Убывающая геометрическая прогрессия

Ëèñòîê 27
02.04.2010
Óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
Ãåêòîðà æ, â áåãñòâå ïðåñëåäóÿ, ãíàë Àõèëëåñ íåïðåñòàííî.
Ñëîâíî êàê ï¼ñ ïî ãîðàì ìîëîäîãî ãîíèò îëåíÿ ...
Ñëîâíî âî ñíå ÷åëîâåê èçëîâèòü ÷åëîâåêà íå ìîæåò,
Ñåé óáåæàòü, à äðóãîé óëîâèòü íàïðÿãàåòñÿ òùåòíî, Òàê è ãåðîè, íè ñåé íå äîãîíèò, íè òîò íå óõîäèò.
Çàäà÷à 27.1(ó). Èç ïóíêòà A â ïóíêò B ñî ñêîðîñòüþ 5 êì/÷àñ âûøåë Òîëÿ, à ÷åðåç òðè
÷àñà âñëåä çà íèì ñî ñêîðîñòüþ 7 êì/÷àñ îòïðàâèëñÿ Êîëÿ è ñî ñêîðîñòüþ 12 êì/÷àñ åãî
ñîáà÷êà Æó÷êà, êîòîðàÿ äîãíàëà Òîëþ, ìãíîâåííî ðàçâåðíóëàñü è ïîáåæàëà íàçàä ê Êîëå,
âñòðåòèâ åãî, ñíîâà ðàçâåðíóëàñü è ñíîâà äîãíàëà Òîëþ è ò. ä. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîáåæèò
Æó÷êà, ïîêà Êîëÿ äîãîíèò Òîëþ? Êàêàÿ ïðîãðåññèÿ ïðè ýòîì ïðîñóììèðîâàëàñü?
Çàäà÷à 27.2 (Ïàðàäîêñ Çåíîíà)(ó). Ñìûñë îäíîé èç àïîðèé 1 Çåíîíà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Äîïóñòèì, Àõèëëåñ áåæèò â äåñÿòü ðàç áûñòðåå, ÷åì ÷åðåïàõà, è íàõîäèòñÿ îò íå¼ íà
ðàññòîÿíèè â 1 êèëîìåòð. Çà òî âðåìÿ, çà êîòîðîå Àõèëëåñ ïðîáåæèò ýòîò êèëîìåòð, ÷åðåïàõà
ïðîïîëç¼ò 100 ìåòðîâ. Êîãäà Àõèëëåñ ïðîáåæèò 100 ìåòðîâ, ÷åðåïàõà ïðîïîëç¼ò åù¼ 10 ìåòðîâ, è òàê äàëåå. Ïðîöåññ áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè, Àõèëëåñ òàê íèêîãäà è íå
äîãîíèò ÷åðåïàõó.
Ïî÷åìó æå íà ñàìîì äåëå Àõèëëåñ âñå-òàêè äîãîíèò ÷åðåïàõó?
Çàäà÷à 27.3(ó). Äîãíàâ Òîëþ, Êîëÿ ñòàë äåëèòüñÿ ñ íèì çàâòðàêîì: â ïåðâóþ ìèíóòó îí ðàçäåëèë åãî ïîïîëàì è óñïåë ñúåñòü òðåòü ñâîåé ïîëîâèíû, à Òîëÿ ñâîþ öåëèêîì.  ñëåäóþùèå
ïîëìèíóòû Êîëÿ ðàçäåëèë ïîïîëàì îñòàòêè ñâîåé äîëè è îïÿòü óñïåë ñúåñòü òðåòü, à Òîëÿ âñå. Äàëåå ïðîöåññ ïîâòîðÿëñÿ (è êàæäàÿ ñòàäèÿ ïðîõîäèëà âäâîå áûñòðåå ïðåäûäóùåé). ×åðåç
êàêîå âðåìÿ çàâòðàê áóäåò ñúåäåí è êàêàÿ åãî ÷àñòü äîñòàíåòñÿ Êîëå, à êàêàÿ Òîëå?
