Первоначальные понятия симплектической геометрии

Ïåðâîíà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè
Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ
ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ
Ãîõìàí À.Â.
Ñàðàòîâ 2009
2
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå
1. Ïîëèëèíåéíûå ôîðìû â êîíå÷íîìåðíîì âåùåñòâåííîì ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå
2. Àëãåáðà âíåøíèõ ôîðì.
3. Ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
3.1. Ïðèìåðû ñèìïëåêòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
3
3
6
7
10
12
3
Ââåäåíèå
Êàê ýòî ñëåäóåò èç íàçâàíèÿ, ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé, ïîäîáíî
òîìó, êàê åâêëèäîâî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ñ
çàäàííûì â íåì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ - ñèììåòðè÷íîé (ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííîé) íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé.  ñëó÷àå ñèìïëåêòè÷åñêîãî
ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ ñòðóêòóðà çàäàåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé
íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé.  ñâÿçè ñ ýòèì íàïîìíèì ÷èòàòåëÿì
(ñòóäåíòàììàòåìàòèêàì) íåîáõîäèìûå ýëåìåíòû âíåøíåé àëãåáðû (çíàêîìñòâî ñ
êîòîðîé ïðåäïîëàãàåòñÿ â îáùåì êóðñå Ãåîìåòðèÿ è àëãåáðà) ïðèìåíèòåëüíî ê
âíåøíèì ôîðìàì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷àåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâìàòåìàòèêîâ,
ïèøóùèõ êóðñîâûå è äèïëîìíûå ðàáîòû, ñâÿçàííûå ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèåé
è åå ïðèëîæåíèÿìè.
1. Ïîëèëèíåéíûå ôîðìû â êîíå÷íîìåðíîì âåùåñòâåííîì ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå
Ïóñòü Vn = V - âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n. Ïóñòü äàëåå
p
V × . . . × V = X V - äåêàðòîâà ñòåïåíü ìíîæåñòâà V è R ïîëå âåùåñòâåííûõ
p
÷èñåë. Îòîáðàæåíèå X V → R, ëèíåéíîå ïî êàæäîìó àðãóìåíòó íàçûâàåòñÿ
ïîëèëèíåéíîé ôîðìîé ïîðÿäêà p íà ïðîñòðàíñòâå V . Ìíîæåñòâî âñåõ ïîëèëèíåéíûõ
ôîðì ïîðÿäêà p îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Lp îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííûõ
(êàêèõ èìåííî?) îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Â
÷àñòíîñòè ïðîñòðàíñòâî L1 åñòü íè÷òî èíîå, êàê ïðîñòðàíñòâî V ∗ ñîïðÿæåííîå ê
ëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó V .
 ìíîæåñòâå L âñåõ ïîëèëåéíûõ ôîðì ââîäèòñÿ îïåðàöèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ,
îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè α ∈ Lp , β ∈ Lq , òî ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî
óìíîæåíèÿ íàä íèìè, îáîçíà÷àåìûé α ⊗ β ÿâëÿåòñÿ ïîëèëèíåéíîé ôîðìîé ïîðÿäêà
p + q:
α ⊗ β(v1 , . . . , vp , vp+1 , . . . , vp+q ) = α(v1 , . . . , vp ) · β(vp+1 , . . . , vp+q ),
(1.1)
ãäå vi âåêòîðà ïðîñòðàíñòâà V . Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü
ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ ýòîé îïåðàöèè. Ïóñòü α ∈ Lp , β ∈ Lq , γ ∈ Lr . Òîãäà
(α ⊗ β) ⊗ γ = α ⊗ (β ⊗ γ), k(α ⊗ β) = (kα) ⊗ β = α ⊗ (kβ),
(α1 + α2 ) ⊗ γ = α1 ⊗ γ + α2 ⊗ γ, γ ⊗ (α1 + α2 ) = γ ⊗ α1 + γ ⊗ α2 .
Ïðåäëîæåíèå 1.1 Åñëè dim V = n, òî dim Lp = np .
