Как линейкой измерить длину волны лазерного излучения?

!
À ÊÊ
ÒÈ
ÓÌ À
ÍÒ
Ï Ð À ÊÏÒÐÈ
ÓÊÌ
ÀÁÁÈ ÒÈÓÒÐ ÈÓÅÐ
ÈÀ Å Í Ò À
Каклинейкой
измерить длину волны
лазерного излучения?
ìåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (z = 0).
Ïóñòü êîîðäèíàòà m-ãî ìàêñèìóìà
èíòåíñèâíîñòè ðàâíà z m . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé z m îò
èñòî÷íèêîâ S1 è S2 ïðèõîäÿò âîëíû
ñ îïòè÷åñêîé ðàçíîñòüþ õîäà, ðàâíîé
mλ , ãäå m – íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî,
ò.å.
r2 − r1 = mλ .
Èç ðèñóíêà 2 íàõîäèì
Â.ÌÎÆÀÅÂ
С
ÓÄß ÏÎ ÍÀÇÂÀÍÈÞ ÑÒÀÒÜÈ ßÑÍÎ,
÷òî ðå÷ü áóäåò èäòè î âîëíîâûõ
ñâîéñòâàõ ñâåòà. Âîëíîâûå ïðåäñòàâëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè òàêèõ õîðîøî èçâåñòíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, êàê èíòåðôåðåíöèÿ è äèôðàêöèÿ ñâåòà. Ñ ýòèìè ÿâëåíèÿìè òåñíî
ñâÿçàíî î÷åíü âàæíîå ïîíÿòèå êîãåðåíòíîñòè âîëí.
Ïóñòü â íåêîòîðóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà îò äâóõ èñòî÷íèêîâ ïðèõîäÿò äâà
ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíîâûõ âîçìóùåíèÿ ñ îäèíàêîâîé äëèíîé âîëíû
λ . Åñëè èñòî÷íèê 1 íàõîäèòñÿ íà
ðàññòîÿíèè r1 îò òî÷êè íàáëþäåíèÿ,
à èñòî÷íèê 2 – íà ðàññòîÿíèè r2 , òî
çàâèñèìîñòü, íàïðèìåð äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå,
ñîçäàâàåìîé îáåèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè âîëíàìè, áóäåò èìåòü âèä
bg
c
h
E t = E01 cos ωt − kr1 +
c
h
+ E02 cos ωt − kr2 ,
ãäå E01 è E02 – àìïëèòóäû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí,
ω = 2πc λ – èõ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, k =
= 2π λ – âîëíîâîå ÷èñëî (ñ÷èòàåì,
÷òî íà÷àëüíûå ôàçû âîëí ñîâïàäàþò). Ïðîèñõîäèò ñëîæåíèå äâóõ êîëåáàíèé, ñäâèíóòûõ ïî ôàçå íà âåëè÷èíó ∆ϕ = ωt − kr1 – ωt − kr2 =
c
h
c
h
c
h
= k r2 − r1 . Äâà êîëåáàíèÿ ñ÷èòàþòñÿ
êîãåðåíòíûìè, åñëè çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ ðàçíîñòü ôàç ∆ϕ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.  ýòîì ñëó÷àå àìïëèòóäà
E0 ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ çà-
âèñèò îò ∆ϕ è îñòàåòñÿ íåèçìåííîé
çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ:
E0 =
S
r
ψ
S
L
L
Рис. 2
z
zm
r
d
S
Рис. 1
2
Ê ñîæàëåíèþ, ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ
âîëíà – ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå, òàêèå âîëíû íå èìåþò ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, èõ íåò â ïðèðîäå.
(Íàèáîëåå áëèçêèå ê ìîíîõðîìàòè÷åñêèì âîëíû èçëó÷àþò îïòè÷åñêèå
êâàíòîâûå ãåíåðàòîðû, ò.å. ëàçåðû.)
Íåò â ïðèðîäå è êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ, ò.å. èñòî÷íèêîâ, èçëó÷àþùèõ
êîãåðåíòíûå âîëíû.  ðàçëè÷íûõ îïòè÷åñêèõ ñõåìàõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â êà÷åñòâå
êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ îáû÷íî èñïîëüçóþò äâà ìíèìûõ èñòî÷íèêà, ïîëó÷åííûõ îò îäíîãî äåéñòâèòåëüíîãî,
èëè îäèí äåéñòâèòåëüíûé, à äðóãîé –
åãî ìíèìîå èçîáðàæåíèå.
