Решения.

Ðåøåíèÿ.
I. Êàæäàÿ çàäà÷à îöåíèâàåòñÿ â 10 áàëëîâ.
1. Äâå õîçÿéêè ïîêóïàëè ìîëîêî êàæäûé äåíü â òå÷åíèå ìåñÿöà. Öåíà íà ìîëîêî åæåäíåâíî
ìåíÿëàñü. Ñðåäíÿÿ öåíà ìîëîêà çà ìåñÿö îêàçàëàñü ðàâíîé 20 ðóáëÿì. Åæåäíåâíî ïåðâàÿ õîçÿéêà ïîêóïàëà ïî îäíîìó ëèòðó, à âòîðàÿ íà 20 ðóáëåé. Êòî èç íèõ ïîòðàòèë çà ýòîò ìåñÿö
áîëüøå äåíåã è êòî êóïèë áîëüøå ìîëîêà?
Îòâåò: õîçÿéêè ïîòðàòèëè äåíåã ïîðîâíó, íî âòîðàÿ êóïèëà áîëüøå ìîëîêà.
Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá. Òàê êàê ïåðâàÿ õîçÿéêà ïîêóïàëà åæåäíåâíî îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ìîëîêà, òî ñðåäíÿÿ öåíà êóïëåííîãî åþ ëèòðà ìîëîêà ðàâíà ñðåäíåé öåíå ìîëîêà çà ìåñÿö.
Ïîñêîëüêó åæåäíåâíî îíà ïîêóïàëà 1 ëèòð, òî â ñðåäíåì îíà òðàòèëà 20 ðóáëåé â äåíü òàê
æå, êàê è âòîðàÿ õîçÿéêà, ñëåäîâàòåëüíî, îíè ïîòðàòèëè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã.
 òå äíè, êîãäà ìîëîêî äåøåâîå (ñòîèò ìåíüøå, ÷åì 20 ðóáëåé çà ëèòð), âòîðàÿ õîçÿéêà
ïîêóïàëà áîëüøå ìîëîêà, ÷åì ïåðâàÿ, à â òå äíè, êîãäà ìîëîêî äîðîãîå (ñòîèò áîëüøå, ÷åì 20
ðóáëåé çà ëèòð), âòîðàÿ õîçÿéêà ïîêóïàëà ìåíüøå ìîëîêà, ÷åì ïåðâàÿ. Òàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ
õîçÿéêà äåéñòâîâàëà áîëåå ýêîíîìíî. Ïîñêîëüêó äåíåã îíè ïîòðàòèëè îäèíàêîâî, òî âòîðàÿ
õîçÿéêà êóïèëà ìîëîêà áîëüøå.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü â ýòîì ìåñÿöå áûëî n äíåé, à öåíû íà ìîëîêî áûëè ðàâíû c1 , c2 ,
c + c + · · · + cn
. . . , cn ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî, ÷òî 1 2
= 20, ïîýòîìó ïåðâàÿ õîçÿéêà ïîòðàòèëà
n
(c1 + c2 + · · · + cn ) = 20n ðóáëåé, òî åñòü, ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è âòîðàÿ.
´
³
20
20
20
+ + ··· +
ëèòðîâ
Ïðè ýòîì, ïåðâàÿ õîçÿéêà êóïèëà n ëèòðîâ ìîëîêà, à âòîðàÿ c1
c2
cn
ìîëîêà. Èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãàðìîíè÷åñêèì:
20 20
20
+
+ ··· +
n
20
20
20
c1
c2
cn
≥ c1 c2
cn = 1, ñëåäîâàòåëüíî, c + c + · · · + c ≥ n.
n
1
2
n
+
+ ··· +
20 20
20
Ðàâåíñòâî äîñòèãàòüñÿ íå ìîæåò, òàê êàê ñðåäè ÷èñåë c1 , c2 , . . . , cn åñòü ðàçëè÷íûå. Òàêèì
îáðàçîì, âòîðàÿ õîçÿéêà êóïèëà áîëüøå ìîëîêà.
2. Áèññåêòðèñû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ A0 , B 0 è C 0 .
