Листок 16

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ëèñòîê 16
1) Ïóñòü f, g êîìïëåêñíîçíà÷íûå èíòåãðèðóåìûå ïî Êîøè ôóíêöèè íà îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå,
÷òî ôóíêöèÿ f · g òîæå èíòåãðèðóåìà ïî Êîøè, ïðè÷åì âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî Øâàðöà
¯Z b
¯2 Z b
Z b
¯
¯
2
¯
¯
f (x)g(x)dx¯ 6
|f (x)| dx ·
|g(x)|2 dx
¯
a
a
a
¯Z 1
¯
¯
¯
2) Íàéäèòå òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü äëÿ ¯¯
xf (x)dx¯¯ ïî âñåì íåïðåðûâíûì êîìïëåêñíîçíà÷íûì
0
Z 1
ôóíêöèÿì f , äëÿ êîòîðûõ
|f (x)|2 dx = 1.
0
3) Íàðèñóéòå êðèâûå â R2 è íàéäèòå èõ äëèíû:
à) y = x2/3 (−8 6 x 6 8);
á) y = ch x (−c 6 x 6 c);
â) x = t − sin t, y = 1 − cos t (0 6 t 6 2π );
ã) r = 1 + cos ϕ (0 6 ϕ 6 2π ), ãäå (r, ϕ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè.
4) Ðåøèòå ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíîãî íåèçâåñòíîãî z : à) ez + i = 0;
á) sin z = 3; â) ch z = i; ã) ln(z + i) = 0.
5) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ ez , ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé
ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (òî åñòü ëèíèé âèäà Re z = const è Im z = const).
6) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ z 2 ,
à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2;√
á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Im z = 3 Re z ;
â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z − i| = 1;
ã) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë;
ä) ïîñòðîéòå ïðîîáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
7) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ z −1 ,
à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2;√
á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Im z = 3 Re z ;
â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z − i| = 1;
ã) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
8) Äëÿ îòîáðàæåíèÿ C → C, çàäàííîãî ôîðìóëîé z 7→ (z + z −1 )/2,
à) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 1;
á) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè |z| = 2;
â) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè arg z = 0;
ã) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè arg z = π/2;
ä) ïîñòðîéòå îáðàç ëèíèè Re z = 1;
å) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë;
æ) ïîñòðîéòå îáðàçû ëèíèé ïîëÿðíîé êîîðäèíàòíîé ñåòêè íà ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
9) Íàéäèòå êîýôôèöèåíò ðàñòÿæåíèÿ r è óãîë ïîâîðîòà ϕ äëÿ çàäàííûõ îòîáðàæåíèé w = f (z)
â çàäàííûõ òî÷êàõ:
à) w = ez â òî÷êå z = −1 − iπ/2;
á) w = sin z â òî÷êå z = 1 + i;
â) w = z 3 â òî÷êå z = 1 + i.
10) Âûÿñíèòå, êàêàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñæèìàåòñÿ, à êàêàÿ ðàñòÿãèâàåòñÿ ïðè îòîáðàæåíèè
à) w = ez ;
á) w = ln z ;
â) w = z −1 ;
ã) w = z 3 .