À òåïåðü ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ
êîíêðåòíûõ îïòè÷åñêèõ ñõåì.
Çàäà÷à 1. Ëþáóþ îïòè÷åñêóþ ñõåìó ïî íàáëþäåíèþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
óïðîùåííîì âèäå, èçîáðàæåííîì íà
ðèñóíêå 1. Äâà òî÷å÷íûõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêà S1 è S2 , èçëó÷àþùèõ
ñâåò ñ äëèíîé âîëíû λ , íàõîäÿòñÿ
íà ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà. Íà
ðàññòîÿíèè L îò èñòî÷íèêîâ ðàñïîëîæåí ýêðàí. Îïðåäåëèòå øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ïðè óñëîâèè,
÷òî d?L .
Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ
êàðòèíà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà 2 ñèì-
S
d
2
E01 + E02 + 2 E01 E02 cos ∆ϕ .
FG d + z IJ
H2 K
F dI
+ Gz − J
H 2K
2
r2 =
L +
r1 =
L
2
2
,
m
2
.
m
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî d 2 + z m? L , ìîæíî çàïèñàòü
r2 = L 1 +
FG d 2 + z IJ
H L K
2
m
≈
≈L+
r1 = L 1 +
FG z
H
m
−d2
L
IJ
K
cd 2 + z h
r2 − r1 ≈
,
2L
2
≈
cz
≈ L+
îòêóäà
2
m
m
−d 2
2L
h
2
,
dzm
.
L
 ýòîì ïðèáëèæåíèè óñëîâèå òîãî, ÷òî
ìàêñèìóìó m-ãî ïîðÿäêà ñîîòâåòñòâóåò êîîðäèíàòà z m , èìååò âèä
dzm
L
= mλ .
Àíàëîãè÷íî, äëÿ ñîñåäíåãî ìàêñèìóìà
m + 1 -ãî ïîðÿäêà çàïèøåì
b
g
dz m+1
L
b
g
= m + 1 λ,
ãäå z m+1 – êîîðäèíàòà ìàêñèìóìà
m + 1 -ãî ïîðÿäêà.
Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ
∆x – ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ
ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè, ò.å.
b
g
∆x = z m +1 − z m =
λL
d
=
λ
ψ
,
ãäå ψ = d L – óãîë ñõîäèìîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé.
Ïðèâåäåì áåç âûâîäà òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ øèðèíû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ:
λ
∆x =
.
2 sin ψ 2
b g
(Окончание см. на с. 34)
!"
Ê Â À Í T $ 2000/№6
A
(Начало см. на с. 34)
Ïðè ìàëûõ óãëàõ ñõîäèìîñòè îíî ïåðåõîäèò â ïîëó÷åííîå ðàíåå ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå.
Çàäà÷à 2. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ
èñòî÷íèêîâ ñâåòà S1 è S2 ïîëó÷åíà
ñèñòåìà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ
íà ýêðàíå ÀÂ, óäàëåííîì îò èñòî÷íèêîâ íà à = 2 ì (ðèñ.3). Ðàññòîÿíèå
ìåæäó èñòî÷íèêàìè d?a . Âî ñêîëüêî
ðàç èçìåíèòñÿ øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, åñëè ìåæäó èñòî÷íèêàìè è ýêðàíîì ïîìåñòèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì
F = 25 ñì? Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ:
ðàññòîÿíèå ëèíçû îò èñòî÷íèêîâ ðàâíî 2F; èñòî÷íèêè íàõîäÿòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è áóäåì îñíîâûâàòü íà âûðàæåíèè, ïîëó÷åííîì äëÿ
øèðèíû èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â
ïðåäûäóùåé çàäà÷å.
 îòñóòñòâèå ëèíçû óãîë ñõîäèìîñòè
èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ψ ìàë è
øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ
∆x =
λ
ψ
=
λa
d
.