(1.2)
4
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (εi ) êàêîé-íèáóäü áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V ∗ . Òîãäà
óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà ôîðì (εi1 ⊗ . . . ⊗ εip ) ïîðÿäêà p, ãäå 1 ≤ ik ≤ n îáðàçóåò
áàçèñ â Lp , ñîñòîÿùèé èç np ýëåìåíòîâ.
Ïóñòü Sp ãðóïïà ïîäñòàíîâîê ïîðÿäêà p. Îïðåäåëèì åå äåéñòâèå íà ïðîñòðàíñòâå
p
L ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü s ∈ Sp è α ∈ Lp . Òîãäà
(sα)(v1 , . . . , vp ) = α(vs−1 (1) , . . . , vs−1 (1) ).
(1.3)
Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî
(s2 ◦ s1 )α = s2 (s1 α),
(1.4)
s(l1 α1 + l2 α2 ) = l1 (sα1 ) + l2 (sα2 ).
(1.5)
è
 êàæäîì ïðîñòðàíñòâå Lp âûäåëþþòñÿ 2 âàæíûõ êëàññà ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà α ∈ Lp íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëè
äëÿ êàæäîé ïîäñòàíîâêè s ∈ Sp
sα = α
(1.6)
è êîñîñèììåòðè÷íîé, åñëè
sα = (signs)α.
(1.7)
Ìíîæåñòâî âñåõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ôîðì ïîðÿäêà p îáðàçóåò ïîäïðîñòðàíñòâî â Lp ,
êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ Ap .
Ïðèìåðîì ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû ñëóæèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â
êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå Rn , êîòîðîå â êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàåòñÿ
ôîðìóëîé
n
X
α(x̄, ȳ) =
xi y i , ãäå x̄ = (x1 , . . . , xn ).
i=1
Ïðèìåðîì êîñîñèììåòðè÷íîé ôîðìû ïîðÿäêà n â ýòîì æå ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëèòåëü
¯
¯
¯ x1 . . . x n ¯
¯ 1
1¯
¯
¯
δ(x̄1 , . . . , x̄n ) = ¯. . . . . . . . . . .¯ .
¯
¯ 1
¯xn . . . xnn ¯
Çàìå÷àíèå. Êîñîñèììåòðè÷íûå ôîðìû íàçûâàþò åùå àíòèñèììåòðè÷íûìè,
çíàêîïåðåìåííûìè èëè âíåøíèìè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà áûëà ñèììåòðè÷íîé, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà íå èçìåíÿëàñü ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáîé ïàðû àðãóìåíòîâ,
è êîñîñèììåòðè÷íîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòà ôîðìà ìåíÿëà çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå ëþáîé ïàðû åå àðãóìåíòîâ. Áîëåå òîãî, ôîðìà α êîñîñèììåòðè÷íà, åñëè
îíà îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ëþáûõ äâóõ îäèíàêîâûõ àðãóìåíòàõ. Êîíå÷íî, ýòî óñëîâèå
ÿâëÿåòñÿ è íåîáõîäèìûì.
5
 äàëüíåéøåì îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì òàê íàçûâàåìûé îïåðàòîð àëüòåðíèðîâàíèÿ
(àëüòåðíàòîð) Alt, êîòîðûé ïåðåâîäèò ïðîèçâîëüíóþ ïîëèëèíåéíóþ ôîðìó ïîðÿäêà
p âî âíåøíþþ ôîðìó òîãî æå ïîðÿäêà. Àëüòåðíàòîð îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé
ôîðìóëîé
X
Alt(α) =
(signs)sα.
(1.8)
s∈ Sp
Î÷åâèäíî, íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ àëüòåðíàòîðà ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ
ôîðìà. ßñíî, ÷òî Alt(α) ÿâëÿåòñÿ ôîðìà ïîðÿäêà p. Âîñïîëüçóåìñÿ äàëåå
îïðåäåëåíèåì âíåøíåé ôîðìû (1.7), à èìåííî, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè
t ∈ Sp âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
t(Alt(α)) = signt(Alt(α)).
(1.9)
Èòàê, ðàññìîòðèì âûðàæåíèå t(Alt(α)) è çàéìåìñÿ åãî ïðåîáðàçîâàíèåì.
