâíîì ÷åòûðåì, è b, ðàâíîì òðèäöàòè òðåì, âûðàæåíèå 17 . a − b : 3 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå 57».
Ïðèìåð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
5 . p + 3 . (p + 1) ðàâíî 19?
ст
и
ту
Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:
ль
ны
й
ин
5 . p + 3 . (p + 1) = 5 . p + 3 . p + 3 . 1 =
= (5 + 3) . p + 3 = 8 . p + 3.
Ðåøèâ óðàâíåíèå 8 . p + 3 = 19, ïîëó÷èì p = 2.
Îòâåò: ïðè p = 2.
Âîïðîñû
На
ц
ио
на
1. ×òî íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì?
2. ×òî òàêîå ïåðåìåííàÿ?
3. ×òî íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ?
Óïðàæíåíèÿ
3.188
188..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
1) 32 . b;
2) 14 . c;
.
3) 117 n;
4) 48 . a + b;
6) 44 . b3 + 2;
5) 35 . m − n2;
Правообладатель Национальный институт образования
145
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
7) 3 . n + 4 . m5;
9) 81 . p2 + q3 − 65;
8) 95 . x7 − 14 . y;
10) 35 . t4 − s2 + 2.
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
3. 189
189.. ° Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è.
1) Îäíî ÷èñëî ðàâíî à, à äðóãîå â 5 ðàç áîëüøå.
×åìó ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?
2) Îäíî ÷èñëî ðàâíî b, à äðóãîå íà 5 áîëüøå. ×åìó
ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?
3) Òàíå 10 ëåò, à Èðà â n ðàç ìëàäøå. Ñêîëüêî
ëåò Èðå?
4) Â øêîëó Ñòåïà èäåò 15 ìèí, à îáðàòíî — íà
ñ ìèí äîëüøå. Ñêîëüêî âðåìåíè ó íåãî óõîäèò
íà äîðîãó â øêîëó è îáðàòíî?
ин
ст
и
3.190
190.. Çàïèøèòå ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ âûðàæåíèé:
1) 25 + 36 è 80 − à;
2) 91 . f è 101 . k;
3) 14 : t è 29 + b;
4) 134 . m è 45 : n.
ль
ны
й
3. 191
191.. Çàïèøèòå ðàçíîñòü è ÷àñòíîå äâóõ âûðàæåíèé:
1) 130 − à è 25 . à;
2) 14 + m è n + 36;
3) õ − 16 è ó − 95;
4) 72 . t è 121 : k.
ио
на
3. 192
192.. Ðàñêðîéòå ñêîáêè:
1) 12 + (16 − 4 . à);
3) 2 . (3ð − 40) − 18;
2) 12 + (8 − 4 . å);
4) 4 . (3ð + 25) + 17.
На
ц
3. 193
193.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ïðè à = 1:
1) 38 + à;
2) à2 + 1;
3) 29 . à + à2;
4) 50 . à − 25 . à2.
3. 194
194.. ° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 38 6301 + à, åñëè à = 2 906 715;
2) 56 093 201 − b, åñëè b = 46 901 203;
3) (13 901 − t) . 2, åñëè t = 1894;
4) (1597 + k) − 32 . k, åñëè k = 35.
146
Правообладатель Национальный институт образования
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæå87 + 3 . c + 6 . c + 3;
105 . n − 4 − 50 . n;
(k − 13) . 7;
8 ⋅ n + (5 + n) . 4.
ия
2)
4)
6)
8)
ан
3.195
195.. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå,
íèÿ è óìíîæåíèÿ:
1) 2 . b + 29 + 3 . b − 4;
3) 64 + 60 . c − 54 . c;
5) 4 . (12 − m);
7) 14 + 2 . (b − 5);
то
бр
аз
ов
3. 196
196.. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè t çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
3 . t + 2 . (5 − t) ðàâíî:
1) 14;
2) 29;
3) 33;
4) 108?
ст
и
ту
3.197
197..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ p è q çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 3 . (p − 2 . q) + 6q − 12 ðàâíî:
1) 12;
2) 33;
3) 36;
4) 99?
ль
ны
й
ин
3.198
198..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k è m çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ k + 3 . (4 . m + 5) − 12m − 11 ðàâíî:
1) 35;
2) 63;
3) 707;
4) 2121?
на
3.199
199..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 4 . p + 2 . (4 − 2 . p) − 8 + 64 : m ðàâíî:
1) 2;
2) 16;
3) 32;
4) 64?
ио
3.200
200..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à è b çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 4a + 2 . (3 . b − a) − 6 . b + 10 ðàâíî:
На
ц
1) 10;
4) 40;
2) 12;
5) 28;
3) 30;
6) 64?
3.201
201.. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:
1) 5 . (2 . m + 3 . p) + 2 . (3 . p − 5 . m);
2) 3 . (4 . p − 2 . q) + 4 . (5 . q − 3 . p);
3) 134 . k − 10 . l + 5 . (2 . l − 17 . k);
4) 48 . n + 18 . t + 8 . (3 . t − 2 . n).
Правообладатель Национальный институт образования
147
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
3. 202
202.. Ïà÷êà ïå÷åíüÿ ñòîèò à ðóáëåé, ïàêåò ñîêà —
b ðóáëåé. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòîèìîñòè ïîêóïêè, åñëè êóïèëè:
1) 4 ïà÷êè ïå÷åíüÿ è 2 ïàêåòà ñîêà;
2) 5 ïà÷åê ïå÷åíüÿ è 4 ïàêåòà ñîêà.
то
бр
аз
ов
ан
3. 203
203..  êëàññå 14 äåâî÷åê, à ìàëü÷èêîâ íà m ÷åëîâåê
áîëüøå. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
ó÷åíèêîâ â êëàññå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè m,
ðàâíîì:
1) 2;
2) 4;
3) 3;
4) 5.
ин
ст
и
ту
3. 204
204.. Ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî n, âòîðîå íà 5, à òðåòüå â
2 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñóììû ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè n, ðàâíîì:
1) 9;
2) 16;
3) 39;
4) 51.
ио
на
ль
ны
й
3. 205
205.. Ñóììà ñîñòîèò èç ïÿòè ñëàãàåìûõ, ïåðâîå ðàâíî n, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî.
Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå
ïðè n, ðàâíîì:
1) 2;
2) 3;
3) 4;
4) 5.
На
ц
3. 206
206.. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç øåñòè ÷èñåë,
ïåðâîå ðàâíî à, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 6 ðàç áîëüøå
ïðåäûäóùåãî. Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå
åå çíà÷åíèå ïðè à, ðàâíîì:
1) 1;
2) 2;
3) 6;
4) 8.
3. 207
207.. * Âî âëàäåíèÿõ Ñíåæíîé Êîðîëåâû 12 ëåäÿíûõ
äîìèêîâ è êàæäûå äâà äîìèêà ñîåäèíåíû äîðîãîé.
Ñêîëüêî äîðîã â êîðîëåâñòâå?
148
Правообладатель Национальный институт образования
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè
ан
ия
Ïð
èìåð 1. Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàðìåëàäà èç ñëèâ íà
Ïðèìåð
5 ÷àñòåé ñëèâîâîãî ïþðå íàäî âçÿòü 3 ÷àñòè ñàõàðà.
Ñêîëüêî íåîáõîäèìî âçÿòü ñàõàðà, ÷òîáû ïðèãîòîâèòü
ìàðìåëàä èç 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå?
то
бр
10 : 5 = 2 (êã).
аз
ов
Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå ñîñòàâëÿþò 5 ÷àñòåé.
Çíà÷èò, íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ
Ñàõàðà íàäî âçÿòü 3 òàêèå ÷àñòè, çíà÷èò,
ту
2 . 3 = 6 (êã).
ст
и
Îòâåò: 6 êã.
ль
ны
й
ин
Ïð
èìåð 2.  êíèãå âîëøåáíèêîâ íàïèñàíî, ÷òî äëÿ ïðèÏðèìåð
ãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè íàäî âçÿòü 7 ÷àñòåé ùåäðîñòè, 5 ÷àñòåé äîáðîòû è 2 ÷àñòè ñïðàâåäëèâîñòè. Ñêîëüêî âñåãî ïîëó÷èòñÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàí 21 ã ùåäðîñòè?
На
ц
ио
на
Ðåøåíèå. Çàïèñü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è (ïî âîïðîñàì).
1) Ñêîëüêî ãðàììîâ ùåäðîñòè ïðèõîäèòñÿ íà îäíó
÷àñòü ëåêàðñòâà?
21 : 7 = 3 (ã).
2) Ñêîëüêî âñåãî ðàâíûõ ÷àñòåé íóæíî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà?
7 + 5 + 2 = 14 (÷àñòåé).
3) Ñêîëüêî ãðàììîâ ëåêàðñòâà ïîëó÷èòñÿ?
3 . 14 = 42 (ã).
Îòâåò: 42 ã.
Правообладатель Национальный институт образования
149
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
À ìîæíî, ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, ñîñòàâèòü âûðàæåíèå. Ïîñêîëüêó 21 ã ïðèõîäèòñÿ íà 7 ÷àñòåé,
à âñå ëåêàðñòâî ñîäåðæèò (7 + 5 + 2) ÷àñòåé, òî ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå 21 : 7 . (7 + 5 + 2), çíà÷åíèå êîòîðîãî 42 (îíî ðàâíî ìàññå ëåêàðñòâà â ãðàììàõ).
ан
Îòâåò: 42 ã.
аз
ов
Âîïðîñû
1. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó íà ÷àñòè ïî âûðàæåíèþ
то
бр
48 : 12 ⋅ (12 + 3 + 8).
2. Êàê ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó íà ÷àñòè (ñì. âîïðîñ 1)?
ст
и
ту
Óïðàæíåíèÿ
ль
ны
й
ин
3. 208
208..° Ìîðîæåíîå ñîäåðæèò 4 ÷àñòè âîäû, 2 ÷àñòè ìîëî÷íîãî æèðà è 4 ÷àñòè ñàõàðà. Ñêîëüêî íàäî âîäû,
æèðà è ñàõàðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ 2 êã ìîðîæåíîãî?
на
3. 209
209.. ° Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ðèñîâîé êàøè íàäî âçÿòü
2 ÷àñòè ðèñà, 3 ÷àñòè ìîëîêà è 5 ÷àñòåé âîäû. Ñêîëüêî ìîëîêà è ñêîëüêî âîäû ïîíàäîáèòñÿ, åñëè âçÿëè
180 ã ðèñà?
На
ц
ио
3. 210
210.. Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàííîé êàøè áåðóò 10 ÷àñòåé êðóïû, 2 ÷àñòè ñàõàðà, 50 ÷àñòåé ìîëîêà è 1 ÷àñòü
ìàñëà. Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ êðóïû, ñàõàðà è ìàñëà,
÷òîáû ñâàðèòü êàøó, èñïîëüçóÿ 1 ë ìîëîêà (1 ë ìîëîêà ≈ 1000 ã).
3. 21
2111. Êîìïîò èç ñóõîôðóêòîâ ñîäåðæèò 3 ÷àñòè èçþìà, 4 ÷àñòè ÿáëîê, 2 ÷àñòè ãðóø è 35 ÷àñòåé âîäû.
1) Ñêîëüêî ÿáëîê ñîäåðæèòñÿ â 6600 ã êîìïîòà?
2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ êîìïîòà, åñëè ãðóø 200 ã?
150
Правообладатель Национальный институт образования
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè
ия
3.212
212.. Äëÿ îâîùíîãî ðàãó íóæíî âçÿòü 4 ÷àñòè ìîðêîâè, 2 ÷àñòè ëóêà è 6 ÷àñòåé êàðòîôåëÿ.
1) Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ òðåáóåòñÿ äëÿ 900 ã ðàãó?
2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ðàãó, åñëè âçÿòü 180 ã ëóêà?
аз
ов
ан
3.213
213.. Òåñòî äëÿ «ëåíèâûõ» âàðåíèêîâ ñîäåðæèò 14 ÷àñòåé òâîðîãà, 4 ÷àñòè ìóêè, 2 ÷àñòè ìàñëà, 3 ÷àñòè
ñìåòàíû è 2 ÷àñòè ñàõàðà. Íàéäèòå ìàññó êàæäîãî
ïðîäóêòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ 2 êã òåñòà.
ту
ст
и
ин








ль
ны
й
?





4)



15 ãà
3)
36 êã
то
бр
3.214
214.. Ñîñòàâüòå è ðåøèòå çàäà÷ó ïî ñõåìå (ðèñ. 117):
1)
2)
28 à
?
9 êã
Ðèñ. 117
На
ц
ио
на
3.215
215.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 2 . x + 6 . x + 4 . x − 1472 = 10 528;
2) 3 . a + 2 . a + 7 . a + 8654 = 32 654;
3) 19 . c + 8 . c + 12 . c + 80 039 = 95 639;
4) 11 . b + 14 . b + 9 . b − 14 671 = 87 329.
3. 216
216.. * Ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ
íå÷åòíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 9. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü â ýòîì ïðîèçâåäåíèè?
Правообладатель Национальный институт образования
151
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
то
бр
аз
ов
ан
ия
3. 217
217.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå:
à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí:
1) 59 285 : (821 . 17 − 13 952) + 7003;
2) (7007 − 5777) : 15 . 2;
3) 12 . (5369 + 2651) − 19 176 : 47;
4) (6284 : 2 + 683) . 43 − 1617;
5) 806 . (5432 − 2345) : 7 + 368 : 16;
6) (918 341 − 14 867) : 78 + (3482 + 4623) . 12.
ту
3. 218
218.. Ðàñïîëîæèòå ÷èñëà 37 861, 820 012, 23 045,
23 545, 82 100, 37, 880 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ.
ль
ны
й
ин
ст
и
3. 219
219.. Çàïèøèòå âñå:
1) ÷èñëà áîëüøå 6037 è ìåíüøå 6056, ñîäåðæàùèå
öèôðó 5 â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ;
2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â êîòîðûõ ÷èñëî äåñÿòêîâ
íà 8 áîëüøå ÷èñëà åäèíèö, à ÷èñëî ñîòåí íà 7
áîëüøå ÷èñëà åäèíèö.
На
ц
ио
на
3. 220
220.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 72 + õ = 149 − 12;
2) õ − 14 . 2 = 60;
3) 13 . õ = 5 . (11 + 2);
4) (37 + 28) − õ = 47 − 24.
5) 39 + õ + 51 = 182 : 2;
6) õ − 81 : 9 = 100 : 25;
7) 505 : 5 − õ = 112 : 2;
8) õ + (170 − 58) = 1000.
3. 221
221.. * Ðåøèòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ. Âåðíî
ëè, ÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî:
1) 1509 â âèäå ñóììû ÷èñëà 829 è ÷åòûðåõ ðàâíûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
152
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
2) 49 275 â âèäå ñóììû îäèííàäöàòè íàòóðàëüíûõ
÷èñåë è ÷èñëà 48 010?
ан
ия
3.222
222.. Íà ëåâîé ÷àøå âåñîâ ñòîÿò ãèðè 2 êã, 3 êã è
5 êã, à íà ïðàâîé — àðáóç. Êàêîâà ìàññà àðáóçà, åñëè
äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèøëîñü ïîëîæèòü íà ïðàâóþ ÷àøó
âåñîâ 2 êã 250 ã?
то
бр
аз
ов
3.223
223..  ìàãàçèí ïðèâåçëè 180 êîðîáîê, â êàæäîé êîðîáêå ïî 46 ïà÷åê ïå÷åíüÿ. Êàêîâà ìàññà âñåãî ïå÷åíüÿ, åñëè ìàññà îäíîé ïà÷êè 120 ã?
ст
и
ту
3.224
224.. Ïåðåä ñïîðòèâíûìè ñîðåâíîâàíèÿìè âñåõ ó÷åíèêîâ ïÿòûõ è øåñòûõ êëàññîâ ïîñòðîèëè â 12 êîëîíí.
 êàæäîé êîëîííå 6 ðÿäîâ ïî 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî
ó÷åíèêîâ ó÷àñòâîâàëî â ñîðåâíîâàíèè?
ль
ны
й
ин
3.225
225.. Ëåñíèê îòìåòèë äëÿ âûðóáêè 58 äåðåâüåâ —
ñîñåí, áåðåç è îñèí. Ñîñåí è îñèí èì îòìå÷åíî 47,
ñîñåí è áåðåç — 24. Ñêîëüêî áåðåç, ñêîëüêî ñîñåí è
ñêîëüêî îñèí îòìå÷åíî ëåñíèêîì?
ио
на
3.226
226.. Â äâà ìàãàçèíà ïðèâåçëè 350 ñïîðòèâíûõ êîñòþìîâ. Êîãäà â îäíîì èç íèõ ïðîäàëè 21 êîñòþì,
à â äðóãîì — 9 êîñòþìîâ, òî êîñòþìîâ â ìàãàçèíàõ ñòàëî ïîðîâíó. Ñêîëüêî êîñòþìîâ áûëî â êàæäîì
ìàãàçèíå?
На
ц
3.227
227..* Êàê ìîæíî äåòàëü ìàññîé 29 ã óðàâíîâåñèòü
íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ãèðè ìàññîé
3 ã è 5 ã?
3.228
228.. * Îäèí äðàíèê ñ îäíîé ñòîðîíû æàðèòñÿ íà ñêîâîðîäêå îäíó ìèíóòó. Çà êàêîå âðåìÿ áûñòðåå âñåãî ìîæíî ïîäæàðèòü 9 äðàíèêîâ íà äâóõ îäèíàêîâûõ ñêîâîðîäêàõ, åñëè íà îäíîé óìåùàåòñÿ òîëüêî
3 äðàíèêà?
Правообладатель Национальный институт образования
153
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3. 229
229.. * Èç âîñüìè îäèíàêîâûõ êîëåö îäíî íåñêîëüêî
ëåã÷å îñòàëüíûõ. Íàéäèòå åãî ïðè ïîìîùè íå áîëåå
÷åì äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ.
ан
ия
3. 230
230.. * Â äâóõ ñóìêàõ ëåæàò 100 îãóðöîâ. Ìîæåò ëè
÷èñëî îãóðöîâ â îäíîé èç ñóìîê áûòü â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîé?
