Каждая задача оценивается исходя из 10 баллов. Можно

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ)
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2011
Íàáîð çà÷¼òíûõ çàäà÷ 3
Êàæäàÿ çàäà÷à îöåíèâàåòñÿ èñõîäÿ èç 10 áàëëîâ. Ìîæíî ñäàâàòü ëþáîé ïóíêò, íî
êàæäûé ïóíêò çàñ÷èòûâàåòñÿ íå áîëåå ÷åì
(Çíà÷åíèå
k
k
ñòóäåíòàì èç êàæäîé ãðóïïû.
óêàçàíî îòäåëüíî äëÿ êàæäîé çàäà÷è). Ñïèñîê
êàæäîé ãðóïïû äîñòóïåí ïî àäðåñó
ñâîáîäíûõ
http://bit.ly/vqELax.
çàäà÷ äëÿ
(k = 2) Íå îïèðàÿñü íà òåîðåìó î ïîëíîòå, äîêàæèòå âûâîäèìîñòü ñëåäóþùèõ
ôîðìóë â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.
a) ∀y∃x(A(x) ∧ B(y)) → ∃x∀y(A(x) ∧ B(y));
b) ∀y∃x(A(x) ∨ B(y)) → ∃x∀y(A(x) ∨ B(y));
c) ∀y∃x(A(x) → B(y)) → ∃x∀y(A(x) → B(y));
d) (∀xφ → ∀xψ) → ∃x(φ → ψ);
e) (∀xφ → ∃xψ) → ∃x(φ → ψ);
f) ∃x(φ → ψ) → (∀xφ → ∃xψ);
g) (∀xφ ∨ ∀xψ) → ∀x(φ ∨ ψ);
h) (∃xφ → ∃xψ) → (∃x(φ → ψ) ∨ ∃x(ψ → φ));
i) ∃x(φ → ψ) → (∃x¬φ ∨ ∃xψ);
j) (∀xφ ∧ ∃xψ) → ∃x(φ → ψ);
k) (∃x¬φ ∨ ∀xψ) → ∃x(φ → ψ).
(k = 2) ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ïàðû èíòåðïðåòàöèé ýëåìåíòàðíî ýêâèâàëåíòíûìè êàê óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà? Åñëè ÿâëÿþòñÿ, òî äîêàæèòå, åñëè íåò, òî ïðèäóìàéòå ôîðìóëó, êîòîðàÿ âåðíà â îäíîé è íåâåðíà â äðóãîé.
a) N è N + Z;
b) N + N è N + N + N;
c) R è hR2, 6lexi;
d) hR2, 6standi è hR3, 6standi;
e) h[0, 1]2, 6standi è h[0, 1]3, 6standi;
f) h[0, 1]2, 6standi è hÊðóã ñ öåíòðîì â 0 ðàäèóñà 1, 6standi;
g) h[0, 1]2, 6standi è hÐîìá ñ âåðøèíàìè (0, 0), (1, 2), (2, 1), (3, 3), 6standi;
h) hÐîìá ñ âåðøèíàìè (0, 0), (1, 3), (3, 1), (4, 4), 6standi è
hÐîìá ñ âåðøèíàìè (0, 0), (1, 2), (2, 1), (3, 3), 6stand i;
i) hN \ {0}, |i è hÌíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ N, ⊂i;
j) h{0, 1}∗, @i è h{0, 1, 2}∗, @i;
k) h{0, 1}∞, 6lexi è h{0, 1, 2}∞, 6lexi;
(k = 4) Íàïèøèòå òåîðèþ (ò.å. ñïèñîê çàìêíóòûõ ôîðìóë), îïèñûâàþùóþ ñëåäóþùèå ñòðóêòóðû (ïî óìîë÷àíèþ åñòü òîëüêî àêñèîìû ðàâåíñòâà):
a) ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà áåç ìàêñèìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãî
ýëåìåíòîâ;
b) ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà ñ ìàêñèìàëüíûì è ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòàìè;
c) ðåø¼òêè (÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, ó ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ êîòîðûõ
åñòü òî÷íàÿ íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíè);
1.
2.
3.
d)
e)
f)
g)
ðåø¼òêè, íå èìåþùèå ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ;
àáåëåâû ãðóïïû;
êîëüöà;
ïîëÿ.
