Вариант 2 1. Первый член арифметической прогрессии равен 1

Âàðèàíò 2
(ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé
áåçîïàñíîñòè)
1
1. Ïåðâûé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí , ðàç5
1
íîñòü ïðîãðåññèè ðàâíà − . Áåç ïîìîùè êàëüêóëÿòîðà íàéäèòå
3
38
÷ëåí ïðîãðåññèè, áëèæàéøèé ê ÷èñëó −
. Íàéäèòå íîìåð ýòîãî
3
÷ëåíà â ïðîãðåññèè.
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3x + 7 =
x 4 − 4 x 3 − 10 x2 + 42x + 49 .
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
13
31 

log2− x  x 3 − 3x 2 −
x +  + 2 log 2− x 2 ( x + 3 ) = 1 .
( )
8
8 

4. Â âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF óãëû ïðè âåðøèíàõ
Ñ è F ïðÿìûå, à îñòàëüíûå óãëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Íàéäèòå
ïëîùàäü øåñòèóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî åãî ïåðèìåòð ðàâåí
14 + 4 2 , AF = 3, CD = 1, EF = 4.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
5 sin 3x + 2 6 cos 3x = 7 sin 7x .
6. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå
2 log a x + 3 log ax2 a + 5 = 0
èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè
ìåíüøå 6/25?
Âàðèàíò 3
(ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè
è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè)
1.  6 ÷àñîâ óòðà èç Ì â N âûåõàë âåëîñèïåäèñò. Ñïóñòÿ
ïîë÷àñà èç N â Ì âûåõàë ìîòîöèêëèñò. Îïðåäåëèòå âðåìÿ èõ
âñòðå÷è, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ïóíêò íàçíà÷åíèÿ ìîòîöèêëèñò
ïðèáûë íà 2 ìèíóòû ïîçæå âåëîñèïåäèñòà è ÷òî ñêîðîñòü
âåëîñèïåäèñòà â òðè ðàçà ìåíüøå ñêîðîñòè ìîòîöèêëèñòà.
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1
1
sin 2x − cos 2x = tg x − .
2
2
41
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
log2x + 6 ( x + 5 ) = log28 − x ( x + 5 ) .
4. Ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD ðàâíà S, à îñíîâàíèå ÀÂ â òðè
ðàçà áîëüøå îñíîâàíèÿ CD. Íà áîêîâîé ñòîðîíå AD âûáðàíà
òî÷êà K òàê, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ÀBK è BCK ðàâíû.
Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CDK.
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
2+x <5 x−4 .
6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
xy

= 2,
log x − y
2

 x + y = xy + 1.
Âàðèàíò 4
(ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè
è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè)
1.  12 ÷àñîâ äíÿ èç À â  âûåõàë ìîòîöèêëèñò. Ñïóñòÿ 24
ìèíóòû èç Â â À âûåõàë àâòîìîáèëü. Îïðåäåëèòå âðåìÿ èõ
âñòðå÷è, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ïóíêò íàçíà÷åíèÿ àâòîìîáèëü
ïðèáûë íà 6 ìèíóò ðàíüøå ìîòîöèêëèñòà è ÷òî ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ â äâà ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè ìîòîöèêëèñòà.
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1
1
sin 2x − cos 2x = ctg x + .
2
2
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
log12− x ( x + 3 ) = log2x + 7 ( x + 3 ) .
4. Ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD ðàâíà S, à îñíîâàíèå ÂÑ â äâà
ðàçà ìåíüøå îñíîâàíèÿ AD. Íà áîêîâîé ñòîðîíå ÀÂ âûáðàíà
òî÷êà Ì òàê, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ADM è ÂÑÌ ðàâíû.
Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CDM.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
4−x <5 2+x .
6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé

 3xy

+ 1 = 2,
log x + y 
2



 x − y = xy − 1.