X
X
t(Alt(α)) = t(
(signs)sα) =
(signs)t(sα) =
= (signt)2
X
s∈ Sp
s∈ Sp
(signs)(t ◦ s)α = signt
s∈ Sp
= signt
X
X
(signt)(signs)(t ◦ s)α =
s∈ Sp
(sign(t ◦ s))(t ◦ s)α.
s∈ Sp
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäñòàíîâîê ïîðÿäêà p îáðàçóåò ãðóïïó è,
ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ïðîèçâåäåíèé t ◦ s ïðè ôèêñèðîâàííîì t è ïðîèçâîëüíîì
s ïðîáåãàåò âñå ìíîæåñòâî ïîäñòàíîâîê Sp ïîëó÷àåì
X
t(Alt(α)) = signt
(signr)rα = signtAlt(α).
r∈ Sp
Çàìåòèì, ÷òî åñëè α ∈ Ap âíåøíÿÿ ôîðìà ïîðÿäêà p, òî
Alt(α) = p!α.
(1.12)
Ðàññìîòðèì åùå îäíî ñâîéñòâî àëüòåðíàòîðà, êîòîðîå îêàæåòñÿ ïîëåçíûì â
äàëüíåéøåì.
Ïðåäëîæåíèå 1.3.Ïóñòü α ∈ Lp è β ∈ Lq . Òîãäà
Alt((Alt(α)) ⊗ β) = p!Alt(α ⊗ β).
P
Alt(Alt(α) ⊗ β)
=
sign(s)s(Alt(α)
(1.13)
Äåéñòâèòåëüíî,
⊗ β)
=
s∈ Sp+q
P
P
sign(s)s(
sign(t)(tα ⊗ β). ×òîáû ñîâåðøèòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ,
s∈ Sp+q
t∈ S p
ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïîäñòàíîâêè ïîðÿäêà p + q ñëåäóþùåãî âèäà
Ã
!
1
.
.
.
p
p
+
1
.
.
.
p
+
q
t0 =
.
t(1) . . . t(p) p + 1 . . . p + q
6
P P
Òîãäà tα ⊗ β = t0 (α ⊗ β) è Alt((Alt(α)) ⊗ β) =
sign(s ◦ t0 )s(t0 (α ⊗ β)) =
0
s∈ Sp+q t
P P
P P
=
sign(s ◦ t0 )s ◦ t0 (α ⊗ β) =
sign(r)r(α ⊗ β) = p!Alt(α ⊗ β).
t0 s∈ Sp+q
t0 r∈ Sp+q
 äàëüíåéøåì íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü â îñíîâíîì áèëèíåéíûå ôîðìû. Ýòè ôîðìû
õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâîèì ðàíãîì. Åñëè (ei ) íåêîòîðûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå Vn , à εi
åìó âçàèìíûé áàçèñ â ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå V ∗ , òî êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå
äëÿ α ∈ L2
α = αij εi ⊗ εj , αij = α(ei , ej ).
Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (αij ) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ôîðìû, êîòîðàÿ,
êîíå÷íî, çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà (ei ). Îäíàêî, êàê õîðîøî èçâåñòíî, ðàíã ýòîé
ìàòðèöû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Îí íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ôîðìû. Åñëè ðàíã ìàòðèöû
ðàâåí ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà n, òî äàííàÿ áèëèíåéíàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ
íåâûðîæäåííîé.
2. Àëãåáðà âíåøíèõ ôîðì.
Ïóñòü Ap ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âíåøíèõ ôîðì ïîðÿäêà p è ïóñòü A
ìíîæåñòâî âñåõ âíåøíèõ ôîðì. Òàê êàê â n-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V
ïðîñòðàíñòâà Ap ïðè p > n èìåþò íóëåâóþ ðàçìåðíîñòü, òî ìîæíî ïîñòðîèòü ïðÿìóþ
ñóììó ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, îòîæäåñòâëÿÿ îäíîðîäíóþ ôîðìó α ∈ Ap ñ ýëåìåíòîì
ïðÿìîé ñóììû âèäà (0, . . . , 0, α , 0, . . .). Â ýòîé ïðÿìîé ñóììå ìîæíî ââåñòè íîâóþ
p
îïåðàöèþ òàê íàçûâàåìîãî âíåøíåãî óìíîæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè ýòîì ìû
ïîëó÷èì àëãåáðó âíåøíèõ ôîðì.
