$ ÊÂÀÍT 2012/¹3 Ñàëôåòêè «Êâàíòà» è òåîðåìà Ïèôàãîðà Ì.ÏÅÒÊÎÂÀ  ÐÀÇÍÎÅ ÂÐÅÌß Â «ÇÀÄÀ×ÍÈÊÅ «ÊÂÀÍÒÀ» ÏÐÅÄ- ëàãàëèñü çàäà÷è î ïîêðûòèÿõ êâàäðàòíîãî ñòîëà áóìàæíûìè ñàëôåòêàìè â íåñêîëüêî ñëîåâ. Ñàëôåòêè ìîæíî ïåðåãèáàòü, íî íåëüçÿ ðàçðûâàòü íà ÷àñòè (ýòî òðåáîâàíèå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ íà ïðîòÿæåíèè âñåé ñòàòüè). Ìû îáñóäèì ñïîñîá, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðåøèòü ýòè çàäà÷è, à çàîäíî èññëåäîâàòü è äðóãèå ïîäîáíûå ïîêðûòèÿ. Íà÷íåì ñ èçâåñòíîé (ïî÷òè) êàæäîìó òåîðåìû Ïèôàãîðà. Ïî-âèäèìîìó, î íåé îäíîé èç âàæíåéøèõ òåîðåì ïëàíèìåòðèè çíàëè åùå âî âòîðîì òûñÿ÷åëåòèè äî íîâîé ýðû. Íåóäèâèòåëüíî, ÷òî ñåé÷àñ èçâåñòíî íåñêîëüêî ñîòåí ðàçëè÷íûõ åå äîêàçàòåëüñòâ. Åñòü è âåñüìà ýêçîòè÷åñêèå: íàïðèìåð, àíãëèéñêîìó ìàòåìàòèêó ïåðâîé ïîëîâèíû XX âåêà Ã.Õ. Õàðäè ïðèïèñûâàþò äîêàçàòåëüñòâî, èñïîëüçóþùåå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ê ñ÷àñòüþ, íàì îíî íå ïîíàäîáèòñÿ. Èòàê Òåîðåìà Ïèôàãîðà. Êâàäðàò ãèïîòåíóçû c ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ åãî êàòåòîâ a è b: a 2 + b2 = c2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëîæèì ÷åòûðå êîïèè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè a > b è ãèïîòåíóçîé c, êàê íà ðèñóíêå 1, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ êâàäðàò ñî ñòîðîíîé c. Òîãäà â öåíòðå îñòàíåòñÿ êâàäðàòíàÿ äûðêà ñî ñòîðîíàìè a b. Îñòàëîñü ïîñ÷èòàòü Ðèñ. 1 ïëîùàäè: ab 2 + (a - b ) = a2 + b2 . 2 Åñëè òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé, òî äûðêè íå ïîëó÷èòñÿ, íî íà ïîäñ÷åò ýòî íå âëèÿåò. Òåîðåìà äîêàçàíà. Íî ðàññòàâàòüñÿ ñ ðèñóíêîì 1 ðàíî: îí äàñò íàì êëþ÷ ê ðåøåíèþ çàäà÷ î ñàëôåòêàõ. Îòðàçèì êàæäûé èç çåëåíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñèòåëüíî åãî ãèïîòåíóçû. Ïîëó÷èòñÿ êâàäðàò ñî ñòîðîíîé a + b, â êîòîðûé âïèñàí êâàäðàò ñî ñòîðîíîé c. Íà ðèñóíêå 2 îòðàæåííûå òðåóãîëüíèêè ïîêðàøåíû æåëòûì, à âñÿ êàðòèíêà ïîâåðíóòà äëÿ óäîáñòâà. Ñóììà ïëîùàäåé æåëòûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé çåëåíûõ âåäü ïðè îòðàæåíèè ïëîùàäü ôèãóðû Ðèñ. 2 íå ìåíÿåòñÿ. Íî òîãäà óäâîåííàÿ ïëîùàäü âïèñàííîãî êâàäðàòà ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé áîëüøîãî êâàäðàòà è áåëîãî êâàäðàòèêà. Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ýòîò ôàêò àëãåáðàè÷åñêè. Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê ñäåëàííûå íàáëþäåíèÿ ïîìîãàþò ðåøèòü çàäà÷è ïðî ïîêðûòèÿ. Çàäà÷à Ì1755* (Â.Ïðîèçâîëîâ). Èìååòñÿ 10 êâàäðàòíûõ ñàëôåòîê, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà 1, è êâàäðàòíûé ñòîë, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 5. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîë ìîæíî ïîêðûòü ñàëôåòêàìè â äâà ñëîÿ. Ðåøåíèå. Óêëàäûâàåì 9 ñàëôåòîê â âèäå (æåëòîãî) êâàäðàòà ðàçìåðîì 3 ¥ 3 (ðèñ.3).  ýòîò êâàäðàò âïèñûâàåì (çåëåíûé) ñòîë ïëîùàäè 5 è çàãèáàåì ÷åòûðå æåëòûõ òðåóãîëüíèêà. Ïëîùàäü öåíòðàëüíîãî (ãîëóáîãî) êâàäðàòà ðàâíà 2 ◊ 5 - 9 , ò.å. ðàâíà 1. Ñòîë, êðîìå öåíòðàëüíîãî êâàäðàòà, óæå ïîêðûò â äâà ñëîÿ. Îñòàëîñü ïîêðûòü öåíòðàëüíûé êâàäðàò äåñÿòîé ñàëôåòêîé. Â.Ïðîèçâîëîâ ðåøàë ýòó çàäà÷ó íåñêîëüêî èíà÷å: îí Ðèñ. 3 ðàñïîëîæèë ïÿòü ñàëôåòîê, êàê íà ðèñóíêå 4 (ãîëóáûì öâåòîì ïîêàçàíû ëèöåâûå ñòîðîíû ñàëôåòîê, çåëåíûì èçíàíêè), à äðóãèå ïÿòü êàê íà ðèñóíêå 5, ïîëó÷åííîì èç ðèñóíêà 4 ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïóíêòèðíîé ëèíèè c2 = 4 ◊ Ðèñ. 4 Ðèñ. 5 (ïðîâåäåííîé ÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà ïëîùàäè 5). Åñëè ñîâìåñòèòü íà îäíîì ñòîëå ýòè äâà ðàñïîëîæåíèÿ ñàëôåòîê, ïîëó÷èòñÿ èñêîìîå ïîêðûòèå. Óïðàæíåíèå 2 (çàäà÷à Ì1905, Â.Ïðîèçâîëîâ). Ïîêðîéòå êâàäðàòíûé ñòîë ðàçìåðîì 5 × 5 â äâà ñëîÿ 50 êâàäðàòíûìè ñàëôåòêàìè 1 × 1 òàê, ÷òîáû íèêàêîé îòðåçîê êðàÿ ëþáîé ñàëôåòêè íå ëåæàë íà êðàþ ñòîëà. «ÊÂÀÍÒ» ÄËß ÌËÀÄØÈÕ Çàäà÷à Ì1944 (Â.Ïðîèçâîëîâ). Êâàäðàòíûé ñòîë ïëîùàäè 5 ìîæíî ïîêðûòü â ÷åòûðå ñëîÿ ïÿòüþ êâàäðàòíûìè ñàëôåòêàìè, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà 4. Êàê ýòî ñäåëàòü? Ðåøåíèå. Óêëàäûâàåì 4 ñàëôåòêè â âèäå êâàäðàòà ðàçìåðîì 4 ¥4 (ðèñ.6), âïèñûâàåì â íåãî êâàäðàò ïëîùàäè 10 è çàãèáàåì ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà. Ïëîùàäü öåíòðàëüíîãî êâàäðàòèêà ðàâíà 2 ◊ 10 16, ò.å. 4. Íà åãî ìåñòî êëàäåì Ðèñ. 6 Ðèñ. 7 ïÿòóþ ñàëôåòêó è ïîëó÷àåì êâàäðàò ïëîùàäè 10, ïîêðûòûé â äâà ñëîÿ. Åñëè ñîåäèíèòü ñåðåäèíû ñòîðîí ýòîãî êâàäðàòà (íà ðèñóíêå 7 îí îêðàøåí æåëòûì), îáðàçóåòñÿ êâàäðàò ïëîùàäè 5 (îí îêðàøåí çåëåíûì). Çàãíåì ó íåãî æåëòûå óãîëêè è ïîëó÷èì èñêîìîå ïîêðûòèå â ÷åòûðå ñëîÿ. Óïðàæíåíèå 3. Ðåøèòå çàäà÷ó Ì1944 ïðè ïîìîùè ðèñóíêà 4. Óêàçàíèå. Ïåðåãíèòå ñèñòåìó ñàëôåòîê ñíà÷àëà îòíîñèòåëüíî îäíîé ñðåäíåé ëèíèè êâàäðàòà, à çàòåì