Глава I Линейные пространства

Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
9
Ãëàâà I
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå â
êà÷åñòâå åãî ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ èíâàðèàíòíûå âåêòîðû ëþáîé
ïðèðîäû. Êîíêðåòèçèðóÿ ïðèðîäó âåêòîðà (ñì.§1.2.) ìû áóäåì ïîëó÷àòü
êîíêðåòíûå ïðèìåðû ëèíåéíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ
(âåêòîðîâ) ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ââîäèì â íåãî ìåòðèêó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùåå (äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå)
åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.
Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ïåðåõîäèì ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ - ïîíÿòèþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (ïðåîáðàçîâàíèÿ), îïðåäåëèì äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè â çàäàííîì ïðîñòðàíñòâå è ðàññìîòðèì íàèáîëå âàæíûå äëÿ äàëüíåéøèõ ïðèëîæåíèé âèäû îïåðàòîðîâ: ñîïðÿæ¸ííûå, óíèòàðíûå è ýðìèòîâû.
§1.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
Íàì ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü íåêîòîðûå ìíîæåñòâà îáúåêòîâ, äëÿ êîòîðûõ óñòàíîâëåíû òàê íàçûâàåìûå ëèíåéíûå îïåðàöèè: ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò ñëóæèòü ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ. Âñêîðå îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãèå äðóãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìíîæåñòâà ïîä÷èíÿþòñÿ ëèíåéíûì îïåðàöèÿì. Òàê,
ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå, ìíîæåñòâî ðåøåíèé
ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íàä íåêîòîðûì ïîëåì óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì îïåðàöèÿì.
Ïðè ýòîì íè ñàìè îáúåêòû íå ïîõîæè íà ñâîáîäíûå âåêòîðû, íè
ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýòèìè îáúåêòàìè íå ïîõîæè íà ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Îäíàêî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ åñòü íå÷òî
îáùåå, ïîçâîëÿþùåå èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè àáñòðàêòíî, îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû îáúåêòîâ.
10
Ãëàâà ïåðâàÿ
Ïðåæäå âñåãî, âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ ïðèìåðàõ ëèíåéíûå îïåðàöèè
íàä ýëåìåíòàìè äàííîãî ìíîæåñòâà äàþò â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòû òîãî æå
ìíîæåñòâà: ñêëàäûâàÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà èëè óìíîæàÿ èõ íà ÷èñëî,
ìû âíîâü ïîëó÷àåì ýëåìåíòû òîãî æå ìíîæåñòâà.
Ëèíåéíûå îïåðàöèè, ðàçëè÷íûå äëÿ ðàçíûõ ìíîæåñòâ, èìåþò ðÿä
îáùèõ ñâîéñòâ, ÷òî ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ëèíåéíûå îïåðàöèè âîîáùå.
Èçó÷àÿ ìíîæåñòâà ñ äàííûìè â íèõ ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè, èõ
îáúåäèíÿþò ïîíÿòèåì ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà. Íàçâàíèå
ïðîñòðàíñòâà “âåêòîðíîå” ïðîèñòåêàåò èç òîãî, ÷òî ýòî ïîíÿòèå áûëî
âíà÷àëå âûäåëåíî ïðè èçó÷åíèè ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðâûé ïðèìåð ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ âíóòðåííèì çàêîíîì ãåîìåòðè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è âíåøíèì çàêîíîì óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.  ñèëó ýòîãî ýëåìåíòû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ïðèíÿòî íàçûâàòü âåêòîðàìè, à ñàìè ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ÷àñòî íàçûâàþò âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè.
Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà îáîáùàåò îïðåäåëåíèå ñîâîêóïíîñòè âñåõ âåêòîðîâ. Îáîáùåíèå ïðîèçâîäèòñÿ, âî-ïåðâûõ, ïóò¸ì
îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà ñ ñîõðàíåíèåì ñâîéñòâ äåéñòâèé íàä íèìè, âî-âòîðûõ, ïóò¸ì îòâëå÷åíèÿ îò êîíêðåòíîé ïðèðîäû äîïóñòèìûõ ìíîæèòåëåé.
Ïóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî
L , ñîñòîÿùåå èç êàêèõ óãîäíî ýëåìåíòîâ
a ,b ,...; x , y ,... Âìåñòå ñ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L áóäåì ðàññìàòðèâàòü
äåéñòâèòåëüíûå è êîìïëåêñíûå ÷èñëà
(ïîëå) K.
α ,β , γ ,... , îáðàçóþùèå ìíîæåñòâî
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ìíîæåñòâå
è óìíîæåíèÿ, åñëè:
L îïðåäåëåíû äåéñòâèÿ ñëîæåíèÿ
1) êàæäûì äâóì ýëåìåíòàì
a è b èç L ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé
ýëåìåíò òîãî æå ìíîæåñòâà
L , íàçûâàåìûé èõ ñóììîé. Ñóììà ýëåìåíòîâ a è b îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç a + b ;
2) êàæäîìó ÷èñëó α è êàæäîìó ýëåìåíòó a èç L ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé ýëåìåíò èç òîãî æå ìíîæåñòâà L , íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì
α íà a èëè a íà α , êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì êàê αa èëè aα .
Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì L íàä ïîëåì
K , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L ðàññìàòðèâàåìîå âìåñòå ñ çàäàííûìè â
í¸ì äåéñòâèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
11
Àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà:
1. Äëÿ ëþáûõ a è b èç
L
a+b=b+a,
òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç
(êîììóòàòèâíûì) ñâîéñòâîì.
2. Äëÿ ëþáûõ
(1)
L îáëàäàåò ïåðåñòàíîâî÷íûì
a , b è c èç L
(a + b ) + c = a + (b + c ) ,
(2)
òî åñòü îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ èç L îáëàäàåò ñî÷åòàòåëüíûì (àññîöèàòèâíûì) ñâîéñòâîì è ïîçâîëÿåò ïèñàòü ñóììó ýëåìåíòîâ áåç ñêîáîê.
L ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò θ , ÷òî
(3)
a+θ=a
äëÿ ëþáîãî a èç L . Ýëåìåíò θ íàçûâàåòñÿ íóëåâûì.
4. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x èç L ñóùåñòâóåò ýëåìåíò y èç L òàêîé, ÷òî
(4)
x + y = θ.
Ýëåìåíò y ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì äëÿ ýëåìåíòà x è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç − x .
Äëÿ ëþáûõ a è b èç L è ëþáûõ ÷èñåë α è β
3. Â
1⋅ a = a
6. α(β a ) = (αβ)a
5.
(α + β )a = αa + βa
8. α(a + b ) = αa + αb
7.
(5)
(6)
(7)
(8)
§1.2. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
1. 2.1 Ïðîñòðàíñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà L ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû. Äâà ýëåìåíòà
èç òàêîãî ìíîæåñòâà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè êîëëèíåàðíûå, èìåþò ðàâíûå äëèíû è íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó. Òàêèì îáðàçîì, ìû ãîâîðèì î ñâîáîäíûõ âåêòîðàõ, òî÷êà ïðèëîæåíèÿ êîòîðûõ ìîæåò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî.
12
Ãëàâà ïåðâàÿ
Äîïóñòèìûå çàìåíû âåêòîðà çàêëþ÷àþòñÿ â åãî ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñàõ ê íîâûì òî÷êàì ïðèëîæåíèÿ. Ñîáëþäåíèå ïåðâûõ òð¸õ óñëîâèé
§1.1. ïðè ýòîì î÷åâèäíî. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
ïàðàëëåëîãðàììà, à óìíîæåíèå íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α åñòü ðàñòÿæåíèå âåêòîðà â α ðàç, ñ ó÷¸òîì íàïðàâëåíèÿ. Îáå îïåðàöèè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äîïóñòèìûõ çàìåí.  ñàìîì äåëå, åñëè a = a ′ , b = b′ ,
a ′, b′ , ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b ,
òåì ñàìûì, âåêòîð a ′ + b′ ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûì âåêòîðó a + b , òî
åñòü a + b = a ′ + b′ . Ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî ðàññóæäåíèÿ ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî αa ′ = αa .
òî ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ
Âåêòîðû ñ óêàçàííûì îïðåäåëåíèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé îáðàçóþò
äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà
âûñòóïàåò íóëü-âåêòîð – âåêòîð íóëåâîé äëèíû.  êà÷åñòâå âåêòîðà y
ïðîòèâîïîëîæíîãî âåêòîðó x ïðèìåì âåêòîð y = − x , òî åñòü âåêòîð
òîé æå äëèíû, íî ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ.
Òðåáîâàíèÿ àêñèîì (1) ÷ (8) ïðè ýòîì áóäóò ñîáëþäåíû.
1.2.2. Íóëåâîå ïðîñòðàíñòâî.
L ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà θ , òàêîãî, ÷òî
θ + θ = θ , à αθ = θ . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ âñå
Ïóñòü
âîñåìü àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè
ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîãî íóëåâîãî ýëåìåíòà.
 çàâèñèìîñòè îò òîãî, ê êàêîìó ïîëþ ïðèíàäëåæàò ÷èñëà α , ìû
áóäåì ïîëó÷àòü íóëåâûå ïðîñòðàíñòâà íàä ñîîòâåòñòâóþùèì ïîëåì, òàê
êàê ïîëå âõîäèò â îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.
1.2.3. Êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ïóñòü òåïåðü ýëåìåíòàìè L ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ïî n ÷èñåë, íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ, â êàæäîì íàáîðå. Óïîðÿäî÷åííîñòü íàáîðà îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëà â
íàáîðå çàíóìåðîâàíû. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ýëåìåíò x èç
L åñòü íàáîð ÷èñåë x1 , x 2 ,..., x n , áóäåì åãî çàïèñûâàòü â âèäå x = {x1 , x 2 ,..., x n }. Ñ÷èòàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèçâîëüíûé íàáîð
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
13
y = {y1 , y 2 ,..., y n }. Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè, åñëè
x1 = y1 , x 2 = y 2 ,..., x n = y n .
Ïóñòü
x + y = {x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., xn + y n },
(1.2.1)
αx = {αx1 , αx 2 ,..., αxn }.
(1.2.2)
Îïðåäåëèì íóëåâîé ýëåìåíò êàê
θ = {0,0 ,...,0},
à ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò êàê
− x = {− x1 ,− x2 ,...,− xn }.
(1.2.3)
(1.2.4)
Ïðè îãîâîð¸ííûõ âûøå óñëîâèÿõ áóäóò âûïîëíåíû âñå âîñåìü àêñèîì è ìíîæåñòâî
L áóäåò ÿâëÿòüñÿ äåéñòâèòåëüíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàê R (n ) .
1.2.4. Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö.
Ïóñòü ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà m × n ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
m × n ìàòðèöó, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîé èñïîëüçóþò âåðòèêàëüíûå
äâîéíûå ëèíèè èëè êðóãëûå ñêîáêè.
 a11 a12

 a21 a22
a=
...
...

 a m1 a m 2
... a1n 

... a2 n 
= (aik ).
... ... 