Äîêàæèòå, ÷òî AA0 + BB 0 + CC 0 áîëüøå ïåðèìåòðà òðåóãîëüíèêà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü O òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ äàí-
íîãî òðåóãîëüíèêà ABC . Ïðîâåäåì îòðåçêè A0 B è A0 C (ñì. ðèñ. 1),
òîãäà èç ðàâåíñòâà óãëîâ BAA0 è CAA0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî äóã A0 B
è A0 C , èç êîòîðîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ðàâåíñòâî ïðîâåäåííûõ
õîðä. Äàëåå âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû ðåøåíèÿ.
^ A0 B+ ^ AB 0
^ A0 C+ ^ CB 0
Ïåðâûé ñïîñîá. Òàê êàê ∠BOA0 =
=
=
2
2
0 0
^AB
=
= ∠B 0 BA0 , òî A0 B = OA0 . Àíàëîãè÷íî, B 0 A = B 0 C = OB 0
2
A
C0
O
O
B
B0
C
A0
Ðèñ. 1
è C 0 A = C 0 B = OC 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, 2(AA0 + BB 0 + CC 0 ) = 2(AO + BO + CO) + 2(OA0 + OB 0 + OC 0 ) = (AO +
+ BO) + (BO + CO) + (CO + AO) + (A0 B + A0 C) + (B 0 A + B 0 C) + (C 0 B + C 0 A) > AB + BC +
+ CA + BC + CA + AB = 2PABC , îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è.
Âòîðîé ñïîñîá. Ïðèìåíèì äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABA0 C òåîðåìó Ïòîëåìåÿ:
BC
, ïîëó÷èì, ÷òî AA0 =
AB · A0 C + AC · A0 B = AA0 · BC . Èñïîëüçóÿ, ÷òî A0 B = A0 C = a0 >
2
a0
AB + AC
= (AB + AC) ·
>
.
BC
2
BA + BC
CA + CB
Àíàëîãè÷íî, BB 0 >
è CC 0 >
. Ñëîæèâ òðè ïîëó÷åííûõ íåðàâåíñòâà, ïî2
2
ëó÷èì òðåáóåìîå.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå: log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3).
Îòâåò: 1 ±
p
√
11 + 4 3.
Ðåøåíèå. Ïóñòü x2 −2x−2 = y > 0, òîãäà log2√2+√3 (x2 −2x−2) = log√8+4√3 y = 2 log8+4√3 y ,
òî åñòü èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:
2 log8+4√3 y = log2+√3 (y − 1) ⇔ log8+4√3 y = log(2+√3)2 (y − 1) ⇔ log8+4√3 y = log7+4√3 (y − 1).
√
ln (y − 1)
ln (y − 1)
ln (b − 1)
ln y
Ïóñòü 8 + 4 3 = b > 1, òîãäà logb y = logb−1 (y − 1) ⇔
=
⇔
=
.
ln b
ln (b − 1)
ln y
ln b
ln (t − 1)
ln tt − ln(t − 1)t−1
0
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) =
, t > 1; f (t) =
> 0 ïðè t − 1 > 1, òàê
ln t
t(t − 1) ln2 t
êàê ïðè x > 1 ôóíêöèÿ g(x) = xx âîçðàñòàåò. Òàêæå f 0 (t) > 0 è ïðè 1 < t ≤ 2, ïîñêîëüêó
tt > 1, à (t − 1)(t−1) < 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, f (t) âîçðàñòàåò, òî åñòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
èìååò íå áîëåå îäíîãî êîðíÿ.
p
√
√
2
Òîãäà y = b, òî åñòü x − 2x − 2 = 8 + 4 3 ⇔ x = 1 ± 11 + 4 3.
4. Íà êîíöàõ îòðåçêà çàïèñàíî ïî åäèíèöå. Íà êàæäîì øàãå ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ñîñåä-
íèìè ÷èñëàìè âïèñûâàþò èõ ñóììó. Òî åñòü, íà ïåðâîì øàãå ìåæäó äâóìÿ åäèíèöàìè çàïèñûâàþò 2, íà âòîðîì øàãå äîïèñûâàþò äâå òðîéêè, è òàê äàëåå. Ñäåëàíî 2005 øàãîâ. Ñêîëüêî ðàç
ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë âñòðåòèòñÿ ÷èñëî 2005?
