Площадь 2

9
äî 04.03.200 .
Ïëîùàäü II .
Problem 1 (1 áàëë). Ñåðåäèíû ñòîðîí âûïóêëîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû
îòðåçêàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïîëó÷åííîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà âäîå ìåíüøå ïëîùàäè èñõîäíîãî.
Problem 2 (1 áàëë). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äèàãîíàëü êàêîãî-íèáóäü ÷åòûð¼õóãîëüíèêà äåëèò äðóãóþ
äèàãîíàëü ïîïîëàì, òî îíà ðàçáèâàåò ýòîò ÷åòûð¼õóãîëüíèê íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.
Problem 3 (1 áàëë). Íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîí AB, BC, CD è DA âûïóêëîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà
ABCD ñîîòâåòñòâåííî çà òî÷êè B, C, D, A îòëîæåíû îòðåçêè BB1 , CC1 , DD1 è AA1 , ðàâíûå ýòèì
ñòîðîíàì. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûð¼õóãîëüíèêà A1 B1 C1 D1 , åñëè ïëîùàäü ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD
ðàâíà s.
Problem 4 (1 áàëë). Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ðàññòîÿíèé îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè íà îñíîâàíèè ðàâíî-
áåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà äî åãî áîêîâûõ ñòîðîí âñåãäà îäíà è òà æå, ò.å. íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ
òî÷êè.
Problem 5 (1 áàëë). Ñòîðîíû AB è AC òðåóãîüíèêà ABC ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî a è b. Íà ìåäèàíå,
ïðîâåä¼ííîé ê ñòîðîíå BC , âçÿòà òî÷êà M . Ñóììà ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî ïðÿìûõ AB è AC
ðàâíà c. Íàéäèòå ýòè ðàññòîÿíèÿ.
Problem 6 (2 áàëëà). Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé c, è
îñòðûì óãëîì 15◦ .
Problem 7 (1 áàëë). Òî÷êè K, L, M è N ñåðåäèíû ñòîðîí ñîîòâåòñòâåííî AB, BC, CD è AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 1. Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, îáðàçîâàííîãî
ïåðåñå÷åíèÿìè ïðÿìûõ AL, BM, CN è DK .
Problem 8 (3 áàëëà). Äàí òðåóãîëüíè ABC . Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òîêèõ òî÷åê M , äëÿ
êîòîðûõ:
à) òðåóãîëüíèêè AM B è ABC ðàâíîâåëèêè;
á) òðåóãîëüíèêè AM B è AM C ðàâíîâåëèêè;
c) òðåóãîëüíèêè AM B, AM C è BM C ðàâíîâåëèêè.
Problem 9 (1 áàëë). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí âûïóêëîãî
÷åòûð¼õóãîëüíèêà, ðàçäåëèë åãî íà äâà ÷åòûð¼õóãîëüíèêà, èìåþùèõ ðàâíûå ïëîùàäè. Äîêàæèòå, ÷òî
ýòè ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû.
Problem 10 (2 áàëëà). Äàí óãîë XAY è òî÷êà O âíóòðè íåãî. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó O ïðÿìóþ,
îòñåêàþùóþ îò äàííîãî óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè.
Problem 11 (2 áàëëà). Ïóñòü M è N ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí BC è AD âûïóêëîãî
÷åòûð¼õóãîëüíèêà ABCD, îòðåçêè AM è BN ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P , à îòðåçêè DM è CN â òî÷êå
Q. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AP B è CQD ðàâíà ïëîùàäè ÷åòûð¼õóãîëüíèêà
M P N Q.
Problem 12 (2 áàëëà). Èç ñåðåäèíû êàæäîé ñòîðîíû îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà îïóùåíû ïåðïåí-
äèêóëÿðû íà äâå äðóãèå ñòîðîíû. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü îãðàíè÷åííîãî èìè øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà.
Íàáðàëè ≥ 7 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 3;
Íàáðàëè ≥ 12 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 4;
Íàáðàëè ≥ 15 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 5;