Ïóñòü α ∈ Ap è β ∈ Aq . Èõ âíåøíèì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ ôîðìà α∧β ∈ Ap+q ,
îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé
1 1
α∧β =
Alt(α ⊗ β).
(2.1)
p! q!
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ òåíçîðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâîéñòâà àëüòåðíàòîðà
çàêëþ÷àåì, ÷òî α ∧ β âíåøíÿÿ ôîðìà ïîðÿäêà p + q . Íàïðèìåð, åñëè α, β ôîðìû
ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî
¯
¯
¯α(v) α(w)¯
1 1 X
¯
¯
α ∧ β(v, w) =
sign(s)(α ⊗ β)(v, w) = ¯
¯.
¯β(v) β(w)¯
1! 1! s∈ S
2
Èç ðàññìîòðåííîé â îáùåì êóðñå âíåøíåé àëãåáðû ñëåäóþò ôîðìàëüíûå ñâîéñòâà
âíåøíåãî óìíîæåíèÿ. Åñëè α ∈ Ap , β ∈ Aq , γ ∈ Aγ , òî
1)
2)
3)
4)
(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ),
(α1 + α2 ) ∧ β = α1 ∧ β + α2 ∧ β
k(α ∧ β) = (kα) ∧ β = α ∧ (kβ),
α ∧ β = (−1)pq β ∧ α.
(2.2)
7
Âíåøíÿÿ ôîðìà α íàçûâàåòñÿ ðàçëîæèìîé, åñëè åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âíåøíåå
ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ôîðì: α = α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp .
Ïðåäëîæåíèå 2.1. Åñëè α ðàçëîæèìàÿ p ôîðìà, òî
α(v1 , . . . , vp ) = α1 ∧ . . . ∧ αp (v1 , . . . , vp ) = det(αi (vj )).
(2.3)
Ñíà÷àëà äîêàæåì ëåììó
α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp = Alt(α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αp ).
(2.4)
Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî α1 ∧ α2 = Alt(α1 ⊗ α2 ) è ïðåäëîæåíèå (1.3),
âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè: α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αp−1 ∧ αp = (α1 ∧
1
1
Alt(Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ) ⊗ αp ) =
. . . ∧ αp−1 ) ∧ αp = (Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 )) ∧ αp =
(p − 1)! 1!
Alt((α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ) ⊗ αp ) = Alt(α1 ⊗ . . . ⊗ αp−1 ⊗ αp ).
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ:
α1 ∧ . . . ∧ αp (v1 , . . . , vp )
=
P
Alt(α1 ⊗ α2 ⊗ . . . ⊗ αp )(v1 , . . . , vp ) =
sign(s)s(α1 ⊗ . . . ⊗ αp )(v1 , . . . , vp ) =
s∈ Sp
P
sign(s)α1 (vs(1) ) · . . . · αp (vs(p) ) = det(αi (vj )), i, j = 1 . . . p.
s∈ Sp
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü
Ïðåäëîæåíèå 2.2. Åñëè dim V = n è p ≤ n, òî dim Ap = Cnp .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ ïîêàæåì, ÷òî óïîðÿäî÷åííàÿ ñèñòåìà
i1
(ε ∧ . . . ∧ εip ), i1 < i2 < . . . < ip âíåøíèõ p-ôîðì ñîñòàâëÿåò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
Ap , ãäå (εi ) áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V ∗ .
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü li1 ...ip εi1 ∧ . . . ∧ εip = 0. Îòñþäà ñëåäóåò
(li1 ...ip εi1 ∧ . . . ∧ εip )(ej1 , . . . , ejp ) = 0,
ãäå j1 < . . . < jp
äëÿ âåêòîðîâ áàçèñà (ek ) âçàèìíîãî ê áàçèñó (εi ). Íî ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ (2.2)
¯
¯
¯εj1 (e ) . . . εj1 (e )¯
j1
jp ¯
¯
¯
¯
εi1 ∧ . . . ∧ εip (ej1 , . . . , ejp ) = ¯. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .¯ .
