500. Новосибирский государственный университет

"
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
5. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì q
òîíêàÿ ïàëî÷êà äâèæåòñÿ òàê, ÷òî åå íèæíèé êîíåö ñêîëüçèò
ïî ãîðèçîíòàëüíîé îïîðå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v, à
âåðõíèé êîíåö ñêîëüçèò ïî âåðòèêàëüíîé ñòåíêå (ðèñ.1). Ïàëî÷êà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé, ðàâíîé B è íàïðàâëåííîé ãîðèçîíòàëüíî ïàðàëëåëüíî ãðàíèöå ìåæäó ñòåíêîé è
îïîðîé. Ñ êàêîé ñèëîé ïîëå
äåéñòâóåò íà ïàëî÷êó â òîò
ìîìåíò, êîãäà óãîë ìåæäó íåé
Ðèñ. 1
è îïîðîé ðàâåí α ?
Âàðèàíò 2
1. Ïðåäìåò AB äëèíîé l ðàñïîëîæåí ïåðïåíäèêóëÿðíî
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F. Ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà äî ëèíçû d
áîëüøå ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ ëèíçû. Ïîñòðîéòå èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà â ëèíçå. Íàéäèòå ðàçìåð èçîáðàæåíèÿ.
2. Òåëî, äâèãàÿñü ðàâíîóñêîðåííî èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ,
ïðîøëî ðàññòîÿíèå s çà âðåìÿ τ . Êàêóþ ñêîðîñòü èìåëî òåëî
â òîò ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà îíî ïðîøëî ðàññòîÿíèå s/n?
3. Îäíîàòîìíûé èäåàëüíûé ãàç â êîëè÷åñòâå ν ìîëåé,
èìåþùèé àáñîëþòíóþ òåìïåðàòóðó T, ñíà÷àëà îõëàæäàåòñÿ
èçîõîðè÷åñêè òàê, ÷òî äàâëåíèå ãàçà óìåíüøàåòñÿ â 2 ðàçà.
Çàòåì ãàç íàãðåâàåòñÿ èçîáàðè÷åñêè äî òåìïåðàòóðû, â 3 ðàçà
ïðåâîñõîäÿùåé ïåðâîíà÷àëüíóþ.
Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ãàçîì âî âñåì ïðîöåññå.
4. Òðè ïàðàëëåëüíî ðàñïîëîæåííûå ïëàñòèíû çàðÿæåíû çàðÿäàìè
Q, –2Q è 3Q, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
ïëàñòèíàìè ðàâíû d è 2d (ðèñ.2).
Êðàéíèå ïëàñòèíû ñîåäèíÿþò ïðîâîäíèêîì. Êàêîé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî
ïðîâîäíèêó â ïðîöåññå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ? Ðàçìåðû ïëàñòèí
ìíîãî áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó
Ðèñ. 2
íèìè.
5. Ê ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíå æåñòêîñòüþ
k ïðèâÿçàíî òåëî ìàññîé m, íàõîäÿùååñÿ íà øåðîõîâàòîé
ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè
(ðèñ.3). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó òåëîì è ïîâåðõíîñòüþ µ .  íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè òåëî íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè, â êîòîðîì ïðóæèÐèñ. 3
íà íå äåôîðìèðîâàíà. Çàòåì
òåëó òîë÷êîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 = 11µg m k , ãäå g –
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå
íà÷àëà äâèæåíèÿ òåëî îêîí÷àòåëüíî îñòàíîâèòñÿ?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Ìóðàâüåâ, Î.Íàãîðíîâ
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
ÔÈÇÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Êàæäûé âàðèàíò ñîñòîÿë èç çàäà÷ òðåõ òèïîâ. Ïåðâûå òðè
çàäà÷è – ðàñ÷åòíûå, ðàçëè÷íîé ñòåïåíè òðóäíîñòè: îò ïî÷òè
ñòàíäàðòíûõ äî ñðàâíèòåëüíî ñëîæíûõ, òðåáóþùèõ ñìåêàëêè, ãëóáîêèõ çíàíèé, óìåíèÿ îðèåíòèðîâàòüñÿ â íåïðèâû÷íîé èëè óñëîæíåííîé ñèòóàöèè.
