Серия 47. Колечно-идеальная. Серия 47. Колечно

Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ.
1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê
âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z)
á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë.
(Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra).
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì
è òîëüêî èõ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü,
åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî).
3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò?
Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ .
4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 .
5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî,
äåëÿùååñÿ íà 3.
Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ.
1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê
âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z)
á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë.
(Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra).
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì
è òîëüêî èõ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü,
åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî).
3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò?
Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ .
4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 .
5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî,
äåëÿùååñÿ íà 3.
Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ.
1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê
âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z)
á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë.
(Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra).
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì
è òîëüêî èõ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü,
åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî).
3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò?
Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ .
4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 .
5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî,
äåëÿùååñÿ íà 3.
Ñåðèÿ 47. Êîëå÷íî-èäåàëüíàÿ.
1. à)(ï) Äîêàæèòå, ÷òî êîëüöå öåëûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå äâóõ èäåàëîâ èäåàë. (Êñòàòè, íà ëèêáåçå ðàññêàçûâàëîñü, êàê
âûãëÿäÿò èäåàëû êîëüöà Z)
á) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì êîììóòàòèâíîì êîëüöå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ãëàâíûõ èäåàëîâ èäåàë.
(Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûé èäåàë < a > ýòî èäåàë, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ âèäà ra).
2. à) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 >=< x > + < 2 >⊂ Z[x] ñîäåðæèò â ñåáå âñå ìíîãî÷ëåíû ñ ÷åòíûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì
è òîëüêî èõ.
á) Äîêàæèòå, ÷òî èäåàë < x, 2 > ìàêñèìàëüíûé èäåàë â êîëüöå ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè Z[x] (òî åñòü,
åñëè èäåàë ñîäåðæèò < x, 2 > è åùå ÷òî-íèáóäü, òî îí ñîäåðæèò âñå êîëüöî).
3. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè èäåàëû < a > è < b > ñîâïàäàþò, òî < a > è < b > òàêæå ñîâïàäàþò?
Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ êîëüöà R, äëÿ êîòîðûõ åñòü îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ, íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïîé ýòîãî êîëüöà, è îáîçíà÷àåòñÿ R∗ .
4. Íàéäèòå à) Z∗ ; á) Z[x]∗ â) Z∗8 .
5.á) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâíà íóëþ.
à) Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êóáîâ òðåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x3 + px + q = 0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü öåëîå ÷èñëî,
äåëÿùååñÿ íà 3.