... amn 
(1.2.5)
L - ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ m × n ìàòðèö. Äâå ìàòðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç L â òîì è òîëüêî òîì ñëóÏóñòü
÷àå, êîãäà â ýòèõ ìàòðèöàõ ñîîòâåòñòâóþùèå ìåñòà çàíÿòû îäèíàêîâûìè ÷èñëàìè.
Îïðåäåëèì ëèíåéíûå îïåðàöèè â
ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû èç
÷èñëî, òî ïîëîæèì
L . Åñëè a = (aik ) , b = (bik ) -
L , à α - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî äåéñòâèòåëüíîå
14
Ãëàâà ïåðâàÿ
a + b = (aik ) + (bik ),

αa = (αaik ).

(1.2.6)
Åñëè â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ìû âîçüì¸ì m × n - ìàòðèöó ñîñòîÿùóþ èç îäíèõ òîëüêî íóëåé, à ìàòðèöó ïðîòèâîïîëîæíóþ
ìàòðèöå a îïðåäåëèì êàê
(− aik ) , òî, î÷åâèäíî, áóäóò âûïîëíåíû
âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè
äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ìàòðèöû.
L , ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâ-
Çàìå÷àíèå: Åñëè ïîëîæèòü m = 1 (ïðè äàííîì n ), ìû ïîëó÷èì
ìàòðèöó-ñòðîêó èç n ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì
R(n ) .
Åñëè ïîëîæèòü n = 1 (ïðè äàííîì m ), ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó-ñòîëáåö èç m ÷èñåë. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî òàêèõ ìàòðèö áóäåò ñîâïàäàòü ñ
R(m ) .
Ñàìî ïðîñòðàíñòâî m × n - ìàòðèö îáðàçóåò êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî R (mn ) , òàê êàê íè÷òî íå ìåøàåò íàì óñòàíîâèòü äëÿ âñåõ ýëåêîîðäèíàòíûì ïðîñòðàíñòâîì
ìåíòîâ ìàòðèö îáùóþ íóìåðàöèþ è âûïèñàòü èõ â îäíó ñòðîêó.
1.2.5. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
Âîçüì¸ì íà ÷èñëîâîé îñè ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê
τ1 ≤ τ ≤ τ 2 è îáî-
çíà÷èì ÷åðåç
L ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ýòîì îòðåçêå
è ïðèíèìàþùèõ íà í¸ì äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì x èç L
êàê x = ψ (τ ) . Ñ÷èòàÿ x ïðîèçâîëüíûì, ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ïðîèç-
âîëüíûé ýëåìåíò èç
L y = ϕ (τ ) . Ýëåìåíòû x è y áóäåì ñ÷èòàòü ðàâ-
íûìè â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ψ (τ ) ≡ ϕ (τ ), òî åñòü êîãäà ψ (τ )
è ϕ (τ ) ñîâïàäàþò â ëþáîé òî÷êå
ëèíåéíûå îïåðàöèè êàê
x + y = ψ (τ ) + ϕ (τ ) ,
τ îòðåçêà τ1 ≤ τ ≤ τ 2 . Îïðåäåëèì
αx = αψ (τ ) ,
ãäå α - ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
(1.2.7)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
15
Ïîëàãàÿ â êà÷åñòâå íóëåâîãî ýëåìåíòà ôóíêöèþ ðàâíóþ íóëþ âî
[τ1 , τ 2 ], à äëÿ ýëåìåíòà x = ψ (τ ) â êà÷åñòâå ïðîòèâîïîëîæíîãî âîçüì¸ì ýëåìåíò − ψ (τ ) . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ
äåéñòâèòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ íà [τ1 , τ 2 ] ôóíêöèé ñ ëèíåéíûìè îïåðàâñåõ òî÷êàõ îòðåçêà
öèÿìè (1.2.7) îáðàçóåò äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå
ψ (τ ) ≤ 1 , òî òàêîå ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå
èç òîãî, ÷òî
ψ (τ ) ≤ 1 è ϕ (τ ) ≤ 1 , íå ñëåäóåò, ÷òî ψ (τ ) + ϕ (τ ) ≤ 1 .
1.2.6. Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ.
Ñîâîêóïíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ
α 0 + α1t + ... + α n −1t n −1 ñòåïåíè < n
ñ êîýôôèöèåíòàìè èç K ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé n - ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.  êà÷åñòâå îñíîâíûõ îïåðàöèé áåðóòñÿ îáû÷íîå ñëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî.
Çàìå÷àíèå: ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, òàê êàê ñóììà äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n ìîæåò
îêàçàòüñÿ ìíîãî÷ëåíîì áîëåå íèçêîé ñòåïåíè.
Íàïðèìåð:
(t
n
) (
)
+ t + − t n + t = 2t .
§1.3. Ýëåìåíòàðíûå ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì ëèíåéíîãî
ïðîñòðàíñòâà
Íåçàâèñèìî îò ÷àñòíûõ îñîáåííîñòåé êîíêðåòíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ:
1. Â êàæäîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ òîëüêî îäèí íóëåâîé
ýëåìåíò (âåêòîð).
Ïóñòü θ1 è θ 2 íóëåâûå ýëåìåíòû, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìàìè 1 è 3 ìû ìîæåì íàïèñàòü
θ 2 = θ2 + θ1 = θ1 + θ2 = θ1 .
2. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðîòèâîïîëîæ-
íûé ýëåìåíò (âåêòîð).
16
Ãëàâà ïåðâàÿ
Ïîëàãàÿ
ëó÷èì:
x + y1 = θ è x + y 2 = θ , íà îñíîâàíèè àêñèîì 1 ÷ 4 ïî-
y 2 = y2 + θ = y 2 + (x + y1 ) = ( y 2 + x ) + y1 =
= (x + y 2 ) + y1 = θ + y1 = y1 ,
òî åñòü
y1 = y 2 .
3. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî 0 ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó θ .
Ïóñòü y - âåêòîð ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó x , òîãäà ñ ïîìîùüþ
àêñèîì 2 ÷ 5 è 7 ïîëó÷èì:
0 ⋅ x = 0 ⋅ x + θ = 0 ⋅ x + (x + y ) = (0 + 1) ⋅ x + y = x + y = θ .
4. Ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî âåêòîðà x íà ÷èñëî –1 ðàâíî âåêòîðó, ïðîòèâîïîëîæíîìó x .
Ïîêàæåì, ÷òî x + (− 1) ⋅ x = θ .
Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3 è àêñèîìû 5 è 7 ïîëó÷èì:
x + (− 1) ⋅ x = (1 − 1) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ , òî åñòü (− 1) ⋅ x = − x .
5. Ïðîèçâåäåíèå íóëåâîãî âåêòîðà θ íà ëþáîå ÷èñëî α ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x èñïîëüçóÿ àêñèîìó 6 è ñëåäñòâèå 3,
ïîëó÷èì:
αθ = α(0 ⋅ x ) = (α ⋅ 0 ) ⋅ x = 0 ⋅ x = θ .
6. Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ
åäèíñòâåííàÿ.
Ïóñòü
ëó÷èì:
a è b ñóùåñòâóåò ðàçíîñòü, è ïðè ýòîì
x = b + (− 1)a . Èñïîëüçóÿ àêñèîìû 2,3,5,7 è ñâîéñòâî 3 ïî-
x + a = b + (− 1) ⋅ a + a = b + (− 1 + 1) ⋅ a = b + 0 ⋅ a = b ,
òî åñòü x = b − a .
Åñëè âåêòîð
x åñòü ðàçíîñòü b − a , òî åãî âñåãäà ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå x = b + (− 1) ⋅ a . Èç ðàâåíñòâà x + a = b ñ ïîìîùüþ àêñèîì 2,3,5,7 è ñâîéñòâà 3 ïîëó÷èì:
x = x + θ = x + (1 − 1) ⋅ a = x + a + (− 1) ⋅ a = b + (− 1) ⋅ a .
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
17
§1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíî êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî
a ,b , c ,..., q è ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë α ,β , γ ,..., χ .
Îïðåäåëåíèå 1. Âñÿêèé ýëåìåíò x ïðîñòðàíñòâà L , ïðåäñòàâèìûé
ïðîñòðàíñòâà
â âèäå
x = αa + β b + γc + ... + χq
(1.4.1)
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýëåìåíòîâ
a , b , c ,..., q .
Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìà âåêòîðîâ a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî
çàâèñèìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (1.4.1) ðàâíàÿ íóëåâîìó
âåêòîðó θ , ãäå ñðåäè ÷èñåë
α ,β , γ ,..., χ õîòÿ áû îäíî îòëè÷íî îò íóëÿ.
Îïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà âåêòîðîâ
íåçàâèñèìîé, åñëè ðàâåíñòâî
a , b , c ,..., q íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî
αa + βb + γc + ... + χq = θ
âîçìîæíî òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå, åñëè
α = β = γ = ... = χ = 0 .
Ïðèâåä¸ì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ââåä¸ííûõ ïîíÿòèé, äîêàçàòåëüñòâà
êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ñîîòâåòñòâóþùåé ëèòåðàòóðå.
1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà, ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò âåêòîð íóëåâîé.
2. Åñëè ÷àñòü ñèñòåìû ëèíåéíî çàâèñèìà, òî âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî
çàâèñèìà.
3. Åñëè âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî íåçàâèñèìà è ëþáàÿ å¸
÷àñòü.
4. Äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå âåêòîðû
ýòîé ñèñòåìû.
§1.5. Êîíå÷íîìåðíûå è áåñêîíå÷íîìåðíûå
ïðîñòðàíñòâà. Áàçèñ
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ n - ìåðíûì, åñëè â í¸ì èìååòñÿ
ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ êîìáèíàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n âåêòîðîâ, à âñÿêàÿ êîìáèíàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç áîëüøåãî ÷èñëà âåêòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.
18
Ãëàâà ïåðâàÿ
×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà – ýòî íàèáîëüøåå ÷èñëî åãî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.
 ïðîñòðàíñòâå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóþò òðè ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ âåêòîðà, à ëþáûå ÷åòûðå âåêòîðà ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ.
Âñå n - ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà (n = 0 ,1,2 ,...) îáðàçóþò êëàññ êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì, åñëè äëÿ ëþ-
áîãî öåëîãî ÷èñëà N > 0 â í¸ì íàéä¸òñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà,
ñîñòîÿùàÿ èç N âåêòîðîâ.
Ïðèìåð 1.5.1.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà äàííîì îòðåçêå ôóíêöèé
(ñì. §1.2., ï.5) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Ðàññìîòðèì ñòåïåííûå ôóíêöèè 1, τ , τ
,..., τ N . Îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê ëþáàÿ èõ êîìáèíàöèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå N
2
α 0 + α1τ + α 2 τ 2 + ... + α N τ N = P (τ ) .
Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè èìååò
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé, ïîýòîìó
êîãäà
P (τ ) ≡ 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,
α0 = α1 = ... = α N = 0 .
Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ýëåìåíòû
1, τ , τ 2 ,..., τ N íåçàâèñèìû è òàê êàê íà ÷èñëî N íåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî.
Ñèñòåìà âåêòîðîâ
e1 , e2 ,..., en â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ áàçè-
ñîì, åñëè:
1) âåêòîðû
e1 , e2 ,..., en ëèíåéíî íåçàâèñèìû;
2) ëþáîé âåêòîð
x èç L åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ e1 , e2 ,..., en ,
òî åñòü
x = x1e1 + x 2 e2 + ... + x n en .
Ðàâåíñòâî (1.5.1) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà
(1.5.1)
x ïî áàçèñó
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
19
e1 , e2 ,..., en ; ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû x1 , x 2 ,..., x n íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà x â ýòîì áàçèñå.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïðîèçâîëå â âûáîðå áàçèñà è âûâåäåì ïðàâèëî ïåðåõîäà îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ
e1 , e2 ,..., en è ïóñòü e1′ , e2′ ,..., en′ íå-
êîòîðûé íîâûé áàçèñ.
Ñîãëàñíî (1.5.1) êàæäûé èç âåêòîðîâ íîâîãî áàçèñà
ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì ñòàðîãî áàçèñà
÷àÿ êîýôôèöèåíòû ýòèõ ðàçëîæåíèé áóêâîé
èíäåêñàìè, ìû ìîæåì çàïèñàòü:
e1′ , e2′ ,..., en′
e1 , e2 ,..., en . Îáîçíà-
A ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
e1′ = A11′ e1 + A12′ e2 + ... + A1n′ en , 

