Document 2295320

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
äðóã äðóãó (âîçìîæíî, ñ ðàçíûìè êîýôôèöèåíòàìè
ïîäîáèÿ)?
Îòâåò: ìîæíî.
Ðàññìîòðèì òàêóþ ðàñêðàñêó êâàäðàòà (ðèñ.1). Âïèøåì êðóã â êâàäðàò è ðàñêðàñèì â ÷åðíûé öâåò òî÷êè
êâàäðàòà, ëåæàùèå âíå
êðóãà. Âïèøåì â ïîëó÷åííûé êðóã êâàäðàò ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàì èñõîäíîãî êâàäðàòà. Ðàñêðàñèì â áåëûé öâåò
òî÷êè êðóãà, ëåæàùèå âíå
«ìàëåíüêîãî» êâàäðàòà. Ïî
òàêîìó æå ïðàâèëó ðàñêðàñèì ìàëåíüêèé êâàäðàò
è ò.ä. Çàìåòèì, ÷òî ìû
ñ÷èòàåì ãðàíè÷íûå òî÷êè
ëåæàùèìè «âíóòðè» ôèÐèñ.1
ãóðû. Òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà êàæäîãî êâàäðàòà ïîêðàøåíà ÷åðíûì, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòûðåõ òî÷åê êàñàíèÿ âïèñàííîãî â êâàäðàò
êðóãà, à ãðàíèöà êàæäîãî êðóãà – áåëûì, çà èñêëþ÷åíèåì ÷åòûðåõ âåðøèí êâàäðàòà, âïèñàííîãî â ýòîò êðóã.
Ïóñòü ñòîðîíà èñõîäíîãî êâàäðàòà ðàâíà à (ðèñ.2),
a
òîãäà ñòîðîíà ìàëåíüêîãî êâàäðàòà ðàâíà
. Ñëåäî2
âàòåëüíî, äëèíû ñòîðîí
a
êâàäðàòîâ ñòðåìÿòñÿ ê 0.
a/√
Ïîýòîìó âñå òî÷êè, êðîìå
öåíòðà, áóäóò ðàñêðàøåa/
íû. Öåíòð ðàñêðàñèì â
a/
÷åðíûé öâåò.
Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî
a/
÷åðíûõ òî÷åê êâàäðàòà ïîäîáíî ìíîæåñòâó ÷åðíûõ
òî÷åê êðóãà, âïèñàííîãî
â ýòîò êâàäðàò (âòîðîå
ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ãîìîòåòèåé ñ öåíòðîì â öåíÐèñ.2
òðå êâàäðàòà è ñ êîýôôèa
öèåíòîì
). À ìíîæåñòâî áåëûõ òî÷åê êâàäðàòà
2
ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì áåëûõ òî÷åê âïèñàííîãî â íåãî
êðóãà.
Ã.Ãàëüïåðèí
Ì1830. âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ÷èñëî, íà÷èíàÿ ñ 2002-ãî, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ñóììû âñåõ ïðåäûäóùèõ ÷èñåë. Äîêàæèòå, ÷òî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàéäåòñÿ ÷èñëî,
íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî êàæäîå ÷èñëî ðàâíî ñóììå âñåõ
ïðåäûäóùèõ ÷èñåë.
Ïóñòü ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ ñóììû Sn -1 ïðåäûäóùèõ
÷ëåíîâ íà î÷åðåäíîé ÷ëåí an ðàâíî kn , ò.å. Sn -1 = an kn .
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ kn , n ³ 2002.
Òàê êàê ñëåäóþùèé ÷ëåí an +1 äåëèò ñóììó Sn -1 + an è
an +1 > an , òî
S -1 + an
S
S + an
= kn + 1.
< n
kn +1 = n = n -1
an
an +1
an +1
Òàêèì îáðàçîì, kn +1 £ kn . Ïîýòîìó, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà (ïðè n ³ N), kn = k. Íî òîãäà ïðè n ³ N
«ÊÂÀÍÒÀ»
Sn -1 + an
a
= an + n , ò.å. ñ ýòîãî ìåñòà
k
k
ïîëó÷àåì ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ
èìååì an +1 =
n-N
k + 1
k +1
a =
aN .
k n
kn - N
Ïîëó÷àåì, ÷òî aN äåëèòñÿ íà ñêîëü óãîäíî áîëüøóþ
ñòåïåíü k. Çíà÷èò, k = 1, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
À.Øàïîâàëîâ
an +1 =
Ô1838. Ó âåðòèêàëüíîé ñòåíû ñòîèò ïàëî÷êà ÀÂ
äëèíîé L (ðèñ.1). Íà åå íèæíåì êîíöå Â ñèäèò æóê.
 òîò ìîìåíò, êîãäà êîíåö  íà÷àëè äâèãàòü âïðàâî ïî ïîëó rñ ïîñòîÿííîé A
ñêîðîñòüþ v , æóê ïîïîëç
ïî ïàëî÷êå rñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ u îòíîñèòåëüíî íåå. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó íàä ïîëîì
ïîäíèìåòñÿ æóê çà âðåìÿ
ñâîåãî äâèæåíèÿ ïî ïàëî÷êå, åñëè åå âåðõíèé êîíåö íå B
îòðûâàåòñÿ îò ñòåíêè?
Ïóñòü G – ìåñòî íàõîæäåíèÿ æóêà íà ïàëî÷êå(ðèñ.2),
Ì – ñåðåäèíà ïàëî÷êè, GK=
= h – âûñîòà æóêà íàä ïîëîì, ON = H – ðàññòîÿíèå
îò óãëà Î äî ïàëî÷êè, t –
âðåìÿ, ïðîøåäøåå ñ íà÷àëà
äâèæåíèÿ æóêà. Òîãäà OB =
= vt, BG = ut, AM = OM =
= L/2.
Òðåóãîëüíèêè ONB è GKB
ïîäîáíû, òàê êàê îíè ïðÿìîóãîëüíûå è óãîë β ó íèõ
îáùèé, ïîýòîìó
îòêóäà
Ðèñ.1
A
O
M
G
H N
h
K β
Ðèñ.2
B
GK BG
h
ut u
=
=
= ,
, èëè
ON OB
H vt v
u
.
v
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå OMN êàòåò ON = H
ìåíüøå èëè ðàâåí ãèïîòåíóçå OM = L/2, ïðè÷åì
ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè β = 45o . Ñëåäîâàòåëüíî,
u Lu
hmax = Hmax =
.
v 2v
h=H
Ýòîò ðåçóëüòàò âåðåí, åñëè çà âðåìÿ tmax = L cos 45o v
æóê íå óñïåâàåò äîïîëçòè äî âåðõíåãî êîíöà ïàëî÷êè,
ò.å. åñëè utmax < L , ÷òî ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
u £ v 2 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûñîòà h áóäåò ìàêñè¢ = L u äîñòèæåíèÿ
ìàëüíîé ê ìîìåíòó âðåìåíè tmax
æóêîì òî÷êè À:
v2
2
¢ = L2 - vtmax
¢ = L 1- 2 .
hmax
u
Ñ.Êóçüìè÷åâ
Ô1839. Íà ãëàäêîì ñòîëå ïîêîèòñÿ ãàíòåëüêà, ñîñòîÿùàÿ èç æåñòêîãî ëåãêîãî ñòåðæíÿ äëèíîé L è
äâóõ ìàëåíüêèõ îäèíàêîâûõ øàðèêîâ íà êîíöàõ ñòåð-