Åñëè ñîáèðàþùàÿ ëèíçà ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè 2F îò èñòî÷íèêîâ,
êîãåðåíòíûìè èñòî÷íèêàìè, ñîçäàþùèìè íà ýêðàíå À èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, ÿâëÿþòñÿ äâà äåéñòâèòåëüíûõ èçîáðàæåíèÿ S1′ è S2′ (ðèñ.4).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè èñòî÷íèêàìè òàêæå ðàâíî d, à óãîë
ñõîäèìîñòè ðàâåí ψ1 = d a − 4 F .
Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ â
>
S
d
ψ
S
Рис. 3
ýòîì ñëó÷àå áóäåò
λ
λ a − 4F
∆x1 =
=
,
ψ1
d
>
∆x1
∆x
=
a − 4F
=
a
1
ò.å. øèðèíà ïîëîñ óìåíüøèòñÿ â äâà
ðàçà.
Åñëè èñòî÷íèêè S1 è S2 áóäóò íàõîäèòüñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû,
êîãåðåíòíûå èñòî÷íèêè S1′ è S2′ áóäóò
ìíèìûìè è ðàñïîëîæåííûìè íà áåñêîíå÷íîñòè ñëåâà îò ëèíçû íà ïðîäîëæåíèè ïðÿìûõ S1O è S2 O (ðèñ.5). Íà
ýêðàí À áóäóò ïàäàòü äâà ïàðàëëåëüíûõ ïó÷êà ëó÷åé ñ óãëîì ñõîäèìîñòè
ψ 2 = d F . Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ áóäåò
λ
λF
∆x2 =
=
,
ψ2
d
à îòíîøåíèå øèðèí ïîëîñ –
∆x2
∆x
=
F
a
1
=
8
,
A
S
d
S
5
ψ
d
F
F
,
2
A
5
ò.å. â ýòîì ñëó÷àå øèðèíà ïîëîñ óìåíüøèòñÿ â 8 ðàç.
Çàäà÷à 3.  èíòåðôåðåíöèîííîé
ñõåìå èñïîëüçóåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé
−5
âîëíû λ = 5 ⋅ 10 ñì. Îòðàæàþùèå
çåðêàëà ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî
îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà S è ýêðàíà
Ý, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (ðèñ.6). Íàéäèòå: 1) øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ∆x íà ýêðàíå; 2) îáëàñòü
ëîêàëèçàöèè ïîëîñ íà ýêðàíå; 3) ìàêñèìàëüíûé è ìèíèìàëüíûé ïîðÿäêè
èíòåðôåðåíöèè è ÷èñëî íàáëþäàåìûõ
ïîëîñ. Ïàðàìåòðû ñõåìû: L = 1 ì,
2d = 2,5 ñì, D = 10 ñì.
1) Â äàííîé èíòåðôåðåíöèîííîé
ñõåìå êîãåðåíòíûìè èñòî÷íèêàìè ÿâëÿþòñÿ äâà ìíèìûõ èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà S â îòðàæàþùèõ çåðêàëàõ. Íà
ðèñóíêå 7 ýòî èñòî÷íèêè S ′ è S ′′ .
Óãîë ñõîäèìîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ
ëó÷åé ðàâåí óãëó S ′OS ′′ è ñîñòàâëÿåò
C
à îòíîøåíèå øèðèí ïîëîñ –
C
S
B
a
ψ
O
S
B
F
B
a
a
Рис. 5
Рис. 4
z
5′
D
S
Ý
d
d
S
d
5′′
d
L
Рис. 6
z
O
–z
L
Рис. 7
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
!#
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ç
B
Ï
D
Ë
S
z
αα
u
α
1
u
O
A
B
α
α
A αα D
z
v
2
Ë
C
Ï
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
ψ = 4d L . Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ðàâíà
îòíîñèòåëüíî çåðêàëà 2 ðàâíà z
(ðèñ.9). Íàéäåì â ýòîò ìîìåíò îïòè÷åñêóþ ðàçíîñòü õîäà ∆ ìåæäó äâóìÿ âîëíàìè, îäíà èç êîòîðûõ – îòðàæåííàÿ îò çåðêàëà 1, à äðóãàÿ – îòðàæåííàÿ îò çåðêàëà 2 è ïðîøåäøàÿ
çåðêàëî 1. Ïðÿìàÿ ÀÂ ÿâëÿåòñÿ âîëíîâûì ôðîíòîì (ëèíèåé ïîñòîÿííîé
ôàçû) ïàäàþùåé âîëíû â íåêîòîðûé
ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ðàññòîÿíèå ýòîãî ôðîíòà äî òî÷êè D, ãäå
ïðîèçîéäåò îòðàæåíèå, ðàâíî îòðåçêó BD, à ðàññòîÿíèå, êîòîðîå íóæíî
ïðîéòè ýòîìó ôðîíòó äî òî÷êè D ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà 2, ðàâíî ñóììå äëèí îòðåçêîâ ÀÑ è CD. Î÷åâèäíî, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó âîëíàìè ðàâíà
ÿíèå δz = λ 2 cos α . Âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ çåðêàëîì 1 ýòîãî ðàññòîÿíèÿ,
èëè ïåðèîä ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ïðèåìíèêà, áóäåò
∆x =
λ
ψ
=
λL
4d
= 10
−3
ñì .