×åòâåðòàÿ çàäà÷à – çàäà÷à-îöåíêà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ðàçîáðàòüñÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ôèçè÷åñêîì ÿâëåíèè,
ñôîðìóëèðîâàòü ïðîñòóþ (òàê êàê íóæíà òîëüêî îöåíêà)
ôèçè÷åñêóþ ìîäåëü ýòîãî ÿâëåíèÿ, âûáðàòü ðàçóìíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è, íàêîíåö, ïîëó÷èòü
÷èñëåííûé ðåçóëüòàò, áîëåå èëè ìåíåå ñîîòâåòñòâóþùèé
ðåàëüíîñòè.  òåêñòå çàäà÷è ïîä÷åðêèâàåòñÿ, ÷òî àáèòóðèåíò
ìîæåò ñàì âûáðàòü íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âåëè÷èíû è èõ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ.
Ïÿòàÿ çàäà÷à – çàäà÷à-äåìîíñòðàöèÿ, ïðè ðåøåíèè êîòîðîé íåîáõîäèìî îáúÿñíèòü ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, äåìîíñòðèðóåìîå â àóäèòîðèè. Ñðåäè ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ
íà ïðîöåññ, íåîáõîäèìî âûäåëèòü ãëàâíûé.
Âàðèàíò 1
1. Òåëî ìàññîé m òÿíóò çà íèòü òàê, ÷òî îíî ëåòèò ïî
ãîðèçîíòàëè ñ óñêîðåíèåì à (ðèñ.1). Íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ ðàâíî g.
2. Âåðòèêàëüíûé öèëèíäð ðàçäåëåí ïîðøíåì ìàññîé m. Íàä ïîðøíåì âàêóóì, à íèæå ïîðøíÿ ãàçîîáðàçíûé ãåëèé. Ê ãàçó ïîäâîäèòñÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü N, ïðè ýòîì
ïîðøåíü ïîäíèìàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé Ðèñ. 1
ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå ýòó ñêîðîñòü.
Òðåíèÿ íåò, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g.
3. Ïëàñòèíû ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà, ïëîùàäüþ S êàæäàÿ, ñîåäèíåíû ïðîâîäíèêîì (ðèñ.2). Çàçîð ìåæäó íèìè Í
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàçìåðîâ
ïëàñòèí. Âíóòðè íàõîäèòñÿ
âòîðîé êîíäåíñàòîð ñ ïëàñòèíàìè òîé æå ïëîùàäè, íà êîòîðûõ èìåþòñÿ çàðÿäû Q è
–Q. Îïðåäåëèòå, êàêóþ ðàáîòó ñëåäóåò ñîâåðøèòü, ÷òîáû âûòàùèòü âíóòðåííèé êîíäåíñàòîð, íå ìåíÿÿ çàçîð h Ðèñ. 2
ìåæäó åãî ïëàñòèíàìè.
4. Îöåíèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåíè âûñîòíîãî çäàíèÿ â ïîëäåíü.
5. Èç ïðîâîäà ñâåðíóòû äâå êàòóøêè, ëåæàùèå îäíà íà
äðóãîé. Ïî îäíîìó âûâîäó îò îáåèõ êàòóøåê ñîåäèíèëè
âìåñòå, à ê äâóì äðóãèì ïîäêëþ÷èëè ãàëüâàíîìåòð. Íàä
êàòóøêàìè äâèãàþò ïëîñêèé ìàãíèò. Çàòåì âåðõíþþ êàòóøêó ïåðåâîðà÷èâàþò, è âíîâü äâèãàþò íàä êàòóøêàìè
ìàãíèò. Ïîêàçàíèÿ ãàëüâàíîìåòðà â ýòèõ äâóõ ñëó÷àÿõ ðàçëè÷àþòñÿ. Îáúÿñíèòå äåìîíñòðèðóåìîå ÿâëåíèå.
Âàðèàíò 2
1. Ïðîáèðêà ìàññîé m è ñå÷åíèåì S ïëàâàåò âåðòèêàëüíî
â âîäå òàê, ÷òî âåðõíèé êîíåö ïðîáèðêè âûøå óðîâíÿ âîäû
íà h0 . Êîãäà ïðîáèðêó îïóñòèëè â íåèçâåñòíóþ æèäêîñòü,
îíà ïëàâàåò òàê, ÷òî åå âåðõíèé êîíåö âûøå óðîâíÿ æèäêîñòè íà h. Êàêîâà ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ , åñëè ïëîòíîñòü
âîäû ρ0 ?
