Комбинаторика-15 (Параметры-3)

Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû
Íå÷òî òðàíñöåíäåíòíîå
4x − 2a(a + 1)2x−1 + a3 = 0.
sin x + cos y = 2a2
.
sin x cos y = a2 (a2 − 4)
√
x(2x2 + 1) x2 + 1 = a.
1.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
2.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
3.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
4.
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ
a
ôóíêöèÿ
2
f (x) = (a − x)5x+7+4a − (a + x)5a
−x−5
ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé?
5.
Çíà÷åíèå
a
ïîäîáðàíî òàê, ÷òî ÷èñëî êîðíåé ïåðâîãî èç óðàâíåíèé
4x − 4−x = 2 cos ax,
ðàâíî 2007. Ñêîëüêî êîðíåé ïðè òîì æå
6.
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
7.
×èñëà
à)
a
b
è
4x + 4−x = 2 cos ax + 4
a
èìååò âòîðîå óðàâíåíèå?
log3ax (4a2 − x2 ) < 1.
òàêîâû, ÷òî ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû
cos x = ax + b,
sin x + a = 0
á)
sin x + a = bx,
cos x = b
èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñèñòåìà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå.
8.
Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíîå
a,
ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå
ax = loga x
èìååò åäèí-
ñòâåííîå ðåøåíèå.
9.
2
|a| + |b| > √
3
|a sin(x) + b sin(2x)| 6 1.
Íàéäèòå âñå òàêèå
íåðàâåíñòâî
a
è
b,
÷òî
è ïðè âñåõ
10. Äëÿ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k0 < k1 < k2
÷èñëî êîðíåé íà ïðîìåæóòêå
[0; 2π)
A1 , A2 ∈ R?
âûïîëíåíî
âûÿñíèòå, êàêîå íàèìåíüøåå
ìîæåò èìåòü óðàâíåíèå âèäà
sin k0 x + A1 sin k1 x + A2 sin k2 x = 0,
ãäå
x ∈ R
Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïàðàìåòðû
Íå÷òî òðàíñöåíäåíòíîå
4x − 2a(a + 1)2x−1 + a3 = 0.
sin x + cos y = 2a2
.
sin x cos y = a2 (a2 − 4)
√
x(2x2 + 1) x2 + 1 = a.
1.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
2.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
3.
Ðåøèòå óðàâíåíèå
4.
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ
a
ôóíêöèÿ
2
f (x) = (a − x)5x+7+4a − (a + x)5a
−x−5
ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé?
5.
Çíà÷åíèå
a
ïîäîáðàíî òàê, ÷òî ÷èñëî êîðíåé ïåðâîãî èç óðàâíåíèé
4x − 4−x = 2 cos ax,
ðàâíî 2007. Ñêîëüêî êîðíåé ïðè òîì æå
6.
Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
7.
×èñëà
à)
a
b
è
4x + 4−x = 2 cos ax + 4
a
èìååò âòîðîå óðàâíåíèå?
log3ax (4a2 − x2 ) < 1.
òàêîâû, ÷òî ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû
cos x = ax + b,
sin x + a = 0
á)
sin x + a = bx,
cos x = b
èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñèñòåìà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå.
8.
Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíîå
a,
ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå
ax = loga x
èìååò åäèí-
ñòâåííîå ðåøåíèå.
9.
2
|a| + |b| > √
3
|a sin(x) + b sin(2x)| 6 1.
Íàéäèòå âñå òàêèå
íåðàâåíñòâî
a
è
b,
÷òî
è ïðè âñåõ
10. Äëÿ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k0 < k1 < k2
÷èñëî êîðíåé íà ïðîìåæóòêå
[0; 2π)
A1 , A2 ∈ R?
âûïîëíåíî
âûÿñíèòå, êàêîå íàèìåíüøåå
ìîæåò èìåòü óðàâíåíèå âèäà
sin k0 x + A1 sin k1 x + A2 sin k2 x = 0,
ãäå
x ∈ R