2) Îáëàñòü ëîêàëèçàöèè ïîëîñ íà
ýêðàíå îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòüþ ïåðåñå÷åíèÿ èíòåðôåðèðóþùèõ ïó÷êîâ:
z ≤ z 0 , ãäå z0 =
2dD
L+ D
= 0,227 ñì .
3) Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà
ýêðàíå áóäåò ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (z = 0). Íåïîñðåäñòâåííî â íà÷àëå êîîðäèíàò áóäåò íàõîäèòñÿ ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà (m = 0) – ýòî è áóäåò ìèíèìàëüíûé ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè.
Ìàêñèìàëüíûé æå ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè z =
= ±z 0 :
mmax =
z0
∆x
∆ = AC + CD − BD .
Èç ðèñóíêà 9 íàõîäèì
AC = CD =
2
=
8d D
>
C
λL L + D
= 227 .
cos α
Çàäà÷à 4. Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé
âîëíû λ = 500 íì ïàäàåò ïîä óãëîì α
= 30° íà ñèñòåìó èç äâóõ ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ çåðêàë 1 è 2 (ðèñ.8). ×àñòü
ñâåòîâîãî ïó÷êà îòðàæàåòñÿ îò ïîëóïðîçðà÷íîãî çåðêàëà 1, à îñòàâøàÿñÿ
÷àñòü ïîëíîñòüþ îòðàæàåòñÿ îò íåïîäâèæíîãî çåðêàëà 2. Ñèñòåìà âîëí,
îòðàæåííûõ îò îáîèõ çåðêàë, ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû ôîêóñèðóåòñÿ íà ïðèåìíèê Ï, êîòîðûé ðàñïîëîæåí â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
Ñèãíàë ïðèåìíèêà ïðîïîðöèîíàëåí èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòà. Êàêîâà áóäåò ÷àñòîòà ïåðåìåííîãî ñèãíàëà ïðèåìíèêà â ñëó÷àå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ çåðêàëà
1 ñî ñêîðîñòüþ u = 0,01 ñì/ñ?
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè. Ïóñòü êîîðäèíàòà çåðêàëà 1
,
BD = AD sin α = 2 z tg α sin α =
2
Ïîëíîå ÷èñëî íàáëþäàåìûõ ïîëîñ
áóäåò
N = 2mmax = 454 .
z
=
2 z sin α
îòêóäà
∆=
2z
cos α
cos α
,
2
−
2 z sin α
cos α
= 2 z cos α .
Ïðèåìíèê áóäåò ðåãèñòðèðîâàòü ìàêñèìàëüíûé ñèãíàë, êîãäà
2z cos α = mλ , ãäå m = 0, 1, 2, …
Ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè ñèãíàëà çåðêàëî 1 ïðîéäåò ðàññòî-
>
T=
C
δz
u
=
λ
2u cos α
,
à ÷àñòîòà ñèãíàëà –
f =
1
T
=
2u cos α
λ
= 346 Ãö .