e2′ = A21′ e1 + A22′ e2 + ... + A2n′ en , 

en′ = An1′ e1 + An2′ e2 + ... + Ann′ en ,
(1.5.2)
èëè â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè
ei′ = Aii′ ei .
(1.5.3)
Ðàâåíñòâî (1.5.2) ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîðû
e1′ , e2′ ,..., en′ íîâîãî
áàçèñà ìîãóò áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî ïðè óñëîâèè ñîáëþäåíèÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè. Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ
e1′ , e2′ ,..., en′
ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ
(1.5.2):
 A11′
 1
A
A =  2′
...

 A1
 n′
A12′ ...
A22′ ...
... ...
An2′ ...
A1n′ 

A2n′  ,
... 

Ann′ 
(1.5.4)
òî åñòü, ñîîòâåòñòâóþùèé îïðåäåëèòåëü äîëæåí áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ:
det Aii′ ≠ 0 .
(1.5.5)
20
Ãëàâà ïåðâàÿ
Ýòî è åñòü åäèíñòâåííîå óñëîâèå, íàëîæåííîå íà ïðåîáðàçîâàíèå
âåêòîðîâ áàçèñà (1.5.2). Â îñòàëüíîì êîýôôèöèåíòû
Aii′ , ïðîèçâîëüíû.
Óñëîâèå (1.5.5) äîïóñêàåò îáðàòíóþ ìàòðèöó, ýëåìåíòû êîòîðîé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç
Aii′ :
 A1′
 11′
A
A−1 =  2
...
 ′
 A1
 n
A12′ ...
A22′ ...
... ...
An2′ ...
A1n ′ 

A2n ′  .
... 

Ann ′ 
(1.5.6)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûðàçèòü âåêòîðû ñòàðîãî áàçèñà
ðåç âåêòîðû íîâîãî áàçèñà
e1 , e2 ,..., en ֌-
e1′ , e2′ ,..., en′ , ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ
ìàòðèöåé îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.6);
ei = Aii′ ei′ .
(1.5.7)
Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîìó áàçèñó
ñòðàíñòâà
e1′ , e2′ ,..., en′ êàæäûé âåêòîð x ïðî-
L ïîëó÷àåò íîâûå êîîðäèíàòû x1′ , x 2′ ,..., x n′ â îòëè÷èå îò
1
2
n
ñòàðûõ êîîðäèíàò x , x ,..., x . Ñàì âåêòîð x ïðè ýòîì îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì, èçìåíåíèå êîîðäèíàò îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì áàçèñà.
Ðàññìîòðèì, êàê áóäóò âûðàæàòüñÿ íîâûå êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ÷åðåç ñòàðûå êîîðäèíàòû è îáðàòíî.
 ñîîòâåòñòâèè ñ (1.5.1) êîîðäèíàòû âåêòîðà x â ñòàðîì è íîâîì
áàçèñå áóäóò:
x = x i ei ,
(1.5.8)
x = x i′ ei′ .
(1.5.9)
Ïîäñòàâèì â (1.5.8) âìåñòî
ei åãî çíà÷åíèÿ èç (1.5.7), òîãäà ïîëó-
÷èì
x = x i Aii′ ei′ .
(1.5.10)
Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ (1.5.9), ìû âûðàçèì êîîðäèíà-
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
òû
21
x â íîâîì áàçèñå
x i′ = Aii′ x i .
(1.5.11)
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðè ïîìîùè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
âûðàçèì ñòàðûå êîîðäèíàòû âåêòîðà x , ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû:
x i = Aii′ x i′ .
(1.5.12)
Ñðàâíèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà
1
2
e1 , e2 ,..., en
n
(1.5.3) è êîîðäèíàò èíâàðèàíòíîãî âåêòîðà x , x ,..., x (1.5.10). Ìû âèäèì, ÷òî ìàòðèöû ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàçëè÷íû, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.10) åñòü òðàíñïîíèðîâàííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.3).
Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.11) èìååò âèä
(A )
−1 T
 A11′
 2′
A
= 1
...
 ′
 An
 1
A21′ ...
A22 ′ ...
.. ...
A2n ′ ...
An1′ 

An2 ′  ,
... 

