55 Î Ò Â Å Ò Û , Ó... Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6—8»

 Å,Ò ÛÓ
, Ê
ÓÀ
Ê ÀÇÇ À
ÀÍ
ß ,ß Ð, Å Ø
È ßÅ Í È ß
Î Ò Â Å ÎÒÒÛ
ÍÈÈ
ÐÅÅÍ Ø
Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6—8»
(ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 1999 ã.)
1. Îòâåò: íåëüçÿ. Ïåðèìåòð êâàäðàòà 4 × 4 âûðàæàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, à ãèïîòåíóçà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
– «ïîëîâèíêè» åäèíè÷íîãî êâàäðàòà – ðàâíà 2 , ò.å. ÷èñëó
èððàöèîíàëüíîìó. Ñëåäîâàòåëüíî, ãèïîòåíóçû âñåõ ôèãóðîê
äîëæíû ñïðÿòàòüñÿ âíóòðè êâàäðàòà 4 × 4, ðàñïîëàãàÿñü ïàðàìè ãèïîòåíóçà ê ãèïîòåíóçå. Íî â ïÿòè ôèãóðêàõ ãèïîòåíóçû
ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî, à â òðåõ – ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã
ê äðóãó. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëþáàÿ ïîïûòêà ñëîæèòü êâàäðàò áóäåò íåóäà÷íîé, òàê êàê ïî êðàéíåé ìåðå îäíà ãèïîòåíóçà îêàæåòñÿ â ïàðå ñ ïåðïåíäèêóëÿðíîé åé ãèïîòåíóçîé.
2. à) Îòâåò: 5 ïîêîëåíèé. ×òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, ñíà÷àëà
ïîêàæåì, ÷òî 6 ïîêîëåíèé ìèêðîáîâ íà ëèñòå íå ïîìåñòÿòñÿ.
Íàçîâåì õîäîì ïåðåäâèæåíèå îò ëþáîé êëåòêè ê ëþáîé ñîñåäíåé ñ íåé êëåòêå. Ïîñêîëüêó ìèêðîáû î÷åðåäíîãî ïîêîëåíèÿ íàõîäÿòñÿ â êëåòêàõ, ñîñåäíèõ ñ òåìè, ãäå ñîäåðæàòñÿ
ìèêðîáû ïðåäûäóùåãî ïîêîëåíèÿ, òî ìèêðîáû øåñòîãî ïîêîëåíèÿ (è âñåõ
ïðåäûäóùèõ) äîëæíû íàõîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ îáëàñòè êëåòîê, äî êîòîðûõ
ìîæíî äîáðàòüñÿ îò èñõîäíîé êëåòêè, ãäå ïåðâîíà÷àëüíî áûë ìèêðîá ïåðâîãî
ïîêîëåíèÿ, íå áîëåå ÷åì çà
5 õîäîâ. Òàê êàê ïðè êàæäîì õîäå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå ïî âåðòèêàëè èëè
ïî ãîðèçîíòàëè, òî íåòðóäÐèñ. 1
íî èçîáðàçèòü ýòó «îòñòóïíóþ» îáëàñòü, èìåþùóþ
õàðàêòåðíûé ñòóïåí÷àòûé âèä (ðèñ.1).
Ëåãêî ïîäñ÷èòàòü (èëè íåïîñðåäñòâåííî, èëè èñïîëüçóÿ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ), ÷òî èçîáðàæåííàÿ îáëàñòü ñîäåðæèò
61 êëåòêó. Îäíàêî îáùåå ÷èñëî ìèêðîáîâ ñ ïåðâîãî ïî øåñòîå
2
6
5
ïîêîëåíèå âêëþ÷èòåëüíî ðàâíî 1 + 2 + 2 + … + 2 = 2 – 1 =
= 63 > 61. Òàêèì îáðàçîì, øåñòîìó ïîêîëåíèþ ìèêðîáîâ ìåñòà óæå íå õâàòèò.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, 5 ïîêîëåíèé ìèêðîáîâ âïîëíå ìîãóò ðàçìåñòèòüñÿ. Âîò îäèí èç ïðèìåðîâ èõ èòîãîâîãî ðàñïîëîæåíèÿ
(ðèñ.2; çäåñü íå óêàçàíî, êàêîé ìèêðîá êàêèì êîíêðåòíî
ïîðîæäåí, ïîñêîëüêó âîññòà5
5
íîâèòü ýòî íåñëîæíî).