2. Â ïðîâîäÿùåé
ðàìêå ñ ïåðåìû÷êîé
âêëþ÷åíû ðåçèñòîðû ñ
óêàçàííûìè íà ðèñóíêå 3 ñîïðîòèâëåíèÿìè,
ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäîâ è ïåðåìû÷êè ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Ðàìêà âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîê- Ðèñ. 3
"
ÊÂÀÍT 2007/¹2
ðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè ñèììåòðèè â âåðòèêàëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé Â. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
òîêà â ïåðåìû÷êå. Ðàçìåðû ðàìêè ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå.
3. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C0 çàðÿäèëè äî íàïðÿæåíèÿ
U0 . Ïîñëå ýòîãî êîíäåíñàòîð îòñîåäèíèëè îò èñòî÷íèêà
íàïðÿæåíèÿ è îòïóñòèëè åãî íèæíþþ ïëàñòèíó. Îíà íà÷àëà ïàäàòü è, ïðîëåòåâ ðàññòîÿíèå h ïî âåðòèêàëè, ïðèîáðåëà ñêîðîñòü v. Íàéäèòå åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ â ýòîò
ìîìåíò, åñëè ìàññà ïëàñòèíû m, à óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ g.
4. Îáîëî÷êó âîçäóøíîãî øàðà íàïîëíÿþò íàãðåòûì âîçäóõîì. Îöåíèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå äîëæíî ïîéòè íà íàãðåâ âîçäóõà, ÷òîáû âîçäóøíûé øàð ìîã ïîäíÿòü
âàñ. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîçäóõà ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ðàâíà 1,0 êÄæ ( êã × Ê ) .
5. Ìàññèâíîå êîëåñî íàäåòî íà ñîãíóòûé ñòåðæåíü êàê íà
îñü. Åãî ñòàâÿò íà íàêëîííóþ äîñêó òàê, ÷òî ñòåðæåíü
óïèðàåòñÿ â íåå. Êîëåñî îòïóñêàþò – îíî ñòîèò. Òåïåðü
âñòàâëÿþò äðóãîé ñòåðæåíü, ñ áîëüøåé äëèíîé îò îñè äî
äîñêè. Îòïóùåííîå êîëåñî ñêàòûâàåòñÿ ïî äîñêå. Îáúÿñíèòå
äåìîíñòðèðóåìîå ÿâëåíèå.
Âàðèàíò 3
1. Íà äíå êîðîáêè ñòîèò áðóñîê ìàññîé Ì, íà êîòîðîì
íàõîäèòñÿ êóáèê ìàññîé m (ðèñ.4). Êóáèê ïðèâÿçàí ê ïðàâîé
ñòåíêå êîðîáêè íèòüþ, ïàðàëëåëüíîé äíó. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è
äíîì ðàâåí µ , òðåíèÿ ìåæäó
áðóñêîì è êóáèêîì íåò. Ïðè
êàêîì óãëå íàêëîíà êîðîáêè
α áðóñîê íà÷íåò âûñêàëüçûâàòü èç ïîä êóáèêà?
2. Ïðè òåìïåðàòóðå T0 òîíÐèñ. 4
êîñòåííûé ñòàêàí ñå÷åíèåì
S ïëàâàåò â âîäå ââåðõ äíîì, âûñòóïàÿ èç âîäû íà âûñîòó h0
(ðèñ. 5). Íàéäèòå íà÷àëüíûé îáúåì âîçäóõà â ñòàêàíå, åñëè
ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû äî Ò
ñòàêàí íà÷àë âûñòóïàòü èç âîäû íà
âûñîòó h. Èçìåíåíèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè âîäû ïðåíåáðå÷ü.
3. Íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ ïîäñîåäèíåí ê ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ðàâíî ρ íà åäèíèöó äëèíû, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè Í (ðèñ.
6). Ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïðîÐèñ. 5
âîäîâ èìååòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé Â. Ðàâíîìåðíî äâèæóùàÿñÿ ïðîâîäÿùàÿ ïåðåìû÷êà
â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íà÷èíàåò çàìûêàòü ýòè ïðîâîäà. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ïåðåìû÷êè òîê â êîíòóðå áóäåò
îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì?
Íàéäèòå âåëè÷èíó ýòîãî
òîêà, åñëè â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïåðåìû÷êè ñ
ïðîâîäàìè ñîïðîòèâëåíèå
êîíòóðà áûëî ðàâíî R0 .
4. Ïðåäñòàâüòå, ÷òî âû
ïëûâåòå íà ëîäêå, â äíå êîÐèñ. 6
òîðîé ïîÿâèëàñü ïðîáîèíà.
Îöåíèòå, ïðè êàêîé åå ïëîùàäè âû áóäåòå óñïåâàòü îò÷åðïûâàòü íàáèðàþùóþñÿ âîäó
ëèòðîâîé áàíêîé.
5. Ïîïëàâêè, îäèí ñ âîòêíóòûì ñâåðõó òîíêèì ñòåðæíåì, âòîðîé – ñ òîëñòûì, ïëàâàþò â ñîëåâîì ðàñòâîðå, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 7. Åñëè èõ
îïóñòèòü â ïðåñíóþ âîäó, òî ïåðâûé ïîïëàâîê ïîãðóæàåòñÿ ïî÷òè
íà âñþ äëèíó ñòåðæíÿ, à âòîðîé
îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íà ïðåæíåì
óðîâíå ïîãðóæåíèÿ. Îáúÿñíèòå íàáëþäàåìîå ÿâëåíèå.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
È.Âîðîáüåâ, Ã.Ìåëåäèí,
Ã.Ôåäîòîâè÷, Ì.Áëèíîâ
Ðèñ. 7
Ðîññèéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé
óíèâåðñèòåò èì. À.È.Ãåðöåíà
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò
Âàðèàíò 1
1. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
f (x) =
(
x -1
log 3 2x2 - 7x + 6
).
2. Îïðåäåëèòå ñóììó âñåõ òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ
íà 4.
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
7-x
£ 3.
5x - 2
4. Äâà çàâîäà ïî ïëàíó äîëæíû áûëè âûïóñòèòü çà ìåñÿö
360 ñòàíêîâ. Ïåðâûé çàâîä âûïîëíèë ïëàí íà 112%, à âòîðîé
íà 110%, âìåñòå çàâîäû âûïóñòèëè çà ìåñÿö 400 ñòàíêîâ.
Ñêîëüêî ñòàíêîâ ñâåðõ ïëàíà âûïóñòèë çà ìåñÿö êàæäûé
çàâîä â îòäåëüíîñòè?
5. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ
ôóíêöèé f ( x ) = 4 x +
x2 - 2
x2 - 2
- 6 è g ( x ) = 5 × 2x -1+
.
6. Îïðåäåëèòå â óðàâíåíèè x - 2k + 1 x + k + 2 = 0 çíà÷åíèå k òàêîå, ÷òî îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâåí ïîëîâèíå äðóãîãî. Íàéäèòå ýòè êîðíè.
7. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3 sin x = 1 - cos x . Îïðåäåëèòå
2
2
ñóììó êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ èç ïðîìåæóòêà [0; 2π] .
8. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà ïðÿìîãî óãëà äåëèò ïîïîëàì óãîë ìåæäó ìåäèàíîé è
âûñîòîé, ïðîâåäåííûìè èç ýòîãî óãëà.
9. Â òåòðàýäð, âñå ðåáðà êîòîðîãî ðàâíû, âïèñàí êîíóñ.
Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ðàâåí 5. Îïðåäåëèòå îáúåì ïèðàìèäû.
Âàðèàíò 2
1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìï2x × 4y = 32,
í
2
ïîlg x - y - 2 lg 2 = 0.
æ 24 2
ö
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log ç 64 2x - 40 x ÷ ³ 0 .
è
ø
(
)
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x ctg 2 x - 1 = 0 . Óêàæèòå ÷èñëî
êîðíåé íà ïðîìåæóòêå [0; 2π] .
4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ m, ïðè êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
mx 2 - 4 x + 3m + 1 > 0 âåðíî äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ õ.