Ann ′ 
(1.5.13)
òî åñòü ïîëó÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì (ïîâîðîòîì íà 1800 âîêðóã ãëàâíîé äèàãîíàëè) ìàòðèöû (1.5.6), à ýòà ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà – âçàèìíî îáðàòíàÿ ñ ìàòðèöåé (1.5.4) ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.5.3).
Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ áàçèñà è êîîðäèíàò èíâàðèàíòíîãî âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò ñòàðîãî áàçèñà ê íîâîìó
ei′ = Aii′ ei ,
(1.5.14)
x i′ = Aii′ x i
(1.5.15)
ÿâëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè äëÿ òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, êîòîðîå ìû
ðàññìîòðèì â ãëàâå III.
§1.6. Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ
Ðàññìîòðèì äâà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà L è L′ ìåæäó êîòîðûìè
óñòàíîâëåíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî åñòü:
1) êàæäîìó âåêòîðó a èç
L ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð a ′ èç L′ ;
22
Ãëàâà ïåðâàÿ
L èìåþò ðàçíûå îáðàçû èç L′ ;
3) îáðàçû ýëåìåíòîâ èç L çàïîëíÿþò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî L′ .
Ïðîñòðàíñòâà L è L′ íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî èçîìîðôíûìè, åñëè ìåæ2) ðàçíûå âåêòîðû èç
äó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ ñîáëþäåíèåì ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
(a + b )′ = a ′ + b′ ,
(1.6.1)
(αa )′ = αa ′ .
(1.6.2)
Âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì
(1.6.1) è (1.6.2), íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ L è L′ .
Ïðè ëèíåéíîì èçîìîðôèçìå îáðàç ñóììû ðàâåí ñóììå îáðàçîâ, à îáðàç ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îáðàçà íà ýòî æå
÷èñëî. Àëãåáðàè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíûõ
ïðîñòðàíñòâ òîæäåñòâåííû.
Òåîðåìà 1.6.1. Äëÿ êàæäîãî n âñå äåéñòâèòåëüíûå (êîìïëåêñíûå)
n -ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé.
Òåîðåìà 1.6.2. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíîå n -ìåðíîìó,
ñàìî ÿâëÿåòñÿ n -ìåðíûì.
Ñëåäñòâèå 1.. Êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé
íå èçîìîðôíû.
Ñëåäñòâèå 2. Áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íåèçîìîðôíî íèêàêîìó êîíå÷íîìåðíîìó.
§1.7. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êîìïëåêñíûìè è
äåéñòâèòåëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè
Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé
ïðÿìîé, îáðàçóþò îäíîìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, òàê êàê,
óìíîæàÿ íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûé íåíóëåâîé âåêòîð, åãî
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ëþáîé äðóãîé êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð.
Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ðàñïîëîæåííûõ íà ïëîñêîñòè îáðàçóåò äâóìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Îäíàêî, çäåñü ìû
íå ìîæåì ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ ïðåîáðàçîâûâàòü ôèêñèðîâàííûé âåêòîð â ëþáîé äðóãîé, òàê êàê çàïàñ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé ìàë, ïî
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
23
ñðàâíåíèþ ñ ðàçíîîáðàçèåì âåêòîðîâ, âõîäÿùèõ â ýòî ïðîñòðàíñòâî, â
êîòîðîì äâà âåêòîðà ìîãóò îêàçàòüñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.
 äàííîé ñèòóàöèè ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíûìè ìíîæèòåëÿìè.
Óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî îïðåäåëèòü òàê,
÷òî ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ïðåîáðàçóåòñÿ â
îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà, åñëè îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü a - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð íà ïëîñêîñòè îòëîæåííûé èç íà-
α = ρ(cos ϕ + i sin ϕ ) - êîìïëåêñíûé ìíîæèòåëü. Ïîâåðí¸ì âåêòîð a âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ è óìíîæèì íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ρ . Ïîëó÷åííûé âåêòîð îáîçíà÷èì ÷å÷àëà êîîðäèíàò. Ïóñòü äàëåå
ðåç b è ïîëîæèì αa = b . Ñêëàäûâàòü âåêòîðû áóäåì ïî ïðåæíåìó ïî
ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà.
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî ñàìè
êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè è ÷òî ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a îïðåäåëåíû òàê æå, êàê îáû÷íî îïðåäåëÿþò ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è
óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà α íà âåêòîð a . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîáëþäåíû, òàê êàê îíè ñïðàâåäëèâû äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òåïåðü îäèí íåíóëåâîé âåêòîð îáðàçóåò
ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó, à ëþáûå äâà âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû
(óìíîæåíèå âêëþ÷àåò ïîâîðîò). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíûì.
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî îäíîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî è äâóìåðíîå äåéñòâèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîñòðîèòü èç îäíèõ è òåõ
æå ýëåìåíòîâ, à èìåííî, èç âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè, ïðè÷¸ì ñëîæåíèå âåêòîðîâ áóäåò îïðåäåëåíî îäèíàêîâî â îáåèõ ñëó÷àÿõ. Óìíîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó, âñëåäñòâèå ðàçëè÷èÿ ìíîæèòåëåé.
Íà îñíîâàíèè ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 1.7.1. Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ñòè
C (n ) ðàçìåðíî-
n ìîæíî âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàçèòü íà äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî R (2n ) òàê, ÷òî ñîáëþäàþòñÿ óñëîâèÿ
24
Ãëàâà ïåðâàÿ
(a + b )′ = a ′ + b′ ,
(1.7.1)
à äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé λ áóäóò ñîáëþäåíû óñëîâèÿ
(λa )′ = λa ′ ,
ãäå øòðèõîì îòìå÷åí îáðàç â
(1.7.2)
R(2n ) ýëåìåíòà èç C (n ) .
§1.8. Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
~
L , à L -íå-
êîòîðîå ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç
L.
~
Ìíîæåñòâî L â ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñò-
ðàíñòâîì (ïîäïðîñòðàíñòâîì), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
~
~
x , y èç L èõ ñóììà x + y òàêæå ïðèíàäëåæèò L ;
~
~
2) äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáîãî ÷èñëà α , αx ∈ L .
~
Ïóñòü L ïîäïðîñòðàíñòâî â L . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è
óìíîæåíèÿ èõ íà ÷èñëà, çàäàííûå â L , áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðèìåíè~
òåëüíî ëèøü ê òåì ýëåìåíòàì, êîòîðûå âõîäÿò â L . Òîãäà ñïðàâåäëèâû
1) äëÿ ëþáûõ
ñëåäóþùèå òåîðåìû:
Òåîðåìà 1.8.1. Â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå
L êàæäîå ëèíåéíîå ïîä~
ïðîñòðàíñòâî L ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.
Òåîðåìà 1.8.2. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ äàí-
íîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà
L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì.
~
 ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî L âõîäèò íóëåâîé âåêòîð θ .
§1.9. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
Ïóñòü
L - äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ââåä¸ì â ïðî-
ñòðàíñòâå L îïåðàöèþ ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ âåêòîðîâ.
Ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé ïàðå âåêòî-
x , y èç L äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ (x , y ) è íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà x íà âåêòîð y .
ðîâ
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
25
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì):
1.
(x , y ) = (y , x ).
(1.9.1)
2. (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z ) .
3.
(1.9.2)
(αx , y ) = α(x , y ) .
(1.9.3)
4. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííî: òî åñòü åñëè
(x , y ) = 0
ïðè ôèêñèðîâàííîì x è ëþáîì y èç L , òî x = θ .
Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî x , y , z - ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà
L.
Èòàê, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
äåííàÿ, áèëèíåéíàÿ ôîðìà.
Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå
(x , y ) = g (x , y ) .
(x , y ) åñòü ñèììåòðè÷íàÿ, íåâûðîæ-
L ââåäåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(1.9.4)
Ïðåäïîëàãàÿ ïðîñòðàíñòâî n -ìåðíûì, âîçüì¸ì â í¸ì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ
e1 , e2 ,..., en . Åñëè ïîëîæèòü
n
n
i =1
k =1
x = ∑ x i ei , y = ∑ y k ek ,
(1.9.5)
òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàïèøåòñÿ â êîîðäèíàòàõ òàê
(x , y ) = g (x , y ) = ∑ x i ei ∑ y k ek = ∑∑ (ei , ek )x i x k
=
= ∑∑ g ik x i x k .
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà ïåðåïèøåì ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî òàê
(x , y ) = g (x , y ) = g ik x i x k .
Êîýôôèöèåíòû
(1.9.6)
g ik áèëèíåéíîé ôîðìû g (x , y ) â äàííîì áàçèñå
e1 , e2 ,..., en , ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ýòîé ôîðìû íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ,
òî åñòü èõ ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè
(ei , ek ) = g ik ,
ãäå
(1.9.7)
g ik = g ki . Ðàâåíñòâà (1.9.7) ñîñòàâëÿþò òàáëèöó óìíîæåíèÿ áàçèñ-
26
Ãëàâà ïåðâàÿ
íûõ âåêòîðîâ.
Åñëè ïðàâûå ÷àñòè òàáëèöû (1.9.7) çàäàíû, òî òåì ñàìûì îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ïàðû âåêòîðîâ x , y ñîãëàñíî (1.9.6).
Âåêòîðû x , y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè
(x , y ) = 0 èëè g ik x i y k
= 0.
Íîðìîé (äëèíîé) âåêòîðà
x =
(1.9.8)
x èç L íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîå ÷èñëî
(x , x ) .
(1.9.9)
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x , y ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì,
íî îíî ìîæåò íå áûòü ïîëîæèòåëüíûì, òàê ÷òî íîðìà âåêòîðà ìîæåò
îêàçàòüñÿ ìíèìîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèêàë â ôîðìóëå (1.9.9) ìîæåò
áûòü íåîòðèöàòåëüíûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ëèáî ìíèìûì ÷èñëîì ñ
(
ïîëîæèòåëüíûì ìíîæèòåëåì ïðè i i = +
Èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû ñëåäóåò, ÷òî
)
−1 .
αx = α ⋅ x
äëÿ ëþáîãî
(1.9.10)
x ∈ L è ëþáîãî α .  ÷àñòíîñòè,
− x = x , θ = 0.
(1.9.11)
Íåíóëåâûå âåêòîðû, íîðìà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñÿ èçîòðîïíûìè. Èçîòðîïíûå âåêòîðû ñóùåñòâóþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
(x , x ) íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé.
Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà
x = (x, y ) íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìîé
2
ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà.
Çàäàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è çàäàíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
ðàâíîçíà÷íû, ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâà ñ çàäàííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàþò òàêæå ïðîñòðàíñòâàìè ñ êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêîé.
Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äëÿ n - ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä
x = (x, y ) = g ik x i y k .
2
(1.9.12)
Åñëè â n - ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà ðàç è íàâñåãäà
ôèêñèðîâàííàÿ áèëèíåéíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñèììåòðèè è íåâûðîæäåííîñòè,
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
27
òî òàêîå n - ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ
ñòðàíñòâîì.
Ïðèìåð 1.9.1. Ïóñòü
n - ìåðíûì åâêëèäîâûì ïðî-
R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå
÷åì n − 1 . Îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå êàê
1
(P(t ), Q(t )) = ∫ P(t )Q(t )dt .
−1
n −1
2
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåêòîðû 1, t , t ,..., t
îáðàçóþò áàçèñ, îðòîãîíàëèçèðóåì åãî, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàììà-Øìèäòà.
Ïîëîæèì
e1 = 1 è ïðîâåä¸ì ïëîñêîñòü ÷åðåç âåêòîðû e1 è t . Íàé-
ä¸ì â ýòîé ïëîñêîñòè âåêòîð
e2 îðòîãîíàëüíûé ê âåêòîðó e1 . Âåêòîð
e2 áóäåì èñêàòü â âèäå e2 = f 2 + αe1 , ãäå f 2 = t , à α âûáèðàåòñÿ òàê,
(e2 , e1 ) = 0 .
(e2 , e1 ) = ( f 2 + αe1 , e1 ) = ( f 2 , e1 ) + α (e1 , e1 ) = 0 ,
÷òîáû ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
îòêóäà ïîëó÷àåì
α =−
( f 2 , e1 ) .
(e1 , e1 )
Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè
ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå è îòëè÷íûå îò íóëÿ âåêòîðû
äà âåêòîð
e1 , e2 ,..., ek −1 , òîã-
ek ìîæåò áûòü íàéäåí â âèäå
ek = f k + λ1e1 + ... + λk −1ek −1 ,
à êîýôôèöèåíòû
λi = −
(1.9.13)
λi íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ
( f k , ei ) .
(ei , ei )
Âåðí¸ìñÿ ê îïðåäåëåíèþ âåêòîðà
(1.9.14)
e2 .
28
Ãëàâà ïåðâàÿ
1
1
(e2 , e1 ) = (t + α ⋅1,1) = ∫ (t + α )dt = 1 t 2 + αt = 2α = 0 ,
2
−1
−1
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
Âåêòîð
α = 0 è e2 = t .
e3 áóäåì èñêàòü â âèäå: e3 = t 2 + βt + γ ⋅1 .
Òîãäà
∫ (t ⋅ t )dt
1
β =−
( f 3 , e2 ) = − −1
1
(e2 , e2 )
2
∫ (t ⋅ t )dt
−1
∫ (t ⋅1)dt
=−
0
= 0,
2
3
1
γ =−
( f 3 , e1 ) = − −1
1
(e1 , e1 )
2
∫ (1⋅1)dt
2
1
=−3 =− .
2
3
−1
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
e3 = t 2 −
1
.
3
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü
ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ìû ïîëó÷èì, ÷òî
6
3
3
e4 = t 3 − t è e5 = t 4 − t 2 + .
5
7
35
Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ïðèâîäèò íàñ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ (ìíîãî÷ëåíîâ)
1
3
1, t , t 2 − , t 3 − t ,...
3
5
(1.9.15)
Îêàçàëîñü, ÷òî ìíîãî÷ëåíû (1.9.15) ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâûõ ìíîæèòåëåé ñîâïàäàþò ñ ìíîãî÷ëåíàìè, ââåäåíûìè â 1875 ãîäó ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ëåæàíäðîì, â ñâÿçè ñ çàäà÷àìè òåîðèè ïîòåíöèàëà.
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
29
Îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà áûëà íàéäåíà Ðîäðèãîì.
(
)
n
1 dn 2
Pn (t ) = n
t −1 .
n
2 n! dt
(1.9.16)
Åñëè âåêòîðû îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà (1.9.15) çàìåíèòü íà âåêòîðû
ek′ =
ek
,
ek
(1.9.17)
ìû ïîëó÷èì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ìû íà÷í¸ì íå ñ ïåðâîãî âåêòîðà, à ñ äðóãîãî, ìû ïîëó÷èì äðóãóþ îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ.
Çàìå÷àíèå.
Áèëèíåéíûå ôîðìû íà ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé â àíàëèçå ÷àñòî çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì
b
(P(t ), Q(t )) = ∫ G(t )P(t )Q(t )dt ,
(1.9.18)
a
ãäå
G (t ) ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ îò t ∈ (a, b ) , íàçûâàåìàÿ âåñîì áèëè-
íåéíîé ôîðìû.  ÷àñòíîñòè, â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå
Åñëè ïîëîæèòü
G (t ) =
òîãîíàëèçàöèè áàçèñà 1, t , t
n
(
− 2 ) n!
Tn (t ) =
(2n )!
2
1
1− t 2
G (t ) = 1 .
, (a , b ) = (− 1,1) , òî â ðåçóëüòàòå îð-
,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà:
1− t 2
(
dn
1− t 2
dt n
)
n−
1
2
= cos(n arccos t ) . (1.9.19)
Íîðìèðîâêà:
0 ïðè m ≠ n,
π
Tm (t )Tn (t )