5 4 5 4 5
á) Îòâåò: 7 ïîêîëåíèé. Èäåÿ
5 4 3
3 4 5
ðåøåíèÿ – àáñîëþòíî òà æå
5 2 1 2 5
ñàìàÿ, è, íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ñëîæíîñòü ïî ñðàâíå5 4 3
3 4 5
íèþ ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷åé,
5
4
5
5
4
êîëè÷åñòâåííàÿ îöåíêà òàêæå
5
5
äàåò âåðíîå çíà÷åíèå. Óáåäèìñÿ, ÷òî 8 ïîêîëåíèé ðàçìåñòèòü íåâîçìîæíî.  äàííîì
Ðèñ. 2
ñëó÷àå äîïóñêàþòñÿ òàêæå è
õîäû ïî äèàãîíàëè, ïîýòîìó ìàêñèìàëüíàÿ îáëàñòü ðàçìåùåíèÿ ìèêðîáîâ (ñîäåðæàùàÿ êëåòêè, äî êîòîðûõ ìîæíî äîáðàòüñÿ çà 7 õîäîâ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ñî ñòîðîíîé
2 × 7 + 1 = 15 êëåòîê ñ öåíòðîì â èñõîäíîé êëåòêå. Âñåãî â
2
íåì 15 = 225 êëåòîê.  òî æå âðåìÿ îáùåå ÷èñëî ìèêðîáîâ â
7
2
8
âîñüìè ïîêîëåíèÿõ ðàâíî 1 + 2 + 2 + … + 2 = 2 – 1 =
= 255 > 225. Ñåìü æå ïîêîëåíèé ðàçìåñòèòü ìîæíî – íà ðèñóíêå 3 ïîêàçàí ïðèìåð èõ èòîãîâîãî ðàñïîëîæåíèÿ.
2
3. à) Ïåðâîå ðåøåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ÷èñëî x îêàí÷èâàåòñÿ íà 21, òî ñòîÿùàÿ â ðàçðÿäå ñîòåí öèôðà ÷èñëà õ äîëæíà
55
áûòü íå÷åòíîé. ×èñëî õ
7 7 7 7
7
îêàí÷èâàåòñÿ ëèáî íà 1,
7
7
6 7 6 6 6 6
6 6 7
ëèáî íà 9. Ïóñòü õ =
7
2
7 6 5 7 5 7 5 7 5 7 7
= 10à + 1, òîãäà x 2=
2
4 7 6
7 7 4
4
= 10 a + 1 = 100 ⋅ a +
7 6 5 7 3 7 3
5 7 7 7
+ 10 ⋅ 2a + 1, è ñëåäîâà7 6
4 6 2 7 6 7 6 7 6 7
òåëüíî, ÷èñëî 2à îêàí6 5 7 5 7 1 7 5 7 5 6
÷èâàåòñÿ íà 2, à ñàìî
6 7
7 6 7 6 7 6 7 2 6 4
÷èñëî à – ëèáî íà 1,
7 7 7 5
3 7 3 7 5 6 7
ëèáî íà 6. Åñëè à =
2
6 7 4
4
4 7 7
= 10b + 1, òî x =
2
7 7 5 7 5 7 5 7 5 6 7
= 100b + 11 , è â ðàçðÿ2
6 6 6 6 7 6 7
7 6 6
äå ñîòåí ÷èñëà x ñòîèò
7
7
7
7 7 7 7
íå÷åòíàÿ öèôðà. Àíàëîãè÷íî, åñëè à = 10b + 6,
2
2
òî x = 100 b + 61 – â Ðèñ. 3
ðàçðÿäå ñîòåí îïÿòü ñòîèò íå÷åòíàÿ öèôðà.