Çàäà÷à 5*. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà èñïîëüçóåòñÿ èíòåðôåðîìåòð
Ìàéêåëüñîíà (ðèñ.10). Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê S ðàñïîëîæåí â ôîêàëüíîé
ïëîñêîñòè ëèíçû Ë1 . Ñëàáîðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê ñâåòà ðàçäåëÿåòñÿ äåëèòåëåì D íà äâà îäèíàêîâûõ ïî èíòåíñèâíîñòè ïó÷êà. Îäèí èç íèõ (îòðàæåííûé îò äåëèòåëÿ) íàïðàâëÿåòñÿ
íà íåïîäâèæíîå çåðêàëî Ç1 , à âòîðîé
ïîñëå ïðîõîäà äåëèòåëÿ èäåò ê çåðêàëó Ç2 , êîòîðîå ïåðåìåùàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 6 ⋅ 10 −5 ìì/ñ. Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàë è ïîñëåäóþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äåëèòåëåì îáðàçóþòñÿ äâà êîãåðåíòíûõ ïó÷êà, êîòîðûå ñ
ïîìîùüþ ëèíçû Ë2 ñîáèðàþòñÿ íà
ôîòîïðèåìíèê Ï. Òîê ôîòîïðèåìíèêà ïðîïîðöèîíàëåí èíòåíñèâíîñòè
ïàäàþùåãî íà íåãî èçëó÷åíèÿ. Íà ðèñóíêå 11 ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèÿ
ôîòîòîêà ïðèåìíèêà, êîãäà èçëó÷åíèå èñòî÷íèêà ñîäåðæèò äâå áëèçêèå
ñïåêòðàëüíûå ëèíèè îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè ñ äëèíàìè âîëí λ 1 è λ 2
( λ 2 – λ 1 ?λ 1 ). Îïðåäåëèòå çíà÷åíèÿ
ýòèõ äëèí âîëí.
I
2I
I
0
Рис. 11
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t,c
!$
Ê Â À Í T $ 2000/№6
Ðàññìîòðèì êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû λ 1 .
Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü ýòîãî èçëó÷åíèÿ
ðàâíà I0 . Î÷åâèäíî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü êàæäîãî èç äâóõ êîãåðåíòíûõ
ïó÷êîâ, ôîêóñèðóåìûõ ëèíçîé Ë2 íà
ôîòîïðèåìíèê, ðàâíà I0 4 . Åñëè â
äàííûé ìîìåíò âðåìåíè äëèíû ïëå÷
èíòåðôåðîìåòðà (ðàññòîÿíèÿ îò äåëèòåëÿ äî çåðêàë) ðàâíû ÎÀ è ÎÂ, òî
ðàçíîñòü õîäà ìåæäó íàøèìè äâóìÿ
âîëíàìè ñîñòàâëÿåò δ = 2 OA − OB ,
ãäå ìíîæèòåëü «2» ó÷èòûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû ê çåðêàëó è îáðàòíî,
ôàçîâûé ñäâèã ðàâåí ∆ϕ = 2 πδ λ 1 ,
ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ýòèõ âîëí
ðàâíà
I0 I0
I
I
2π
δ =
I1 t = 0 + 0 + 2
cos
λ1
4
4
2
2
b
g
F I
GH JK
F 2 π δI I
I F
1 + cosG
G
=
2 H
H λ JK JK .
bg
0
1
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: λ 2 – λ 1 = ∆λ è
λ1 + λ 2 = 2λ , îòêóäà λ1 = λ – ∆λ 2 ,
λ 2 = λ + ∆λ 2 , ãäå λ – ñðåäíÿÿ äëèíà
âîëíû. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ λ 1 ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü
I1 t áóäåò
bg
F 2 πδ I I ≈
I F
I bt g =
1 + cosG
G
2 H
H λ − ∆λ 2 JK JK
âòîðîì ÷ëåíå ýòîãî âûðàæåíèÿ îïèñûâàåò âûñîêî÷àñòîòíîå ïåðèîäè÷åñêîå
êîëåáàíèå ôîòîòîêà, à âòîðîé ñîìíîæèòåëü ñîîòâåòñòâóåò íèçêî÷àñòîòíîé
îãèáàþùåé. Ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè
I t íàõîäèì, ÷òî ïåðèîä âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ðàâåí Ò = 5 ñ. Çà ýòî
âðåìÿ ðàçíîñòü õîäà δ èçìåíÿåòñÿ íà
λ , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåìåùåíèþ
ïîäâèæíîãî çåðêàëà íà λ 2 . Ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå çåðêàëîì çà âðåìÿ Ò,
î÷åâèäíî, ðàâíî Tv. Òàêèì îáðàçîì,
bg
λ
2
= Tv , îòêóäà
λ = 2Tv = 6 ⋅ 10
λ2
= 14Tv , îòêóäà
2∆λ
∆λ =
1 
 2πδ πδ∆λ  
≈ 0 1 + cos 
+ 2  =
2
λ 
 λ
=
I0
+
2
FG 2πδ IJ cos  πδ∆λ  HλK  λ 
I
F 2 πδ IJ sin  πδ∆λ  .