îòíîñèòåëüíî äðóãîé (ïóíêòèðíîé ëèíèè ðèñóíêà 4). Ïëîùàäü êâàäðàòà äî ïåðåãèáàíèé ðàâíÿëàñü 5. Ïîñëå äâóõ ïåðåãèáàíèé îíà óìåíüøèòñÿ â÷åòâåðî, òàê ÷òî ïîëó÷èòñÿ êâàäðàòíûé ñòîë 5 , ïîêðûòûé â ÷åòûðå ñëîÿ ñàëôåòêàìè ðàçìåðà ïëîùàäè 4 1 × 1 . Îñòàëîñü óâåëè÷èòü âäâîå ñòîðîíû ñàëôåòîê è ñòîëà! Öåëü äîñòèãíóòà âñå ïåðå÷èñëåííûå çàäà÷è ðåøåíû íàøèì ñïîñîáîì. Íî ìû ïîéäåì íåìíîãî äàëüøå. Îáùèé âîïðîñ. Ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ n êâàäðàòíûé ñòîë ïëîùàäè n ìîæíî ïîêðûòü â äâà ñëîÿ 2n êâàäðàòíûìè ñàëôåòêàìè, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà 1? Îòâåò. Ïðè n, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå a2 + b2 , ãäå a è b öåëûå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîå äîïóñòèìîå ïîêðûòèå ñòîëà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü êàê îêëåèâàíèå òàêèìè æå ñàëôåòêàìè ñ äâóõ ñòîðîí òîíêîãî êàðòîííîãî êâàäðàòíîãî ëèñòà (ðàçìåðîì, åñòåñòâåííî, ñ êðûøêó ñòîëà). Óäîáíåå ðàññóæäàòü èìåííî ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ. Ñíà÷àëà ïðîâåðèì, ÷òî åñëè êâàäðàòíûé ëèñò ïëîùàäè n óäàëîñü îêëåèòü ñ äâóõ ñòîðîí 2n ñàëôåòêàìè ïëîùàäè 1, òî n ÿâëÿåòñÿ ñóììîé êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì â íåñêîëüêî øàãîâ. Øàã 1. Íàíåñåì êðàñêó íà ãðàíèöû êâàäðàòèêîâ-ñàëôåòîê, íàêëååííûõ íà êàðòîííûé ëèñò. Ïîëîæèì ëèñò íà ïëîñêîñòü è áóäåì «ïåðåêàòûâàòü» åãî, ïîâîðà÷èâàÿ âîêðóã ñòîðîí êâàäðàòà. Êîãäà ëèñò ëîæèòñÿ íà ïëîñêîñòü, êðàñêà îòïå÷àòûâàåòñÿ â òåõ ìåñòàõ, ãäå ê ïëîñêîñòè ïðèëåãàþò ãðàíèöû åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ. Ïðè ýòîì % ØÊÎËÜÍÈÊΠîòïå÷àòêè ãðàíèö ïåðåãèáàþùèõñÿ ñàëôåòîê òîæå áóäóò ñîñòàâëÿòü öåëûå åäèíè÷íûå êâàäðàòèêè. Åñëè «ïåðåêàòûâàòü» êâàäðàò ñêîëüêî óãîäíî ðàç âî âñå ñòîðîíû, ïîëó÷èòñÿ ðèñóíîê ïðèìûêàþùèå äðóã ê äðóãó åäèíè÷íûå êâàäðàòèêè, ïîêðûâàþùèå âñþ ïëîñêîñòü. Áóäåì íàçûâàòü òàêîå ïîêðûòèå ïàðêåòîì. Øàã 2. Ïåðèîäîì ïàðêåòà íàçûâàåòñÿ ëþáîé ñäâèã (â êàêîì-òî íàïðàâëåíèè è íà êàêîå-òî ðàññòîÿíèå), êîòîðûé ïåðåâîäèò ïàðêåò â ñåáÿ. Ïî ïîñòðîåíèþ, ïîëó÷èâøèéñÿ ó íàñ ïàðêåò èìååò äâà ïåðèîäà. Ýòî ñäâèãè âäîëü ñòîðîí èñõîäíîãî êâàäðàòà íà ðàññòîÿíèå, â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà, ò.å. ñäâèãè â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ, êàæäûé íà ðàññòîÿíèå 2 n . Øàã 3. Íî ó ëþáîãî ïàðêåòà, ñîñòîÿùåãî èç åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ, åñòü ïåðèîä äëèíû 1.  