Ñëó÷àé õ = 10à + 9 ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2
Èòàê, åñëè x îêàí÷èâàåòñÿ íà 21, òî â ðàçðÿäå ñîòåí ÷èñëà
2
2
x íå ìîæåò ñòîÿòü öèôðà 2. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî x ≠ 21 ,
2
ïîýòîìó íè ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ õ > 1 óðàâíåíèå x + 1 =
= 22K2 íå èìååò ðåøåíèé.
2
Âòîðîå ðåøåíèå. Åñëè áû â ðàçðÿäå ñîòåí ÷èñëà x ñòîÿëà
2
÷åòíàÿ öèôðà, òî ïðè äåëåíèè íà 8 ÷èñëî x äàâàëî áû â
îñòàòêå 5, à ýòîãî áûòü íå ìîæåò (êâàäðàò ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 8 äàåò â îñòàòêå ëèáî 0, ëèáî 1,
ëèáî 4).
á) Ïåðâîå ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, òàêîå ÷èñëî õ ñóùåñòâóåò,
òîãäà, ðàçäåëèâ 77…76 íà 4, ïîëó÷èì êâàäðàò, îêàí÷èâàþùèéñÿ íà 19. Ýòîãî áûòü íå ìîæåò, ïîñêîëüêó õîòÿ áû îäíà
èç äâóõ ïîñëåäíèõ öèôð êâàäðàòà âñåãäà ÷åòíà. Ñëåäîâàòåëü2
íî, óðàâíåíèå x + 1 = 77K7 òàêæå íè ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ õ > 1 ðåøåíèé íå èìååò.
Âòîðîå ðåøåíèå. ×èñëî 777K76 ïðè äåëåíèè íà 7 äàåò îñòàòîê 6, îäíàêî êâàäðàò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 7
íå ìîæåò äàâàòü òàêîé îñòàòîê.
4.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD ïðîâåäåì õîðäó PQ || AD. ×åðåç
òî÷êó Q ïðîâåäåì
M
B
C
äâà îòðåçêà QN è
QM äî ïåðåñå÷åíèÿ
ñî ñòîðîíàìè ïàðàëR
ëåëîãðàììà AD è ÂÑ
ïàðàëëåëüíî åãî äèàO
ãîíàëÿì: QN || AC;
Q
P
QM || BD. ×åðåç òî÷êó Ð è öåíòð ïàðàëD
A
N
ëåëîãðàììà Î ïðîâåäåì ïðÿìóþ äî ïåðå- Ðèñ. 4
ñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé
CD; ïîëó÷èì òî÷êó R. Äîêàæåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê
PMRN – èñêîìûé.
AN
CQ
CM
=
=
. Òàê êàê òî÷êè N è M
Ïî òåîðåìå Ôàëåñà
ND QD BM
äåëÿò ðàâíûå îòðåçêè AD è ÂÑ â ðàâíîì îòíîøåíèè, òî AN =
= MC, ND = MB. Èç ðàâåíñòâà ∆ APO = ∆ CRO ñëåäóåò AP =
= CR. Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà óãëîâ À è Ñ ïîëó÷àåì
∆ APN = ∆ CRM è, â ÷àñòíîñòè, PN = MR. Òàê êàê, ê òîìó
æå, ïðè AD || BC óãëû ANP è CMR ðàâíû, òî MR || PN è,
ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê PMRN – ïàðàëëåëîãðàìì.
Äîêàæåì, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ APN è NRD ðàâíû
(îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ
APN, NRD, CMR, BPM òàêæå ðàâíû, ïîñêîëüêó ∆ BPM =
= ∆ DRN, ∆ APN = ∆ CRM).
Ïî ñâîéñòâó ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà AP = QD. Ñ ó÷åòîì
AP = CR îòñþäà ïîëó÷àåì CQ = RD è AN : ND = CQ : QD =
= RD : QD = k. Òðåóãîëüíèêè APN è NQD èìåþò ðàâíûå
>
C
>
C
>
C