аз
ов
3. 231
231.. * Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 3 ë
è 4 ë, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 2 ë?
ту
то
бр
3. 232
232.. * Åñëè ê íåêîòîðîìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèïèñàòü ñïðàâà 0, òî îíî óâåëè÷èòñÿ íà 504. Íàéäèòå
ýòî ÷èñëî.
ин
ст
и
3. 233
233..* Ïîñòàâüòå âìåñòî çâåçäî÷åê çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé «+», «−», «.», «:» òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ 76 4 51 3 áûëî ðàâíî 36.
ль
ны
й
3. 234
234..* Íàçîâèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ
òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2.
на
3. 235
235.. * Êàêîé öèôðîé îêàí÷èâàåòñÿ ðàçíîñòü
1 . 2 . 3 . ... . 21 . 22 − 1 . 3 . 5 . ... . 13 . 15?
ио
3. 236
236.. * Ñêîëüêî èìååòñÿ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ó êîòîðûõ ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà 2?
На
ц
3. 237
237.. * Çàäà÷à-øóòêà. Ó êàðòîííîãî êâàäðàòà îòðåçàëè
3 óãëà. Ñêîëüêî óãëîâ îñòàëîñü?
Правообладатель Национальный институт образования
4
аз
ов
ан
ÄÅËÈÌÎÑÒÜ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
ия
ГЛАВА
то
бр
4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå
ст
и
ту
Ïóñòü à è b — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî à äåëèòñÿ íà ÷èñëî b, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî s, ÷òî
a=b.s
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
Íàïðèìåð, ÷èñëî 112 äåëèòñÿ íà 7, òàê êàê 112 = 7 . 16.
 ðàâåíñòâå a = b . s ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà à. Òàêèì îáðàçîì, äåëèòåëü ÷èñëà à —
ýòî ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ à.
Íàïðèìåð, âñå äåëèòåëè ÷èñëà 30 — ýòî ÷èñëà 1, 2,
3, 5, 6, 10, 15, 30.
×èñëà 42, 78 è 24 äåëÿòñÿ íà 6, òàê êàê 42 = 6 . 7,
78 = 6 . 13, 24 = 6 . 4. Ñóììà ýòèõ ÷èñåë òîæå äåëèòñÿ
íà 6, òàê êàê
42 + 78 + 24 = 6 . 7 + 6 . 13 + 6 . 4 = 6 . (7 + 13 + 4) = 6 . 24.
Âîîáùå,
åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå
÷èñëî, òî è ñóììà äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
È, ñîîòâåòñòâåííî, åùå îäíî ñâîéñòâî äåëèìîñòè
ñóììû:
Правообладатель Национальный институт образования
155
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
åñëè îäíî ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, à îñòàëüíûå äåëÿòñÿ, òî ñóììà
íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
то
бр
аз
ов
ан
ия
Íàïðèìåð, ÷èñëà 42 è 78 äåëÿòñÿ íà 6, à ÷èñëî 21
íå äåëèòñÿ íà 6. Ïîýòîìó èõ ñóììà 42 + 78 + 21 = 141
íà 6 íå äåëèòñÿ.
Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå
÷èñëî b, òî ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ êðàòíûì ÷èñëà b
(ãîâîðÿò åùå «÷èñëî à êðàòíî ÷èñëó b»). Äðóãèìè
ñëîâàìè, êðàòíîå ÷èñëà b — ýòî ÷èñëî, êîòîðîå äåëèòñÿ íà b.
Âîò, íàïðèìåð, íåñêîëüêî êðàòíûõ ÷èñëà 7:
ту
7, 14, 28, 42, ... .
ст
и
Çàïèøåì òåïåðü íàòóðàëüíûé ðÿä
ин
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, ...
ль
ны
й
è óìíîæèì êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó íà 6:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... .
На
ц
ио
на
Ýòî ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 6. Òàê êàê íàòóðàëüíûé
ðÿä áåñêîíå÷åí, òî è ðÿä êðàòíûõ ÷èñëà 6 áåñêîíå÷åí.
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî 6 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ. Òî÷íî òàê æå ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ.
Âîïðîñû
1. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b?
2. Íà êàêîå ÷èñëî äåëèòñÿ ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
3. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êðàòíûì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà b?
4. Ñêîëüêî êðàòíûõ èìååò ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
5. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à?
6.* Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà äåëèìîñòè ñóììû.
156
Правообладатель Национальный институт образования
4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå
Óïðàæíåíèÿ
аз
ов
ан
ия
4.1 .° ßâëÿåòñÿ ëè îäíî ÷èñëî äåëèòåëåì äðóãîãî:
1) 24 è 3;
2) 35 è 5;
3) 68 è 8;
4) 83 è 3;
5) 92 è 2;
6) 100 è 25?
Åñëè äà, òî îáúÿñíèòå ïî÷åìó.
то
бр
4.2.° Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëî 7 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà:
1) 28;
2) 54;
3) 140;
4) 367;
5) 231;
6) 353 535?
ст
и
ту
4.3 .° Íàéäèòå âñå äåëèòåëè ÷èñëà:
1) 11;
2) 29;
3) 33;
4) 31;
5) 47;
6) 62.
ль
ны
й
ин
4. 4. Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å âñå äåëèòåëè
÷èñëà:
1) 8;
2) 10;
3) 13;
4) 18.
на
4.5.° Âåðíî ëè, ÷òî êðàòíûì ÷èñëà 35 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:
1) 105;
2) 700;
3) 31 745;
4) 43 540?
На
ц
ио
4.6 .° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:
1) 3;
2) 5;
3) 7;
4) 10.
4.7 . Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 13;
2) 21;
3) 31;
4) 42.
4.8 . Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, 3, 6, 9, 18, 36, 54, 72, 90, 108
óêàæèòå:
1) äåëèòåëè ÷èñëà 18;
2) êðàòíûå ÷èñëà 18.
Правообладатель Национальный институт образования
157
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
4.9. Êàêèå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20,
24, 30, 40 ÿâëÿþòñÿ:
1) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 60;
2) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 80;
3) êðàòíûìè ÷èñëà 6;
4) êðàòíûìè ÷èñëà 10?
аз
ов
4. 10
10.. Çàïèøèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äåëèòåëè
÷èñëà:
1) 100;
2) 318.
то
бр
4. 11. Çàïèøèòå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äåëèòåëè ÷èñëà:
1) 90;
2) 442.
ст
и
ту
4. 12
12.. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 90;
2) 125;
3) 150;
4) 250.
ль
ны
й
ин
4. 13
13.. Çàïèøèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 25, êîòîðûå â
íàòóðàëüíîì ðÿäó ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 400 è 500;
2) 925 è 1000;
3) 3054 è 3126;
4) 45 318 è 45 486.
на
4. 14
14.. Çàïèøèòå ÷èñëà, ìåíüøèå 72 è êðàòíûå:
1) 5;
2) 8;
3) 12;
4) 16.
На
ц
ио
4. 15
15.. Çàïèøèòå ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ:
1) 16 áóäåò êðàòíûì;
2) 16 áóäåò äåëèòåëåì.
4. 16
16.. Íàçîâèòå:
1) íàèáîëüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 75;
2) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 300.
4. 17
17.. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî:
1) 52 029 êðàòíî ÷èñëó 141;
2) 273 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 7098;
158
Правообладатель Национальный институт образования
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2
3) 49 200 íå êðàòíî ÷èñëó 68;
4) 175 íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 162 495.
ия
4.18
18.. Íà ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæíî ïîðîâíó ðàçäåëèòü
18 òåòðàäåé?
аз
ов
ан
4.19
19.. Â ïîõîä ñîáèðàþòñÿ èäòè 36 ïÿòèêëàññíèêîâ.
Èõ íàäî ðàçáèòü íà ãðóïïû ñ ðàâíûì ÷èñëîì ó÷åíèêîâ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæåò áûòü â êàæäîé ãðóïïå
è ñêîëüêî ìîæåò áûòü òàêèõ ãðóïï?
ст
и
ту
то
бр
4.20
20.. Ìèíåðàëüíàÿ âîäà ðàñôàñîâàíà â ïëàñòèêîâûå
óïàêîâêè ïî 6 áóòûëåé. Ñêîëüêî áóòûëåé ìèíåðàëüíîé âîäû ìîãëè ïðèâåçòè â êèîñê, åñëè äîñòàâêà ïðîèçâîäèòñÿ öåëûìè óïàêîâêàìè, à çàêàçàíî íå áîëåå
50 áóòûëåé?
ль
ны
й
ин
4.21
21.. * Äåäóøêèí õðîíîìåòð îòñòàåò çà êàæäûé ÷àñ íà
10 ìèí, íî â äàííûé ìîìåíò ïîêàçûâàåò òî÷íîå âðåìÿ. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîé íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè õðîíîìåòð âíîâü ïîêàæåò òî÷íîå âðåìÿ.
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2
На
ц
ио
на
×òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè îäíî ÷èñëî
íà äðóãîå, ìîæíî ïðîñòî ðàçäåëèòü ïåðâîå ÷èñëî íà
âòîðîå. Íî äëÿ íåêîòîðûõ äåëèòåëåé åñòü ñïîñîá áîëåå
óäîáíûé: äëÿ íèõ ñóùåñòâóþò ïðèçíàêè äåëèìîñòè.
Ïðèçíàêîì íàçûâàþò ïðàâèëî, ïîëüçóÿñü êîòîðûì óäîáíî âûÿñíèòü, âûïîëíÿåòñÿ ëè
íåêîòîðîå ñâîéñòâî.
Ðàññìîòðèì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2. Äëÿ ýòîãî
âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... .
Правообладатель Национальный институт образования
159
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
ан
ия
åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé
èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8, òî îíî äåëèòñÿ íà 2.
Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 2 íå
äåëÿòñÿ.
то
бр
аз
ов
Ýòî ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ ïðèçíàêîì äåëèìîñòè íà 2.
×èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, êðàòíûå 2),
íàçûâàþòñÿ ÷åòíûìè.
×èñëà, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, íå êðàòíûå 2), íàçûâàþòñÿ íå÷åòíûìè.
ст
и
ту
Ïðèìåð 1. ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 5. Ïîýòîìó îíî íå äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
íå÷åòíîå.
ль
ны
й
ин
Ïðèìåð 2. ×èñëî 3 758 992 426 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 6. Ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
÷åòíîå.
на
Îñíîâîïîëîæíèêàìè òåîðèè äåëèìîñòè ÿâëÿþòñÿ ïèôàãîðåéöû.
Îíè ðàçáèëè ÷èñëà íà ÷åòíûå (ìóæñêèå) è íå÷åòíûå (æåíñêèå).
ио
Âîïðîñû
На
ц
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2.
2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ: à) ÷åòíûì; á) íå÷åòíûì?
Óïðàæíåíèÿ
4.22
22..° Êàêèå èç ÷èñåë 48, 3442, 7807, 4926, 4557, 71 090,
699 114, 13 141 513 äåëÿòñÿ íà 2?
4. 23
23.. ° Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 122, ïÿòü
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.
160
Правообладатель Национальный институт образования
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2
4.24
24.. Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 475, ïÿòü
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.
ия
4.25. Èç ÷èñåë 422, 940, 95, 82, 9, 2, 2710, 64 823,
130 025, 630 264, 80 136, 67 451 âûïèøèòå:
аз
ов
ан
1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2;
2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñëà, íå äåëÿùèåñÿ íà 2.
4.26
26..° Çàïèøèòå âñå îäíîçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 2.
то
бр
4.27
27.. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà îò 57 äî 68, íå
êðàòíûå 2.
2) íå÷åòíûå ÷èñëà.
ин
1) ÷åòíûå ÷èñëà;
ст
и
ту
4.28
28..° Ñðåäè ÷èñåë 221, 23, 32, 114, 129, 500, 448, 5047,
885, 6086 íàéäèòå:
ль
ны
й
4.29
29.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 12 è 18;
2) 81 è 99;
3) 189 è 201;
4) 4126 è 4136.
На
ц
ио
на
4.30
30.. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:
1) a + 1;
2) a + 2;
3) a . 2;
4) a . 3,
åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî a: à) ÷åòíîå; á) íå÷åòíîå?
4.31
31.. ×åòíîé èëè íå÷åòíîé ÿâëÿåòñÿ ñóììà:
1) äâóõ
2) äâóõ
3) òðåõ
4) òðåõ
÷åòíûõ ÷èñåë;
íå÷åòíûõ ÷èñåë;
÷åòíûõ ÷èñåë;
íå÷åòíûõ ÷èñåë?
Ñâîè îòâåòû ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè.
Правообладатель Национальный институт образования
161
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
4. 32
32.. Íå âûïîëíÿÿ ñëîæåíèÿ, óñòàíîâèòå, ïðàâèëüíî
ëè íàéäåíà ñóììà:
1) 78 305 + 412 634 + 83 107 = 574 047;
2) 23 423 + 58 799 + 14 103 = 96 326.
то
бр
аз
ов
ан
4. 33
33.. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 8534 . 1007;
2) 9684 : 807;
3) (893 − 567) . 499;
4) (52 063 + 23 687) : 101?
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
4. 34
34.. * Äâà ìàëü÷èêà õîäÿò ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ.
Ó íèõ íà äâîèõ åñòü îäèí âåëîñèïåä, íà êîòîðîì îíè
åçäÿò òàêæå ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Êàê îíè ìîãóò,
íà÷àâ îäíîâðåìåííî äâèæåíèå èç îäíîãî ïóíêòà, îäíîâðåìåííî ïðèáûòü â äðóãîé ïóíêò, åñëè èçâåñòíî,
÷òî êàæäûé èç íèõ ëèáî äâèãàåòñÿ ïåøêîì, ëèáî åäåò
íà âåëîñèïåäå?
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10
на
Âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 5:
ио
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... .
На
ц
Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
èç öèôð 0 èëè 5.
Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé èç öèôð 0 èëè 5, òî îíî äåëèòñÿ
íà 5. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 5
íå äåëÿòñÿ.
Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5.
162
Правообладатель Национальный институт образования
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10
ия
Ïð
èìåð 1. à) ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèôÏðèìåð
ðîé 5, ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 5.
á) ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).
â) ×èñëî 3 758 992 423 íå äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).
аз
ов
ан
×òîáû íàéòè ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10, íàäî âûïèñàòü ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 10 (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). À òåïåðü îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî âñå ÷èñëà
ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ öèôðîé 0.
то
бр
Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0, òî îíî äåëèòñÿ íà 10. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 10 íå äåëÿòñÿ.
ту
Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10.
ин
ст
и
Ïð
èìåð 2. ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 10, à ÷èñëî
Ïðèìåð
3 758 992 425 íå äåëèòñÿ íà 10 (ïî÷åìó?).
ль
ны
й
Âîïðîñû
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5.
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10.
на
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
ио
4.35
35..° Ñðåäè ÷èñåë 10, 15, 54, 105, 555, 550, 8375, 9410,
5553 íàéäèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5;
2) 10.
4.36
36.. Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñÿõ: à) 26☺, 3☺0, 61☺, 49☺; á) 537☺, 2☺95, 2☺30,
371☺ òàê, ÷òîáû (åñëè ýòî âîçìîæíî) êàæäîå ïîëó÷åííîå ÷èñëî äåëèëîñü:
1) íà 5;
2) íà 10;
3) íà 2 è íà 5;
4) íà 2?
Правообладатель Национальный институт образования
163
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 37
37.. ° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:
1) 5;
2) 10.
ия
4. 38
38.. Çàïèøèòå ïÿòü ÷åòíûõ ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 5.
Âåðíî ëè, ÷òî ýòè ÷èñëà êðàòíû 10?
аз
ов
ан
4. 39
39.. Èñïîëüçóÿ êàæäóþ èç öèôð 0, 1 è 5 ïî îäíîìó
ðàçó, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5;
2) 10.
то
бр
4. 40
40.. Èñïîëüçóÿ öèôðû 0, 2, 5 è 8 íå áîëåå îäíîãî
ðàçà êàæäóþ, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå
÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5;
2) 10.
ин
ст
и
ту
4. 41
41.. Èñïîëüçóÿ ïî îäíîìó ðàçó êàæäóþ èç öèôð 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ñîñòàâüòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå äåñÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5;
2) 10.
на
ль
ны
й
4. 42
42.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 5
è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 4 è 23;
2) 15 è 38;
3) 129 è 153;
4) 4789 è 4800.
На
ц
ио
4. 43
43.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,
êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 10 è ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 1 è 45;
2) 56 è 99;
3) 148 è 200;
4) 14 395 è 14 425.
4. 44
44.. Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ:
1) ïÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 5;
2) äåñÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 10.
4. 45
45.. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 5, äåëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè.
164
Правообладатель Национальный институт образования
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10
4.46
46.. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 10, äåëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè.
аз
ов
ан
ия
4.47
47.. Çàïèøèòå äâà ÷èñëà — ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå — êðàòíûå 5. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ
íà 5 èõ:
1) ñóììà;
2) ðàçíîñòü;
3) ïðîèçâåäåíèå?
то
бр
4.48
48.. Çàïèøèòå ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå ÷èñëà,
êðàòíûå 10. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ íà 10 èõ:
1) ñóììà;
2) ðàçíîñòü;
3) ïðîèçâåäåíèå?
ст
и
ту
4.49
49.. Äâà ó÷åíèêà óìíîæèëè îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî: Âîëîäÿ — íà 5, Âàíÿ — íà 10. Âîëîäÿ
ïîëó÷èë â ðåçóëüòàòå 3665. Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èë
Âàíÿ?
ль
ны
й
ин
4.50
50.. Íå ïðîèçâîäÿ âû÷èñëåíèé, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ
ëè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: íà 5, íà 10, íà 5 è íà 10:
1) 575 . 122;
2) 435 . 1023;
3) 5875 − 905;
4) 23 885 − 3780;
5) 438 + 502;
6) 9963 − 5888.
На
ц
ио
на
4.51
51.. Íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ ëè
íà 10 ïðîèçâåäåíèå:
1) 1 . 2 . 3 . 4 . 5;
2) 13 . 14 . 15;
.
.
3) 146 147 148;
4) 205 . 206 . 207 . 208.
4.52
52.. Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ 100.
1) Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå
äåëÿòñÿ íà 100?
2) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè ÷èñåë íà 100.
4.53
53.. Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.
Правообладатель Национальный институт образования
165
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 54
54.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë ïåðâîé òûñÿ÷è, äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.
ан
ия
4. 55
55..* Äîêàæèòå, ÷òî èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 20
íåëüçÿ âûáðàòü 15 ÷èñåë òàê, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà
ðàâíà ñóììå îñòàëüíûõ ÷èñåë.
аз
ов
4.4. Îêðóæíîñòü
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
Åñëè óñòàíîâèòü îñòðèå öèðêóëÿ â
íåêîòîðîé òî÷êå Î (ðèñ. 118) è âðàùàòü
íîæêó ñ êàðàíäàøîì, òî êàðàíäàø íà÷åðòèò íà ïëîñêîñòè ëèñòà ëèíèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè.
Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð îêðóæÐèñ. 118
íîñòè ñ ëþáîé òî÷êîé íà îêðóæíîñòè,
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì. Íà ðèñóíêå 119
ðàäèóñû — ýòî îòðåçêè OP è OQ. Âñå
ðàäèóñû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òàê êàê
äëèíà ëþáîãî ðàäèóñà — ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó îñòðèåì öèðêóëÿ è êîí÷èêîì êàðàíäàøà.
Ðèñ. 119
На
ц
Âñå òî÷êè îêðóæíîñòè óäàëåíû îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äëèíå ðàäèóñà.
×àñòî ñëîâî «äëèíà» îïóñêàþò è âìåñòî «äëèíà
ðàäèóñà» ãîâîðÿò ïðîñòî «ðàäèóñ». Íàïðèìåð, ãîâîðÿò:
«Èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì 2 ñì».
Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà îêðóæíîñòè,
íàçûâàåòñÿ õîðäîé. Íà ðèñóíêå 120 îòðåçêè PQ è ÀÂ
ÿâëÿþòñÿ õîðäàìè.
166
Правообладатель Национальный институт образования
4.4. Îêðóæíîñòü
ия
Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð
îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ åå äèàìåòðîì.
Íà ðèñóíêå 120 îòðåçîê ÀÂ ÿâëÿåòñÿ
äèàìåòðîì. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàìåòð
îêðóæíîñè ðàâåí äâóì åå ðàäèóñàì.
ан
Ðèñ. 120
то
бр
аз
ов
Ñëîâî «ðàäèóñ» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà radius, êîòîðîå
ïåðåâîäèòñÿ êàê «ñïèöà â êîëåñå, ëó÷».
Ñëîâî «äèàìåòð» îáðàçîâàíî îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà diametros, êîòîðîå îáîçíà÷àåò «ïîïåðå÷íèê».
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1. Êàêîé ïðåäìåò, íàïîìèíàþùèé ïî
ôîðìå îêðóæíîñòü, âû ìîæåòå íàçâàòü?
2. ×òî òàêîå: à) ðàäèóñ îêðóæíîñòè;
á) õîðäà îêðóæíîñòè; â) äèàìåòð
Ðèñ. 121
îêðóæíîñòè?
3. Êàêîé îòðåçîê íà ðèñóíêå 121 (òî÷êà Î — öåíòð îêðóæíîñòè) ÿâëÿåòñÿ: à) ðàäèóñîì îêðóæíîñòè; á) õîðäîé
îêðóæíîñòè; â) äèàìåòðîì îêðóæíîñòè?
на
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
ио
4.56
56..° Ïî ðèñóíêó 122 íàçîâèòå òî÷êè:
1) ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè;
2) íå ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè.
à)
á)
Ðèñ. 122
Правообладатель Национальный институт образования
167
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðèñ. 123
аз
ов
ан
ия
4.57
57..° Èçìåðüòå ðàäèóñ è äèàìåòð îêðóæíîñòåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 123 (òî÷êè Î, À, Q — èõ öåíòðû).
то
бр
4. 58
58.. ° Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü:
1) ðàäèóñîì 3 ñì;
2) äèàìåòðîì 9 ñì;
3) äèàìåòðîì 80 ìì;
4) ðàäèóñîì 4 ñì 2 ìì.
ст
и
ту
4.59. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì:
1) 1 äì;
2) 27 ñì;
3) 6 ì 86 ñì;
4) 2 äì 7 ñì.
ль
ны
й
ин
4. 60
60.. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì:
1) 5 äì;
2) 46 ñì;
3) 8 ì 2 ñì;
4) 7 äì 6 ñì.
ио
на
4. 61
61.. Ïî ðèñóíêó 124 íàçîâèòå äëÿ îêðóæíîñòè (òî÷êà P — åå öåíòð) åå:
E
1) ðàäèóñû;
2) äèàìåòðû;
B
F
3) õîðäû.
На
ц
P
4. 62
62.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì
â òî÷êå Ì è ðàäèóñîì ÌÒ = 3 ñì.
×åðåç òî÷êó Ò ïðîâåäèòå 4 õîðäû.
A
C
Ðèñ. 124
4. 63
63.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ðàäèóñîì ÎÀ = 4 ñì. Ïðîâåäèòå õîðäû ÀÂ, ÂÑ, ÑD, DM,
MN äëèíîé 4 ñì êàæäàÿ. Ñîåäèíèòå òî÷êè À è N,
èçìåðüòå äëèíó õîðäû ÀN.
168
Правообладатель Национальный институт образования
4.4. Îêðóæíîñòü
4.64
64.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è
ðàäèóñîì ÎÌ = 35 ìì. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó M õîðäó òàê, ÷òîáû îíà áûëà:
2) ðàâíà ðàäèóñó;
4) ðàâíà äèàìåòðó.
ан
ия
1) ìåíüøå ðàäèóñà;
3) áîëüøå ðàäèóñà;
аз
ов
4.65
65.. Íà ðèñóíêå 125 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ
öåíòðàìè Î è C. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êàæäîé îêðóæíîñòè, åñëè ÌK = 2 äì 1 ñì.
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
4.66. Íà ðèñóíêå 126 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ
öåíòðàìè O è C òàê, ÷òî îíè èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó Å. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè, åñëè ÐR = 24 ñì, à ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí
3 ñì.
Ðèñ. 126
на
Ðèñ. 125
На
ц
ио
4.67
67..* Íà ðèñóíêå 127 äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè
O1 è O2 èìåþò ðàäèóñû, ðàâíûå 5 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà O1Î2, åñëè:
1) BD = 19 ñì;
3) BD = 24 ñì;
2) BD = 12 ñì;
4) BD = 43 ñì.
а)
б)
B
O1
O2
D
B
O1
O2
D
Ðèñ. 127
Правообладатель Национальный институт образования
169
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
4. 68
68.. * Íà ðèñóíêå 128 îêðóæíîñòè
ñ öåíòðàìè O1 è O2 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ðàäèóñû 3 ñì è 5 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà:
1) O1O2, åñëè ÌK = 20 ñì;
Ðèñ. 128
2) PF, åñëè ÌK = 30 ñì;
3) PF, åñëè MK áîëüøå PF â 2 ðàçà.
ин
ст
и
ту
то
бр
4. 69
69.. à) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü
îêðóæíîñòü, åñëè âçÿòü íà íåé:
1) 2 òî÷êè;
2) 3 òî÷êè;
3) 4 òî÷êè;
4) 15 òî÷åê?
á) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü îòðåçîê, åñëè âçÿòü íà íåì:
1) 3 òî÷êè;
2) 4 òî÷êè;
3) 5 òî÷åê;
4) 14 òî÷åê?
ль
ны
й
4.5. Êðóã
ио
на
Ðèñ. 129
Îêðóæíîñòü ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé
ëèíèåé. Îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà
äâå ÷àñòè — âíóòðåííþþ è âíåøíþþ
(ðèñ. 129).
На
ц
×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ âíóòðè îêðóæíîñòè, âìåñòå ñ ýòîé îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ êðóãîì.
Ãîâîðÿò åùå, ÷òî êðóã — ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ îêðóæíîñòüþ. Öåíòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ
öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè. Ðàäèóñîì êðóãà íàçûâàåòñÿ
ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Äèàìåòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ äèàìåòð ýòîé îêðóæíîñòè. Õîðäîé êðóãà íàçûâàåòñÿ õîðäà ýòîé îêðóæíîñòè.
170
Правообладатель Национальный институт образования
4.5. Êðóã
Íàïîìíèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åå ðàäèóñó.
ан
ия
Êðóã ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè (åãî öåíòðà) íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå åãî ðàäèóñó.
Âîïðîñû
ту
то
бр
аз
ов
1. Êàêèå ïðåäìåòû, íàïîìèíàþùèå ïî ôîðìå êðóã, âû ìîæåòå íàçâàòü?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) êðóãîì; á) öåíòðîì êðóãà; â) ðàäèóñîì êðóãà; ã) äèàìåòðîì êðóãà; ä) õîðäîé êðóãà?
3. Èç êàêèõ òî÷åê ñîñòîèò: à) îêðóæíîñòü; á) êðóã?
ст
и
Óïðàæíåíèÿ
ль
ны
й
ин
4.70
70..° Ïóñòü Î — òî÷êà íà ïëîñêîñòè. Êàêóþ ôèãóðó
îáðàçóþò âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ íà ðàññòîÿíèè 4 ñì 5 ìì îò òî÷êè Î?
E
Íà÷åðòèòå ýòó ôèãóðó.
С
D
B
A
F
На
ц
ио
на
4.71
71..° Íà ðèñóíêàõ 130 è 131 íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå:
1) âíóòðè êðóãà;
2) âíå êðóãà;
3) íà îêðóæíîñòè.
а)
B
б) T
E
A
O
F
L
F
R
C
M
Q
P
K
S
Ðèñ. 130
A
N
Ðèñ. 131
Правообладатель Национальный институт образования
171
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 72
72.. Èçîáðàçèòå êðóã ñ ðàäèóñîì 3 ñì è îòìåòüòå
òðè òî÷êè, ëåæàùèå:
1) âíóòðè êðóãà;
2) âíå êðóãà;
3) íà îêðóæíîñòè;
4) íà åãî äèàìåòðå.
аз
ов
ан
ия
4. 73
73.. Èçîáðàçèòå êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è äèàìåòðîì, ðàâíûì 12 ñì. Îòìåòüòå òî÷êè À, Â, Ñ, D, Å òàê,
÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ: ÎÀ = 5 ñì, ÎÂ = 7 ñì,
ÎÑ = 6 ñì, OD = 12 ñì, ÎÅ = 60 ìì.
то
бр
4. 74
74.. Íàéäèòå äèàìåòð êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ ðàâåí:
1) 4 äì;
2) 19 ñì;
3) 2 ì 99 ñì;
4) 6 äì 5 ñì.
ст
и
ту
4. 75
75.. Íàéäèòå ðàäèóñ êðóãà, åñëè åãî äèàìåòð ðàâåí:
1) 13 äì;
2) 24 ñì;
3) 1 ì 32 ñì;
4) 15 äì 4 ñì.
ль
ны
й
ин
4. 76
76.. * Ïîñòðîéòå äâà êðóãà òàê, ÷òîáû ðàäèóñ îäíîãî
êðóãà áûë ðàâåí 6 ñì è ðàâåí äèàìåòðó äðóãîãî êðóãà, à ýòè êðóãè èìåëè òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äàííûõ êðóãîâ.
на
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
На
ц
ио
Îäíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå âñåãäà äåëèòñÿ íà äðóãîå. Áóäåì äåëèòü, íàïðèìåð, 47 íà 6:
47 6
42 7
5
Çíà÷èò, 47 íå äåëèòñÿ íà 6.  ÷èñëå 47 ñîäåðæèòñÿ 7 ðàç ïî 6 è åùå 5. Èìååì:
47 = 6 . 7 + 5,
−
÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàçäåëèëè 47 íà 6 ñ îñòàòêîì 5.
172
Правообладатель Национальный институт образования
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
ия
×èñëî 47 íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî 6 — äåëèòåëåì, ÷èñëî 7 — ÷àñòíûì (ãîâîðÿò åùå íåïîëíûì
÷àñòíûì), à ÷èñëî 5 — îñòàòêîì ïðè äåëåíèè
47 íà 6.
Çàìåòèì, ÷òî
ан
îñòàòîê ìåíüøå äåëèòåëÿ.
47 = 6 . 7 (îñò. 5).
аз
ов
Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 47 íà 6 ìîæíî çàïèñàòü è òàê:
ту
то
бр
Ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íàòóðàëüíîå ÷èñëî à
íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b — ýòî çíà÷èò íàéòè òàêèå ÷èñëà ñ è r, ÷òîáû äëÿ íèõ áûëî
âåðíî ðàâåíñòâî
ст
и
a = b ⋅ c + r, ãäå r < b.
ль
ны
й
ин
Åñëè îäíî ÷èñëî äåëèòñÿ íà äðóãîå, òî ìû åùå
ãîâîðèì, ÷òî «îíî äåëèòñÿ ñ îñòàòêîì, ðàâíûì íóëþ», èëè «äåëèòñÿ áåç îñòàòêà», èëè «äåëèòñÿ
íàöåëî».
ио
на
Ïð
èìåð 1. Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì çàïèñàëè â
Ïðèìåð
âèäå ðàâåíñòâà
17 = 23 . ñ + r.
Îïðåäåëèòü ÷èñëà ñ è r.
На
ц
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ñ = 0 (ïîÿñíèòå ïî÷åìó), òî r = 17.
Îòâåò: ñ = 0; r = 17.
Ïð
èìåð 2. Ðàçäåëèòü 78 ñ îñòàòêîì íà:
Ïðèìåð
à) 38;
á) 39;
â) 81.
Ðåøåíèå. à) 78 = 38 . 2 (îñò. 2);
á) 78 = 39 . 2 (îñò. 0);
â) 78 = 81 . 0 (îñò. 78).
Правообладатель Национальный институт образования
173
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî
îñòàòîê îò äåëåíèÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà íà 10 ðàâåí ïîñëåäíåé öèôðå ýòîãî
÷èñëà.
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
Êðîìå òîãî, ïî ïîñëåäíåé öèôðå ÷èñëà ìîæíî ñóäèòü î åãî äåëèìîñòè íà 2, íà 5, íà 10. À ïî÷åìó?
Ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì ïîìîæåò äåëåíèå ñ îñòàòêîì.
Íàïðèìåð, ðàçäåëèâ ÷èñëî 9735 ñ îñòàòêîì íà 10,
ïîëó÷èì:
9735 = 973 . 10 + 5.
 ïðàâîé ÷àñòè ÷èñëî 973 . 10 — ïåðâîå ñëàãàåìîå
ñóììû äåëèòñÿ è íà 2, è íà 5, è íà 10. À âòîðîå
ñëàãàåìîå, ðàâíîå 5, — ýòî îñòàòîê îò äåëåíèÿ 9735
íà 10. Âòîðîå ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10), ïîýòîìó è ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10). Âòîðîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 5, ïîýòîìó è ñóììà äåëèòñÿ íà 5.
ль
ны
й
Âîïðîñû
На
ц
ио
на
1. ×òî çíà÷èò: ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ÷èñëî à íà ÷èñëî b?
2. Êàê ìîæíî çàïèñàòü ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 79 íà 12 ñ îñòàòêîì? Óêàæèòå â ïîëó÷åííîé çàïèñè: äåëèìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå (íåïîëíîå ÷àñòíîå), îñòàòîê.
3. Ìîæåò ëè ïðè äåëåíèè îñòàòîê áûòü: à) áîëüøå äåëèòåëÿ; á) ðàâåí äåëèòåëþ; â) ðàâåí äåëèìîìó; ã) ìåíüøå
÷àñòíîãî; ä) ðàâåí ÷àñòíîìó; å) áîëüøå ÷àñòíîãî?
4.* Îò ÷åãî çàâèñèò äåëèìîñòü ÷èñëà: à) íà 2; á) íà 5;
â) íà 10?
Óïðàæíåíèÿ
4. 77
77..° Ìîæåò ëè (ïîÿñíèòå ïî÷åìó) ïðè äåëåíèè ÷èñåë
íà 7 ïîëó÷èòüñÿ îñòàòîê:
1) 1;
2) 0;
3) 7;
4) 6;
5) 9;
6) 3?
174
Правообладатель Национальный институт образования
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
ия
4.78
78.. Ñêîëüêî îñòàòêîâ (íàçîâèòå èõ) ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà:
1) 4;
2) 8;
3) 5;
4) 14;
5) 32;
6) 50?
аз
ов
ан
4.79
79..° Êàêèå îñòàòêè ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 6;
5) 11;
6) 16?
ст
и
ту
то
бр
4.80
80..° Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 2 ÷èñëà:
1) 49;
2) 71;
3) 194;
4) 398;
5) 38 787;
6) 890 105.
ль
ны
й
ин
4.81
81..° Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì:
1) 55 íà 9;
2) 29 íà 4;
3) 1593 íà 18;
4) 3491 íà 20;
5) 798 íà 987;
6) 495 íà 549.
ио
на
4.82
82.. Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 10 ÷èñëà:
1) 990;
2) 2763;
3) 60 109;
4) 1 000 008.
На
ц
4.83
83.. Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 5 ÷èñëà:
1) 8;
2) 26;
3) 4601;
4) 43 827.
5) 6785;
6) 27 830.
4.84
84.. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, îïðåäåëèòå, êàêèå îñòàòêè
ïîëó÷àþòñÿ ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3598,
73 704, 58 165, 149 356 íà:
1) 2;
2) 5;
3) 10.
Правообладатель Национальный институт образования
175
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 85
85.. Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì è ñäåëàéòå ïðîâåðêó:
1) 47 534 íà 23;
2) 48 245 íà 46;
3) 136 017 íà 214;
4) 257 250 íà 315.
аз
ов
ан
ия
4. 86
86.. Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî, è íàçîâèòå äåëèìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå è îñòàòîê:
1) 9566 = 326 . 29 + 25;
2) 2446 = 147 . 16 + 94;
.
3) 6419 = 493 13 + 10;
4) 224 = 325 . 0 + 224.