³
´³
´
1
1
Îòâåò: ϕ(2005) = 2005 1 −
1−
= 1600, ãäå ϕ(n) ôóíêöèÿ Ýéëåðà, òî åñòü, êîëè401
5
÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõ ñ íèì (ïî îïðåäåëåíèþ, ϕ(1) = 1).
Ðåøåíèå. Äîêàæåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå: íà n-îì øàãå ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë ÷èñëî
n âñòðåòèòñÿ ϕ(n) ðàç.
Ëåììà. ×èñëî n ìîæåò ïîÿâèòüñÿ òîëüêî â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ
÷èñåë a è b.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê, è íà êàêîì-òî øàãå ðÿäîì áûëè çàïèñàíû
÷èñëà a è b, òàêèå, ÷òî a + b = n, ÍÎÄ(a, b) = x > 1. Ïóñòü a > b, òîãäà íà ïðåäûäóùåì
øàãå a ïîëó÷èëîñü ñëîæåíèåì b è êàêîãî-òî c, ñëåäîâàòåëüíî, c òîæå äåëèòñÿ íà x. Ðàññóæäàÿ
àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì, ÷òî íà êàæäîì ïðåäûäóùåì øàãå ðÿäîì ñòîÿëè äâà íå âçàèìíî ïðîñòûõ
÷èñëà, ñëåäîâàòåëüíî, è íà ïåðâîì øàãå òîæå ïðîòèâîðå÷èå.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íà êàêîì-òî øàãå ñðåäè çàïèñàííûõ ÷èñåë ïîÿâèëîñü ÷èñëî n, òî òîëüêî
â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè n ïîÿâèëîñü
â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ a è b, òî ÍÎÄ(n, a) = 1 è ÍÎÄ(n, b) = 1.
Ïîêàæåì, ÷òî äî n-îãî øàãà âñå òàêèå ñïîñîáû ïîëó÷åíèÿ n áûëè ðåàëèçîâàíû. Òî åñòü,
êàæäûå äâà âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñëà a è b, òàêèå, ÷òî a + b = n, ÍÎÄ(n, a) = 1, ÍÎÄ(n, b) = 1,
â íåêîòîðûé ìîìåíò (íî íå ïîçäíåå, ÷åì íà (n − 1)-îì øàãå) áûëè çàïèñàíû ðÿäîì.
Äîêàæåì ýòî ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Åäèíñòâåííàÿ äâîéêà ïîÿâèëàñü
óæå íà ïåðâîì øàãå, ïîýòîìó áàçà èíäóêöèè âåðíà. Ïóñòü òåïåðü äëÿ ëþáîãî k , ìåíüøåãî n âñå
òàêèå ñïîñîáû ïîëó÷åíèÿ k áûëè ðåàëèçîâàíû. Òî åñòü, ëþáûå äâà âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñëà a
è b, òàêèõ, ÷òî a + b = k , â íåêîòîðûé ìîìåíò áûëè çàïèñàíû ðÿäîì.