¯ j
¯
¯ε p (ej1 ) . . . εjp (ejp )¯
Ïðè ýòîì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ ïðè (j1 . . . jp ) 6= (i1 . . . ip ) è åäèíèöå
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî li1 ...ip = 0.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî âñÿêóþ p ôîðìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé
êîìáèíàöèè ôîðì εi1 ∧ . . . ∧ εip . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè α ∈ Ap , òî α = α(ei1 , . . . , eip )εi1 ∧
. . . ∧ εip , i1 < . . . < ip .
Äàëåå îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì áàçèñå Cnp ýëåìåíòîâ.
3. Ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñèìïëåêòè÷åñêèì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ
÷åòíîìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Vn , â êîòîðîì çàäàíà âíåøíÿÿ íåâûðîæäåííàÿ
áèëèíåéíàÿ ôîðìà ω .
8
Ââèäó áîëüøîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå â äàííîì îïðåäåëåíèè èìååò íåâûðîæäåííîñòü
ôîðìû ω , íàïîìíèì î íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ íåâûðîæäåííîñòè áèëèíåéíîé
âíåøíåé ôîðìû.
1. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà íåâûðîæäåííà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ
ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà v íàéäåòñÿ âåêòîð w òàêîé, ÷òî ω(v, w) 6= 0.
2. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà α ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ãîìîìîðôèçì ϕα : V → V ∗ , çàäàâàåìûé ôîðìóëîé (ϕα (v))(x) = α(x, v)
ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì.
Ïî àíàëîãèè ñ åâêëèäîâûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà
ω òðàêòóåòñÿ êàê áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ íàä âåêòîðàìè, íàçûâàåìàÿ êîñûì èëè
êîñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì:
hv, wi = ω(v, w).
(3.1)
Î÷åâèäíî, èç ôîðìóëû (1.3) ñëåäóþò ôîðìàëüíûå ñâîéñòâà ýòîé îïåðàöèè:
1)
2)
3)
4)
hv, wi = −hw, vi;
hv1 + v2 , wi = hv1 , wi + hv2 , wi;
hkv, wi = khv, wi, k ∈ R;
(∀v 6= 0)(∃w) hv, wi 6= 0.
(3.2)
Åñëè hv, wi
=
0 âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíûìè. Íàïðèìåð,
äâà êîëëèíåàðíûõ âåêòîðà êîñîîðòîãîíàëüíû â ñèìïëåêòè÷åñêîì ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå.
Âàæíûì ñâîéñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå
èçîìîðôèçìà ϕω : V → V ∗ , êîòîðûé íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì
Iω .  êîîðäèíàòàõ êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçì çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
(Iω (v))k = v i ωki = ωki v i
(3.3)
îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà (ek ) è åãî ñîïðÿæåííîãî.
Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà,
àíàëîãè÷íûì åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå â íåì êëàññà
ñïåöèàëüíûõ áàçèñîâ. Ýòîò ôàêò îïèðàåòñÿ íà èçâåñòíóþ, òàê íàçûâàåìóþ
ëèíåéíóþ òåîðåìó Äàðáó.
Òåîðåìà 3.2 (Ëèíåéíàÿ òåîðåìà Äàðáó) Äëÿ ëþáîé âíåøíåé áèëèíåéíîé ôîðìû
α â n-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóåò öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî
s, 2s ≤ n è òàêîé áàçèñ (e1 , e2 , . . . , en ) â ïðîñòðàíñòâå V , ÷òî
α = ε1 ∧ ε2 + ε3 ∧ ε4 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s ,
ãäå εi (ek ) = δki .
(3.4)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî αij = α(ei , ej ) íàì íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå
òàêîãî áàçèñà, äëÿ êîòîðîãî he1 , e2 i = he3 , e4 i = . . . = he2s−1 , e2s i = 1, he2 , e1 i =
he4 , e3 i = . . . = he2s , e2s−1 i = −1 è äëÿ îñòàëüíûõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ èõ êîñîå
9
ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé
èíäóêöèè ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà V .