61
35
42
Äåëèòåëü
14
k
8
×àñòíîå
p
3
Îñòàòîê
5
2
43
ту
Äåëèìîå
то
бр
4. 87
87.. Èñïîëüçóÿ òàáëèöó, çàïèøèòå â âèäå ðàâåíñòâà
ñâÿçü ìåæäó äåëèìûì, äåëèòåëåì, ÷àñòíûì è îñòàòêîì. Óêàæèòå çíà÷åíèÿ p, k, q, l, s, m, d, n.
ст
и
7
s
125
d
140
5
25
12
n
l
11
5
3
5
q
1
3
m
7
15
ин
5
ио
на
ль
ны
й
4. 88
88.. Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå
ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:
1) íà 2 äàåò â îñòàòêå 1;
2) íà 3 äàåò â îñòàòêå 2;
3) íà 25 äàåò â îñòàòêå 13;
4) íà 15 äàåò â îñòàòêå 14.
На
ц
4. 89
89.. Íàéäèòå òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè
äåëåíèè ñ îñòàòêîì íà 8 äàþò â îñòàòêå ÷èñëî:
1) 1;
2) 2;
3) 5;
4) 7.
4. 90
90.. * Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå
ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:
1) íà 2 è íà 3 äàåò îñòàòîê 1;
2) íà 5 è íà 8 äàåò îñòàòîê 4;
3) íà 4 è íà 12 äàåò îñòàòîê 1;
4) íà 3, íà 4 è íà 5 äàåò îñòàòîê 2.
176
Правообладатель Национальный институт образования
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
ия
4.91
91.. Ñðåäè ÷èñåë 15, 40, 145, 560, 712, 855, 889, 990,
1001, 1540 óêàæèòå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) äåëÿòñÿ íà 2;
2) äåëÿòñÿ íà 5;
3) äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 5.
аз
ов
ан
4.92
92.. Çàïèøèòå òðåõçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 5, è ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà 5. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà è ðàçíîñòü ýòèõ
÷èñåë íå äåëÿòñÿ íà 5?
ту
то
бр
4.93
93.. Çàïèøèòå ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 5, è äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 10. Âåðíî ëè, ÷òî
èõ ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå äåëÿòñÿ íà 2 è íà 5?
ль
ны
й
ин
ст
и
4.94
94.. Êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ñóììû
äâóõ ÷èñåë íà 5, åñëè:
1) ïåðâîå ñëàãàåìîå êðàòíî 5, âòîðîå äåëèòñÿ íà 5
ñ îñòàòêîì 3;
2) ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê 1,
âòîðîå — 2?
на
4.95
95.. Êàêèì áóäåò îñòàòîê ïðè äåëåíèè ñóììû äâóõ
÷èñåë íà 10, åñëè èçâåñòíû îñòàòêè ïðè äåëåíèè ñëàãàåìûõ íà 10 (ñì. òàáëèöó)?
ио
Íîìåð
çàäàíèÿ
2 3
4
5 6
7 8
9 10 11 12 13
Îñòàòêè ïðè
äåëåíèè ïåð1
âîãî ñëàãàåìîãî íà 10
2 3
4
5 6
7 8
9 5
7
3
6
Îñòàòêè ïðè
äåëåíèè âòî3
ðîãî ñëàãàåìîãî íà 10
4 6
1
7 9
2 3
8 6
9
5
2
На
ц
1
Правообладатель Национальный институт образования
177
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 96
96.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ñóììà:
1) 30 + 45;
2) 84 + 90;
3) 29 810 + 5360;
4) 7400 + 3012?
аз
ов
ан
ия
4. 97
97.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ïðîèçâåäåíèå:
1) 7219 . 4000;
2) 3749 . 1001;
.
3) 38 200 55;
4) 740 235 . 102?
то
бр
4.98
98.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ:
1) 32 . 10 + 6;
2) 49 . 100 + 25;
3) 649 . 1000 + 80;
4) 168 . 10 + 71?
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
4. 99
99.. ×èñëî m êðàòíî 2. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè
íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) m + 12;
2) m − 3;
.
3) 5 m;
4) 5 . m + 9;
5) 10 . m − 6;
6) m . 100 − 42?
ио
на
4. 100
100..* ×èñëî à êðàòíî 5. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè
íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) à + 8;
2) à − 4;
3) à + 15;
4) 2 . à;
5) 2 . à + 4;
6) 4 . à − 1?
На
ц
4.101
101.. Ñ êîðàáëÿ íà áåðåã íàäî îäíîâðåìåííî ïåðåâåçòè
129 ïàññàæèðîâ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî 12-ìåñòíûõ ëîäîê ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ýòîãî?
4.102
102.. Ñêîëüêî íàäî 3-ëèòðîâûõ áàíîê, ÷òîáû ïåðåëèòü
â íèõ ìîëîêî èç 10-ëèòðîâîãî âåäðà?
4. 103
103.. Â ÿùèê ïîìåùàåòñÿ 20 êã ÿáëîê. Ñêîëüêî ÿùèêîâ íàäî ïîäãîòîâèòü, ÷òîáû óëîæèòü íà õðàíåíèå
250 êã ÿáëîê?
178
Правообладатель Национальный институт образования
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3
4.104
104.. à) Â êóïåéíîì âàãîíå 36 ìåñò, â êàæäîì êóïå
4 ìåñòà. Â êàêîì êóïå íàõîäèòñÿ ïàññàæèðñêîå ìåñòî:
1) ¹ 8;
2) ¹ 15;
3) ¹ 25;
4) ¹ 31?
ан
ия
á) Êàêèå åùå íîìåðà ìåñò ðàñïîëîæåíû â êóïå, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ìåñòî:
1) ¹ 23;
2) ¹ 10;
3) ¹ 30;
4) ¹ 27?
то
бр
аз
ов
4.105
105.. Íà êàæäîì ýòàæå äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íàõîäèòñÿ 4 êâàðòèðû. Â êàêîì ïîäúåçäå è íà êàêîì ýòàæå íàõîäèòñÿ êâàðòèðà:
1) ¹ 128;
2) ¹ 215;
3) ¹ 302;
4) ¹ 337?
ст
и
ту
4.106
106.. * Óêàæèòå îáùèé âèä âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå: à) 0; á) 1; â) 2.
ин
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè
íà 9 è íà 3
На
ц
ио
на
ль
ны
й
Ìû çíàåì, ÷òî äåëèìîñòü ÷èñëà íà 2, íà 5 è íà 10
çàâèñèò òîëüêî îò åãî ïîñëåäíåé öèôðû. À âîò ñóäèòü
ïî ïîñëåäíåé öèôðå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî íà 9 èëè íà 3,
íåëüçÿ.
Íàïðèìåð, è ÷èñëî 18, è ÷èñëî 28 îêàí÷èâàþòñÿ
öèôðîé 8. Ïåðâîå èç íèõ äåëèòñÿ íà 9, à âòîðîå íå
äåëèòñÿ.
Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9:
åñëè ñóììà öèôð 1) ÷èñëà äåëèòñÿ íà 9, òî
è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. Âñå îñòàëüíûå
íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 9 íå äåëÿòñÿ.
________
1)
Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóëèðîâîê äîãîâàðèâàþòñÿ ñóììîé öèôð íàçûâàòü ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîçíà÷íûõ
÷èñåë.
Правообладатель Национальный институт образования
179
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3267 = 3 + 2 + 6 + 7 = 18,
îíà äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3267 äåëèòñÿ íà 9.
Ñóììà öèôð ÷èñëà 3266 ðàâíà 17, îíà íå äåëèòñÿ
íà 9. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3266 íå äåëèòñÿ íà 9.
Ïîÿñíèì, ïî÷åìó äåëèìîñòü ÷èñëà íà 9 çàâèñèò îò
ñóììû åãî öèôð. ×èñëî 3267 ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû åãî ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ (ñì. ï. 1.4) è ïðåîáðàçóåì åå:
то
бр
3267 = 3 . 1000 + 2 . 100 + 6 . 10 + 7 =
= 3 . (999 + 1) + 2 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 7 =
= (3 . 999 + 2 . 99 + 6 . 9) + (3 + 2 + 6 + 7).
ин
ст
и
ту
Ñóììà â ïåðâûõ ñêîáêàõ òðåòüåé ñòðîêè äåëèòñÿ
íà 9, òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 9. È ñóììà âî âòîðûõ ñêîáêàõ (ýòî ñóììà öèôð äàííîãî ÷èñëà) òàêæå äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è äàííîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9.
ль
ны
й
Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3:
на
åñëè ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ íà 3, òî è
ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 3 íå äåëÿòñÿ.
На
ц
ио
Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3216 ðàâíà 12, îíà
äåëèòñÿ íà 3. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3216 äåëèòñÿ íà 3.
Ñóììà öèôð ÷èñëà 3214 ðàâíà 10, îíà íå äåëèòñÿ
íà 3. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3214 íå äåëèòñÿ íà 3.
Ïîÿñíåíèå ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 3 àíàëîãè÷íî
ïîÿñíåíèþ ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 9.
Âîïðîñû
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9.
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3.
180
Правообладатель Национальный институт образования
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3
Óïðàæíåíèÿ
ан
ия
4.107
107..° Ñðåäè ÷èñåë 15, 18, 30, 90, 126, 417, 585, 9990,
30 335 íàéäèòå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ:
1) íà 3;
2) íà 9;
3) íà 2 è íà 3;
4) íà 5 è íà 9.
то
бр
аз
ов
4.108
108..° Ñðåäè ÷èñåë 3756, 64 953, 17 193, 5 558 247,
10 010 001, 303 003 009 íàéäèòå òå, êîòîðûå äåëÿòñÿ:
1) íà 3;
2) íà 9;
3) íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 9.
ст
и
ту
4.109
109.. Âåðíî ëè (îòâåò îáúÿñíèòå), ÷òî åñëè ÷èñëî:
1) äåëèòñÿ íà 3, òî îíî äåëèòñÿ è íà 9;
2) äåëèòñÿ íà 9, òî îíî äåëèòñÿ è íà 3?
ль
ны
й
ин
4.110
10.. Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 3, äåëèòñÿ íà 9? Ïðèâåäèòå
ïðèìåðû.
ио
на
4.111 . Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,
êðàòíîå: à) 3; á) 9, åñëè:
1) n = 1☺3;
2) n = 89☺;
3) n = 5☺61;
4) n = 47☺2?
На
ц
4.112
12.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ: à) íà 3; á) íà 9 è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 1 è 12;
2) 17 è 23;
3) 56 è 72;
4) 199 è 210.
4.113
13..° Íàéäèòå ñóììó âñåõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áîëüøèõ 60 è ìåíüøèõ 86:
1) êðàòíûõ ÷èñëó 9;
2) êðàòíûõ ÷èñëó 3.
Правообладатель Национальный институт образования
181
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4. 114
14.. Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå îáà:
1) äåëÿòñÿ íà 3;
2) êðàòíû ÷èñëó 9.
аз
ов
ан
ия
4. 115
15.. Äåëèòñÿ ëè íà 3 è äåëèòñÿ ëè íà 9 çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ:
1) 828 + 315;
2) 273 . 411;
3) 1125 − 105;
4) 102 : 17?
то
бр
4. 116
16.. * Âåðíî ëè (ïðèâåäèòå ïðèìåðû), ÷òî:
ст
и
ту
1) ñóììà òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 3;
2) ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êðàòíî ÷èñëó 3?
ин
4. 117
17.. Äåëÿòñÿ ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà 63 366 933 039,
993 693 330 093, 333 333 333, 6 666 600 333 íà:
2) 9?
ль
ны
й
1) 3;
ио
на
4.1
18. 1) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 444 444, 777 777 777 777
4.118.
êðàòíû ÷èñëó 3?
2) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 111 111 111, 888 888 888,
9 999 999, 666 666 666 666 êðàòíû ÷èñëó 9?
На
ц
4. 119
19.. Óêàæèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå äåëèòñÿ: à) íà 3; á) íà 9, èñïîëüçóÿ â åãî çàïèñè
òîëüêî öèôðó:
1) 2;
2) 4;
3) 5;
4) 6.
4. 120
120.. Âàäèì è Àëåøà çàïèñàëè îäíî è òî æå ÷èñëî.
Âàäèì óìíîæèë ÷èñëî íà 3 è ïîëó÷èë 8721. Àëåøà
óìíîæèë ýòî ÷èñëî íà 9. Êàêîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷èë Àëåøà?
182
Правообладатель Национальный институт образования
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3
4.121
121.. Çàïèøèòå îñòàòêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:
1) 3;
2) 9;
3) 6;
4) 12.
1
2
Îñòàòîê ïðè äåëåíèè
íà 3 âòîðîãî ñëàãàåìîãî
1
1
0
2
2
аз
ов
0
1
2
0
0
то
бр
Îñòàòîê ïðè äåëåíèè
íà 3 ïåðâîãî ñëàãàåìîãî
ан
ия
4.122
122..* Äåëèòñÿ ëè íà 3 ñóììà äâóõ ÷èñåë, åñëè èçâåñòíû èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3 (ñì. òàáëèöó)?
ст
и
ту
4.123
123.. Êàêèìè äîëæíû áûòü îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 9
êàæäîãî ñëàãàåìîãî ñóììû äâóõ ÷èñåë, ÷òîáû îíà
áûëà êðàòíà ÷èñëó 9?
ль
ны
й
ин
4.124
124.. 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 420 è 456.
2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå
êðàòíû ÷èñëó 6.
3) Äåëÿòñÿ ëè ïîä÷åðêíóòûå ÷èñëà íà 2?
4) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî
÷èñëà íà 6.
На
ц
ио
на
4.125
125.. Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,
êðàòíîå ÷èñëó 6, åñëè:
1) n = 978☺;
2) n = 500☺;
3) n = 811☺;
4) n = 964☺?
4.126
126.. 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 732 è 768.
2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå
êðàòíû ÷èñëó 5.
3)* Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 15.
Правообладатель Национальный институт образования
183
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ия
4. 127
127.. * Êàêîé öèôðîé ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü (åñëè ýòî
âîçìîæíî) ÷èñëî, êðàòíîå ÷èñëó 15, åñëè:
1) n = 3☺3☺;
2) n = 5☺5;
3) n = 23☺☺;
4) n = ☺99☺?
аз
ов
ан
4. 128
128.. Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà, êðàòíîãî
÷èñëó 3, è ÷èñëà, êðàòíîãî ÷èñëó 4, äåëèòñÿ íà 12?
Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
ст
и
ту
то
бр
4. 129
129.. * Ìîæíî ëè ïðèäóìàòü òàêîé ïðèìåð íà äåëåíèå ñ îñòàòêîì, ÷òîáû äåëèìîå îêàí÷èâàëîñü íà 9,
äåëèòåëü — íà 1, ÷àñòíîå — íà 7, à îñòàòîê îêàí÷èâàëñÿ íà 3?
ин
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä.
Êóá
На
ц
ио
на
ль
ны
й
Ïðåäñòàâëåíèå î ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå äàþò, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, êèðïè÷ è äð.
(ðèñ. 132). Ïîâåðõíîñòü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñîñòîèò èç 6 ãðàíåé, êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 133). Ñòîðîíû ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè, à âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêîâ — âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 12 ðåáåð è 8 âåðøèí (ñì. ðèñ. 133).
Ðèñ. 132
184
Правообладатель Национальный институт образования
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá
верхняя
грань
B
вершина
C
A
боковая
грань
ия
D
K
нижняя
грань
L
Ðèñ. 134
то
бр
Ðèñ. 133
аз
ов
E
ан
ребро
F
Ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
Íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþò åãî îñíîâàíèÿìè, îñòàëüíûå
ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè (ðèñ. 134). Íàçâàíèÿ
«íèæíÿÿ ãðàíü», «âåðõíÿÿ ãðàíü», «áîêîâàÿ ãðàíü» óñëîâíû. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí
îäèí è òîò æå ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âåðõíèå ãðàíè
íà ýòèõ ðèñóíêàõ ðàçëè÷íû.
Òðè ðåáðà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè: äëèíîé, øèðèíîé è âûñîòîé. Íàçâàíèÿ
«äëèíà», «øèðèíà», «âûñîòà» óñëîâíû. Òàê, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí îäèí è òîò æå ïðÿìî-
Ðèñ. 135
Ðèñ. 136
Правообладатель Национальный институт образования
185
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
N
K
M
P
B
AM = AB = AD
A
ия
C
ан
D
Ðèñ. 137
аз
ов
óãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âûñîòîé, íàïðèìåð,
íàçâàíû ðàçíûå ðåáðà.
то
бр
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî
âñå ðåáðà ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êóáîì (ðèñ. 137).
ту
Âîïðîñû
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
1. Êàêèå ïðåäìåòû, èìåþùèå ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âû ìîæåòå íàçâàòü?
2. Êàêóþ ôîðìó èìåþò ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
3. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ðåáðîì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà; á) âåðøèíîé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
4. Ñêîëüêî ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà: à) ãðàíåé;
á) ðåáåð; â) âåðøèí?
5. ×òî òàêîå èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
6. Êàê íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
7. ×òî òàêîå êóá?
Óïðàæíåíèÿ
4. 130
130.. ° Èñïîëüçóÿ èçîáðàæåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ. 137) è
ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 138), íàçîâèòå:
1) âåðøèíû, ÷èñëî âåðøèí;
2) ðåáðà, ÷èñëî ðåáåð, ðàâíûå ðåáðà;
3) ãðàíè, ÷èñëî ãðàíåé, ðàâíûå ãðàíè.
186
Правообладатель Национальный институт образования
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá
L
K
F
E
R
S
T
ия
P
ан
Ðèñ. 138
то
бр
аз
ов
4.131
131.. ° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:
1) 9 ñì, 4 ñì, 15 ñì;
2) 25 ñì, 11 ñì, 8 ñì;
3) 3 ñì 2 ìì, 5 ñì 8 ìì, 1 äì;
4) 3 äì 5 ñì, 4 äì 9 ñì, 45 ìì.
ин
ст
и
ту
4.132
132..° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà â ñàíòèìåòðàõ, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:
1) 12 ñì;
2) 17 äì;
3) 150 ìì;
4) 2 ì 3 ñì.
ль
ны
й
4.133
133.. Äëèíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà
24 ñì, øèðèíà â 6 ðàç ìåíüøå äëèíû, à âûñîòà íà
5 ñì áîëüøå øèðèíû. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïàðàëëåëåïèïåäà.
На
ц
ио
на
4.134
134.. Íàéäèòå ñóììó ïëîùàäåé âñåõ ãðàíåé êóáà, åñëè
ñóììà âñåõ åãî ðåáåð ðàâíà:
1) 60 ñì;
2) 108 äì;
3) 144 ì;
4) 252 ì.
4.135
135.. Ñêîëüêî êâàäðàòíûõ äåöèìåòðîâ êàðòîíà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîäàðî÷íîé êîðîáêè, äëèíà
êîòîðîé 30 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà 20 ñì?
4.136.* Èç êàæäîé áóìàæíîé ðàçâåðòêè (ðèñ. 139, 140)
èçãîòîâèëè ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êàêèå îòðåçêè, îáîçíà÷åííûå íà ðàçâåðòêå, ïðè ýòîì ñîâïàëè?
Правообладатель Национальный институт образования
187
аз
ов
ан
ия
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðèñ. 139
Ðèñ. 140
ст
и
ту
то
бр
4. 137.* Ñóììà äëèí òðåõ èçìåðåíèé ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà 72 ñì. Ñóììà äëèíû è âûñîòû
ðàâíà 50 ñì, à øèðèíû è âûñîòû — 40 ñì. Íàéäèòå
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà, ò. å. ñóììó
ïëîùàäåé âñåõ åãî ãðàíåé.
ин
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà
На
ц
ио
на
ль
ны
й
×òîáû èçìåðèòü îáúåì, íàäî âûáðàòü åäèíèöó
èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Êóá, ðåáðî êîòîðîãî ðàâíî
åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.
Îáúåì åäèíè÷íîãî êóáà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó
èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Íàïðèìåð:
îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ì ðàâåí îäíîìó êóáè÷åñêîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ì èëè 1 ì3);
îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ñì ðàâåí îäíîìó êóáè÷åñêîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ñì èëè 1 ñì3).
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî íàçâàíèå åäèíèöû îáúåìà
ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êóáè÷åñêèé».
Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êóáû,
òî îáúåì ôèãóðû ðàâåí ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ åå åäèíè÷íûõ êóáîâ.
188
Правообладатель Национальный институт образования
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà
то
бр
аз
ов
ан
ия
5
Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå3
ëåïèïåäà. Íàïðèìåð, íà ðè- 1
ñóíêå 141 èçîáðàæåíû åäè- 1
4
1
íè÷íûé êóá è ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, äëèíà
Ðèñ. 141
êîòîðîãî ðàâíà 5 ñì, øèðèíà — 4 ñì è âûñîòà — 3 ñì. Åãî ìîæíî ðàçáèòü íà
3 ñëîÿ, â êàæäîì ñëîå — 5 . 4 åäèíè÷íûõ êóáîâ.
Âñåãî òàêèõ êóáîâ (5 . 4) . 3 = 60. Çíà÷èò, îáúåì ýòîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà
V = 5 . 4 . 3 = 60 (ñì3).
ин
ст
и
ту
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëèíû, øèðèíû è âûñîòû.
ль
ны
й
Èòàê, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà a, b è c åäèíèö äëèíû, à åãî îáúåì V, òî:
V=a.b.c
V=S.c
На
ц
ио
на
Åñëè S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, òî S = a . b. Ñëåäîâàòåëüíî,
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ è âûñîòû.
Êîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿåòñÿ
êóáîì ñ ðåáðîì à, òî a = b = c è
V = a3
(Èìåííî ïîýòîìó à3 ÷èòàåòñÿ «à êóá» èëè «à â êóáå».)
Правообладатель Национальный институт образования
189
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ðàâåíñòâî V = a3 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàæàòü îäíè
åäèíèöû îáúåìà ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:
1 ì3 = 1 ì . 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì . 100 ñì =
= 1003 ñì3 = 1 000 000 ñì3;
ан
ия
1 êì3 = 1 êì . 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì . 1000 ì =
= 10003 ì3 = 1 000 000 000 ì3.
то
бр
аз
ов
Åäèíèöà îáúåìà 1 äì3 èìååò åùå è äðóãîå íàçâàíèå — ëèòð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ë). Ëèòð èñïîëüçóåòñÿ,
íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ îáúåìà æèäêîñòåé.
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
1. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé êóá?
2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ?
3. ×åìó ðàâåí îáúåì ôèãóðû, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà
åäèíè÷íûå êóáû?
4. ×åìó ðàâåí îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
êóáà?
Óïðàæíåíèÿ
На
ц
ио
на
4.138
138..° Ïðîçðà÷íóþ êîðîáêó çàïîëíÿþò êóáèêàìè ñ ðåáðîì, ðàâíûì 1 ñì (ðèñ. 142). Ñêîëüêî êóáèêîâ âîéäåò
â êîðîáêó? Îïðåäåëèòå îáúåì êîðîáêè.
Ðèñ. 142
190
Правообладатель Национальный институт образования
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà
аз
ов
ан
ия
4.139
139..° Íàéäèòå îáúåì êîðîáêè, èìåþùåé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 143).
Ðèñ. 143
б)
9 дм
ин
Песок
ст
и
ту
а)
то
бр
4.140
140.. ° Âû÷èñëèòå îáúåì ÿùèêà è êîðîáêè, èìåþùèõ
ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 144).
12 дм
ль
ны
й
6 дм
Торт
15 cм
30 cм
40 cм
Ðèñ. 144
На
ц
ио
на
4.141
141..° Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:
1) 4 ñì, 6 ñì, 8 ñì;
2) 3 äì, 5 äì, 10 äì;
3) 6 ñì 2 ìì, 6 äì 2 ñì, 6 ì 2 äì;
4) 1 äì 2 ñì, 3 äì 8 ñì, 1 ì 5 ñì.
4.142
142..° Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:
1) 2 ì;
2) 4 äì;
3) 5 ñì 4 ìì;
4) 1 ì 1 äì.
4.143
143.. Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:
2) 14 ì3, 7 ì3, 13 ì3.
1) 1 ì3, 6 ì3, 45 ì3;
Правообладатель Национальный институт образования
191
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
4. 144
144..° Ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3 íóæíî
âçÿòü, ÷òîáû ïîñòðîèòü èç íèõ ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ èçìåðåíèÿìè:
1) 1 ñì, 3 ñì, 8 ñì;
2) 5 ñì, 4 ñì, 1 äì;
3) 1 äì, 2 äì, 5 ñì;
4) 7 ñì, 6 ñì, 1 äì 5 ñì;
5) 2 ì, 3 äì, 40 ñì;
6) 30 ñì, 1 ì 21 ñì, 7 äì?
то
бр
аз
ов
4. 145
145.. Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3
ìîæíî ðàçáèòü êóá ñ ðåáðîì:
1) 3 ñì;
2) 10 ñì;
3) 2 äì;
4) 5 äì 2 ñì?
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
4. 146
146.. Â êàêóþ èç äâóõ êîðîáîê, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 145, ïîìåñòèòñÿ áîëüøå êóáèêîâ ñ ðåáðîì, ðàâíûì 6 ñì, è íà ñêîëüêî áîëüøå?
30 см
18 см
18 см
24 см
36 см
54 см
Ðèñ. 145
На
ц
ио
на
4. 147
147.. Ñðàâíèòå:
1) 90 ìì3 è 9 ñì3;
2) 500 ñì3 è 5 äì3;
3) 80 000 äì3 è 8 ì3;
4) 2000 ñì3 è 2 ì3;
5) 40 000 ìì3 è 4 äì3;
6) 1 ì3 25 äì3 è 1 250 000 ñì3.
4. 148
148.. Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî âûñîòà 12 ñì è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà:
2) 98 ñì2;
1) 14 ñì2;
2
3) 3 ì ;
4) 12 äì2.
192
Правообладатель Национальный институт образования
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà
4.149
149.. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3024 äì3.
Íàéäèòå ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ, åñëè âûñîòà ðàâíà:
2) 7 äì;
4) 1200 ìì.
ия
1) 18 äì;
3) 140 ñì;
2) 9 äì;
4) 10 ìì.
аз
ов
1) 7 ñì;
3) 4 ì;
ан
4.150
150.. Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè äëèíà åãî ðåáðà ðàâíà:
то
бр
4.151
151.. Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè ïëîùàäü åãî íèæíåé
ãðàíè ðàâíà:
2) 64 äì2;
4) 10 000 ìì2.
ст
и
ту
1) 25 ñì2;
3) 121 ì2;
ль
ны
й
1) V = 2 ñì3;
3) V = 4 ñì3;
ин
4.152
152.. Êàêèå èçìåðåíèÿ ìîæåò èìåòü ïðÿìîóãîëüíûé
ïàðàëëåëåïèïåä îáúåìîì V, åñëè êàæäîå åãî èçìåðåíèå âûðàæåíî íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ è:
2) V = 3 ñì 3;
4) V = 30 ñì3?
на
4.153
153.. Ñóùåñòâóåò ëè êóá, äëèíà ðåáðà êîòîðîãî âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à îáúåì ðàâåí:
2) 1000 ìì3;
4) 64 ì3?
На
ц
ио
1) 4 ñì3;
3) 100 äì3;
4.154
154.. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 8 äì3.
Íàéäèòå èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè âñå îíè
âûðàæåíû ðàçëè÷íûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè.
4.155
155.. Äëèíà àêâàðèóìà 90 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà
60 ñì. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû íàïîëíèòü àêâàðèóì?
Правообладатель Национальный институт образования
193
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
4. 156
156.. * Âîäó èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî àêâàðèóìà,
èìåþùåãî ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïåðåëèëè â àêâàðèóì â ôîðìå êóáà. Êàêèì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ âûðàæåíà äëèíà ðåáðà
ýòîãî êóáà, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî àêâàðèóìà
ðàâíû:
1) 10 ñì, 40 ñì, 20 ñì;
2) 25 ñì, 60 ñì, 18 ñì?
а)
б)
то
бр
4. 157
157.. * Ïî äàííûì íà ðèñóíêå 146 âû÷èñëèòå îáúåì
ôèãóðû.
3 см
3 дм
ин
5 дм
2 дм
ст
и
1дм
12
ту
см
18 см
48 см
8 дм
ль
ны
й
4 дм
27 см
Ðèñ. 146
на
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå
км
. Êàêîå ðàñч
На
ц
ио
Ïð
èìåð 1. Ïîåçä èäåò ñî ñêîðîñòüþ 67
Ïðèìåð
ñòîÿíèå îí ïðîéäåò çà 5 ÷?
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü ïîåçäà ÷èñëåííî ðàâíà ðàññòîÿíèþ,
êîòîðîå îí ïðîõîäèò çà åäèíèöó âðåìåíè. À ïî óñëîâèþ çàäà÷è çà 1 ÷ ïîåçä ïðîåçæàåò 67 êì. Çíà÷èò,
çà 5 ÷ îí ïðîéäåò
67 . 5 = 335 (êì).
Îòâåò: 335 êì.
194
Правообладатель Национальный институт образования
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå
аз
ов
ан
ия
Òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, íàäî
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óìíîæèòü íà âðåìÿ äâèæåíèÿ.
Åñëè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå îáîçíà÷èòü áóêâîé s,
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áóêâîé v, à âðåìÿ äâèæåíèÿ áóêâîé t, òî ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
s=v.t
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
Ðàññòîÿíèå s ìîæåò èçìåðÿòüñÿ â êèëîìåòðàõ, ìåòðàõ, ñàíòèìåòðàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ äëèíû. Âðåìÿ t — â ÷àñàõ, ìèíóòàõ, ñåêóíäàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ
âðåìåíè.
Ñêîðîñòü, íàïðèìåð, ïîåçäà, ïåøåõîäà, àâòîìîáèëÿ — ýòî ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå èìè çà åäèíèöó
âðåìåíè. Ïîýòîìó åäèíèöû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ
äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè, çàâèñÿò îò òîãî, â êàêèõ
åäèíèöàõ èçìåðÿþòñÿ ðàññòîÿíèå è âðåìÿ. Åäèíèöû
км км м
,
, . Íàèçìåðåíèÿ ñêîðîñòè çàïèñûâàþò òàê:
ч мин с
км
ïðèìåð, çàïèñü 67
÷èòàåòñÿ: «67 êèëîìåòðîâ â ÷àñ».
ч
На
ц
ио
Ïð
èìåð 2. Ñàäîâàÿ óëèòêà ïðîïîëçëà 120 ñì çà 5 ìèí.
Ïðèìåð
Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îíà ïîëçëà?
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü óëèòêè — ýòî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå
îíà ïðîïîëçëà çà 1 ìèí. Çà 5 ìèí îíà ïðîïîëçëà
120 ñì, çíà÷èò, çà 1 ìèí — â 5 ðàç ìåíüøå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü óëèòêè
Îòâåò: 24
см
.
мин
см 
120 : 5 = 24 
.
 мин 
Правообладатель Национальный институт образования
195
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Òàêèì îáðàçîì,
ия
÷òîáû íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, íàäî ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà âðåìÿ äâèæåíèÿ.
аз
ов
v=s:t
ан
Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
то
бр
×òîáû íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, íàäî ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ.
ту
Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
ст
и
t=s:v
ин
Âîïðîñû
ио
на
ль
ны
й
1. Êàê íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, çíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ è âðåìÿ äâèæåíèÿ?
2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå è âðåìÿ äâèæåíèÿ?
3. Êàê íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå
è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ?
На
ц
Óïðàæíåíèÿ
км
4. 158
158.. ° Ïåøåõîä øåë 3 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 4
è 4 ÷ ñî
ч
км
ñêîðîñòüþ 5
. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå
ч
ïåøåõîäîì.
4. 159
159.. ° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà çà t ìèí
24 640 êì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ëåòåëà ðàêåòà? Ñî196
Правообладатель Национальный институт образования
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå
ñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå
åãî çíà÷åíèå ïðè t, ðàâíîì:
1) 40;
2) 55;
3) 44;
4) 56.
то
бр
аз
ов
ан
ия
4.160
160..° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà s êì ñî ñêîðîñòüþ
км
580
. Ñêîëüêî ìèíóò ëåòåëà ðàêåòà? Ñîñòàâüòå
мин
âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè s, ðàâíîì:
1) 2320;
2) 4060;
3) 12 180;
4) 16 820.
ин
ст
и
ту
4.161
161.. Òóðèñòû ïðîåõàëè íà àâòîáóñå â 8 ðàç áîëüøåå
ðàññòîÿíèå, ÷åì ïðîøëè ïåøêîì çà 3 ÷. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîåõàëè òóðèñòû íà àâòîáóñå, åñëè ïåøêîì
çà 1 ÷ îíè ïðîõîäèëè 4 êì?
на
ль
ны
й
4.162
162.. Ïëîâåö ïðîïëûë äèñòàíöèþ çà 9 ìèí. Ïåðâûå
м
5 ìèí îí ïëûë ñî ñêîðîñòüþ 85
, ïîñëå ÷åãî åãî
мин
м
ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü íà 6
. Íàéäèòå äëèíó äèñмин
òàíöèè.
На
ц
ио
4.163
163.. Çà äâà ýòàïà âåëîãîíêè âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë
376 êì. Ïåðâûé ýòàï äëèíîé 216 êì îí åõàë ñî ñêîкм
км
ðîñòüþ 36
, à âòîðîé ýòàï — ñî ñêîðîñòüþ íà 4
ч
ч
ìåíüøåé, ÷åì íà ïåðâîì ýòàïå. Çà êàêîå âðåìÿ âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë âñþ äèñòàíöèþ?
4.164
164.. Çà 6 ÷ òåïëîõîä ïðîïëûë 210 êì, à ïîåçä çà 4 ÷
ïðîåõàë 420 êì. Âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ïîåçäà áîëüøå ñêîðîñòè òåïëîõîäà?
Правообладатель Национальный институт образования
197
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
ия
4. 165
165.. Ïîëîâèíó ïóòè âåðòîëåò ïðîëåòåë çà 3 ÷ ñî ñêîкм
ðîñòüþ 240
, à îñòàëüíîå ðàññòîÿíèå — ñî ñêîч
км
ðîñòüþ 180
. Ñêîëüêî âðåìåíè âåðòîëåò íàõîäèëñÿ
ч
â ïîëåòå?
то
бр
аз
ов
4. 166
166.. ×åðåç 5 ìèí ïîñëå âûëåòà ïåðâîãî ñàìîëåòà â
òîì æå íàïðàâëåíèè âûëåòåë âòîðîé ñàìîëåò è ñïóñòÿ 15 ìèí äîãíàë ïåðâûé. Ñêîðîñòü ïåðâîãî ñàìîëåòà
км
ñîñòàâëÿëà 6
. Êàêîâà ñêîðîñòü âòîðîãî ñàìîëåòà?
мин
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
4. 167
167..* Êîãäà ïî÷òàëüîí Ïå÷êèí ïðîåõàë 300 ì, âñëåä
çà íèì íà âåëîñèïåäå âûåõàë ìàëü÷èê, çà êîòîðûì
óâÿçàëñÿ ïåñ Øàðèê. Øàðèê äîãíàë ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà, ïîòîì âåðíóëñÿ ê ìàëü÷èêó è áåãàë ìåæäó
ìàëü÷èêîì è Ïå÷êèíûì äî òåõ ïîð, ïîêà ìàëü÷èê
íå äîãíàë ïî÷òàëüîíà. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîáåæàë çà
м
, ñêîýòî âðåìÿ Øàðèê, åñëè åãî ñêîðîñòü 500
мин
м
ðîñòü ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà 200
, à ñêîðîñòü ìàëüмин
м
÷èêà 250
?
мин
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ
è ïðîòèâ òå÷åíèÿ
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà äâèæåíèå ïî ðåêå íàäî ó÷èòûâàòü ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. Ýòà ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì, íà êîòîðîå òå÷åíèå îòíîñèò ëþáîé ïëàâàþùèé ïðåäìåò çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 147).
198
Правообладатель Национальный институт образования
аз
ов
ан
ия
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ
Ðèñ. 147
то
бр
Ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ äâèæóòñÿ ïî ðåêå ïëîò, íàäóâíîé êðóã, ìÿ÷.