42
Çàäà÷è åæåãîäíîé îëèìïèàäû
(âñå ôàêóëüòåòû)
1 (3 áàëëà). Ê Àíäðåþ íà äà÷ó äîëæåí ïðèåõàòü äðóã, ÷òîáû
ïîìî÷ü åìó âûêîïàòü êàðòîøêó. ×òîáû âñòðåòèòü äðóãà, Àíäðåé
âûåõàë ñ äà÷è íà ìàøèíå òàê, ÷òîáû ïðèåõàòü íà ñòàíöèþ ê
ýëåêòðè÷êå, ïðèáûâàþùåé â 13.00. Ïî ïóòè îí âñòðåòèë äðóãà,
èäóùåãî ê äà÷å ïåøêîì, ïîñêîëüêó îí ïðèåõàë íà ýëåêòðè÷êå,
ïðèáûâøåé íà ÷àñ ðàíüøå, è ðåøèë ñàì èäòè ê äà÷å.  ðåçóëüòàòå
äðóçüÿ ïðèåõàëè íà äà÷ó íà 30 ìèí ðàíüøå. Îïðåäåëèòå âðåìÿ
âñòðå÷è Àíäðåÿ ñ äðóãîì.
3
2 (3 áàëëà). Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà cos −
2
83
− 4 x − x 2 ≥ 0 , ëåæàùèå â èíòåðâàëå  − ; 0  .
 20 
3 (4 áàëëà). Â ïàðàëëåëîãðàììå ñî ñòîðîíàìè 3 è 5 ïðîâåäåíû
áèññåêòðèñû ÷åòûðåõ âíóòðåííèõ óãëîâ. Íàéäèòå îòíîøåíèå
ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàâøåãîñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè
áèññåêòðèñ, ê ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà.
4 (4 áàëëà). Îïðåäåëèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè
êîòîðûõ óðàâíåíèå x + x (a − x ) = 1 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå.
5 (5 áàëëîâ). Èçâåñòíî, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà à, b óäîâëåòâîðÿþò äâóì óñëîâèÿì:
i ñóììà à è b ðàâíà 555,
i íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå à è b â 26 ðàç áîëüøå, ÷åì èõ
íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü.
Íàéäèòå à è b.
6 (5 áàëëîâ). Íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé îòëîæåíû òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè ak = k 2 , k = 1, 2, 3… Âïðàâî îò òî÷êè 0 îòêëàäûâàåòñÿ
îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ, ïðè÷åì êàæäûé ñëåäóþùèé
ðàç îòðåçîê îòêëàäûâàåòñÿ îò êîíöà ïðåäûäóùåãî îòðåçêà.
Íà÷àëüíàÿ äëèíà îòðåçêà ðàâíà 1. Åñëè îòðåçîê, îòëîæåííûé â
î÷åðåäíîé ðàç, çàêðûâàåò ìåíåå 5 òî÷åê ak , òî äëèíà îòðåçêà
óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, åñëè áîëåå 5 òî÷åê – óìåíüøàåòñÿ íà 1, åñëè
æå îòðåçîê çàêðûâàåò ðîâíî 5 òî÷åê ak , òî åãî äëèíà îñòàåòñÿ
ïðåæíåé. Âåðíî ëè, ÷òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè
äëèíà îòêëàäûâàåìîãî îòðåçêà áóäåò ïîñòîÿííîé? Îòâåò îáîñíóéòå.
43
ÔÈÇÈÊÀ
Çàäà÷è åæåãîäíîé îëèìïèàäû
(âñå ôàêóëüòåòû)
1 (3 áàëëà). Ñêîðîñòü ñâåòà â íåïîäâèæíîì âåùåñòâå ðàâíà
u = c/n, ãäå c – ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, n – àáñîëþòíûé
ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ñâåòà u1 â
âåùåñòâå, äâèæóùåìñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v îòíîñèòåëüíî
èñòî÷íèêà ñâåòà òàê, ÷òî âåùåñòâî óäàëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà.
2 (3 áàëëà). Äâà øêèâà ñîåäèíåíû ðåìåííîé ïåðåäà÷åé,
ïåðåäàþùåé âðàùåíèå îò îäíîãî øêèâà ê äðóãîìó (ðèñ.1).
Âåäóùèé øêèâ âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé ν1 = 3000 îá/ìèí, âåäîìûé
øêè⠖ ñ ÷àñòîòîé ν2 = 600 îá/ìèí.