Äëÿ n = 0, 1 òåîðåìà ñïðàâåäëèâà, òàê êàê â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ èìåþòñÿ
òîëüêî íóëåâûå áèëèíåéíûå âíåøíèå ôîðìû. Ïóñòü, òåïåðü n ≥ 2. Ïðè ýòîì áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ôîðìû îòëè÷íû îò íóëÿ, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
òåîðåìà î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà.
Èòàê, ïóñòü òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ ðàçìåðíîñòåé ìåíüøèõ n, äîêàæåì
åå ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ ðàçìåðíîñòè n. Òàê êàê ôîðìà α 6= 0, òî íàéäóòñÿ äâà
íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà (ïðè÷åì, ïåðâûé èç íèõ ìîæåò áûòü ëþáûì îòëè÷íûì îò
íóëÿ) x0 , y0 òàêèõ, ÷òî α(x0 , y0 ) 6= 0. Âîçüìåì òîãäà â êà÷åñòâå ïåðâûõ äâóõ âåêòîðû
y0
e1 = x0 ,
e2 =
(3.5)
α(x0 , y0 )
è çàìåòèì, ÷òî he1 , e2 i = 1.
Ðàññìîòðèì äàëåå ÿäðà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ϕα (e1 ), ϕα (e2 ). Òàê êàê
dim ϕα (e1 ) = dim ϕα (e2 ) = n − 1 è ýòè ÿäðà íå ñîâïàäàþò, òî dim P =
T
dim(ϕα (e1 ) ϕα (e2 )) = n − 2. Êðîìå òîãî, ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâà P è
ïîäïðîñòðàíñòâà B , íàòÿíóòîãî íà âåêòîðà e1 , e2 ïóñòî. Ñëåäîâàòåëüíî,
V = P ⊕ B.
(3.6)
Ïî ïðåäëîæåíèþ èíäóêöèè â ïîäïðîñòðàíñòâå P äëÿ ôîðìû α|p ñóùåñòâóåò èñêîìûé
áàçèñ (e3 , e4 , . . . , e2s ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîðà e3 , e4 , . . . , e2s ïðèíàäëåæàò ÿäðàì
ϕα (e1 ), ϕα (e2 ), ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ (e1 , e2 , e3 , e4 , . . . , e2s ) îáðàçóåò èñêîìûé
áàçèñ, òî åñòü èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå
α = ε1 ∧ ε2 + ε3 ∧ ε4 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s .
¤
Ïîëó÷åííûé áàçèñ íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì.
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû.
1. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå èìååò âèä


0 1 0 0 ... 0 0 ... 0 0
−1 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0




 0 0 0 1 . . . 0 0 . . . 0 0


 0 0 −1 0 . . . 0 0 . . . 0 0


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


,

 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . 0 0


 0 0 0 0 . . . −1 0 . . . 0 0


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 0 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0
0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0
(3.7)
10
ãäå íåíóëåâûìè ÿâëÿþòñÿ ïåðâûå 2s ñòðî÷åê è ñòîëáöîâ.
2.  íå÷åòíîìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà íå ìîæåò
áûòü íåâûðîæäåííîé.
3. Áèëèíåéíàÿ âíåøíÿÿ ôîðìà â ïðîñòðàíñòâå V2m íåûðîæäåííà òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà åå âíåøíÿÿ m-àÿ ñòåïåíü íå ðàâíà íóëþ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôîðìà α íåâûðîæäåííà, òî α = ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2m−1 ∧ ε2m è
αm = kε1 ∧ ε2 ∧ . . . ∧ ε2m , ãäå k îòëè÷íî îò íóëÿ èç-çà ÷åòíîãî ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ïðè
ïðåîáðàçîâàíèè (ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2m−1 ∧ ε2m )m ê âèäó kε1 ∧ ε2 ∧ . . . ∧ ε2m .
Ïóñòü òåïåðü αm 6= 0. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìà α íåâûðîæäåííà. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå,
òî åñòü ε1 ∧ ε2 + . . . + ε2s−1 ∧ ε2s , ãäå s < m. Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî â êàæäîì
ñëàãàåìîì ôîðìû αm áóäóò ñîäåðæàòüñÿ îäèíàêîâûå ñîìíîæèòåëè. Òîãäà αm = 0,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.