ст
и
ту
Ìîòîðíûå è âåñåëüíûå ëîäêè, êàòåðà è òåïëîõîäû èìåþò ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü, êîòîðàÿ ðàâíà èõ ñêîðîñòè â ñòîÿ÷åé âîäå.
ль
ны
й
ин
км
Åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà ðàâíà 15
,
ч
км
à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 2
, òî ïðè äâèæåíèè
ч
êàòåðà ïî òå÷åíèþ ðåêè òå÷åíèå ïîìîãàåò åìó ïëûòü,
è ñêîðîñòü ðàâíà
На
ц
ио
на
 км 
15 + 2 = 17 
,
 ч 
à ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ — ìåøàåò, è ñêîðîñòü ðàâíà
 км 
15 − 2 = 13 
.
 ч 
км
Ãîâîðÿò, ÷òî: 17
— ñêîðîñòü êàòåðà ïî òå÷åч
км
— ñêîðîñòü êàòåðà ïðîòèâ òå÷åíèÿ.
íèþ, à 13
ч
Правообладатель Национальный институт образования
199
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ñêîðîñòü ïî òå÷åíèþ íàõîäÿò ñëîæåíèåì
ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ.
ия
×òîáû íàéòè ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ íàäî èç ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè âû÷åñòü ñêîðîñòü
òå÷åíèÿ.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
Ïð
èìåð 1. Ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè ïðîÏðèìåð
ãóëî÷íûé êàòåð ïðîïëûë 24 êì çà 2 ÷. Íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà
км
14
.
ч
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé êàòåð ïëûë ïðîòèâ òå÷åíèÿ, ðàâíà
 км 
24 : 2 = 12 
.
 ч 
Òàê êàê ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè
ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè êàòåðà è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè îïðåäåëÿåì êàê íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå:
 км 
14 − 12 = 2 
.
 ч 
км
Îòâåò: 2
.
ч
км
Ïð
èìåð 2. Ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè 23
Ïðèìåð
, à
ч
км
ïðîòèâ òå÷åíèÿ — 17
. Íàéòè ñîáñòâåííóþ ñêîч
ðîñòü ëîäêè è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè.
Ðåøåíèå. Ñëîæèâ ñêîðîñòè ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè è
ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ, ïîëó÷èì óäâîåííóþ ñêîðîñòü ëîäêè â ñòîÿ÷åé âîäå:
 км 
23 + 17 = 40 
.
 ч 
200
Правообладатель Национальный институт образования
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ
ан
ия
км
Çíà÷èò, ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 20
, à ñêîч
км
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 3
.
ч
км
км
Îòâåò: 20
; 3
.
ч
ч
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
 ìîðåõîäíîé ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå åäèíèöû äëÿ
èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé:
1 êàáåëüòîâ = 185 ì 2 äì;
1 ìîðñêàÿ ìèëÿ = 10 êàáåëüòîâûõ = 1852 ì,
à òàêæå åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè:
ìîðñêàÿ ìèëÿ
ì
1 óçåë = 1
= 1852 .
÷
÷
Âîïðîñû
ль
ны
й
ин
1. Êàê, çíàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü ñóäíà è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, íàéòè åãî ñêîðîñòü: à) ïî òå÷åíèþ; á) ïðîòèâ
òå÷åíèÿ?
2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, çíàÿ ñêîðîñòü ñóäíà
ïî òå÷åíèþ è åãî ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ?
на
Óïðàæíåíèÿ
ио
4.168
168.. ° Ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 8
км
. Ñêîðîñòü òåч
На
ц
км
. Íàéäèòå:
ч
1) ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè;
2) ñêîðîñòü ëîäêè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè;
3) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïî òå÷åíèþ ðåêè
çà 3 ÷;
4) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïðîòèâ òå÷åíèÿ
ðåêè çà 4 ÷.
÷åíèÿ ðåêè 3
Правообладатель Национальный институт образования
201
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
аз
ов
ан
ия
4.169
169.. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðè÷àëàìè 90 êì. Ñîáкм
ñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà 14
, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåч
км
êè 4
. Çà êàêîå âðåìÿ êàòåð ïðåîäîëååò ýòî ðàñч
ñòîÿíèå, åñëè áóäåò ïëûòü:
1) ïî òå÷åíèþ ðåêè;
2) ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè?
ин
ст
и
ту
то
бр
4.170
170..° Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðè÷àëàìè 120 êì. Ñîáñòâåíкм
íàÿ ñêîðîñòü òåïëîõîäà 25
. Åñëè òåïëîõîä ïëûâåò
ч
âíèç ïî ðåêå (çíà÷èò, ïî åå òå÷åíèþ), òî ýòî ðàññòîÿíèå îí ïðåîäîëåâàåò çà 4 ÷. Íàéäèòå:
1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;
2) âðåìÿ, çà êîòîðîå òåïëîõîä ïðåîäîëååò ýòî ðàññòîÿíèå ââåðõ ïî ðåêå, ò. å. ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ.
ль
ны
й
4. 171
171.. ° Ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè
км
км
27
. Íàéäèòå:
, à ïðîòèâ òå÷åíèÿ 19
ч
ч
1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;
2) ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî îçåðó.
на
км
,
ч
ïëûëà 3 ÷ ïî òå÷åíèþ ðåêè è 5 ÷ ïðîòèâ òå÷åíèÿ
ðåêè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîïëûëà ëîäêà, åñëè ñêîкм
?
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 2
ч
км
4. 173
173.. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 5
. Òåïëîõîä ïðîïëûë
ч
ïî òå÷åíèþ 240 êì çà 8 ÷. Êàêîå âðåìÿ íåîáõîäèìî
çàòðàòèòü åìó íà îáðàòíûé ïóòü, åñëè ñîáñòâåííàÿ
ñêîðîñòü òåïëîõîäà íå èçìåíèëàñü?
На
ц
ио
4. 172
172.. Ëîäêà, èìåþùàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü 6
202
Правообладатель Национальный институт образования
м
140 мин
ту
1 км
то
бр
150 м
мин
ан
м
93 мин
аз
ов
м
107 мин
ия
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
ст
и
Ðèñ. 148
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
4.174
174..* Ñëîíåíîê è óäàâ íà÷àëè äâèæåíèå íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿíèè 1 êì äðóã îò äðóãà.
м
, à óäàâ —
Ñëîíåíîê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ 107
мин
м
93
. Âñå ýòî âðåìÿ ìåæäó ñëîíåíêîì è óäàâîì
мин
áåãàëà îáåçüÿíêà è ëåòàë ïîïóãàé, ïîäãîíÿÿ òî óäàâà,
òî ñëîíåíêà (ðèñ. 148). Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîáåæàëà
îáåçüÿíêà è ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîëåòåë ïîïóãàé äî òîãî
âðåìåíè, ïîêà ñëîíåíîê è óäàâ íå âñòðåòèëèñü, åñëè
м
м
, à ïîïóãàÿ — 140
?
ñêîðîñòü îáåçüÿíêè 150
мин
мин
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
4.175
175.. Îêðóãëèòå äî ñîòåí ÷èñëà:
1) 72 835;
2) 247 348;
3) 7 197 153;
4) 5 824 715.
Правообладатель Национальный институт образования
203
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ан
то
бр
аз
ов
4. 177
177.. Ñðàâíèòå:
1) 53 − 33 è (5 − 3)3;
2) 52 + 22 è (5 + 2)2;
3) 152 − 112 è (15 − 11) . (15 + 11);
4) 23 + 43 è (2 + 4)3.
ия
4. 176
176.. Âû÷èñëèòå è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî òûñÿ÷:
1) 705 399 + 13 245 − 34 760 : 632;
2) (795 328 − 53 794) : 6 + 141 . 352;
3) 937 120 − 423 . 132 + 342 612 : 372;
4) 816 651 : (65 724 − 64 481) + 2318 . 139.
ст
и
ту
4.178
178.. Èñïîëüçóÿ öèôðû 0 è 2, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå:
1) äâóçíà÷íûå ÷èñëà;
2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà;
3) ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà.
ль
ны
й
ин
4. 179
179.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 93 . a − 27 . a − 46 . a ïðè à = 1378;
2) 15 . m + 84 − 5 . m − 52 ïðè m = 7541;
3) (57 . p − 38 ⋅ ð) : 19 ïðè p = 2907;
4) (75 . q − 35 ⋅ q) : 20 ïðè q = 5432.
на
4. 180
180.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
p − (108 − (59 − k)) + (t + 64)
ио
ïðè ð = 206, k = 57, t = 36.
На
ц
4. 181
181.. Êàêîå èç ÷èñåë 8, 12, 16 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ 96 : õ = 22 − õ?
4. 182
182.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ . 299 = 0;
3) 225 : õ = 1;
2) 79 . y = 79;
4) y : 794 = 0.
4. 183
183.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) (723 + ò) + (1257 − 452) = 1805;
2) (n − 17 274) . (118 + 714 : 7) = 126 500.
204
Правообладатель Национальный институт образования
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
ия
4.184
184.. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 67 . õ − 59 . õ = 576;
2) 31 . õ + 4 . õ − 34 . õ + 8 = 118;
3) 122 . (õ − 52) = 362;
4) 62 + 5 . õ = 432 : 12.
аз
ов
ан
4.185
185.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñóììà äëèíû
è øèðèíû êîòîðîãî 62 ñì, à èõ ðàçíîñòü — 6 ñì.
ту
то
бр
4.186
186.. Ñàøà ðåøèë ïîéòè â ãîñòè ê Ìèøå ïåøêîì,
ïîýòîìó îí çàòðàòèë â 7 ðàç áîëüøå âðåìåíè, ÷åì
åñëè áû îí åõàë íà àâòîáóñå. Êàêîå âðåìÿ ïîòðàòèë áû Ñàøà, ïîåõàâ íà àâòîáóñå, åñëè íà äîðîãó
ïåøêîì óøëî íà 36 ìèí áîëüøå?
ин
ст
и
4.187
187..* Ñêîëüêèìè íóëÿìè îêàí÷èâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå
âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 30 äî 80?
ль
ны
й
4.188
188..* Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ:
1) íà 4;
2) íà 8.
ио
на
4.189
189.. *  òðåõ ïàññàæèðñêèõ ïîåçäàõ ðàçëè÷íîå ÷èñëî
ìåñò: 236, 295, 472. Ñêîëüêî âàãîíîâ â êàæäîì ïîåçäå
è ñêîëüêî ìåñò â êàæäîì âàãîíå, åñëè âî âñåõ âàãîíàõ ÷èñëî ìåñò îäèíàêîâîå?
На
ц
4.190
190..* Ê äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèáàâèëè 5, è ñóììà
îêàçàëàñü êðàòíîé 5. Êîãäà îò íåãî îòíÿëè 3, òî ðàçíîñòü îêàçàëàñü êðàòíîé 3. Êîãäà åãî ïîäåëèëè íà 2,
òî îêàçàëîñü, ÷òî è ÷àñòíîå äåëèòñÿ íà 2. Íàéäèòå
ýòî ÷èñëî.
4.191
191..* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 5 ë
è 7 ë, à òàêæå ñëèâíóþ ðàêîâèíó, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 6 ë?
Правообладатель Национальный институт образования
205
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4.192
192..* Èìååòñÿ 8 êã ñàõàðà è ÷àøå÷íûå âåñû áåç ãèðü.
Ìîæåò ëè ñ èõ ïîìîùüþ ïðîäàâåö âçâåñèòü òðåì ïîêóïàòåëÿì 1 êã, 3 êã è 4 êã ñàõàðà?
ан
ия
4. 193
193.. * Ñêîëüêî îäèíàêîâûõ èçäåëèé ïîìåùàåòñÿ â
îäíîé êîðîáêå, åñëè â 13 êîðîáêàõ èõ ìåíüøå 118,
à â 20 êîðîáêàõ áîëüøå 179?
ту
то
бр
аз
ов
4. 194
194.. Ïî òå÷åíèþ ðåêè ïëûâåò ìîòîðíàÿ ëîäêà, à íàâñòðå÷ó — êàòåð. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ëîäêà è êàòåð âñòðåòÿòñÿ, åñëè îíè îäíîâðåìåííî
íà÷àëè äâèæåíèå ñ ñîáñòâåííûìè ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåòкм
км
ñòâåííî ðàâíûìè 12
, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿè 15
ч
ч
íèè 54 êì äðóã îò äðóãà?
ин
ст
и
4. 195
195.. Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:
1) 40 ì3;
2) 4000 ñì3;
3) 5 êì3;
4) 2 ì 3.
ль
ны
й
4. 196
196.. Çàïîëíèòå òàáëèöó (à, b, ñ — èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, V — åãî îáúåì).
8 ñì
60 ìì
? ñì
b
13 ñì
? ìì
130 ìì
ñ
? ñì
4 ñì
80 ìì
V
520 ñì3
216 ñì3
2600 ñì3
На
ц
ио
на
à
4. 197
197.. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà, îáúåì êîòîðîãî ðàâåí 343 äì3.
4. 198
198..* Àêâàðèóì, èìåþùèé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, èçãîòîâëåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ êóñêîâ
ñòåêëà, îáùåé ïëîùàäüþ 12 500 ñì 2. Ñêîëüêî ëèòðîâ
âîäû ïîòðåáóåòñÿ äëÿ çàïîëíåíèÿ äîâåðõó òðåõ òàêèõ
æå àêâàðèóìîâ?
206
Правообладатель Национальный институт образования
ия
Îòâåòû
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ан
аз
ов
то
бр
ст
и
1.4. à) 3 òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòîâ íåò; á) íåò òðåóãîëüíèêîâ, 5 êâàäðàòîâ; â) 8 òðåóãîëüíèêîâ,
2 êâàäðàòà; ã) 7 òðåóãîëüíèêîâ, 3 êâàäðàòà.
1.11. à: 728; 329;
à + 1: 538; 445; 330;
à – 1: 536; 443; 727.
1.14. 2) 99; 100; 101; 102;
103; 104; 105.
1.15. 1) à + 3.
1.16. 1) 9; 10; 15; 16; 17;
23; 24; 99; 100;
2) 8; 9; 14; 15; 16; 22;
23; 98; 99;
3) 9; 15; 16; 23; 99.
1.17. 1) 99; 3) 11.
1.18. 1) 9 899 100; 2) 109.
1.19. 4 + 4 ⋅ (4 − 4) = 4;
(4 + 4) ⋅ 4 : 4 = 8;
4 ⋅ 4 ⋅ 4 : 4 = 16;
4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 32;
(4 + 4) ⋅ (4 + 4) = 64;
(4 + 4) ⋅ 4 ⋅ 4 = 128;
4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256.
1.31. 1) 2; 3) à) 7; á) 4;
â) 6.
1.33. 1) 731; 3) 137.
1.34. 9.
1.35. 1) 6; 2) 4.
1.36. 2) 40; 44; 4) 10; 15;
11; 51; 50; 55.
1.40. 2) 999; 100;
4) 999 999; 100 000.
1.42. 2) 103; 112; 121; 130;
202; 211; 220; 310; 400.
1.43. 50 505; 505 050;
5 050 505.
1.45. Íîìåð 299.
1.46. 1) 1 + 3 ⋅ 5 – (7 + 9);
2) (1 + 3 ⋅ 5) : (7 + 9);
3) ((1 + 3) ⋅ 5 + 7) : 9);
4) 1 + 3 ⋅ (5 + 7) : 9;
5) 1 + 3 + 5 + 7 – 9;
6) (1 ⋅ 3 + 5 – 7) ⋅ 9.
1.51. 1) Íàïðèìåð, 405 703.
1.52. 2) 4305; 4) 9400.
1.54. 2) 5000 + 400 + 20;
4) 5000 + 400 + 2;
6) 500 000 + 200 + 4.
1.55. 1) 386; 3) 30 860.
1.56. 2) 5881; 4) 530 000.
1.58. 2) 900 + 90 + 9;
4 ) 90 000 + 9000 +
+ 900 + 90 + 9.
1.61. Â 14 ÷ 30 ìèí.
ту
ÃËÀÂÀ 1
Правообладатель Национальный институт образования
207
Îòâåòû
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.62. 2) 701 011 000;
1.104. 2) 5588 < 8555;
4) 6 000 000 606.
4) 1 111 431 <
1.67. 1) 8; 3) 4.
< 11 111 431.
1.68. 2) 7; 4) 123.
1.105. 1) 772; 3) 1000.
1.72. 2) 801 108 801 108.
1.106. 2) 5 670 436;
1.75. 2) 79.
4) 499 999 999.
1.76. 1) 192; 2) 64.
1.107. 1) 10 000; 10 001;
1.77. 879 546; 124 506.
10 002.
1.78. 1) 3 − 2 − 1;
1.109. 1) 94; 95; 96; 97; 98;
2) 3 − 2 ⋅ 1;
99.
3) 3 − 2 + 1;
1.110.
2) 4782 ì > 4 êì;
4) 3 ⋅ (2 − 1);
4) 3 ê ã < 3400 ã;
5) 3 + 2 − 1;
6) 370 ñ < 6 ìèí 30 ñ.
6) 3 + 2 ⋅ 1;
1.111.
1) 0; 3) íåâîçìîæíî;
7) 3 ⋅ 2 ⋅ 1;
5) ïîäõîäèò ëþáàÿ
8) 3 ⋅ 2 + 1;
öèôðà.
9) 3 ⋅ (2 + 1).
1.114. á) DC, DF.
1.90. ÀÂ = FH = NP,
1.115. à) 2.
SE = CD.
1.92. á) PS = ST = TV = PV,
1.117. 1) Íåò; 3) äà.
SV = PT;
1.123. à) Äà; â) äà.
ã ) EC = EF = EN.
1.124. 2) Òî÷êè  è Î ïðè1.93. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.
íàäëåæàò ëó÷ó ÌÎ, à
1.94. 2) 33 äì 6 ñì 2 ìì;
òî÷êè À, Ò, Ñ, K è D
4) 30 äì 3 ñì 7 ìì.
íå ïðèíàäëåæàò.
1.95. 11; 16; 21.
1.130. 2) À(2), Â(6), Ñ(16),
1.96. 203 êì 110 ì.
D(20); 4) A(4), B(16),
1.97. Çàÿö.