sin G
–
HλK λ 
2
I0
2
cos
2
0
2
Àíàëîãè÷íî, äëÿ èçëó÷åíèÿ ñ äëèíîé âîëíû λ 2 ïîëó÷èì
12 (J) =
≈
=
10
2

 2πδ

1 + cos 
 ≈
2
λ
+
∆
λ



10 
 2πδ πδ∆λ  
− 2  =
1 + cos 
2
λ 
 λ
10 10
 2πδ 
 πδ∆λ 
cos 
+
 cos  λ 2  +
2
2
λ




Çàäà÷à 6. Íà ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäå, ïðîõîäèâøåé â Ìîñêîâñêîì ôèçèêî-òåõíè÷åñêîì èíñòèòóòå â 1998
ãîäó, øêîëüíèêàì áûëà ïðåäëîæåíà
òàêàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàäà÷à: ñ
ïîìîùüþ øòàíãåíöèðêóëÿ èçìåðèòü
äëèíó âîëíû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Â
êà÷åñòâå ëàçåðà èñïîëüçîâàëñÿ ìèíèàòþðíûé òâåðäîòåëüíûé êâàíòîâûé
ãåíåðàòîð. Îäèí èç ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû ñîáðàë ýêñïåðèìåíòàëüíóþ óñòàíîâêó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå
12. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè
hm
Ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà íà
ïðèåìíèêå îò èçëó÷åíèé ñ îáåèìè äëèíàìè âîëí áóäåò
m=$
bg
10
 2πδ
+ sin 
2
 λ
bg
bg
I t = I1 t + I2 t =
= I0 + I0 cos
FG 2 πδ IJ cos  πδ∆λ .
HλK λ 
2
Ïåðâûé ïåðåìåííûé ñîìíîæèòåëü âî
λ2
≈ 43 íì .
28Tv
Òàêèì îáðàçîì, äëèíû âîëí ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî,
∆λ
λ1 = λ −
= 578,5 íì ,
2
∆λ
λ2 = λ +
= 621,5 íì .
2

 πδ∆λ 
 sin  λ 2  . .



=
ñì = 600 íì .
Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ôóíêöèÿ
 πδ∆λ 
cos  2
îïèñûâàåò îãèáàþùóþ
 λ 
âûñîêî÷àñòîòíîãî ñèãíàëà. Èç ðèñóíêà 11 ìîæíî íàéòè, ÷òî çà âðåìÿ,
ðàâíîå 14Ò, ôàçà èçìåíÿåòñÿ íà π , à
ðàçíîñòü õîäà – íà λ 2 ∆λ . Ïîäâèæíîå
çåðêàëî ïðîõîäèò çà ýòî âðåìÿ â äâà
ðàçà ìåíüøåå ðàññòîÿíèå. Èòàê,
0
1
−5
m=
Рис. 12
1
2
ϕm
ϕ0 ϕ0
L
ñòîëà, ïðèìûêàþùåãî ê âåðòèêàëüíîé ñòåíå êîìíàòû, ëåæèò øòàíãåíöèðêóëü Ø. Èçëó÷åíèå ëàçåðà Ë, óêðåïëåííîãî íà øòàòèâå, ïàäàåò ïîïåðåê ìèëëèìåòðîâûì ðèñêàì øòàíãåíöèðêóëÿ. Íà ìèëëèìåòðîâîé áóìàãå,
çàêðåïëåííîé íà ñòåíå, íàáëþäàåòñÿ
ñèñòåìà äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ
â âèäå ñâåòëûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé. Áûëè ïðîâåäåíû òðè çàìåðà:
âûñîòà ñàìîé ÿðêîé ëèíèè (ëó÷ 1) h0 =
31 ìì, âûñîòà øåñòîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà (ëó÷ 2) h6 = = 68 ìì è
ðàññòîÿíèå L = 695 ìì. Ïî ýòèì
äàííûì îïðåäåëèòå äëèíó âîëíû ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ.
Èäåÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîíÿòíà: èñïîëüçîâàòü øòàíãåíöèðêóëü ñ íàíåñåííûìè íà íåì ìèëëèìåòðîâûìè ðèñêàìè â êà÷åñòâå îòðàæàòåëüíîé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. Äèàìåòð ñâåòîâîãî ïó÷êà ëàçåðà íà ðàññòîÿíèè 1 ì
ñîñòàâëÿåò ;4 ìì, ïîýòîìó äëÿ óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà ðèñîê, îñâåùàåìûõ ïàäàþùèì ïó÷êîì ñâåòà, óãîë ïàäåíèÿ ϕ 0
äîëæåí áûòü áëèçîê ê π 2 .
Ðàññìîòðèì õîä ëó÷åé, ðàññåÿííûõ
íà äâóõ ñîñåäíèõ ðèñêàõ (ðèñ.13).
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè øòðèõàìè (ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè) d = 1 ìì.
Îáîçíà÷èì óãîë ïàäåíèÿ ëó÷åé 1 è 2
÷åðåç ϕ 0 , à óãîë îòðàæåíèÿ ëó÷åé 1 ′ è
2 ′ – ÷åðåç ϕ m , è ïóñòü óãîë ϕ m ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ íà m-é äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì. Ðàçíîñòü õîäà
ëó÷åé 1,1 ′ è 2, 2 ′ ðàâíà
∆ = d sin ϕ 0 − d sin ϕ m .
Åñëè óãîë ϕ m ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ íà m-é ãëàâíûé äèôðàêöèîííûé
ìàêñèìóì, òî ∆ = mλ , ãäå λ – äëèíà
âîëíû ñâåòà. Òàêèì îáðàçîì,
d sin ϕ 0 − d sin ϕ m = mλ ,
ãäå m = 0, 1, 2…
Î÷åâèäíî, ÷òî íàïðàâëåíèå íà ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà (m = 0) èìååò
ìåñòî ïðè ϕ m = ϕ 0 , ò.å. êîãäà ïðîèñõîäèò çåðêàëüíîå îòðàæåíèå. Åñëè âûñîòà ðàñïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìà h0 , òî
L
sin ϕ 0 =
.
2
2
L + h0
Ë
d
Ø
Рис. 13
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Äëÿ âûñîòû ðàñïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìà
øåñòîãî ïîðÿäêà (m = 6)
sin ϕ 6 =
L
2
.
2
L + h6
Óñëîâèå íàïðàâëåíèÿ íà ãëàâíûå äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû ñâåòà:
F
dL
G
λ=
6 G
H
1
2
L +
2
h0
−
1
2
2
L + h6
I
JJ .
K
ìè ñâåòëûìè ïîëîñàìè ðàâíî ∆x = 0,5 ìì
è íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ýêðàíà âäîëü îïòè÷åñêîé îñè. Íàéäèòå à.
2. Â èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 15, íà áèïðèçìó
Ôðåíåëÿ ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê
êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ = 600 íì. Ïó÷êè ñâåòà,
ïðåëîìëåííûå êàæäîé èç ïîëîâèíîê áèïðèçìû, èíòåðôåðèðóþò ìåæäó ñîáîé.
Ïðè êàêîì ðàññòîÿíèè L ìåæäó áèïðèç-
d
id
d h6 − h0 h6 + h0
2
12L
a
i = 632 íì.
L
Ñ ó÷åòîì ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
b
P
α
Ïîñêîëüêó h0 è h6 ìíîãî ìåíüøå L,
ìîæíî çàïèñàòü
λ≈
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
g
λ = 630 ± 50 íì .
Óïðàæíåíèÿ
1. Èç ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì
F = 50 ñì âûðåçàíà öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü
øèðèíîé à, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 14.