Èòàê, âî âñÿêîì ñèìïëåêòè÷åñêèì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V2m ñóùåñòâóåò
êàíîíè÷åñêèé áàçèñ. Ïðè ýòîì ïåðâûé âåêòîð áàçèñà ìîæåò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî.
Ïðè èçó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè ñèìïëåêòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Vn =
V2m êàíîíè÷åñêèé áàçèñ (e1 , . . . , en ), ïîñòðîåííûé âûøå, ÷àñòî çàìåíÿåòñÿ áàçèñîì
(e0 1 , . . . , e0 n ) ïóòåì ïåðåíóìåðîâêè òàê, ÷òî
m+1
α = 0 ε1 ∧ 0 ε
2
m+2
+ 0ε ∧ 0ε
m
+ . . . + 0ε ∧ 0ε
2m
.
(3.8)
Ýòîò áàçèñ íàçûâàþò ñèìïëåêòè÷åñêèì. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ìàòðèöà ôîðìû
èìååò âèä
Ã
!
0 E
.
(3.9)
−E 0
 ñèìïëåêòè÷åñêîì áàçèñå êîñîå ïðîèçâåäåíèå hx, yi âûðàæàåòñÿ â êîîðäèíàòàõ
ôîðìóëîé
hx, yi = (x1 y 2 − x2 y 1 ) + (x3 y 4 − x4 y 3 ) + . . . + (x2m−1 y 2m − x2m y 2m−1 ).
(3.10
Îïðåäåëåíèå 3.3 Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî áàçèñà ê
äðóãîìó íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé. Âñå ñèìïëåêòè÷åñêèå ìàòðèöû îáðàçóþò
ñèìïëåêòè÷åñêóþ ãðóïïó.
3.1. Ïðèìåðû ñèìïëåêòè÷åñêèõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. 1. Ïóñòü R2m
âåùåñòâåííîå êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êàíîíè÷åñêîé ëèíåéíîé ñòðóêòóðîé è
ñòàíäàðòíûì áàçèñîì e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , e2m = (0, 0, . . . , 1).
Ñîïðÿæåííûé ê íåìó áàçèñ â (R2m )∗ îáðàçîâàí êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè ε1 =
x1 , ε2 = x2 , . . . , ε2m = x2m . Òîãäà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà (ôîðìà) çàäàåòñÿ
ôîðìóëîé
ω = x1 ∧ x2 + x3 ∧ x4 + . . . + x2m−1 ∧ x2m ,
(3.11)
êîòîðàÿ, î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé íåâûðîæäåííîé áèëèíåéíîé ôîðìîé
(ïðè÷åì çàäàííîé â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå).
11
Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì
ðàçìåðíîñòè n = 2m.
2. Ïóñòü E2 îðèåíòèðîâàííîå äâóìåðíîå åâêëèäîâî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (v, w). Òîãäà â íåì îïðåäåëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà
ω(v, w) = (v , , w) = |v| |w| sin vw,
c
(3.12)
ãäå v , òàê íàçûâàåìûé ïîâåðíóòûé âåêòîð. Ìû âèäèì, ÷òî êîñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðîâ hv, wi îïðåäåëÿåò îðèåíòèðîâàííóþ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,
ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå
ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî - ýòî äâóìåðíîå ýêâèöåíòðîàôôèííîå ïðîñòðàíñòâî è
íàîáîðîò. Êîíå÷íî, â ñèëó òîãî, ÷òî ω m 6= 0, âñÿêîå 2m-ìåðíîå ñèìëåêòè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ýêâèöåíòðîàôôèííûì, íî â äàííîì ñëó÷àå (m > 1) ñ
äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.
Ïóñòü V ïðîèçâîëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è V ∗ åãî ñîïðÿæåííîå. Ðàññìîòðèì
ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ∗ ⊕ V è çàäàäèì â íåì ñèìëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ôîðìîé
Ω((α, v), (β, w)) = α(w) − β(v).