C(20), D(36).
1.98. 1) 12 : 3 = 4;
1.135. 1) M(20), N(50), K(90),
2) 1 + 2 + 3 + 4 − 5 = 5;
L(110).
3) 12 : 3 : 4 + 5 = 6;
1.137. À.
4) 12 : 3 + 4 + 5 − 6 = 7;
1.138. 15 è 27.
5) 12 : 3 ⋅ 4 + 5 − 6 − 7 = 8;
1.139. Íàïðèìåð, 2 è 12.
6) 12 ⋅ 3 : 4 − 5 + 6 +
1.145. 2) 236 ≈ 240;
+ 7 − 8 = 9.
4) 6875 ≈ 6880.
1.102. 2) 1 300 531 > 130 531.
1.146. 2) Äî òûñÿ÷; 4) äî òû1.103. 1) 7 830 132 <
ñÿ÷; 6) äî ñîòåí òûñÿ÷.
< 78 290 132.
Правообладатель Национальный институт образования
208
Ãëàâà 2
1.179. 1) 57.
1.180. 2) 8.
ÃËÀÂÀ 2
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
2.6. 2) 1100; 4) 275.
2.7. 1) 99; 3) 10 098.
2.8. 2) 100 000.
2.10. 125; 250; 375; 500;
625; 750; 875.
2.13. 1) 5 êì 330 ì;
3) 44 ì 30 ñì.
2.14. Â 17 ÷ 30 ìèí.
2.15. 5 îêòÿáðÿ.
2.16. 18 ì 90 ñì.
2.17. 120 ì.
2.18. 7.
2.20. 2) Ïåðâàÿ.
2.21. 1) Äà.
2.23. 95 ì.
2.24. 62.
2.25. 140 ì.
2.26. 250 ì.
2.27. 87 500 êì 2.
2.28. 1) 22 ÷ 58 ìèí;
2) 23 ÷ 18 ìèí;
3) 0 ÷ 8 ìèí.
2.29. 4884.
2.30. 2) 130; 4) 1000.
2.31. 1) 2637; 3) 606 482.
2.33. 1) 110; 3) 111 000.
2.34. 200 000.
2.35. 49.
2.36. 15 êì.
2.37. 85 êì.
2.38. 635 ã.
2.39. 1) Íå èçìåíèòñÿ.
2.40. 12.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
1.147. 1) a) 73 650; á) 73 600;
â) 74 000; 2) 70 000;
3) à) 1250; á) 1200;
â) 1000; ã) 0.
1.148. 2) 200 000; 37 100 000;
62 900 000.
1.149. Ëåíà — äî ñîòåí òûñÿ÷, Øóðà — äî òûñÿ÷, Êîëÿ — äî äåñÿòêîâ.
1.155. 1) 500 è 1499;
3) 9500 è 10 499.
1.157. 1) 8 êã; 3) 2 êã.
1.158. 2) 10 ö; 4) 9 ö.
1.159. 1) 4 äì; 3) 3 äì.
1.160. 199.
1.161. 1) 2559; 3) 73 686.
1.162. 2) 5924; 4) 1558.
1.163. 1) 203 440; 3) 20 046.
1.164. 2) 107 937; 4) 62.
1.165. 1) 188; 3) 0; 5) 2.
1.166. 2) 3 ì 92 ñì;
4) 43 äì 4 ñì 2 ìì.
1.167. 1) 5 ÷ 11 ìèí;
3) 3 ÷ 52 ìèí 5 ñ.
1.168. 32.
1.169. 50.
1.170. 990.
1.171. 0 ÷ 11 ìèí.
1.172. 13 ÷ 05 ìèí;
15 ÷ 40 ìèí.
1.173. 56 ì.
1.174. Â 9 ðàç.
1.175. 6.
1.176. 18.
1.177. 17 ôåâðàëÿ.
1.178. 29 ÷èñåë.
Правообладатель Национальный институт образования
209
Îòâåòû
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
2.90. 4 ñì, 5 ñì, 6 ñì, 7 ñì.
2.91. 1) 12 ñì; 3) 25 ñì.
2.99. 4, 3 èëè íè îäíîãî.
2.100. á) EFR, ESR, EFS,
EKM, EPM, EKP.
2.101. à) MN = MP, ∠N = ∠P;
â) KL = KT, LM = ST,
MN = R S, PN = PR,
∠L = ∠T, ∠N = ∠R,
∠M = ∠S.
2.103. 35 ì.
2.104. 35 è 45.
2.105. 60 è 90.
2.106. 3 ì è 1 ì 70 ñì.
2.107. 1 ì 30 ñì è 1 ì 60 ñì.
2.108. 310 ì.
2.109. 6 êã, 10 êã, 14 êã.
2.110. 620; 500; 380.
2.111. 600 ã, 850 ã, 350 ã.
2.112. 60; 24; 36.
2.113. 1) 9; 3) 38; 5) 13.
2.116. 2) 729; 4) 299.
2.117. 1) 27 093; 3) 80 000.
2.118. 2) 36 086; 4) 36 086.
2.119. 1) 5371; 3) 86 343.
2.120. 2) 193; 4) 34; 6) 490;
8) 4.
2.122. 67.
2.123. 1) 7.
2.124. 2) 38 ìèí.
2.125. 81.
2.127. 1) 60; 3) 718 693.
2.128. 2) 2514; 4) 22 000.
2.130. 2) 29 ò; 4) 400 ò.
2.131. 1) 4 ö; 3) 1 êì.
2.132. 10 995.
2.133. 19 996.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
2.47. ∠NMP = ∠XTY,
∠BAC = ∠QLH,
∠KSO = ∠DEF.
2.57. 1) 180°; 2) 90°; 3) 90°.
2.63. 1) 36 418;
3) 1 111 112.
2.64. 2) 26.
2.68. Íàïðèìåð,
2) 1807 − 987;
4) 123 456 789 −
− 123 456 689.
2.71. 1) 5 ò 628 êã;
3) 677 ì 36 ñì;
5) 5 ÷.
2.72. 2) 8999.
2.74. 2) Íå èçìåíèòñÿ.
2.75. 1) Ýòè ÷èñëà ðàâíû.
2.76. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 5.
2.77. 1) Îáðàòèòñÿ â íóëü.
2.78. Íà 212 ìëí êì2.
2.79. 50 300 êì.
2.80. 40 008 548 ì.
2.81. 1) 1 ÷ 25 ìèí;
3) 15 ìèí.
2.82. 2) Â ïåðâîé êîðîáêå
834 ã, âî âòîðîé —
655 ã, â òðåòüåé —
934 ã.
2.83. Ñèíåãî öâåòà 126 ì,
çåëåíîãî — 243 ì,
êðàñíîãî — 359 ì,
æåëòîãî — 197 ì.
2.84. Íà 100-ì ìåñòå
ñòîèò öèôðà 7, è íà
2015-ì — öèôðà 7.
2.88. 6 äì 9 ñì.
2.89. 6 ñì, 6 ñì, 11 ñì.
210
Правообладатель Национальный институт образования
Ãëàâà 3
2.142.
2.143.
2.144.
ин
ÃËÀÂÀ 3
1) 1806; 3) 490 254.
2) 93 856; 4) 2 093 520.
1) 170 604; 3) 798 441.
2) 111; 222; 444; 888;
1776.
3.11. 32;
3.12. 2) Â 100 ðàç;
4) â 1 000 000 000 ðàç.
3.13. 1) 792.
3.14. 20 000.
3.15. 7 ìèí 30 ñ.
3.16. 3 ì 12 ñì.
3.17. 1) 10 ÷ 16 ìèí;
2) 24 ìèí.
3.18. 24 êã.
3.19. 108.
3.21. 2) Äà; 4) íåò; 6) íåò.
3.22. 2) 1.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
ия
ан
аз
ов
то
бр
2.140.
2.141.
3.24. 6200.
3.26. 6 ⋅ 4 = 24.
3.27. 22 è 25.
3.28. 2) 1700; 4) 9000;
6) 2200.
3.29. 1) 63 900; 3) 29 000.
3.30. 2) 1400; 4) 30 000.
3.31. 1) 1850; 3) 3650.
3.32. 2) 962; 4) 78.
3.33. 1) 555; 3) 11 100;
5) 66 600.
3.34. 2) 540; 4) 16 200.
3.35. 1) 660; 3) 4400.
3.36. 2) 10 010;
4) 4 004 000.
3.37. 360.
3.38. 80.
3.39. 1600.
3.40. 2) Íå èçìåíèòñÿ.
3.42. 5.
3.45. 1) 172; 3) 6034; 5) p5.
3.48. 2) 2048; 4) 4500;
6) 1372.
3.52. 2) 112; 4) 63; 6) 103.
3.53. 1) 10 000; 3) 1 000 000;
5) 100 000 000.
3.54. 2) 336; 4) 4033.
3.55. 1) Äà; 3) äà.
3.56. 2) Äà; 4) äà.
3.57. 1) 120; 2) 165; 3) 285.
3.58. 1) 800; 2) 1225;
3) 2025.
3.59. 1) 7003; 3) 7030.
3.60. 2) 1 ⋅ 106 + 6 ⋅ 105 +
+ 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 +
+ 7 ⋅ 102 + 8 ⋅ 10 + 5;
4) 5 ⋅ 109 + 7 ⋅ 106 +
ту
2.139.
1) 378 592; 2) 23 178.
81.
33.
165 êì.
Ïèîíîâ — 4, õðèçàíòåì — 5, ãåîðãèí — 7.
Ó Ñàøè — 5, ó Ïåòè — 12, ó Ñëàâû —
13.
2) 6300.
1) 64; 128; 256; 512;
1024; 3) 8; 13; 21;
34; 55.
Ìîãóò.
1) 10; 3) 2.
2) 5; 4) 5.
ст
и
2.134.
2.135.
2.136.
2.137.
2.138.
Правообладатель Национальный институт образования
211
Îòâåòû
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
3.101. Ôåäÿ — 17 èþíÿ,
Æîðà — 21 îêòÿáðÿ,
Ñàøà — 17 îêòÿáðÿ,
Âëàä — 27 ìàÿ.
3.103. 1) 352; 3) 25 100;
5) 19 960.
3.104. 2) 828; 4) 56 056;
6) 23 976.
3.105. 1) 1000; 3) 970;
5) 1370.
3.106. 72.
3.107. 110 ñì.
3.108. 90.
3.109. 30 ì2.
3.110. 71 è 710.
3.111. 1) Ðàâíû; 3) áîëüøå.
3.112. 2) Äà; 4) äà.
3.113. 1) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 − 11;
3) 17 ⋅ 5 2 − 17 ⋅ 19 +
+ 19 ⋅ 17 − 19 ⋅ 4.
3.114. 2) 13 400; 4) 3800.
3.115. 1) 25 000; 3) 20 000.
3.116. 2) 625; 4) 500.
3.117. 1) 2769; 3) 174 800.
3.118. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 4;
4) óâåëè÷èòñÿ â 10 ðàç.
3.119. 560.
3.120. 2) 20 ñì; 4) 10 ì 4 äì.
3.121. Íå õâàòèò.
3.122. 500 ì.
3.123. 55 708.
3.128. 2) 78 115; 4) 7142.
3.129. 1) 234; 3) 4020.
3.130. 2) 128; 4) 75.
3.131. 1) Äà; 3) äà.
3.132. 2) 1420; 4) 816 036.
3.138. 18.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
+ 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 +
+ 3 ⋅ 10 + 2.
3.61. 100 è 961.
3.62. 2) 1; 4) 2; 6) 5.
3.64. 20.
3.71. 1) 62 ìì.
3.72. 2) 19 ì 3 äì.
3.73. Äà.
3.74. Äà.
3.75. 14 ñì, 20 ñì.
3.76. 18 ñì.
3.77. 14 äì èëè 16 äì.
3.78. Òðè ðåøåíèÿ.
3.79. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíà 7 ñì.
3.80. 1 ì 4 ñì.
3.81. 9 ñì, 36 ñì.
3.82. Íå âñåãäà.
3.84. 2) 40; 4) 6000.
3.86. 2) Íà 9.
3.88. 2) 289 äì2; 4) 121 ì2.
3.89. 1) Ñòîðîíà êâàäðàòà
ðàâíà 5 ñì; 3) ñòîðîíà
êâàäðàòà ðàâíà 2 ñì.
3.90. 2) 168 ìì2;
4) 108 ñì2.
3.92. 2) Íåò; 4) íåò.
3.93 1) 4 êì2 111 ì2;
3) 55 ãà 82 à 25 ì2.
3.95. 1) 64 ñì 2.
3.96. 1) 26 ì2; 2) 36 ì2;
3) 36 ì2; 4) 64 ì 2.
3.97. 1) 1440 ñì2.
3.98. 2) 15 ñì; 4) 2 ñì.
3.99. 1) 70 000 êì2;
3) 900 600 ì2.
3.100. 2) 40 ì; 4) 400 êì.
212
Правообладатель Национальный институт образования
Ãëàâà 3
3.162.
3.163.
3.164.
3.165.
3.166.
3.167.
ия
ан
аз
ов
то
бр
ту
ст
и
На
ц
3.151.
3.152.
3.153.
3.154.
3.155.
3.156.
3.157.
3.158.
3.159.
3.160.
3.161.
ин
3.145.
3.146.
3.147.
3.148.
3.149.
3.150.
ль
ны
й
3.144.
на
3.143.
3.168. Îâñà — 240 ò,
ðæè — 720 ò,
ïøåíèöû — 1440 ò.
3.169. 31 710.
3.170. 1 ÷.
3.173. 1) 116; 3) 2750.
3.174. 1) 3 070 445;
2) 1 107 123;
3) 698 856;
4) 744 886.
3.175. 1) Áîëüøå;
3) áîëüøå.
3.176. 2) 36 = 6 + 30.
3.177. 660 êã.
3.178. 38 äì.
3.179. 14 ñì.
3.180. Êðàñíûõ — 19, áåëûõ — 31, ñèíèõ — 43.
3.182. 78.
3.183. 1) 33 228; 3) 1960.
3.184. 2) 50; 4) 354; 6) 759.
3.185. Â 4 ðàçà.
3.186. 279; 280; 281.
3.192. 2) 20 − 4å;
4) 12ð + 117.
3.193. 1) 39; 2) 2; 3) 30;
4) 25.
3.194. 1) 3 293 016;
2) 9 191 998;
3) 24 014; 4) 512.
3.195. 1) 5b + 25; 3) 6c + 64;
5) 48 – 4m; 7) 2b + 4.
3.196. 2) 19; 4) 98.
3.197. 1) p = 8, q — ëþáîå;
3) p = 16, q — ëþáîå.
3.198. 2) k = 59, m — ëþáîå;
4) k = 2117, m — ëþáîå.
Правообладатель Национальный институт образования
213
1) Äà; 3) äà.
2) Äà; 4) íåò.
1) Äà; 3) íåò.
2) Óâåëè÷èòñÿ â
4 ðàçà.
1) Íàïðèìåð, äåëèìîå
óâåëè÷èòü â 10 ðàç,
à äåëèòåëü óâåëè÷èòü
â 2 ðàçà.
2) 512; 256; 128; 64;
32; 16; 8; 4; 2; 1.
1) 101.
120.
12.
45.
300.
30 êîìïëåêòîâ;
120 ñì.
63 : 9 = 7.
9 êðàñíûõ.
270 ì, 810 ì.
450 ã, 900 ã.
680 êã, 340 êã.
14; 56.
4; 8; 24.
4; 8; 32.
6 ÷.
16 ÷.
Ýäèê — 105 ñì,
Ïàøà — 100 ñì,
Äèìà — 95 ñì.
16 êì.
49 ñì.
32.
50.
32.
692.
ио
3.139.
3.140.
3.141.
3.142.
Îòâåòû
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
3.199. 1) m = 32, p — ëþ3.219. 1) 6050; 6051; 6052;
áîå; 3) m = 2, p —
6053; 6054; 6055.
ëþáîå.
3.220. 2) 88; 4) 42; 6) 13;
3.200. 2) a = 1, b — ëþáîå;
8) 888.
4) a = 15, b — ëþ3.221. 1) Âåðíî.
áîå; 6) a = 27, b —
3.222. 7 êã 750 ã.
ëþáîå.
3.223. 993 êã 600 ã.
3.201. 1) 21p; 3) 49k.
3.224. 576.
3.202. 2) 5à + 4b.
3.225. Áåðåç — 11, ñîñåí —
3.203. m + 28.
13, îñèí — 34.
3.204. 4n + 5.
3.226. 181; 169.
3.205. 5n + 50.
3.227. 29 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 =
3.206. 9331a; 2) 18 662;
= 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4.
4) 74 648.
3.228. 3 ìèí.
3.207. 66.
3.229. Ïîëîæèòü ïî òðè
3.208. Âîäû — 800 ã,
êîëüöà íà êàæäóþ
æèðà — 400 ã,
÷àøó âåñîâ.
ñàõàðà — 800 ã.
3.230. Íåò.
3.209. Ìîëîêà — 270 ã,
3.231. (3; 0) → (3; 3) →
âîäû — 450 ã.
→ (2; 4) → (2; 0).
3.210. Êðóïû — 200 ã,
3.232. 56.
ñàõàðà — 40 ã,
3.233. 76 : 4 + 51 : 3.
ìàñëà — 20 ã.
3.234. 5.
3.211. 1) 600 ã; 2) 4 êã 400 ã.
3.235. 5.
3.212. 1) 450 ã; 2) 1 êã 80 ã.
3.236. 45 000.
3.213. Òâîðîã — 1120 ã,
3.237. 7.
ìóêà — 320 ã,
ìàñëî — 160 ã,
ÃËÀÂÀ 4
ñìåòàíà — 240 ã,
4.5. 1) Äà; 3) äà.
ñàõàð — 160 ã.
4.7. 1) 13; 26; 39; 52; 65;
3.215. 1) 1000; 3) 400.
78; 91; 3) 31; 62; 93.
3.216. 2.
4.10.
2) 1; 2; 3; 6; 53; 106;
3.217. 1) à) ≈ 18 860;
159; 318.
á) ≈ 18 900;
4.11.