Ðàññìîòðèì êàêîå-òî ïðåäñòàâëåíèå n = x+(n−x) â âèäå ñóììû âçàèìíî ïðîñòûõ ñëàãàåìûõ.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, n − x > x. Òàê êàê (n − x, x) = 1, n − x < n, è ïî ïðåäïîëîæåíèþ
èíäóêöèè n−x áûëî ðåàëèçîâàíî âñåìè âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè, òî îíî áûëî ðåàëèçîâàíî è êàê
ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ x è n − 2x, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïîçæå, ÷åì íà (n − x)-îì øàãå ÷èñëà x è n − x
ñòîÿëè ðÿäîì, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïîçæå, ÷åì íà (n − x + 1)-îì øàãå, ìåæäó íèìè áóäåò çàïèñàíî
÷èñëî n.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ ðåàëèçàöèÿ åäèíñòâåííà. Òî åñòü, ÷èñëî n ìîãëî ïîÿâèòüñÿ â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ n − x è x òîëüêî îäèí ðàç (n = (n − x) + x è n = x + (n − x) äâå
ðàçëè÷íûå ðåàëèçàöèè). Òàêæå èñïîëüçóåì èíäóêöèþ. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî k , ìåíüøåãî ÷åì n,
óòâåðæäåíèå âåðíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøëîñü òàêîå x, ÷òî ÷èñëî n â âèäå ñóììû x + (n − x)
áûëî ðåàëèçîâàíî áîëåå îäíîãî ðàçà. Íî òîãäà è n−x áûëî ðåàëèçîâàíî â âèäå ñóììû x+(n−2x)
ïî-êðàéíåé ìåðå, äâàæäû. Ïðîòèâîðå÷èå.
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî âñåâîçìîæíûõ ïðåäñòàâëåíèé n â âèäå ñóììû âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë
(ñ ôèêñèðîâàííûì ïîðÿäêîì) x + (n − x) = n ðîâíî ϕ(n), ïîñêîëüêó x ïðîáåãàåò ϕ(n) çíà÷åíèé.
II. Êàæäàÿ çàäà÷à îöåíèâàåòñÿ â 10 áàëëîâ.
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå:
√
r
x2
− 1 = (x + 5)
x+1
.
x−1
Îòâåò: −1.
p
r
x+1
(x − 1) (x + 1) = (x + 5)
. Òîãäà x =
x
−
1
(
√
r
√
( x − 1)2 = x + 5
1
⇔
. Ïîëó= −1 êîðåíü óðàâíåíèÿ. Êðîìå òîãî, x − 1 = (x + 5)
x−1
x 6= 1
÷åííàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò.
Ðåøåíèå. Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâíåíèå â âèäå
 ïðèâåäåííîì "ðåøåíèè" ïîòåðÿí åùå îäèí êîðåíü óðàâíåíèÿ: x = −2.
r
p
√
x+1
Ýòî ïðîèçîøëî ïðè çàìåíå âûðàæåíèé (x − 1) (x + 1) è
íà âûðàæåíèÿ x − 1 ·
x−1
√
√
√ √
x+1
ñîîòâåòñòâåííî. Òåì ñàìûì áûëè èñïîëüçîâàíû ðàâåíñòâà ab = a · b
· x+1 è √
x−1
√
qa
a
è
= √ , êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî òîëüêî ïðè a ≥ 0 è b > 0.
b
b
p
qa
p
p
√
|a|
Íà ñàìîì äåëå, ab =
|a| · |b| è
= p , ïîýòîìó ïðèâåäåííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ,
b
|b|
√
â êîòîðîì ôàêòè÷åñêè ðàçîáðàí ñëó÷àé, êîãäà x > 1, òðåáóåòñÿ äîïîëíèòü ðàçáîðîì ñëó÷àÿ
x ≤ −1 (èëè x < −1 c ó÷åòîì ðàíåå íàéäåííîãî êîðíÿ).
6. Òåîðåìà. Åñëè âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, òî â êàæ-
äîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà åå ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â êàæäîé òî÷êå x0 íåêîòîðîãî èí-
f (x) − f (x0 )
. Òàê êàê f (x) âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå I , òî ïðè
x − x0
x > x0 ïîëó÷èì, ÷òî f (x) > f (x0 ), à ïðè x < x0 ïîëó÷èì, ÷òî f (x) < f (x0 ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàññìàòðèâàåìàÿ äðîáü ïîëîæèòåëüíà, ïîýòîìó f 0 (x0 ) > 0. Òàêèì îáðàçîì, â ëþáîé òî÷êå èíòåðâàëà
I ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
òåðâàëà I . Òîãäà f 0 (x0 ) = limx→x0
Ñôîðìóëèðîâàííàÿ "òåîðåìà" íåâåðíà, íàïðèìåð, ðàññìîòðèì âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ
f (x) = x3 íà (−1; 1), òîãäà f 0 (0) = 0.