∫−1 1 − t 2 dt =  2 ïðè m = n ≠ 0,

π ïðè m = n = 0.
1
(1.9.20)
30
Ãëàâà ïåðâàÿ
Åñëè ïîëîæèòü
G (t ) = e − t , (a,b ) = (− ∞, ∞ ) , òî â ðåçóëüòàòå îð2
òîãîíàëèçàöèè áàçèñà
1, t , t 2 ,..., t n −1 ìû ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà:
( )
d n −t 2
e .
dt n
(1.9.21)
0 ïðè m ≠ n,
−t 2
(
)
(
)
=
e
H
t
H
t
dt
 n
m
n
∫
−∞
2 n! π ïðè m = n.
(1.9.22)
H n (t ) = (− 1) e t
n
2
Íîðìèðîâêà:
∞
§1.10. Êîìïëåêñíûå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà
1.10.1. Îáùèå îïðåäåëåíèÿ
Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿÿñü åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì äåéñòâèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ
ðîëü ïðè èçó÷åíèè ïðèëîæåíèé òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Â
ñèëó ýòîé âàæíîñòè ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ñâîéñòâà êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïóñòü íàì çàäàíî ìíîæåñòâî C , ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ x, y ,...
íàçûâàåìûõ âåêòîðàìè è íàäåë¸ííîå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ àêñèîìàìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà 1 è 2:
x + y = y + x;
(x + y ) + z = x + (y + z ) .
2. Ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð θ , ÷òî äëÿ âñåõ âåêòîðîâ x , x + θ = x .
Ïðè ëþáûõ x , y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð z òàêîé, ÷òî
x+z= y.
3. Âåêòîðû ìîæíî óìíîæàòü íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà (â ýòîì ñîñòîèò
îòëè÷èå êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ îò äåéñòâèòåëüíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ), ïðè÷¸ì óìíîæåíèå íà ÷èñëà îáëàäàþò îáû÷íûìè àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè:
α (x + y ) = αx + αy ;
(α + β )x = αx + βx ;
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
(αβ)x = α(βx );
31
1⋅ x = x .
4. Âåêòîðû ìîæíî ñêàëÿðíî óìíîæàòü äðóã íà äðóãà. Òàê êàê ìû
ðàññìàòðèâàåì êîìïëåêñíûå ïðîñòðàíñòâà, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðîâ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ â äåéñòâèòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå.
Îáîçíà÷èì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x , y â êîìïëåêñíîì
(x y ) . Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ
ïðîñòðàíñòâå ÷åðåç
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
α,β è ëþáûõ âåêòîðîâ x , y , z
(αx + βy z ) = α(x z ) + β (y z ),
(z αx + βy ) = α(z x ) + β(z y ),
ãäå
(1.10.1)
(1.10.2)
α è β - ìíîæèòåëè, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ñ α è β .
Ïîëîæèì, òàê æå, ÷òî âñåãäà
(x x ) ≥ 0 ,
(1.10.3)
à ïðè x = θ
(x x ) = 0 .
Íîðìà âåêòîðà
x=
(x x ) .
(1.10.4)
x îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
(1.10.5)
Êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì,
åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà èç n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ
e1 , e2 ,..., en , ÷åðåç êîòîðûå ìîæíî ëèíåéíî âûðàçèòü êàæäûé âåêòîð
x = x 1e1 + x 2 e2 + ... + x n en .
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
áàçèñå
(1.10.6)
x i íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà x â
e1 , e2 ,..., en . ×èñëî n íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ êîìïëåêñíîãî åâ-
êëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå ìû áóäåì â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü
÷åðåç C (n ) .  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå
íûì ïðîñòðàíñòâîì.
C (n ) íàçûâàþò åù¸ óíèòàð-
32
Ãëàâà ïåðâàÿ
(x + y x + y ).
(x + y x + y ) = (x x ) + (x y ) + (y x ) + (y y ) .
(1.10.7)
Çäåñü â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.10.3) ÷ëåíû (x x ) è (y y ) äåéñòâèòåëüíû,
Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé äîëæíà áûòü è ñóììà
(x y ) + (y x ).
Ðàññìàòðèâàÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
(ix y ) + (y ix ) = −i(x y ) + i(y x ) ,
ïîëó÷èì ïðàâèëî, çàìåíÿþùåå êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
(x y ) = (y x ).
(1.10.8)
Èç ïðèâåä¸ííûõ âûøå ñâîéñòâ 1 – 4 ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
Êîøè
(x y ) ≤ x ⋅ y .
(1.10.9)
Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (1.10.6) ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü êàæäîìó âåê-
(
1
2
n
)
òîðó x ñèñòåìó èç n êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x , x ,..., x . Ïðè ýòîì íå
ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð è åñòü ýòà ñèñòåìà ÷èñåë! Åñëè ìû âîçüì¸ì
äðóãîé áàçèñ
e1′ , e2′ ,..., en′ , òî ïîëó÷èì äëÿ òîãî æå ñàìîãî âåêòîðà x
n
äðóãîå ðàçëîæåíèå
x = ∑ x i′ei′ . Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî çíà÷åi =1
íèÿ êîîðäèíàò âåêòîðà çàâèñÿò êàê îò çíà÷åíèÿ ñàìîãî âåêòîðà, òàê è îò
âûáîðà
(x
áàçèñà.
Ñîâîêóïíîñòü
âñåõ
ñèñòåì
(x , x
1
2
,..., x n ) ,
, x 2′ ,..., x n′ ) ,…, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì áàçèñàì, ïîëíîñòüþ
õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì x (è õàðàêòåðèçóåò åãî). Ýòó ñîâîêóïíîñòü è
1′
ñëåäóåò îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â
C (n ) , êàê è â äåéñòâèòåëüíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå, ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû
åñòü òàêèå, ÷òî
e1 , e2 ,..., en , òî
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
(e e ) = δ
i
k
ik
33
,
(1.10.9)
ãäå
0 (i ≠ k ),
δ ik = 
1 (i = k ).
(1.10.10)
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè, è âñå êîîðäèíàòû áåðóòñÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõ áàçèñîâ.
Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ýéíøòåéíà, çàìåòèì, ÷òî åñëè
x = x i ei , òî
x i = (ei x ) è äëÿ ôèêñèðîâàííîãî áàçèñà e1 , e2 ,..., en èìååì:
x + y = (x i + y i )ei ; λx = λx i ei ;
(x y ) = ∑ x y
n
i
i
.
(1.10.11)
i =1
1.10.2. Èçîìîðôèçì êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ
Ïóñòü íàì çàäàíû äâà êîìïëåêñíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâà C
è C ′ , è ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå)
ϕ , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó âåêòîðó x ïðîñòðàíñòâà C âåêòîð x ′ ïðîñòðàíñòâà C ′ , êîòîðîå ìû áóäåì
çàïèñûâàòü êàê
ϕ : C → C′ .
(1.10.12)
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ, ïðè
êîòîðîì êàæäûé âåêòîð x ′ ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó, è òîëüêî îäíîìó, âåêòîðó x .
Åñëè ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),