(3.13)
Êîñîñèììåòðè÷íîñòü ôîðìû î÷åâèäíà, ïðîâåðèì íåâûðîæäåííîñòü. Ïóñòü (α, v) ∈
V ∗ ⊕V îòëè÷åí îò íóëÿ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèáî α 6= 0, ëèáî v 6= 0. Íóæíî íàéòè ýëåìåíò
(β, w) òàêîé, ÷òîáû α(w) − β(v) 6= 0. Åñëè α 6= 0, òî ñóùåñòâóåò âåêòîð w òàêîé, ÷òî
α(w) 6= 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû âîçüìåì ôîðìó β = 0, òîãäà α(w) − β(v) 6= 0. Ïóñòü
òåïåðü v 6= 0, òîãäà ïîëîæèì w = 0, à â êà÷åñòâå ôîðìû β ðàññìîòðèì ïîäõîäÿùóþ
áàçèñíóþ ôîðìó èç ïðîñòðàíñòâà V ∗ .
4. Ðàññìîòðèì m-ìåðíîå êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî W m ñ ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííîé ýðìèòîâîé ôîðìîé α è â ïîäëåæàùåì âåùåñòâííîì ïðîñòðàíñòâå V2m
ðàññìîòðèì ìíèìóþ ÷àñòü ôîðìû α : (Imα)(x, y) = Im(α(x, y)). Áèëèíåéíîñòü
è êîñîñèììåòðè÷íîñòü ôîðìû ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. ×òîáû äîêàçàòü
íåâûðîæäåííîñòü äëÿ âåêòîðà x 6= 0, ðàññìîòðèì Imα(x, ix) = Im(α(x, ix)) =
−Im(iα(x, x)) = −α(x, x) 6= 0. Íàïðèìåð, â êîîðäèíàòíîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå
C2 êàíîíè÷åñêàÿ ýðìèòîâà ôîðìà çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
α(z, z 0 ) = z z̄ 0 .
Òîãäà
(3.14)
¯
¯
¯x y ¯
¯
¯
Im z z̄ 0 = Im(x + iy)(x0 − iy 0 ) = Im(xx0 + yy 0 + i(yx0 − xy 0 )) = − ¯ 0 0 ¯ =
¯x y ¯
= −p ∧ q(z, z 0 ), ãäå p(z) = p(x + iy) = x, q(z) = q(x + iy) = y.
5. Ïóñòü V ñèìïëåêòè÷åñêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôîðìîé ω . Òîãäà â ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå V ⊕ V ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìîé
Ω((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ω(x1 , y1 ) − ω(x2 , y2 ).
(3.15)
12
Íåâûðîæäåííîñòü: ïóñòü (x1 , x2 ) 6= 0, íàïðèìåð, x1 6= 0. Òîãäà âûáåðåì ïàðó (y1 , y2 )
òàê, ÷òîáû ω(x1 , y1 ) 6= 0, à y2 = 0.
Ëèíåéíîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå h îäíîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà
(V1 , ω1 ) â äðóãîå (V2 , ω2 ) íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì èçîìîðôèçìîì, åñëè
ω2 (hx, hy) = ω1 (x, y).
(3.16)
Ïðåäëîæåíèå 3.4. Ëþáûå äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé
ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû.
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêîãî èçîìîðôèçìà äîñòàòî÷íî â êàæäîì èç
ïðîñòðàíñòâ âûáðàòü ïî ñèìïëåêòè÷åñêîìó áàçèñó.  ÷àñòíîñòè, âñå ñèìïëåêòè÷åñêèå
ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè 2m ñèìïëåêòè÷åñêè èçîìîðôíû ñòàíäàðòíîìó
ñèìïëåêòè÷åñêîìó ïðîñòðàíñòâó R2m .
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Àðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì. "Íàóêà"1989ã.
[2] Àðíîëüä Â. È., Ãèâåíòàëü À.Á. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû
ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû - 4,Ì., 1985ã.
[3] Ãîäáèéîí Ê. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì., "Ìèð"1973ã.
[4] Íîâèêîâ Ñ.Ï.,Òàéìàíîâ È.À. Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñòðóêòóðû è ïîëÿ. Ì., 2005.
[5] Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ì."Íàóêà", 1986ã.
[6] Ôîìåíêî À.Ò Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ. Ì., Èçä ÌÃÓ, 1988ã.