ñàìîì äåëå, åñëè äâà êâàäðàòèêà ïðèìûêàþò ïî ÷àñòè ñòîðîíû, êàê, íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 8, òî äàëüøå ïðÿìûå óãëû çàïîëíÿþòñÿ îäíîçíà÷íî Ðèñ. 9 è ïîëó÷àþòñÿ äâå ãîðè- Ðèñ. 8 çîíòàëüíûå ïîëîñêè (ðèñ.9). Ðàññìàòðèâàÿ, êàê êâàäðàòèêè ïðèìûêàþò ê ýòèì ïîëîñêàì ñâåðõó è ñíèçó, ïîëó÷àåì, ÷òî òàì òîæå áóäóò ïîëîñêè, è ò.ä. Çíà÷èò, âåñü ïàðêåò ñîñòîèò èç ãîðèçîíòàëüíûõ ïîëîñîê è ïîýòîìó èìååò ïåðèîä ãîðèçîíòàëüíûé ñäâèã íà 1. Åñëè íåò ïàðû êâàäðàòèêîâ, êîòîðûå ïðèìûêàþò ïî ÷àñòè ñòîðîíû, ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íûé êëåò÷àòûé ïàðêåò, ó êîòîðîãî äàæå äâà ïåðèîäà åäèíè÷íîé äëèíû. Øàã 4. Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû âñå ïîëîñêè, ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåì øàãå, áûëè ãîðèçîíòàëüíûìè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâïàäàëî ñ âåðøèíîé îäíîãî èç êâàäðàòèêîâ ïàðêåòà. Òîãäà ëþáàÿ âåðøèíà ëþáîãî êâàäðàòèêà ïàðêåòà èìååò öåëóþ îðäèíàòó. Ïðåäñòàâèì îäèí èç ïåðèîäîâ, íàéäåííûõ íà øàãå 2, êàê ñäâèã íà s âïðàâî è íà t ââåðõ. Òîãäà âòîðîé ïåðèîä ñäâèã íà òî æå ðàññòîÿíèå, íî â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè, áóäåò ñäâèãîì íà t âïðàâî è íà s âíèç (èëè íà t âëåâî è íà s ââåðõ). Òàê êàê ïðè ýòèõ ñäâèãàõ íà÷àëî êîîðäèíàò äîëæíî ïåðåõîäèòü â âåðøèíó êâàäðàòèêà, ñìåùåíèå ïî âåðòèêàëè äîëæíî áûòü íà öåëîå ÷èñëî, îòêóäà îáà ÷èñëà s è t öåëûå. 2 Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, s2 + t2 = 2 n = 4n . Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî s è t ÷åòíûå: s = 2a, t = 2b, à çíà÷èò, ÷èñëî n ïðåäñòàâèìî â âèäå a2 + b2 , ãäå a è b öåëûå, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè n = a2 + b2 , ãäå a è b öåëûå, òî êâàäðàòíûé ëèñò ïëîùàäè n ìîæíî îêëåèòü ñ äâóõ ñòîðîí 2n êâàäðàòèêàìè ïëîùàäè 1. Ïðèìåð òàêîé îêëåéêè ñòðîèòñÿ ïî ïðèâåäåííîìó äîêàçàòåëüñòâó. Ðàññìîòðèì îáû÷íûé ïàðêåò, ñîñòàâëåííûé èç åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ. Åñëè n = a2 + b2 , òî íà ýòîò ïàðêåò ìîæíî ïîëîæèòü êâàäðàòíûé ëèñò ïëîùàäè n òàê, ÷òîáû åãî âåðøèíû ïîïàëè â âåðøèíû ïàðêåòà. Òîãäà îäíà ñòîðîíà ëèñòà ïîêðûâàåòñÿ òîé ÷àñòüþ ïàðêåòà, êîòîðóþ îí çàíèìàåò, à ïðîòèâîïîëîæíàÿ ñòîðîíà ïîêðûâàåòñÿ îòðàæåííîé ÷àñòüþ ïàðêåòà. ( )