Âåäîìûé øêèâ èìååò äèàìåòð D2 =
= 500 ìì. Êàêîé äèàìåòð D1 èìååò
Ðèñ. 1
âåäóùèé øêèâ?
3 (3 áàëëà). Ñ ëîäêè ìàññîé Ì = 200 êã, äâèæóùåéñÿ ñî
ñêîðîñòüþ v = 1 ì/ñ, íûðÿåò ìàëü÷èê ìàññîé m = 50 êã,
ïåðâîíà÷àëüíî äâèãàÿñü â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Êàêîé
ñòàíåò ñêîðîñòü ëîäêè v2 ïîñëå ïðûæêà ìàëü÷èêà, åñëè îí
ïðûãàåò ñ êîðìû ñî ñêîðîñòüþ v1 = 4 ì/ñ â íàïðàâëåíèè,
ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ëîäêè?
4 (3 áàëëà). Ïðè êàæäîì õîäå ïîðøíåâîé íàñîñ çàõâàòûâàåò
V0 = 20 ë âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ( p0 = 1 àòì, T0 =
= 273 Ê) è íàãíåòàåò åãî â ðåçåðâóàð îáúåìîì V = 2 ì 3 . Òåìïåðàòóðà âîçäóõà â ðåçåðâóàðå ïîääåðæèâàåòñÿ ðàâíîé Ò = 300 Ê.
Ñêîëüêî õîäîâ n äîëæåí ñäåëàòü ïîðøåíü íàñîñà, ÷òîáû ïîâûñèòü äàâëåíèå â ðåçåðâóàðå îò p0 = 1 àòì äî ð = 8 àòì?
5 (4 áàëëà). Ê òî÷êàì 1 è 2 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé èç
èñòî÷íèêà òîêà ñ ÝÄÑ - è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì è ðåçèñòîðîâ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 è R2 , äëèííûìè òîíêèìè ïðîâîäíèêàìè ïîäñîåäèíèëè ïåðâîíà÷àëüíî íåçàðÿæåííûå ìåòàëëè÷åñêèå øàðû ñ ðàäèóñàìè a1 è a2 ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.2).
Íàéäèòå çàðÿäû Q1 è Q2 , óñòàíîâèâøèåñÿ íà êàæäîì èç øàðîâ. ÐàñÐèñ. 2
ñòîÿíèå ìåæäó øàðàìè ìíîãî áîëüøå èõ ðàçìåðîâ, çàðÿä íà ñàìîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäíèêàõ ïðåíåáðåæèìî ìàë.
44
6 (3 áàëëà). Ïîä êàêèì óãëîì α äîëæåí ïàäàòü ñâåòîâîé ëó÷
èç âîçäóõà íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà, ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ áûë
â äâà ðàçà ìåíüøå óãëà ïàäåíèÿ? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü
ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1, àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü
ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = 1,6.
7 (3 áàëëà). Ïîä êîëîêîëîì âîçäóøíîãî íàñîñà íàõîäèòñÿ
âîäà, ìàññà êîòîðîé m1 = 40 ã, à òåìïåðàòóðà 0 °C . Âîçäóõ èçïîä êîëîêîëà áûñòðî îòêà÷èâàþò. Áëàãîäàðÿ èíòåíñèâíîìó èñïàðåíèþ ÷àñòè æèäêîñòè âñÿ îñòàâøàÿñÿ âîäà çàìåðçàåò. Îïðåäåëèòå ìàññó m îáðàçîâàâøåãîñÿ ëüäà, åñëè åãî òåìïåðàòóðà
òàêæå 0 °C . Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ/êã,
óäåëüíàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ âîäû r = 2300 êÄæ/êã.
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
(ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé
áåçîïàñíîñòè)
1. Êîëîííà àâòîìàøèí äëèíîé L = 2 êì äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 36 êì/÷. Èç íà÷àëà êîëîííû âûåçæàåò ìîòîöèêëèñò, êîòîðûé, äîñòèãíóâ åå êîíöà, âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî.
Ñêîðîñòü ìîòîöèêëèñòà ïîñòîÿííà è ðàâíà v2 = 54 êì/÷.