ϕ(λx ) = λϕ(x ),

(ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C , 
òî ϕ íàçûâàþò èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ
÷àå íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè.
Îáðàòíîå îòîáðàæåíèå
(1.10.13)
C ,C ′ , êîòîðûå â ýòîì ñëó-
ϕ −1 : Ñ′ → Ñ , ñîïîñòàâëÿþùåå âåêòîðó x ′
34
Ãëàâà ïåðâàÿ
åãî ïðîîáðàç
x , òî åñòü òîò åäèíñòâåííûé âåêòîð x , äëÿ êîòîðîãî
ϕ(x ) = x ′ , îáëàäàåò, î÷åâèäíî, òåìè æå ñâîéñòâàìè (1.10.13) è ÿâëÿåòñÿ
C ′, C .
Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâàõ C è C ′ çàäàíû áàçèñû è òåì ñàìûì êîîð-
èçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ
äèíàòû
x i è x ′i . Òîãäà èçîìîðôèçì ìîæåò áûòü çàäàí óðàâíåíèÿìè âèäà
x ′i = Aij x j .
(1.10.14)
1.10.3. Àíòèèçîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâ
Åñëè âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (1.10.12) óäîâëåòâîðÿåò
âìåñòî (1.10.13) óñëîâèÿì
ϕ(x + y ) = ϕ(x ) + ϕ( y ),

ϕ(λx ) = λ ϕ(x ),

(ϕ(x )ϕ(y ))C′ = (x y )C , 
òî
(1.10.15)
ϕ íàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì ïðîñòðàíñòâ C ,C ′ . Îáðàòíîå îòî-
áðàæåíèå
ϕ −1 òàê æå îêàçûâàåòñÿ àíòèèçîìîðôèçìîì.
Åñëè â C è C ′ çàäàíû áàçèñû, òî àíòèèçîìîðôèçì ìîæåò áûòü
çàäàí óðàâíåíèåì âèäà
x ′i = Aij x j .
(1.10.16)
Ïîäïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî C ñîñòîèò èç âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà C ′ . Òîãäà C íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C ′ , åñëè ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, óìíîæåíèå íà ÷èñëà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â C îïðåäåëåíû òàê æå, êàê â C ′ .
1.10.4. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðîñòðàíñòâî
îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ â
C (∞ ) ,
C (∞ )
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
35
e1 , e2 ,..., en ,... ,
(1.10.17)
òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà
x ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå
∞
x = ∑ x i ei ,
(1.10.18)
i =1
ãäå ñóììèðîâàíèå ðÿäà (àíàëîã (1.10.6)) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå
∞
lim x − ∑ x i ei = 0 .
n →∞
(1.10.19)
i =1
2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ
lim xm − xn = 0 ,
m ,n → ∞
òî ñóùåñòâóåò âåêòîð
xn òàêîâà, ÷òî
(1.10.20)
x0 , ê êîòîðîìó xn ñõîäèòñÿ (àíàëîã êðèòåðèÿ ñõî-
äèìîñòè Êîøè):
lim x n − x0 = 0 .
n →∞
(1.10.21)
Ïðîñòðàíñòâî C (∞ ) , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1 è 2, ïåðå÷èñëåííûì âûøå, íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Âñå ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû äðóã äðóãó.
§1.11. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
Ðàññìîòðåâ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L , ïåðåéä¸ì òåïåðü ê ñàìîìó âàæíîìó ïîíÿòèþ âñåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ – ïîíÿòèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ (îòîáðàæåíèÿ).
L â C (n ) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî (çàêîí, îòîáðàæåíèå), ïî êîòîðîìó êàæäîìó âåêòîðó x ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå
íåêîòîðûé âåêòîð Lx (îáðàç x ), ïðè÷¸ì
L(x + y ) = Lx + Ly ,
(1.11.1à)
Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì
L(λx ) = λL(x ) .
(1.11.1á)
36
Ãëàâà ïåðâàÿ
Ôèêñèðóåì áàçèñ
e1 , e2 ,..., en è îïèøåì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà L â
êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü
Lei = Lij e j , (i = 1,2 ,..., n ) .
Òîãäà äëÿ êàæäîãî x
(1.11.2)
Lx = L x i ei = x i Lei = x i Lij e j ,
(1.11.3)
( )
òàê ÷òî, ïîëàãàÿ
Lx = y , à y = y j e j çàïèøåì
y j = Lij x i .
(1.11.4)
Lij íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé îïåðàòîðà L â áàçèñå
Ìàòðèöà
e1 , e2 ,..., en .
Ïðèìåðû.
1.11.1. Ïóñòü
R(3) òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, L - îïåðàòîð ïðîåê-
òèðóþùèé âåêòîðû
R(3) íà ïëîñêîñòü XY . Ïóñòü e1 , e2 , e3 - åäèíè÷-
íûå âåêòîðû íàïðàâëåííûå ïî îñÿì êîîðäèíàò
Le1 = e1 ,
Le2 = e2 ,
òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà
X , Y , Z , òîãäà
Le3 = 0 ,
L â äàííîì áàçèñå e1 , e2 , e3 èìååò âèä
 1 0 0


 0 1 0 .
 0 0 0


1.11.2. Ïóñòü
ï.6),
R ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n − 1 (ñì. §1.2
L - îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
Âûáåðåì â
R áàçèñ
d
, LP (t ) = P ′(t ) .
dt
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
37
t2
t n −1
e1 = 1 , e2 = t , e3 = , …, en =
.
2
(n − 1)!
Òîãäà
′
 t2 
Le1 = 0 , Le2 = t ′ = 1 = e1 , Le3 =   = t = e2 , …,
2
′
 t n−1 
t n −2
 =
Len = 
= en −1 ,
 (n − 1)!  (n − 2)!
òî åñòü ìàòðèöà îïåðàòîðà
0

0
.

0
0

1
0
.
0
0
L â äàííîì áàçèñå èìååò âèä
0 ... 0 

1 .. 0 
. . ..

0 ... 1 
0 ... 0 
Çàìå÷àíèå.
Íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð
L è ìàòðèöà Lij - ýòî îäíî è òî æå.
Åñëè ìû èçó÷àåì ðàçíûå îïåðàòîðû è ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè â îäíîì è
òîì æå ôèêñèðîâàííîì áàçèñå, ìû ìîæåì ïðåíåáðå÷ü ðàçëè÷èÿìè ìåæäó
îïåðàòîðîì è åãî ìàòðèöåé, òàê êàê îäíî îïðåäåëÿåò äðóãîå. Â äðóãîì áàçèñå òîò æå ñàìûé îïåðàòîð
L áóäåò èçîáðàæàòüñÿ äðóãîé ìàòðèöåé.
Òàê êàê âñå ñèñòåìû êîîðäèíàò ðàâíîïðàâíû, íàáîð ÷èñåë
ðàêòåðèçóåò íå îïåðàòîð
Lij õà-
L , à ñîâîêóïíîñòü îïåðàòîðà è âûáðàííîãî
áàçèñà. Ëèøü ñèñòåìà èç âñåõ ìàòðèö
Lij , Li′j ,... îïåðàòîðà L âî âñåâîç-
ìîæíûõ áàçèñàõ ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíà ñ îïåðàòîðîì L .
Íàñòîÿùèìè îáúåêòàìè òåîðèè ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû è îïåðàòîðû, à
íå êîîðäèíàòû è ìàòðèöû, ïðèçâàííûå îïèñûâàòü âåêòîðû è îïåðàòîðû â ïðîèçâîëüíîì áàçèñå.
38
Ãëàâà ïåðâàÿ
§1.12. Äåéñòâèÿ íàä îïåðàòîðàìè
L è M - îïåðàòîðû â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) .
Ïóñòü
L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð L + M , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåêòîð
Lx + Mx .
 ëþáîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðà L + M èìååò âèä
Ñóììîé îïåðàòîðîâ
(L + M )ij
= Lij + M i j .
(1.12.1)
L íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî λ åñòü îïåðàòîð,
ïåðåâîäÿùèé âåêòîð x â âåêòîð λLx , à åãî ìàòðèöà åñòü
Ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðà
(λL )ij
= λLij .
(1.12.2)
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îïåðàòîðîâ
L è M â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå
C (n ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð LM , ïåðåâîäÿùèé êàæäûé âåêòîð x â âåê-
L(Mx ), òî åñòü ðåçóëüòàò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñíà÷àëà
îïåðàòîðà M , à çàòåì îïåðàòîðà L .
òîð
Ïóñòü
Mei = M ik ek ;
Lek = Lkj e j ,
(1.12.3)
òîãäà
LMei = LM ik ek = Lkj M ik e j
èëè
(LM )ij
= Lkj M ik .
(1.12.4)
Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ LM åñòü îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö L è M â óêàçàííîì
âûøå ïîðÿäêå. Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîðû, êàê è ìàòðèöû, â îáùåì ñëó÷àå
íå «êîììóòèðóþò» LM ≠ ML , òî åñòü, ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ âëèÿåò íà
ðåçóëüòàò.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè îáû÷íûõ çàêîíîâ óìíîæåíèÿ
(êðîìå êîììóòàòèâíîãî!):
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
39
(LM )N = L(MN ),