Îøèáêà â ïðèâåäåííîì "äîêàçàòåëüñòâå" çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ìîæåò áûòü íå òîëüêî ïîëîæèòåëüíûì, íî è ðàâíûì íóëþ.
7. Òåîðåìà. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà ìåíüøå, ÷åì 360◦ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü α, ïåðåñåêàþùóþ âñå ðåáðà äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà
ñ âåðøèíîé P , íî íå ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íè îäíîìó èç íèõ è íå ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íè îäíîé èç
ãðàíåé ýòîãî óãëà. Ïóñòü α ïåðåñåêàåò ðåáðà òðåõãðàííîãî óãëà â òî÷êàõ A, B è C .
Ðàññìîòðèì P 0 îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ òî÷êè P íà ïëîñêîñòü α. Òîãäà ïðîåêöèÿìè ïëîñêèõ
óãëîâ AP B , BP C è CP A òðåõãðàííîãî óãëà ñëóæàò óãëû AP 0 B , BP 0 C è CP 0 A ñîîòâåòñòâåííî.
Òàê êàê îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ óãëà, ñòîðîíû êîòîðîãî ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïðîåêöèè, áîëüøå
ñàìîãî óãëà, òî ∠AP B + ∠BP C + ∠CP A < ∠AP 0 B + ∠BP 0 C + ∠CP 0 A.
Èñõîäÿ èç ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ïëîñêîñòè α, âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) P 0 ëåæèò âíóòðè òðåóãîëüíèêà ABC ; 2) P 0 ëåæèò âíå òðåóãîëüíèêà ABC .  ïåðâîì ñëó÷àå ñóììà óãëîâ AP 0 B , BP 0 C è CP 0 A
ðàâíà 360◦ , à âî âòîðîì ñëó÷àå îíà ìåíüøå, ÷åì 360◦ . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ
ìåíüøå, ÷åì 360◦ , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå áåçóñëîâíî âåðíîå, à ïðèâåäåííîå "äîêàçàòåëüñòâî" íåâåðíîå. Â íåì èñïîëüçîâàíî óòâåðæäåíèå: "îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ óãëà, ñòîðîíû êîòîðîãî ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïðîåêöèè, áîëüøå ñàìîãî óãëà".
C
Ïîêàæåì, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå íå âåðíî. Ðàññìîòðèì òåòðàýäð
0
CABC 0 , â êîòîðîì ðåáðî CC
ïëîñêîñòè AC 0 B , |AB| =
√ ïåðïåíäèêóëÿðíî
2
0
0
0
= 1; |BC | = 10; |AC | = 3 13; |CC
√ | = 2 (ñì. ðèñ. 2). Òîãäà, ïî òåîðåìå
Ïèôàãîðà, |AC| = 11, |BC| = 2 26. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç òðåóãîëüC0
56
íèêîâ ABC è ABC 0 ïîëó÷èì, ÷òî cos ∠ACB = √ ; cos ∠AC 0 B =
11 26
18
= √ .
5 13
√
√
13
333 13
√
√ 2
cos ∠ACB
70 2
Ñëåäîâàòåëüíî,
=
<
1
,
ïîñêîëüêó
(70
2) = 9800 <
cos ∠AC 0 B
99
10
< 9801 = 992 . Òàêèì îáðàçîì, cos ∠ACB < cos ∠AC 0 B . Òàê êàê ýòè
óãëû îñòðûå, òî ∠ACB > ∠AC 0 B , ïðè ýòîì óãîë AC 0 B ÿâëÿåòñÿ îð1 B
A
òîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé óãëà ACB .
Ðèñ. 2
Êðèòåðèè ñðàâíåíèÿ âåëè÷èíû óãëà è âåëè÷èíû åãî îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü èç òåîðåìû î ïëîùàäè îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè òðåóãîëüíèêà èëè èç òåîðåìû êîñèíóñîâ
äëÿ òðåõãðàííîãî óãëà (ñì., íàïðèìåð, ß.Ï. Ïîíàðèí. Ýëåìåíòàðíàÿ ãåîìåòðèÿ : Â 2 ò. Ò.2:
Ñòåðåîìåòðèÿ, ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâà. Ì. : ÌÖÍÌÎ, 2005, ñòð. 54 58).