Îáå ïîëîâèíû ëèíçû ñäâèíóòû äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ. Ïî îäíó ñòîðîíó ëèíçû
ïîìåùåí òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû λ = 600 íì. Ñ ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû ëèíçû íàõîäèòñÿ ýêðàí, íà
êîòîðîì íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíè-
a
Ðèñ. 14
Ðèñ. 15
ìîé è ýêðàíîì Ð íà íåì áóäåò íàáëþäàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà? ×åìó áóäåò ïðè ýòîì
ðàâíà øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ? Êàêîå êîëè÷åñòâî ñâåòëûõ ïîëîñ
áóäåò íàáëþäàòüñÿ íà ýêðàíå â ýòîì
ñëó÷àå? Ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè
áèïðèçìû 2à = 5 ñì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà áèïðèçìû n = 1,5, ïðå−3
ëîìëÿþùèé óãîë α = 10 ðàä. Ñ÷èòàòü,
÷òî sin α = tg α = α .
3. Èíòåðôåðîìåòð Ðýëåÿ (ðèñ.16) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îòíîñèòåëüíîãî èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ãàçîâ. Äëÿ
ýòîãî íà ïóòè îäíîãî èç èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ðàñïîëàãàåòñÿ êþâåòà à ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû äëèíîé L = 10 ñì ñ
èññëåäóåìûì ãàçîì, à íà ïóòè äðóãîãî
ëó÷à – êîìïåíñàòîð K, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî äîáèâàþòñÿ, ÷òîáû â öåíòðàëüíîì
ìàêñèìóìå ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè
ðàâíÿëàñü íóëþ. ×åìó ðàâíî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîì-
Çàäà÷è î òðàïåöèÿõ
Â.ÀËÅÊÑÅÅÂ, Â.ÃÀËÊÈÍ,
Â.ÏÀÍÔÅÐÎÂ, Â.ÒÀÐÀÑÎÂ
Ñ
ÐÅÄÈ ÇÀÄÀ× Î ÌÍÎÃÎÓÃÎËÜÍÈ-
êàõ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ
â âóçû âàæíóþ äîëþ ñîñòàâëÿþò çàäà÷è î òðàïåöèÿõ.
Çäåñü ìû îáñóäèì îñíîâíûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ òàêèõ çàäà÷.
Ïîäîáèå
è ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
â òðàïåöèÿõ
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ òðàïåöèé ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ
ñòîðîí. Ïðè ïåðåñå÷åíèè èõ (èëè èõ
37
P
Ã
L
K
Ðèñ. 16
ëåíèÿ àçîòà, ïî îòíîøåíèþ ê âîçäóõó,
åñëè ïîñëå çàìåíû â êþâåòå âîçäóõà íà
àçîò èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ Ð ñìåñòèëàñü ðîâíî íà
îäíó ïîëîñó? Èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü
íà äëèíå âîëíû λ = 500 íì.
4. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè L = 1 ì îò òîíêîé
ñëþäÿíîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé h =
= 0,1 ìì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n =
= 1,4 (ðèñ.17). Íà òàêîì æå ðàññòîÿíèè
îò ïëàñòèíêè ðàñïîëîæåí íåáîëüøîé ýêðàí Ý, îðèåíòèðîâàííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðàæåííûì ëó÷àì, íà êîòîðîì
íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû. Óãîë ϕ = 60°. Íàéäèòå ïîðÿäîê m
Ý
S
L
ϕ
h
Ðèñ. 17
èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû â öåíòðå ýêðàíà. Îïðåäåëèòå øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ. Äëèíà âîëíû ñâåòà λ =
= 560 íì.
ïðîäîëæåíèé) ëþáîé ïðÿìîé îáðàçóþòñÿ ðàâíûå óãëû, ÷òî ïðèâîäèò ê
ïîÿâëåíèþ ïàð ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ. Òàêæå (â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ôàëåñà) ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè âîçíèêàþò íà áîêîâûõ ñòîðîíàõ òðàïåöèè èëè èõ ïðîäîëæåíèÿõ, åñëè ïðîâîäèòñÿ ïðÿìàÿ,
ïàðàëëåëüíàÿ îñíîâàíèÿì. Ñëåäóþùèå çàäà÷è ïîêàçûâàþò, êàê èñïîëüçîâàòü ýòè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Çàäà÷à 1. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ
îñíîâàíèÿì òðàïåöèè, ïåðåñåêàåò
åå áîêîâûå ñòîðîíû è äèàãîíàëè ïîñëåäîâàòåëüíî â òî÷êàõ Ì, Ð, Q,
N (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî ÌÐ = QN.
Ðåøåíèå (îáîçíà÷åíèÿ ñì. íà ðèñ.