Îïðåäåëåíèå 27.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } áóäåì íàçûâàòü îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî C, ÷òî âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåíüøå ýòîãî ÷èñëà C .
Çàäà÷à 27.4(ó). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ {bn }, âñå ÷ëåíû êîòîðîé ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Äëÿ íåå ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn} òàêóþ, ÷òî
Sk = b1 + . . . + bk . Óêàæèòå âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ çíàìåíàòåëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè,
ïðè êîòîðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn} áóäåò îãðàíè÷åííîé ñâåðõó.
Îïðåäåëåíèå 27.2. Íàçîâåì ñóììîé áåñêîíå÷íîé óáûâàþùåé ïîëîæèòåëüíîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè b1, b2, b3, . . . , bn, . . . íàèìåíüøåå ÷èñëî, áîëüøåå ëþáîé êîíå÷íîé ñóììû
Sn = b1 + b2 + . . . + bn .
Çàäà÷à 27.5(ó). Äîêàæèòå ñóùåñòâîâàíèå ÷èñëà, ÿâëÿþùåãîñÿ ñóììîé áåñêîíå÷íîé óáûâàþùåé ïîëîæèòåëüíîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, è âûðàçèòå åãî ÷åðåç íà÷àëüíûé ÷ëåí è
çíàìåíàòåëü ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Çàäà÷à 27.6. Íàéäèòå ñóììó
√ áåñêîíå÷íîé
√ óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
2+1
2−1
à) 0,9; 0,09; 0,009; . . .; á) √
; 1; √
;...
2−1
2+1
Çàäà÷à 27.7. Äàí îñòðûé óãîë, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà 30◦ . Íà åãî ñòîðîíå íà ðàññòîÿíèè
1 ì îò âåðøèíû îòìåòèëè òî÷êó A1. Èç íåå ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð A1A2 êî âòîðîé ñòîðîíå
óãëà, èç òî÷êè A2 ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê ïåðâîé ñòîðîíå óãëà è ò.ä. Ïîëó÷èëàñü ëîìàíàÿ ñ
áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì çâåíüåâ. Íàéäèòå äëèíó ýòîé ëîìàíîé.
Çàäà÷à 27.8. Äàíû ãèïîòåíóçà a è îäèí èç êàòåòîâ b ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà ãèïîòåíóçó, èç îñíîâàíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà
îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííûé êàòåò, èç îñíîâàíèÿ ïîñëåäíåãî ïåðïåíäèêóëÿð íà ãèïîòåíóçó è ò.ä. äî âåðøèíû îñòðîãî óãëà. Îïðåäåëèòå ñóììó äëèí âñåõ ýòèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
1
îò äð.-ãðå÷.
απoρια,
òðóäíîñòü
Ëèñòîê 27
02.04.2010
 ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, îñíîâàíèå êîòîðîãî 26 è êàæäàÿ èç ðàâíûõ
ñòîðîí a, âïèñàí êðóã, ïîòîì âòîðîé êðóã, êàñàòåëüíûé ê ïåðâîìó è ê äâóì ðàâíûì ñòîðîíàì,
çàòåì òðåòèé, êàñàòåëüíûé êî âòîðîìó è òàêæå ê äâóì ðàâíûì ñòîðîíàì, è ò.ä. äî âåðøèíû
òðåóãîëüíèêà. Îïðåäåëèòå ñóììó ïëîùàäåé ýòèõ êðóãîâ.
Çàäà÷à 27.10.  êâàäðàò ñî ñòîðîíîé a âïèñàí êðóã, â êðóã âïèñàí êâàäðàò, â ïîëó÷åííûé
êâàäðàò ñíîâà âïèñàí êðóã è ò.ä. Íàéäèòå ñóììó: à) ïåðèìåòðîâ êâàäðàòîâ; á) ïëîùàäåé
êâàäðàòîâ; â) äëèí îêðóæíîñòåé; ã) ïëîùàäåé êðóãîâ.
Çàäà÷à 27.9.
Êðèòåðèè îöåíîê
¾5¿
¾4¿
¾3¿
¾2¿
9 çàäà÷ 7 çàäà÷ 5 çàäà÷ 2 çàäà÷è