1) 90; 45; 30; 18; 15;
3) à) ≈ 95 830;
10; 9; 6; 5; 3; 2; 1.
á) ≈ 95 800;
4.13. 1) 425; 450; 475;
5) à) ≈ 355 470;
3) 3075; 3100; 3125.
á) ≈ 355 500.
Правообладатель Национальный институт образования
214
Ãëàâà 4
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
4.67. 1) 9 ñì; 3) 14.
4.68. 2) 14 ñì.
4.69. à) 1) 2; 3) 4;
á) 1) 4; 3) 6.
4.74. 2) 38 ñì; 4) 30 äì 8 ñì.
4.75. 1) 6 äì 5 ñì; 3) 66 ñì.
4.77. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.
4.81. 1) 55 = 9 ⋅ 6 (îñò. 1);
3) 1593 = 18 ⋅ 88
(îñò. 9);
5) 798 = 987 ⋅ 0
(îñò. 798).
4.82. 2) 3; 4) 8.
4.85. 1) 47 534 = 23 ⋅ 2066 +
+ 16; 3) 136 017 =
= 214 ⋅ 635 + 127.
4.87. ð = 4; k = 11; q = 2 ;
l = 6; s = 58; m = 0 ;
d = 43; n = 25.
4.88. 2) 11; 4) 14.
4.90. 2) 44; 4) 62.
4.94. 2) 3.
4.95. 1) 4; 3) 9; 5) 2; 7) 9;
9) 7; 11) 6; 13) 8.
4.96. 2) Íåò; 4) íåò.
4.97. 1) Äà; 3) äà.
4.98. 2) Íåò; 4) íåò.
4.100. 2) 1 èëè 6; 4) 0; 6) 9.
4.101. 11.
4.102. 4.
4.103. 13.
4.104. à) 2) Êóïå ¹ 4; 4) êóïå ¹ 8; á) 2) ¹ 9, 11,
12; 4) ¹ 25, 26, 28.
4.105. 1) 4-é ïîäúåçä 5-é
ýòàæ; 3) 9-é ïîäúåçä
4-é ýòàæ.
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
ст
и
4.16. 2) 300.
4.20. 6, èëè 12, èëè 18, èëè
24, èëè 30, èëè 36, èëè
42, èëè 48.
4.21. 72 ÷ èëè 144 ÷.
4.25. 1) 2; 82; 422; 940;
2710; 80 136; 630 264;
2) 130 025; 67 451;
64 823; 95; 9.
4.29. 1) 30; 3) 1170.
4.30. 2) à) ×åòíîå; á) íå÷åòíîå; 4) à) ÷åòíîå;
á) íå÷åòíîå.
4.31. 1) ×åòíàÿ; 3) ÷åòíàÿ.
4.32. 2) Íåò.
4.33. 1) ×åòíîå; 3) ÷åòíîå.
4.36. 2) à) 0; á) íåâîçìîæíî;
4) à) 0; 2; 4; 6; 8;
á) íåâîçìîæíî.
4.40. 2) 250; 280; 520; 580;
820; 850.
4.41. 1) 9 876 543 210;
1 023 467 895.
4.42. 2) 110; 4) 9585.
4.43. 1) 100; 3) 850.
4.44. 1) 75; 2) 550.
4.45. Íåò.
4.46. Âåðíî.
4.49. 7330.
4.51. 1) Äà; 3) íåò.
4.53. 1500.
4.54. 5500.
4.59. 1) 2 äì; 3) 13 ì 72 ñì.
4.60. 2) 2 äì 3 ñì;
4) 3 äì 8 ñì.
4.65. 7 ñì.
4.66. 9 ñì.
Правообладатель Национальный институт образования
215
Îòâåòû
ин
ль
ны
й
на
ио
На
ц
216
ия
ан
то
бр
4.133.
4.134.
4.135.
4.137.
4.138.
4.139.
1) 0; 3) 5.
Âåðíî.
Íåëüçÿ.
1) 112 ñì; 3) 760 ìì.
2) 204 ñì;
4) 2446 ñì.
148 ñì.
2) 486 äì2; 4) 2646 ì2.
52 äì2.
3352 ñì2.
à) 30.
à) 1620 ñì3;
á) 1080 ñì 3.
à) 648 äì3;
á) 18 000 ñì3.
1) 238 328 000 ìì3 =
= 238 328 ñì3.
3) 216 äì3.
2) 64 äì3; 4) 1331 äì3.
1) 1 ì3 = 1000 äì3;
6 ì3 = 6000 äì 3;
45 ì3 = 45 000 äì3.
2) 200; 4) 630;
6) 254 100.
1) Íà 27; 3) íà 8000.
 ïåðâóþ íà 18 êóáèêîâ áîëüøå.
1) Ìåíüøå; 3) áîëüøå; 5) ìåíüøå.
2) 1176 ñì 3;
4) 14 400 ñì3.
1) 168 äì2; 3) 216 äì2.
2) 729 äì3; 4) 1 ñì3.
1) 125 ñì3; 3) 1331 ì3.
1) Íåò; 3) íåò.
1 äì, 2 äì, 4 äì.
216 ë.
аз
ов
4.127.
4.128.
4.129.
4.131.
4.132.
ту
4.140.
4.141.
ст
и
4.106. à) 3 ⋅ n; á) 3 ⋅ n + 1;
â) 3 ⋅ n + 2, ãäå n —
ëþáîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî èëè 0.
4.107. 1) 15; 18; 30; 90; 126;
417; 585; 9990;
3) 18; 30; 90; 126;
9990.
4.108. 2) 64 953; 5 558 247;
303 003 009.
4.109. 1) Íå âñåãäà.
4.110. Âåðíî.
4.111. 1) à) 2, 5, 8; á) 5;
3) à) 0, 3, 6, 9; á) 6.
4.112. 2) à) 39; á) 18;
4) à) 612; á) 207.
4.113. 2) 1665.
4.114. 1) 1101.
4.115. 2) Äà; 4) íà 3 äåëèòñÿ, íà 9 íå äåëèòñÿ.
4.116. 1) Âåðíî.
4.117. 2) Íåò, íåò, äà, íåò.
4.118. 1) Âåðíî.
4.119. 2) à) 444;
á) 444 444 444;
4) à) 6; á) 666.
4.120. 26 163.
4.121. 2) 3, 4, 5, 6, 7, 8;
4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11.
4.122. Íåò, íåò, íåò, äà, íåò,
äà.
4.123. 1 è 8, 2 è 7, 3 è 6,
4 è 5, 0 è 0.
4.125. 1) 0; 6; 3) 2; 8.
4.126. 3) ×èñëî äîëæíî äåëèòüñÿ è íà 3, è íà 5.
4.142.
4.143.
4.144.
4.145.
4.146.
4.147.
4.148.
4.149.
4.150.
4.151.
4.153.
4.154.
4.155.
Правообладатель Национальный институт образования
Ãëàâà 4
На
ц
ио
на
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
4.175. 1) 72 800;
3) 7 197 200.
4.176. 2) 173 221 ≈ 173 000;
4) 322 859 ≈ 323 000.
4.177. 1) Áîëüøå; 3) ðàâíû.
4.178. 2) 200; 202; 220; 222.
4.179. 1) 27 560; 3) 2907.
4.180. 200.
4.181. 16.
4.182. 2) 1; 4) 0.
4.183. 1) 277; 2) 17 849.
4.184. 2) 110; 4) 0.
4.185. 952 ñì2.
4.186. 6 ìèí.
4.187. 13.
4.189. 4, 5 è 8 âàãîíîâ; â
êàæäîì ïî 59 ìåñò.
4.190. 60.
4.191. (0; 7) → (5; 2) →
→ (0; 2) → (2; 0) →
→ (2; 7) → (5; 4) →
→ (0; 4) → (4; 0) →
→ (4; 7) → (5; 6) →
→ (0; 6).
4.192. Ìîæåò.
4.193. 9.
4.194. 2 ÷.
4.197. 84 äì.
4.198. 375 ë.
ст
и
ль
ны
й
ин
4.156. 2) 30 ñì.
4.157. à) 86 äì3;
á) 3240 ñì3.
4.158. 32 êì.
24 640 км
;
4.159.
t
мин
км
;
1) 616
мин
км
.
3) 560
мин
s
ìèí; 2) 7 ìèí;
4.160.
580
3) 29 ìèí.
4.161. 96 êì.
4.162. 741 ì.
4.163. 11 ÷.
4.164. 3.
4.165. 7 ÷.
км
4.166. 480
.
ч
4.167. 3 êì.
км
; 4) 20 êì.
4.168. 2) 5
ч
4.169. 1) 5 ÷.
4.170. 2) 6 ÷.
км
4.171. 1) 4
.
ч
4.172. 44 êì.
4.173. 12 ÷.
4.174. 750 ì, 700 ì.
Правообладатель Национальный институт образования
Aa
à
Bb
Bb
áý
Cc
Cc
öý
Dd
Dd
äý
Ee
Ee
ý
Ff
Ff
Gg
Hh
Jj
ио
Ll
На
ц
Mm
ан
ýí
î
Pp
Pp
ïý
Qq
Qq
êó
Rr
Rr
ýð
ýô
Ss
Ss
ýñ
Gg
æå
Tt
Tt
òý
Hh
àø
Uu
Uu
ó
Ii
è
Vv
Vv
âý
Jj
æè
Ww
Ww
äóáëü-âý
Kk
êà
Xx
Xx
èêñ
Ll
ýëü
Yy
Yy
èãðåê
Mm
ýì
Zz
Zz
çýò
ст
и
ту
Oo
на
Kk
Nn
Oo
ль
ны
й
Ii
Nn
Íàçâàíèå
ин
Aa
Íà÷åðòàíèå
êóðñèâïðÿìîå
íîå
аз
ов
Íàçâàíèå
то
бр
Íà÷åðòàíèå
êóðñèâïðÿìîå
íîå
ия
Ëàòèíñêèé àëôàâèò
Правообладатель Национальный институт образования
ия
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
À
ан
äëèíà ëîìàíîé 80
— îòðåçêà 30
— ïðÿìîóãîëüíèêà 111
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185
ио
на
Ã
ãðàíü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 184
— áîêîâàÿ 185
— âåðõíÿÿ 185
На
ц
Ä
äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 128, 129
— — — áåç îñòàòêà 173
— — — íàöåëî 173
— — — ñ îñòàòêîì 172,
173, 174
äèàìåòð êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 167
то
бр
ту
Å
åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû 30
— — îáúåìà 188
— — ïëîùàäè 115
ст
и
ль
ны
й
ин
Â
âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà 184
— òðåóãîëüíèêà 82
— óãëà 66
âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè 125
âûðàæåíèå áóêâåííîå 144
— ñ ïåðåìåííîé 144
âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185
аз
ов
àð 116
Ç
çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé
ñëîæåíèÿ 60
— — óìíîæåíèÿ 100
çàêîí ðàñïðåäåëèòåëüíûé
óìíîæåíèÿ 121, 122
çàêîí ñî÷åòàòåëüíûé ñëîæåíèÿ 63, 64
— — óìíîæåíèÿ 103
çâåíî ëîìàíîé 81
çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 139
È
èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèê à 111
ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 190
Правообладатель Национальный институт образования
219
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
Ì
ио
на
ìåòð 29
ìíîãîóãîëüíèê 83
ìíîæèòåëü 96
На
ц
Î
îáúåì êóáà 189
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 189
îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ
÷èñåë 47
îêðóæíîñòü 166
îñíîâàíèå ñòåïåíè 107
îñòàòîê ïðè äåëåíèè 176
îòðåçêè ðàâíûå 29
220
аз
ов
ан
ия
Ï
ïåðèìåòð êâàäðàòà 113
— ìíîãîóãîëüíèêà 83
— ïðÿìîóãîëüíèêà 113
ïëîñêîñòü 11
ïëîùàäü êâàäðàòà 116
— ïðÿìîóãîëüíèêà 117
ïîêàçàòåëü ñòåïåíè 107
ïðèçíàê äåëèìîñòè 159
— — íà 2 159, 160
— — íà 5 è íà 10 162,
163
— — íà 9 è íà 3 179, 180
ïðÿìàÿ 10
ïðÿìîóãîëüíèê 111
ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä 184
то
бр
ст
и
ль
ны
й
ин
Ë
ëèòð 194
ëîìàíàÿ 80
— çàìêíóòàÿ 80
— íåçàìêíóòàÿ 80
ëó÷ 39
— êîîðäèíàòíûé 43
îòðåçîê 28
— åäèíè÷íûé 29
ту
Ê
êâàäðàò 111
— åäèíè÷íûé 115
— ÷èñëà 106
êëàññ â çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 23
êîîðäèíàòà òî÷êè íà ëó÷å 44
êðàòíîå 156
êðóã 170
êóá 186
— åäèíè÷íûé 188
— ÷èñëà 106
Ð
ðàäèóñ êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 166
ðàçðÿäíûå åäèíèöû 19
— ñëàãàåìûå 19
ðàçðÿäû â çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 18
ðàñêðûòèå ñêîáîê 125
ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàì è 30
ðÿä íàòóðàëüíûé 4
Ñ
ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà 5
Правообладатель Национальный институт образования
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ äåñÿòè÷íàÿ 14
— — ïîçèöèîííàÿ 15
ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 35
ñòåïåíü ÷èñëà 106, 107
ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà 82
— óãëà 66, 67
Õ
õîðäà îêðóæíîñòè 166
— êðóãà 170
Ò
×
÷àñòíîå 131, 173
— íåïîëíîå 173
÷åòûðåõóãîëüíèê 82
÷èñëî ìíîãîçíà÷íîå 16
— íàòóðàëüíîå 4
— íå÷åòíîå 160
— îäíîçíà÷íîå 15
— ÷åòíîå 160
аз
ов
ан
ия
Ö
öåíòð êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 166
öèôðà 15
ту
ст
и
ль
ны
й
ин
Ó
óãëû âåðòèêàëüíûå 71
— ðàâíûå 67
— ñìåæíûå 71
óãîë 66
— ïðÿìîé 70
— ðàçâåðíóòûé 69
— òðåóãîëüíèêà 82
óðàâíåíèå 89
то
бр
òî÷êà 10
òðåóãîëüíèê 82
На
ц
ио
на
Ô
ôèãóðû ðàâíûå 112
Ø
øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà
111
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185
Правообладатель Национальный институт образования
Îãëàâëåíèå
ÃËÀÂÀ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
4
10
14
18
23
28
35
39
43
47
52
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü ...............................
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ................................
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà ....................
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ................................
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .......................
1.8. Ëó÷ .............................................................
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ .........................................
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
ст
и
ÃËÀÂÀ 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .........................
Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ..................
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ .......................
Óãîë .............................................................
Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû,
âåðòèêàëüíûå óãëû .......................................
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................
2.7. Ëîìàíàÿ .......................................................
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê .............................................
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå
è ðàçíîñòè ....................................................
2.10. Óðàâíåíèå .....................................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
На
ц
ио
на
ль
ны
й
ин
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
56
59
62
66
69
73
80
82
86
88
92
ÃËÀÂÀ 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................ 96
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ............... 100
222
Правообладатель Национальный институт образования
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ....................
Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì .....
Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò ................................
Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè
Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí .............................
Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè ..............................................
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå
è ÷àñòíîìó ...................................................
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó ..............................................
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ ...................................
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ...........................
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ............................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
102
106
111
115
121
125
128
ст
и
ту
то
бр
аз
ов
ан
ия
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
134
137
139
143
149
152
ÃËÀÂÀ 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ио
на
ль
ны
й
ин
Äåëèòåëè è êðàòíûå ......................................
Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 ...............................
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 ..................
Îêðóæíîñòü .................................................
Êðóã .............................................................
Äåëåíèå ñ îñòàòêîì .......................................
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 ..................
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êóá ............
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà ................................................
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ......................................
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ ...........................................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
На
ц
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
155
159
162
166
170
172
179
184
188
194
198
203
Îòâåòû ................................................................. 207
Ïðèëîæåíèå ......................................................... 218
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................ 219
Правообладатель Национальный институт образования
223
(Íàçâàíèå è íîìåð ó÷ðåæäåíèÿ îáùåãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ)
Ó÷åáíûé
ãîä
Èìÿ è ôàìèëèÿ ó÷àùåãîñÿ
Ñîñòîÿíèå
Îöåíêà
ó÷åáíîãî ó÷àùåìóñÿ çà
ïîñîáèÿ ïîëüçîâàíèå
ïðè
ó÷åáíûì
ïîëó÷åíèè ïîñîáèåì
ия
20 /
ан
20 /
аз
ов
20 /
20 /
то
бр
20 /
Ó÷åáíîå èçäàíèå
ст
и
ту
Êóçíåöîâà Åëåíà Ïàâëîâíà
Ìóðàâüåâà Ãàëèíà Ëåîíèäîâíà
Øíåïåðìàí Ëåâ Áîðèñîâè÷ è äð.
ин
МАТЕМАТИКА
ль
ны
й
Учебное пособие для 5 класса
учреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
В 2 частях
Часть 1
на
2-е издание, пересмотренное и дополненное
На
ц
ио
Íà÷. ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî îòäåëà Ã. È. Áîíäàðåíêî
Ðåäàêòîð Ò. Â. Ïðèìà÷åíîê
Îáëîæêà õóäîæíèêà È. À. Óñåíêî
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà À. Í. Êèñåëåâà
Êîððåêòîðû Í. È. Ïîðõóí, Â. Ï. Øêðåäîâà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.04.2013. Ôîðìàò 60×90/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.
Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 14,00. Ó÷.-èçä. ë. 5,38 + 0,38 ôîðç.
Òèðàæ 89 670 ýêç. Çàêàç
Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå «Íàöèîíàëüíûé èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ»
Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü. ËÈ ¹ 02330/0494469
îò 08.04.2009. Óë. Êîðîëÿ, 16, 220004, ã. Ìèíñê
ÎÀÎ «Ïîëèãðàôêîìáèíàò èì. ßêóáà Êîëàñà». ËÏ ¹ 02330/0150496
îò 11.03.2009. Óë. Êîðæåíåâñêîãî, 20, 220024, ã. Ìèíñê
Правообладатель Национальный институт образования