(λL ) ⋅ M = L ⋅ (λM ) = λ ⋅ (LM ),

L(M + N ) = LM + LN ,


(M + N )L = ML + NL.
Òîæäåñòâåííûé (åäèíè÷íûé) îïåðàòîð
(1.12.4)
E (n ) ïåðåâîäèò êàæäûé
âåêòîð
x â òîò æå ñàìûé âåêòîð:
E (n )x = x .
(1.12.5)
Ìàòðèöà òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ëþáîì áàçèñå åñòü
0 (i ≠ j ),
j
E (n )i = δij = 
1 (i = j ).
Ïóñòü èìååòñÿ îïåðàòîð
(1.12.6)
L â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå C (n ) è ïóñòü
Lx = x ′ , ãäå x ′ åñòü ïðåîáðàçîâàííûé âåêòîð x . Òîãäà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü «îáðàòíûé» îïåðàòîð
L−1 ñîîòíîøåíèåì
x = L−1 x ′ .
(1.12.7)
Îáðàòíûé îïåðàòîð
−1
L èìååò î÷åâèäíûå ñâîéñòâà
L L = LL = E (n ) .
−1
−1
(1.12.8)
−1
Ìàòðèöà L ýòî ïðîñòî ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå L .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáðàòíàÿ îïåðàöèÿ ñóùåñòâóåò, à ýòî, â ñâîþ
î÷åðåäü, íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà
L , à èìåííî, ïðåîáðàçîâàíèå äîëL , ýòî îç-
æíî áûòü âçàèìíî îäíîçíà÷íûì. Ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðèöå
íà÷àåò, ÷òî å¸ äåòåðìèíàíò äîëæåí áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ.
Åñëè
LM = E (n ) , òî L è M íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè
−1
îïåðàòîðàìè: M = L , à L = M
ðàòîðîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
Lkj (L−1 )i = (L−1 )k Lki = δ ij .
k
j
−1
. Ìàòðèöû âçàèìíî îáðàòíûõ îïå(1.12.9)
Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð, îáðàòíûé ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ
äà¸òñÿ âûðàæåíèåì
LM ,
40
Ãëàâà ïåðâàÿ
(LM )−1 = M −1 L−1 ,
(1.12.10)
â êîòîðîì ïåðâîíà÷àëüíûé ïîðÿäîê óìíîæåíèÿ èçìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.
Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Îáðàòíûé îïåðàòîð ïî îïðåäåëåíèþ
(LM )−1 LM = E (n ) . Óìíîæèì îáå ÷àñòè òîæ−1
M −1 , òîãäà (LM ) LMM −1 = E (n )M −1 , èëè
óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó
äåñòâà ñïðàâà íà
(LM )−1 L = M −1 . Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñïðàâà íà
−1
−1
L−1 , òîãäà (LM ) LL−1 = M −1 L−1 , èëè (LM ) = M −1 L−1 .
Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ñðàâíèòü ñ îïåðàöèåé íàäåâàíèÿ íîñêîâ è
áîòèíîê. Ïðè îïåðàöèè îáóâàíèÿ ìû ñíà÷àëà íàäåâàåì íîñêè è ïîòîì
áîòèíêè, ïðè îïåðàöèè ðàçóâàíèÿ áîòèíêè ñíèìàþò âíà÷àëå, à íîñêè
ïîòîì.
T â C (n ) ïåðåâîäèò âåêòîð x â âåêòîð x ′ , à ~
x-â ~
x ′ , òî åñòü Tx = x ′ , à T~
x=~
x ′ . Åñëè ïðè ýòîì èìååòñÿ
~
äðóãîé îïåðàòîð S , ïåðåâîäÿùèé x â x , òî åñòü Sx = ~
x , ðåçîííî çàäàòü âîïðîñ: êàêîé âèä èìååò îïåðàòîð S ′ , ïåðåâîäÿùèé x ′ â ~
x ′ , òî
~
~
åñòü S ′x ′ = x ′ ? Òàê êàê âåêòîðû x ′ è x ′ íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàííûÏóñòü íåêîòîðûé îïåðàòîð
T ), îïåðàòîð S ′ ìîæíî íàçâàòü òðàíñôîðìèðîâàííûì îïåðàòîðîì. ×òîáû âûðàçèòü S ′ ÷åðåç èñõîäíûå îïåðàòîðû, çàìåòèì, ÷òî ~
x ′ = T~
x = TSx = TST −1 x′ , òî åñòü
ìè (òî åñòü òðàíñôîðìèðîâàííûìè îïåðàòîðîì
S ′ = TST −1 .
(1.12.11)
 ïðèìåðå ñ îáóâàíèåì è ðàçóâàíèåì, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü T
êàê îïåðàöèþ íàäåâàíèÿ íîñêà, à S - êàê îïåðàöèþ åãî øòîïêè. Åñëè
íîñîê óæå íà íîãå, òî åãî íàäî ñíà÷àëà ñíÿòü, îïåðàöèÿ T
òîïàòü
(S ) è, íàêîíåö, ñíîâà íàäåòü åãî (T ) .
−1
, çàòåì çàø-
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
41
§1.13. Ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð
1. Ñâÿçü ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ áèëèíåéíûìè ôîðìàìè â
Âñÿêîìó îïåðàòîðó
áèëèíåéíàÿ ôîðìà
C (n ) .
L îòâå÷àåò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå C (n )
L(x; y ), çàäàííàÿ ôîðìóëîé
L(x; y ) ≡ (Lx y ).
Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ
L(x; y ) ≡ (Lx y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
îïðåäåëÿþùèì áèëèíåéíóþ ôîðìó:
(L(x + y ) z ) = (Lx + Ly z ) = (Lx z )+ (Ly z ),
(Lλx y ) = (λLx y ) = λ (Lx y ) ,
(z L(x + y )) = (z Lx + Ly ) = (z Lx )+ (z Ly ),
(x Lµy ) = (x µLy ) = µ (x Ly ) .
Ïîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü
ñèðóÿ â
L(x; y ) áèëèíåéíàÿ ôîðìà â C (n ) . Ôèê-
C (n ) áàçèñ e1 ,..., en è ïîëàãàÿ x = x i ei , à y = y k ek çàïèøåì
L(x; y ) â âèäå
L(x; y ) = L11 x1 y 1 + L12 x1 y 2 + ... + L1n x1 y n +
+ L12 x 2 y 1 + L22 x 2 y 2 + ... + Ln2 x 2 y n +
.................................................
(1.13.1)
+ L1n x n y 1 + L2n x n y 2 + ... + Lnn x n y n .
Ïðåäñòàâèì (1.13.1) â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïåðåïèñàâ åãî
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
42
Ãëàâà ïåðâàÿ
(
+ (L x
)
)y
L(x; y ) = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n y 1 +
2 1
1
+ L x + ... + L x
2
2
2
2
n
n
2
+
(1.13.2)
............................................
(
)
+ L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n y n .
Ïðèìåì âûðàæåíèÿ ñòîÿùèå â ñêîáêàõ çà êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî
âåêòîðà z :
z 1 = L11 x1 + L12 x 2 + ... + L1n x n ,
z 2 = L12 x1 + L22 x 2 + ... + L2n x n ,
(1.13.3)
.............................,
z n = L1n x1 + Ln2 x 2 + ... + Lnn x n .
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð
ïîìîùüþ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
ìàòðèöå
z ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà x ñ
L ñ ìàòðèöåé, òðàíñïîíèðîâàííîé ê
L áèëèíåéíîé ôîðìû L(x; y ) (1.13.1).
j
i
Ïîëàãàÿ
z = Lx , ñ ó÷¸òîì (1.10.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
L(x; y ) = z 1 y 1 + z 2 y 2 + ... + z n y n = (Lx y ).
Òàêèì îáðàçîì, âñÿêîé áèëèíåéíîé ôîðìå
òàêîé îïåðàòîð
L , ÷òî L(x; y ) ≡ (Lx y ).
L(x; y ) â C (n ) îòâå÷àåò
Ñêàçàííîå âûøå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåé òåîðåìû:
Òåîðåìà 1.13.1. Ôîðìóëà
L(x; y ) ≡ (Lx y )
óñòàíàâëèâàåò â
(1.13.4)
C (n ) âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó áèëè-
íåéíûìè ôîðìàìè L(x; y ) è ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè L .
Îäíîçíà÷íîñòü (1.13.4) óêàçûâàåò íà íåçàâèñèìîñòü ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ îò âûáîðà áàçèñà.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàæäóþ áèëèíåéíóþ ôîðìó ìîæíî ïðåäñòà-
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
43
âèòü â âèäå
 + 
L(x; y ) =  x L y  .