III. Êàæäûé ñïîñîá ðåøåíèÿ îöåíèâàåòñÿ â 2 áàëëà.
√
√
2004 + 2006 è 2 2005.
√
√
√
Îòâåò: 2004 + 2006 < 2 2005.
8. Ñðàâíèòå ÷èñëà:
√
√
√
2
Ðåøåíèå.
Ïåðâûé
√ äàííûõ ÷èñåë: ( 2004 + 2006) = 4010 +
√
√ ñïîñîá. Ñðàâíèì êâàäðàòû
+ 2 2004 · 2006; (2 2005)2 = 4 · 2005 = 4010 + 2 20052 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2004 · 2006
√ = (2005 −
2
2
− 1) (2005 + 1) = 2005 − 1 < 2005 è èñïîëüçóÿ âîçðàñòàíèå ôóíêöèè f (x) = x ïîëó÷àåì
îòâåò.
√
√
√
√
Âòîðîé ñïîñîá. Ñðàâíèì ÷èñëà 2006− 2005 è 2005− 2004, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî íà ìíî√
√
√ √
a−b
1
√
æåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë: a− b = √ √ . Ïîëó÷èì, ÷òî 2006− 2005 = √
;
2006 + 2005
a+ b
√
√
√
√
1
√
2005− 2004 = √
. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå, ïîýòîìó, 2004+ 2006 <
2005 + 2004
√
< 2 2005.
√
√
Òðåòèé ñïîñîá. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ g(x) = x + 1 − x íà (0; +∞). Òàê êàê ∀x > 0
√
√
1
1
g 0 (x) = √
− √ < 0, òî g(x) óáûâàåò íà (0; +∞). Ñëåäîâàòåëüíî, 2006 − 2005 <
2 x
2 √
x+1
√
< 2005 − 2004, îòêóäà è ïîëó÷àåì îòâåò.
×åòâåðòûé ñïîñîá. Èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì
àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì
r
√
√
2004 + 2006
2004 + 2006
<
. Óìíîæèâ îáå ÷àñòè
êâàäðàòè÷íûì äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë:
2
ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà íà 2, ïîëó÷èì îòâåò.
2
√
Ïÿòûé ñïîñîá. Èñïîëüçóåì òî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè f (x) = x ðàñïîëîæåí íà [2004; 2006]
âûïóêëîñòüþ ââåðõ. Äëÿ ôóíêöèé, ãðàôèê êîòîðûõ
³
´ ðàñïîëîæåí íà [a; b] âûïóêëîñòüþ ââåðõ,
f (a) + f (b)
a+b
< f
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
2
2
√
√
√
2004 + 2006
< 2005, îòêóäà è ïîëó÷àåì îòâåò.
2
(íåðàâåíñòâî Éåíñåíà ). Ñëåäîâàòåëüíî,
9. Äàíî: 4ABC ; E ∈ [AC], |AE| : |EC| = 3 : 4; M ∈ [BC], |BM | = |M C|; (AM ) ∩ (BE) = O.
Íàéòè: |EO| : |OB|.
Îòâåò: |EO| : |OB| = 3 : 7.
Ðåøåíèå. Ïåðâûé ñïîñîá. Ïðîâåäåì (EQ) k (AM ) (ñì. ðèñ. 3). Ïî òåîðåìå î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ |M Q| : |QC| = |AE| : |EC| = 3 : 4, çíà÷èò, |M Q| : |M B| = 3 : 7 = |EO| : |OB|.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ ìîæíî äåëàòü äðóãîå (àíàëîãè÷íîå ) äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå, à òàêæå âìåñòî òåîðåìû î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ èñïîëüçîâàòü
ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ.