Êàêîé ïóñòü s ïðîéäåò ìîòîöèêëèñò, ïîêà îí íàãîíèò íà÷àëî
êîëîííû?
2. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè òåëà, äâèæóùåãîñÿ ïî ãëàäêîìó ãîðèçîíòàëüíîìó ñòîëó, îò çíà÷åíèÿ v äî çíà÷åíèÿ 2v
òðåáóåòñÿ ñîâåðøèòü ðàáîòó À = 3 Äæ. Êàêóþ äîïîëíèòåëüíóþ
ðàáîòó A′ íàäî ñîâåðøèòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî òåëà
îò çíà÷åíèÿ 2v äî çíà÷åíèÿ 3v? Òåëî äâèæåòñÿ íå îòðûâàÿñü îò
ïîâåðõíîñòè ñòîëà.
3. Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Eñóì òåïëîâîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà â
áàëëîíå åìêîñòüþ V = 10 ë, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äàâëåíèåì
p = 4 ⋅ 105 Ïà .
4. Ëèíèè èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè êîëüöà äèàìåòðîì D = 20 ñì, èçãîòîâëåííîãî èç ìåäíîé ïðîâîëîêè äèàìåòðîì d = 2 ìì. Ñ êàêîé
ñêîðîñòüþ ϕ = ∆B ∆t äîëæíà èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ Â, ÷òîáû ñèëà èíäóêöèîííîãî òîêà â êîëüöå
ðàâíÿëàñü I = 10 À? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè
ρ = 1,75 ⋅ 10−8 Îì ⋅ ì .
5. Íà êàêîé óãîë δ îòêëîíèòñÿ ëó÷ ñâåòà îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ, óïàâ ïîä óãëîì α = 45° èç âîçäóõà íà ïîâåðõ45
íîñòü ñòåêëà? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n =
= 1,60. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü
ðàâíûì 1. Çäåñü α – óãîë ìåæäó ïàäàþùèì ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ñòåêëà, ïðîâåäåííîé â òî÷êå ïàäåíèÿ.
Âàðèàíò 2
(ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé
áåçîïàñíîñòè)
1. Ïàññàæèð ïîåçäà çàìåòèë, ÷òî äâå èäóùèå íàâñòðå÷ó
ïîåçäó ýëåêòðè÷êè ïðîì÷àëèñü ìèìî íåãî ñ èíòåðâàëîì t1 =
= 6 ìèí. Ñ êàêèì èíòåðâàëîì t2 ïðîøëè ýòè ýëåêòðè÷êè ìèìî
ñòàíöèè, åñëè ïîåçä, â êîòîðîì íàõîäèëñÿ ïàññàæèð, øåë ñî
ñêîðîñòüþ v1 = 100 êì/÷, à ñêîðîñòü êàæäîé èç ýëåêòðè÷åê
v2 = 60 êì/÷?
2. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ äåôîðìàöèè ëåãêîé ïðóæèíû îò íóëÿ äî
âåëè÷èíû l òðåáóåòñÿ ñîâåðøèòü ðàáîòó À = 1 Äæ. Êàêóþ
äîïîëíèòåëüíóþ ðàáîòó A′ íàäî ñîâåðøèòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ
äåôîðìàöèè ýòîé ïðóæèíû îò l äî 2l?
3. ×åìó ðàâíà ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ Eñð òåïëîâîãî
äâèæåíèÿ àòîìîâ àðãîíà, åñëè ýòîò ãàç ìàññîé m = 2 êã, íàõîäÿñü
â ñîñóäå îáúåìîì V = 2 ì 3 , ñîçäàåò äàâëåíèå p = 3 ⋅ 105 Ïà ?
Ìîëÿðíàÿ ìàññà àðãîíà Ì = 0,040 êã/ìîëü, ÷èñëî Àâîãàäðî
NA = 6,02 ⋅ 1023 ìîëü −1 .
4. Êâàäðàòíàÿ ðàìêà ñî ñòîðîíîé à = 6,8 ìì, ñäåëàííàÿ èç
ìåäíîé ïðîâîëîêè ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 1 ìì2 ,
ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíîìåðíî èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó ∆B = 2 Òë çà âðåìÿ ∆t = 0,1 ñ. ×åìó ðàâíà ïðè
ýòîì ñèëà òîêà I â ðàìêå? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè
ρ = 1,7 ⋅ 10−8 Îì ⋅ ì .
5. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò èç âîçäóõà íà ïîâåðõíîñòü âîäû ïîä óãëîì
α = 40° . Ïîä êàêèì óãëîì δ äîëæåí óïàñòü ëó÷ èç âîçäóõà íà
ïîâåðõíîñòü ñòåêëà, ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ îêàçàëñÿ òàêèì æå,
êàê äëÿ âîäû? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû n1 =
= 1,33, ñòåêëà n2 = 1,60. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ
âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1. Çäåñü α è δ – óãëû ìåæäó ïàäàþùèì
ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè, ïðîâåäåííîé
â òî÷êå ïàäåíèÿ.
46
Âàðèàíò 3
(ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé
áåçîïàñíîñòè)
1. Ïðèãîðîäíûé ïîåçä îòïðàâëÿåòñÿ ñòðîãî ïî ðàñïèñàíèþ
ðîâíî â 12 ÷àñîâ äíÿ ïî òî÷íûì ÷àñàì è äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì
óñêîðåíèåì. Ïàññàæèð, ÷àñû êîòîðîãî îòñòàþò, âûáåãàåò íà
ïëàòôîðìó ðîâíî â 12 ÷àñîâ ïî ñâîèì ÷àñàì è âèäèò óæå
äâèæóùèéñÿ ïîåçä, ïðè÷åì çà âðåìÿ t = 6 ñ ìèìî íåãî ïðîõîäèò
îäèí âàãîí, à çà ñëåäóþùèå t = 6 ñ – óæå 2 âàãîíà. Íà êàêîé
âðåìåííîé èíòåðâàë τ îòñòàþò ÷àñû ïàññàæèðà?
2. Íà ãëàäêîì ñòîëå íàõîäèòñÿ òåëî, ïðèêðåïëåííîå ê êîíöó ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k =
= 0,05 Í/ì. Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû çàêðåïëåí íåïîäâèæíî.
Òåëî ñîâåðøàåò ìàëûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé
À = 10 ñì. Â òîò ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü òåëà ðàâíà v = 4 ñì/ñ,
ñìåùåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðîâíî x = 6 ñì.
Íàéäèòå ìàññó òåëà m.
3. Èäåàëüíîìó îäíîàòîìíîìó ãàçó â êîëè÷åñòâå ν = 2 ìîëü
ñîîáùèëè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 9,5 êÄæ. Ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà óìåíüøèëàñü íà ∆T =
= 200 Ê. Íàéäèòå ðàáîòà ãàçà À â ýòîì
ïðîöåññå. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) .
4. Ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíóòîì
êëþ÷å K íà ó÷àñòêå ab öåïè (ðèñ.3)
âûäåëÿåòñÿ îäíà è òà æå ìîùíîñòü.
Íàéäèòå âåëè÷èíó ñîïðîòèâëåíèÿ Rx ,
åñëè R0 = 28,2 Îì, à íàïðÿæåíèå íà
Ðèñ. 3
çàæèìàõ èñòî÷íèêà ïîñòîÿííî.
5. Ïðåäåëüíûé óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ïðè
ïåðåõîäå ñâåòîâîãî ëó÷à èç æèäêîñòè â âîçäóõ ðàâåí θïð = 30° .
Äëèíà ñâåòîâîé âîëíû â âîçäóõå λ â = 600 íì. Íàéäèòå äëèíó
ñâåòîâîé âîëíû â æèäêîñòè λ æ . Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1.
Âàðèàíò 4
(ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé
áåçîïàñíîñòè)
1. Ïåðâûé âàãîí ïîåçäà ïðîøåë ìèìî íàáëþäàòåëÿ, ñòîÿùåãî
íà ïëàòôîðìå, çà âðåìÿ t1 = 1 ñ, à âòîðîé – çà âðåìÿ t2 = 1,5 ñ.
Äëèíà âàãîíà l = 12 ì. Íàéäèòå óñêîðåíèå ïîåçäà à. Äâèæåíèå
ïîåçäà ñ÷èòàòü ðàâíîïåðåìåííûì.