(k = 4) Ñïåêòðîì òåîðèè ñ ðàâåíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíîñòåé âñåõ å¼
êîíå÷íûõ ìîäåëåé. Ïðèäóìàéòå òåîðèþ, ñïåêòð êîòîðîé ðàâåí:
a) {n | n...3};
b) {n | n ≡ 1 mod 3};
c) {n | n ≡ 2 mod 3};
d) {p | p ïðîñòîå};
e) {p | p ñîñòàâíîå};
f) {n | n = 2k } (ìíîæåñòâî ñòåïåíåé äâîéêè);
g) {n | n = φk } (ìíîæåñòâî ÷èñåë Ôèáîíà÷÷è).
(k = 4) Âûðàçèòå ñëåäóþùèå ïðåäèêàòû ôîðìóëàìè çàäàííîé äëèíû. Âñþäó N
ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì, à íå ïåðåìåííîé.
a) x = y + N â èíòåðïðåòàöèè hN, Si, ãäå S(x) = x + 1, äëèíà ôîðìóëû O(log N ).
b) x |ïðàïðà{z. . . ïðà}áàáóøêà y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû
N ðàç
O(log N );
c) x N -þðîäíûé áðàò y â èíòåðïðåòàöèè hP; M, E, P i, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
d) x åñòü N -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
e) Ìíîæåñòâà x1, x2, . . . , xN ðàçëè÷íû â èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû
O(N );
f) Ëþáûå òðè ìíîæåñòâà èç x1, x2, . . . , xN èìåþò ïóñòîå îáùåå ïåðåñå÷åíèå â
èíòåðïðåòàöèè h2A, ⊂i, äëèíà ôîðìóëû O(N );
g) Òî÷êè x1, x2, . . . , xN ñóòü âåðøèíû âûïóêëîãî N -óãîëüíèêà â èíòåðïðåòàöèè
hR2 , Ci, äëèíà ôîðìóëû O(N );
h) |xy| = N â èíòåðïðåòàöèè hR2, Ei, äëèíà ôîðìóëû O(log N );
(k = 4)
a) Ïðèäóìàéòå ñîâìåñòíóþ òåîðèþ ñ îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè, âñå ìîäåëè êîòîðîé ñîñòîÿò õîòÿ áû èç 6 ýëåìåíòîâ. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïðåäèêàòîâ
âàì ïîíàäîáèòñÿ?
b) Ïðèäóìàéòå äâå íåýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû φ è ψ, òàêèå ÷òî ôîðìóëû ∀xφ è ∀xψ
ýêâèâàëåíòíû. (Ýêâèâàëåíòíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îáùåçíà÷èìîñòü ýêâèâàëåíöèè,
íà àêñèîìû ðàâåíñòâà è êîíêðåòíûå èíòåðïðåòàöèè îïèðàòüñÿ íåëüçÿ.)
c) Ïðèäóìàéòå äâå íåýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëû φ è ψ, òàêèå ÷òî ôîðìóëû ∃xφ è ∃xψ
ýêâèâàëåíòíû. (Ýêâèâàëåíòíîñòü ïîíèìàåòñÿ êàê îáùåçíà÷èìîñòü ýêâèâàëåíöèè,
íà àêñèîìû ðàâåíñòâà è êîíêðåòíûå èíòåðïðåòàöèè îïèðàòüñÿ íåëüçÿ.)
d) Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà
4.
5.
6.
∀x1 ∀x2 ∀x3 (P (x1 , x1 ) ∧ (P (x1 , x3 ) → (P (x1 , x2 ) ∨ P (x2 , x3 )))) → ∃y∀zP (y, z)
âåðíà â ëþáîé êîíå÷íîé èíòåðïðåòàöèè, íî íå îáùåçíà÷èìà.
e) Ïóñòü V ìíîæåñòâî âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò e îçíà÷àåò, ÷òî âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Äîêàæèòå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòîé
ôîðìóëû, âåðíîé äëÿ âñåõ ñâÿçíûõ ãðàôîâ è íåâåðíûõ äëÿ âñåõ íåñâÿçíûõ.
f) Ïóñòü V ìíîæåñòâî âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò e îçíà÷àåò,
÷òî âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Ñóùåñòâóåò ëè çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, âåðíàÿ äëÿ
âñåõ äâóäîëüíûõ ãðàôîâ è íåâåðíàÿ äëÿ âñåõ íåäâóäîëüíûõ?
g) Ïóñòü V ìíîæåñòâî âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà, äâóìåñòíûé ïðåäèêàò e îçíà÷àåò,
÷òî âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì. Ñóùåñòâóåò ëè çàìêíóòàÿ ôîðìóëà, âåðíàÿ äëÿ
âñåõ àöèêëè÷åñêèõ ãðàôîâ è íåâåðíàÿ äëÿ âñåõ ñîäåðæàùèõ öèêëû?