B
A
B
O
O
M
Q
E
C
M
O
O
A
Ðèñ. 3
E
C
Ðèñ. 4
Âòîðîé ñïîñîá. Ïðèìåíèì òåîðåìó Ìåíåëàÿ äëÿ ïðÿìîé AM , ïåðåñåêàþùåé ñòîðîíû òðå|BM |
|CA|
|EO|
|CA|
7
óãîëüíèêà BCE (ñì. ðèñ. 4):
·
·
= 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |AM | = |M C| è
= ,
|M C| |AE| |OB|
|AE|
3
ïîëó÷àåì îòâåò.
Òðåòèé ñïîñîá. Ïðîâåäåì îòðåçîê OC (ñì. ðèñ. 4). Òàê êàê AM ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà
ABC , à OM ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà BOC , òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà äëÿ ïëîùàäåé: SM AB =
= SM AC è SM OB = SM OC . Ñëåäîâàòåëüíî, SAOB = SAOC .
Ïóñòü |EO| : |OB| = p : q , òîãäà SAOB = qx; SAOE = px (x ïîëîæèòåëüíûé êîýôôèöèåíò
4
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè). Òàê êàê SAOE : SCOE = |AE| : |EC|, òî SCOE = px.
4
p
3
Òàêèì îáðàçîì, qx = px + px ⇔ = .
3
q
7
3
×åòâåðòûé ñïîñîá. Ïóñòü |EO| : |OB| = p : q . Ðàññìîòðèì âåêòîðíûé áàçèñ íà ïëîñêîñòè:
AB = b è AC = c. Òîãäà AM =
3/7qc + pb
1
qAE + pAB
(b + c); AO =
=
. Òàê êàê AO k AM , òî
2
p+q
p+q
∃α | AO = αAM . Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó, ïîëó÷èì:

p
1

= α,

p+q
2
3
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
p
=
q , îòêóäà è ïîëó÷àåì îòâåò.
1
3q
7


= α
7(p + q)
2
Ïÿòûé ñïîñîá. Ïîìåñòèì â âåðøèíû A, B è C òðåóãîëüíèêà ABC ìàññû 4, 3 è 3, ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà öåíòð ìàññ òî÷åê A è C íàõîäèòñÿ íà îòðåçêå AC è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 3 : 4,
ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A, òî åñòü, ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé E . Ñëåäîâàòåëüíî, öåíòð ìàññ âñåé ñèñòåìû
ëåæèò íà îòðåçêå BE è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 7 : 3, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû B .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, öåíòð ìàññ òî÷åê B è C ëåæèò íà îòðåçêå BC è äåëèò åãî ïîïîëàì, òî
åñòü, ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé M . Ñëåäîâàòåëüíî, öåíòð ìàññ âñåé ñèñòåìû ëåæèò íà îòðåçêå AM .
Ïîñêîëüêó öåíòð ìàññ âñåé ñèñòåìû îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæèò îòðåçêàì AM è BE , òî îí
ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, |EO| : |OB| = 3 : 7.
IV. Êàæäàÿ íàéäåííàÿ îøèáêà îöåíèâàåòñÿ â 1 áàëë.
10. Èòàê, òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî åñëè X è Y öåëûå ÷èñëà â óðàâíåíèè X n + Y n = Z n , òî Z
(ïðè n > 2) âñåãäà íå öåëîå. Ïðåæäå ÷åì áðàòüñÿ çà òåîðåìó Ôåðìà, ïîâòîðèì òåîðåìó Ïèôàãîðà:
"Êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ". Ìû âïðàâå äëÿ åå íàïèñàíèÿ èñïîëüçîâàòü
ëþáûå ïåðåìåííûå. Çàïèøåì åå òàêèì îáðàçîì: X 2 + Y 2 = R2 , ãäå X , Y , R öåëûå ÷èñëà, à Z ,
óòâåðæäàåò Ôåðìà, íå öåëîå. Ïîïðîáóåì äîêàçàòü. Ïîíÿòíî, Z íå ðàâíî R ïðè îäíèõ è òåõ æå X ,
Y . Ëåãêî äîêàçóåìî àëãåáðàè÷åñêè, äà è ïðîñòî ëîãè÷åñêè, ÷òî Z âñåãäà ìåíüøå, ÷åì R. Êîãäà ìû
âîçâîäèì X è Y â áîëåå âûñîêóþ ñòåïåíü, òî óìíîæàåì èõ íà ñàìèõ ñåáÿ. Ïîòîì èõ ñêëàäûâàåì
è ïîëó÷àåì Z â òîé æå ñòåïåíè n. À ïðè âîçâåäåíèè â íåå R êàæäîå èç ñëàãàåìûõ íàäî óìíîæèòü
íà R, êîòîðîå áîëüøå, ÷åì X è Y . Ê ïðèìåðó, R3 = (X 2 + Y 2 ) R = X 2 R + Y 2 R.