47
2. Íà ãëàäêîì ñòîëå íàõîäèòñÿ òåëî ìàññîé m = 0,6 êã,
ïðèêðåïëåííîå ê êîíöó ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = 0,15 Í/ì. Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû çàêðåïëåí íåïîäâèæíî. Òåëî ñîâåðøàåò ìàëûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè òåëà ðàâíî vm =
= 5 ñì/ñ. Íàéäèòå ñìåùåíèå õ òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â
òîò ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåëà ðàâíà v = 4 ñì/ñ.
3. Èäåàëüíîìó îäíîàòîìíîìó ãàçó â êîëè÷åñòâå ν = 2 ìîëü
ñîîáùèëè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 8400 Äæ.  ýòîì ïðîöåññå ãàç
ñîâåðøèë ðàáîòó À = 4600 Äæ. Íà êàêóþ âåëè÷èíó ∆T èçìåíèëàñü ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) .
4. Äâà ñîïðîòèâëåíèÿ ïî R = 100 Îì ïîäêëþ÷àþòñÿ ê
èñòî÷íèêó ÝÄÑ ñíà÷àëà ïîñëåäîâàòåëüíî, à çàòåì ïàðàëëåëüíî.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ íà êàæäîì
ñîïðîòèâëåíèè, îêàçàëàñü îäíîé è òîé æå. Íàéäèòå ÝÄÑ èñòî÷íèêà - , åñëè òîê, ïðîòåêàþùèé â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì
âêëþ÷åíèè ñîïðîòèâëåíèé, ðàâåí I = 1 À.
5. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà äâóõ
ñðåä 1 è 2, ïðè ýòîì óãîë ïàäåíèÿ α = 30° , à óãîë ïðåëîìëåíèÿ
β = 60° . Äëèíà ñâåòîâîé âîëíû â ïåðâîé ñðåäå λ1 = 350 íì.
Íàéäèòå äëèíó âîëíû λ2 âî âòîðîé ñðåäå.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ëåäåíåâ, À.Ïè÷êóð
48
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÉ ÒÅÕÍÈÊÈ (ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ)
ÔÈÇÈÊÀ
Èíòåðíåò-îëèìïèàäà «Ïîâåðü â ñåáÿ!»
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò ýëåêòðîííîé òåõíèêè
(ÌÈÝÒ) (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò
ïðîâîäèò äëÿ ó÷àùèõñÿ îäèííàäöàòûõ êëàññîâ îëèìïèàäû ïî
ìàòåìàòèêå è ôèçèêå, êîòîðûå ïîëüçóþòñÿ áîëüøîé ïîïóëÿðíîñòüþ ñðåäè øêîëüíèêîâ Ìîñêâû è Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. ×òîáû
ðàñøèðèòü êðóã ó÷àñòíèêîâ, âåñíîé 2010 ãîäà ÌÈÝÒ ïðîâåë
îëèìïèàäó ïî ôèçèêå äëÿ ó÷àùèõñÿ 10–11 êëàññîâ â çàî÷íîé
ôîðìå, èñïîëüçóÿ èíòåðíåò-òåõíîëîãèè.
Îëèìïèàäà íå ñîäåðæàëà ñâåðõñëîæíûõ çàäà÷, êîòîðûå
ìîãóò ðåøàòü òîëüêî ñïåöèàëüíî ïîäãîòîâëåííûå øêîëüíèêè.
Ïî÷òè âñå çàäà÷è îëèìïèàäû äîïóñêàþò ïðîñòûå ðåøåíèÿ áåç
ãðîìîçäêîé ìàòåìàòèêè íà îñíîâå çíàíèé îáû÷íîé øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Îäíàêî íàðÿäó ñ âïîëíå ñòàíäàðòíûìè çàäà÷àìè â
çàäàíèÿõ îëèìïèàäû ìîæíî íàéòè è íîâûå, ðåøåíèÿ êîòîðûõ
ñðàçó íå î÷åâèäíû.
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â äâà òóðà. Â îëèìïèàäå ïðèíÿëè
ó÷àñòèå îêîëî 300 øêîëüíèêîâ èç 49 ðàçëè÷íûõ íàñåëåííûõ
ïóíêòîâ Ðîññèè è çàðóáåæüÿ.