(1.13.5)
Äëÿ ýòîãî â ôîðìóëå (1.13.1) âûíåñåì çà ñêîáêè êîîðäèíàòû âåêòîðà
(
(L y
x:
)
)+
L(x; y ) = x1 L11 y 1 + L12 y 2 + ... + L1n y n +
+ x2
2
1
1
+ L22 y 2 + ... + L2n y n
...............................................
(
)
= x (L y + L y + ... + L y )+
+ x (L y + L y + ... + L y )+
+ x n L1n y 1 + Ln2 y 2 + ... + Lnn y n =
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
n
2
n
2
n
n
...............................................
(
)
 + 
+ x n L1n y 1 + L2n y 2 + ... + Lnn y n =  x L y .


Ïðè ýòîì ìàòðèöà îïåðàòîðà
+
L , ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû îïåðàòî-
ðà L â ëþáîì îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàííîé è
çàìåíîé å¸ ýëåìåíòîâ êîìïëåêñíî ñîïðÿæ¸ííûìè, òî åñòü
+
Lij = Lij .
(1.13.6)
2. Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò îïåðàòîðà
Ïóñòü
+
L ê ñîïðÿæ¸ííîìó îïåðàòîðó L .
+
L îïåðàòîð â C (n ) . Îïåðàòîð L , îïðåäåë¸ííûé óñëîâèåì
(Lx y ) =  x L y  ,
+


íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæ¸ííûì ê îïåðàòîðó
L.
44
Ãëàâà ïåðâàÿ
Òåîðåìà 1.13.2. Â
C (n ) êàæäîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó L îòâå÷à+
åò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð L è ïðèòîì òîëüêî îäèí.
Äàííàÿ òåîðåìà ïðÿìî ñëåäóåò èç (1.13.4) è (1.13.5).
(Lx y ) = L(x; y ) =  x L y  .
+


+
Ìàòðèöà
+
Lij ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà L ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû
Lij îïåðàòîðà L â îðòîãîíàëüíîì áàçèñå ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàííîé è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ìàòðèöå
Lij . Îïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò L ê
+
L óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1.
+
+
+
(LM ) = M L ,
+
+
2.  L  = L ,
 
+
+
+
3.
(L + M ) = L+ M ,
4.
(λL ) = λ L ,
5.
(E (n )) = E (n ).
+
+
+
§1.14. Óíèòàðíûé îïåðàòîð
Îïåðàòîð U íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì (îðòîãîíàëüíûì), åñëè îí ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, òî åñòü
(Ux Uy ) = (x y ).
(1.14.1)
Ìû âèäèì, ÷òî óíèòàðíûé îïåðàòîð U ñîõðàíÿåò äëèíû âåêòîðîâ
è, ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷åí äâèæåíèÿì îáû÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, òàêèì
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
45
îáðàçîì óíèòàðíûå îïåðàòîðû, ïî îïðåäåëåíèþ, çàäàþò äâèæåíèÿ êîì-
ïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà C (n ) .
Ñâîéñòâî (1.14.1) ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
óíèòàðíûé îïåðàòîð èìååò îáðàòíûé, òî åñòü ÷òî óðàâíåíèå
ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì
Ïîëàãàÿ â (1.13.3)
Ux = y
y , è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì.
Ux = z , x = U −1 z èìååì: (z Uy ) = (U −1 z y ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà
+

U z y  = (z Uy ) ; ñëåäîâàòåëüíî,


+
U = U −1 .
(1.14.2)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç (1.14.2) ñëåäóåò (1.14.1).
 êîîðäèíàòàõ (1.14.2) çàïèøåòñÿ â âèäå
(U )
−1 j
i
+
= U i j = U ji .
Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö U i
(1.14.3)
j
, (U −1 )i äîëæíî áûòü ðàâíî (ïðè ëþáîì
j
ïîðÿäêå óìíîæåíèÿ) åäèíè÷íîé ìàòðèöå, îòêóäà

U kj = δ ik ,
j =1


n
i
k
ik 
U jU j = δ .
∑

j =1
n
∑U
j
i
(1.14.4)
§1.15. Ýðìèòîâ îïåðàòîð
Ýðìèòîâûì èëè ñàìîñîïðÿæåííûì íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, ðàâíûé
ñâîåìó ñîïðÿæåííîìó, òî åñòü
(Hx y ) = (x Hy )
(1.15.1)
èëè â êîîðäèíàòàõ
H i j = H ij ,
(1.15.2)
46
Ãëàâà ïåðâàÿ
ïðè÷åì, ñâîéñòâî (1.15.2) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè çàìåíå áàçèñà.
Ñâîéñòâî îïåðàòîðà áûòü óíèòàðíûì (èëè ýðìèòîâûì) íå çàâèñèò
îò ñèñòåìû êîîðäèíàò, à òîëüêî îò õàðàêòåðà åãî äåéñòâèÿ íà âåêòîðû.
Ïîä÷åðêí¸ì, òàê æå, ÷òî ïîíÿòèÿ óíèòàðíûõ è ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ èìåþò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíû âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Êàæäîìó îïåðàòîðó
L ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî
det L , íàçûâàåìîå îïðåäåëèòåëåì îïåðàòîðà L .
Ïóñòü â áàçèñå
áàçèñå
öû
e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð L èìååò ìàòðèöó (Lij )e , à â
e1′ , e2′ ,..., e′n ìàòðèöó (Lij )e′ , òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ìàòðè-
Le è Le′ ïîäîáíû, òî åñòü
Le′ = ULeU −1 ,
(1.13.9)
ãäå óíèòàðíàÿ ìàòðèöà
ïåðåâîäÿùèé
U èçîáðàæàåò â áàçèñå e1 , e2 ,..., en îïåðàòîð,
ei â ei′ , i = 1,2 ,..., n .
Òàê êàê ïðè óìíîæåíèè ìàòðèö èõ îïðåäåëèòåëè ïåðåìíîæàþòñÿ,
det (U −1 ) = (det U ) , det Le′ = det Le . Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü
ìàòðèöû îïåðàòîðà L íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà è ìîæåò áûòü íàçâàí îïðåäåëèòåëåì ñàìîãî îïåðàòîðà L .
òî
−1
Îïðåäåëèòåëü óíèòàðíîãî îïåðàòîðà åñòü ÷èñëî, ìîäóëü êîòîðîãî
ðàâåí åäèíèöå.
Îïåðàòîð, îïðåäåëèòåëü êîòîðîãî ðàâåí åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ óíèìîäóëÿðíûì.
Îòìåòèì åù¸ êëàññ ïðîåêòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ, èãðàþùèõ âàæíóþ
ðîëü â òåîðèè îïåðàòîðîâ.
§1.16. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð
Ïóñòü êîìïëåêñíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
âèäå îðòîãîíàëüíîé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ
C (n ) = C (k ) ⊕ C (l ).
C (n ) ïðåäñòàâëåíî â
C (k ) è C (l ):
(1.16.1)
Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà
47
Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäûé âåêòîð x ïðîñòðàíñòâà
ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó
C (n ) îäíîçíà÷íî
x = x ′ + x ′′ ,
ãäå x ′ ëåæèò â
(1.16.2)
C (k ) , à x ′′ - â C (l ) è (x ′ x ′′) = 0 . Îïåðàòîð P , ñòàâÿùèé
â ñîîòâåòñòâèå âåêòîðó x åãî ïðîåêöèþ x ′ íà ïîäïðîñòðàíñòâî C (k ) ,
íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèðóþùèì. Ïðîåêòèðóþùèé îïåðàòîð ýðìèòîâ è èäåìïîòåíòåí:
(Px y ) = (x Py ),
P2 = P .
(1.16.3)
Îáðàòíî, âñÿêèé îïåðàòîð â C (n ) , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè
(1.16.3), ÿâëÿåòñÿ, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ïðîåêòèðóþùèì; ïîäïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîå îí ïðîåêòèðóåò, ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ âèäà
x ïðîáåãàåò âñ¸ ïðîñòðàíñòâî C (n ) .
Px , ãäå
§1.17. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â
êîìïëåêñíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
Òåîðåìà 1.17.1. Ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð
åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà
L êîìïëåêñíîãî
C (n ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
L = M + iN ,
ãäå M è N - ýðìèòîâû îïåðàòîðû.
(1.17.1)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå (1.17.1) âîçìîæíî;
òîãäà
+
+
+
+
+
L = M + (iN ) = M − i N = M − iN ,
òàê êàê
+
+
M = M è N = N â ñèëó ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðîâ M è N .
Èç ðàâåíñòâ
+
L = M + iN è L = M − iN íàõîäèì, ÷òî
1 +

M =  L+ L  ,
2

i+

N =  L− L  .
2

(1.17.2)
48
Ãëàâà ïåðâàÿ
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîðû (1.17.2) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ñà-
ìîñîïðÿæ¸ííûìè è ÷òî L = M + iN .
Ïðåäñòàâëåíèå L = M + iN íàïîìèíàåò ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íà âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè.
Òåîðåìà 1.17.2. Êàæäûé íåâûðîæäåííûé îïåðàòîð
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
L = UH ,
L â C (n ) ìîæ(1.17.3)
ãäå U - óíèòàðíûé îïåðàòîð (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ïî ìîäó-
H - ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¸ííûé ýðìèòîâ îïåðàòîð. Òàêîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà L íàïîìèíàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ
ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ãäå ρ > 0 , à ÷èñëî
ëþ ðàâíû åäèíèöå), à
cosϕ + i sin ϕ ïî ìîäóëþ ðàâíî åäèíèöå.