Çàïèñûâàåì äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà XY R â òðèãîíîìåòðè÷åñêîì âèäå: X = R sin A, Y =
= R cos A. À çíà÷èò, Z n = X n + Y n = Rn (sin A + cos A). Òîãäà Z = R(sin A + cos A). Ðàíåå
ìû äîêàçàëè, ÷òî Z âñåãäà ìåíüøå R, ñòàëî áûòü, sin A + cos A < 1. Òàêóþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
ôóíêöèþ ìîæíî íàéòè â ëþáîì ó÷åáíèêå ìàòåìàòèêè ñòàðøèõ êëàññîâ è óáåäèòüñÿ ïî ãðàôèêó
èëè òàáëèöå, ÷òî åñëè çíà÷åíèå ôóíêöèè ìåíüøå 1, òî óãîë A áîëüøå 60◦ è ìåíüøå 90◦ . À ÷òî
ïðîèçîéäåò â ýòîì ñëó÷àå ñ ïðÿìûì óãëîì , íàõîäÿùèìñÿ ìåæäó êàòåòàìè? Îí áîëüøå óæå íå
áóäåò ïðÿìûì è îêàæåòñÿ â òåõ æå ïðåäåëàõ: 60◦ < B < 90◦ .
Ëþáîé äåñÿòèêëàññíèê, ó êîòîðîãî ïî ìàòåìàòèêå âûøå òðîéêè, ñ õîäó âîñïðîèçâåäåò âàì ôîðìóëó ñîîòíîøåíèÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà Z 2 = X 2 + Y 2 − 2XY cos B . Ïðè 60◦ < B < 90◦ cos B ÷èñëî íå öåëîå. À çíà÷èò, è Z íåìèíóåìî ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì ïðè öåëûõ çíà÷åíèÿõ X è Y . ×òî
è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
 ïðèâåäåííîì òåêñòå äîïóùåíû ñëåäóþùèå îøèáêè:
1) Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû íå òî÷íà: òðåáóåòñÿ äîáàâèòü, ÷òî X , Y è Z îòëè÷íû îò íóëÿ è n íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
2)  "äîêàçàòåëüñòâå" íèãäå íå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè ÷èñåë X , Y è Z åñòü
îòðèöàòåëüíûå.
3) Â ðàâåíñòâå X 2 + Y 2 = R2 èç òîãî, ÷òî X è Y öåëûå, íå ñëåäóåò, ÷òî R öåëîå.
4) ×èñëà X è Y âîçâåäåíû â ñòåïåíü íå âåðíî.
5) Íåâåðíî èçâëå÷åí êîðåíü n-îé ñòåïåíè èç Z n .
6) Íåâåðíî òî, ÷òî sin A + cos A ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ìåíüøå 1 íà ïðîìåæóòêå îò 60◦ äî 90◦ .
7) Èç ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé íå ñëåäóåò, ÷òî òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè X , Y è Z ñóùåñòâóåò.
8) Èç ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé íå ñëåäóåò, ÷òî ∠B > 60◦ .
9) Èç òîãî, ÷òî cos B ÷èñëî íå öåëîå, íå ñëåäóåò, ÷òî Z íå öåëîå.
Çàäà÷è ïðåäëîæèëè:
À.Ä. Áëèíêîâ, Ð.Ê. Ãîðäèí, Â.Ì. Ãóðîâèö, À.Â. Õà÷àòóðÿí, È.Â. ßùåíêî.