Ïðèãëàøàåì âñåõ æåëàþùèõ ïðèíÿòü ó÷àñòèå â îëèìïèàäå
«Ïîâåðü â ñåáÿ!» âåñíîé 2011 ãîäà (http://www.abiturient.ru/,
(499) 734-02-42, (499) 720-89-58).
Çàäà÷è ïåðâîãî òóðà îëèìïèàäû 2010 ãîäà
10 êëàññ
1. Êàìåíü, áðîøåííûé ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè ïîä óãëîì
α = 60° ê ãîðèçîíòó ñî ñêîðîñòüþ v = 20 ì/c, óïàë íà êðûøó
äîìà ÷åðåç âðåìÿ t = 2 ñ. Îïðåäåëèòå âûñîòó äîìà h. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
g = 10 ì ñ2 . Îòâåò îêðóãëèòå äî öåëîãî.
2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ñèëû ìàãíèòíîãî âçàèìîäåé49
ñòâèÿ íàìàãíè÷åííîé øàéáû è æåëåçíîé ïëèòû øàéáó çàïóñêàëè
ñ îäíîé è òîé æå íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ ñíà÷àëà ïî âåðõíåé
ïîâåðõíîñòè ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïëèòû, à çàòåì ïî
íèæíåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.1). Âî
ñêîëüêî ðàç ìàãíèòíàÿ ñèëà áîëüøå
ñèëû òÿæåñòè, åñëè ñìåùåíèå øàéáû ïðè ñêîëüæåíèè âî âòîðîì ñëóÐèñ. 1
÷àå â n = 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â
ïåðâîì?
3. Äâå øàéáû â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ðàçëåòåëèñü â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå âåëè÷èíó îòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé øàéá
ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì v1 v2 , åñëè èõ
ìàññû ðàâíû m1 = 100 ã è m2 =
= 200 ã.
4. Â îäíîì èç äâóõ áàëëîíîâ
ñîäåðæèòñÿ óãëåêèñëûé ãàç, à â äðóãîì – âîäîðîä. Îáúåìû, òåìïåðàòóÐèñ. 2
ðû è äàâëåíèÿ ãàçîâ îäèíàêîâû. Âî
ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ìàññà ãàçà â áàëëîíå, ãäå ïåðâîíà÷àëüíî
áûë âîäîðîä, åñëè áàëëîíû ñîåäèíèòü òîíêîé òðóáêîé? Ìîëÿðíàÿ ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà 44 ã/ìîëü, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà
2 ã/ìîëü.
5.  äëèííîì öèëèíäðè÷åñêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå
(ðèñ.3) íàõîäèòñÿ 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà, óäåðæèâàåìûé ïîðøíåì ìàññîé m = 0,83 êã. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ∆T óâåëè÷èòñÿ òåìïåðàòóðà ãàçà, åñëè ïîðøíþ
ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v =
= 3 ì/ñ? Òåïëîåìêîñòüþ ïîðøíÿ è
ñîñóäà ïðåíåáðå÷ü. Ïðîöåññ ñ÷èòàòü êâàçèñòàòè÷åñêèì. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ
ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) .
6. Òî÷å÷íûé çàðÿä Q ðàñïîëîæåí
Ðèñ. 3
ïîñåðåäèíå ìåæäó çàðÿäàìè 2q è –q íà
îäíîé ñ íèìè ïðÿìîé. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå Q/q, ïðè êîòîðîì ýëåêòðè÷åñêèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà
çàðÿäû 2q è –q â ýòîé ñèñòåìå, ðàâíû ïî âåëè÷èíå.
7. Íà òîíêîå íåïðîâîäÿùåå êîëüöî ðàäèóñîì R = 0,2 ì íàäåòà
áóñèíêà ìàññîé m = 1 ã è çàðÿäîì q = 1 ìêÊë. Êîëüöî ïîìåùåíî
4
â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
âåëè÷èíîé E = 10  ì , âåêòîð íàïðÿæåííîñòè êîòîðîãî E ëåæèò â ïëîñêîñòè êîëüöà
50