ÓÄÊ 533.38 Ð.À. Ñàôîíîâ ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÇÀÄÀ× ÑÒÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÈÇÃÈÁÀ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÛÕ ÏËÀÑÒÈÍ

ÓÄÊ 533.38
Ð.À. Ñàôîíîâ
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÇÀÄÀ×
ÑÒÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÈÇÃÈÁÀ ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÛÕ ÏËÀÑÒÈÍ
ÏÎÄ ÄÅÉÑÒÂÈÅÌ ËÎÊÀËÜÍÎÉ ÍÀÃÐÓÇÊÈ
Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå òåëà ïîä äåéñòâèåì ñîñðåäîòî÷åííûõ íàãðóçîê, îäíàêî âî ìíîãèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäàõ, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ïðîâåäåíèÿ òàêèõ ðàñ÷åòîâ, òðåáóåòñÿ çàäàâàòü äåéñòâóþùèå íà òåëî óñèëèÿ
êàê ãëàäêóþ ôóíêöèþ. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ñäåëàíà ïîïûòêà çàìåíèòü
ñîñðåäîòî÷åííóþ ïîïåðå÷íóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà òîíêóþ èçîòðîïíóþ
ïëàñòèíêó, áûñòðî ðàñòóùèìè â îêðåñòíîñòè òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû ðàñïðåäåëåííûìè óñèëèÿìè.
Ðàññìîòðèì òîíêóþ ïëàñòèíêó èç èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà, ñðåäèííîå
ñå÷åíèå êîòîðîé èìååò âèä ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè äëèíîé a è b.
Òîëùèíó ïëàñòèíêè ïðèìåì ðàâíîé h.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
h << a, b.
Êàê
èçâåñòíî
èç
òåîðèè
òîíêèõ
ïëàñòèí,
íàïðÿæåííîäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå òàêîé ïëàñòèíû öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ
âåëè÷èíîé ïðîãèáà ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà èìååì
óðàâíåíèå
Eh3
D∇ ∇ w = q(x, y), D =
,
12 (1 − ν 2 )
2
2
(1)
ãäå E ìîäóëü Þíãà ìàòåðèàëà ïëàñòèíû, ν êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, q(x, y) ðàñïðåäåëåííûå ïî âåðõíåé ãðàíè ïîïåðå÷íûå óñèëèÿ, D æåñòêîñòü ïëàñòèíêè íà èçãèá. Ê ýòîìó óðàâíåíèþ òðåáóåòñÿ äîáàâèòü
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, âûðàæàþùèå çàêîí çàêðåïëåíèÿ è çàãðóæåíèÿ êðàåâ
ïëàñòèíû.
Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå
W = w/h, ξ = x/a, η = y/b.
 íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä
4
∂ 4W
∂
W
Dh ∂ 4 W
+ 2c 2 2 + c4 4 = q(ξ, η).
4
4
a
∂ξ
∂ξ ∂η
∂η
(2)
Ñâåäåì óðàâíåíèå (2) ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñïëàéí-êîëëîêàöèè [1]. Ôóíêöèþ ïðîãèáà
133
ïëàñòèíêè áóäåì èñêàòü â âèäå
W =
N
+2
X
Bj (η)Wj (ξ),
(3)
j=−2
ãäå Bj (η) ñèñòåìà áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêà, à Wj (ξ) ïîêà
íåèçâåñòíûå ôóíêöèè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êðàÿõ η = 0 è η = 1 ïîçâîëÿþò âûðàçèòü ôóíêöèè W−2 , W−1 , WN +1 , WN +2 ÷åðåç îñòàëüíûå èñêîìûå ôóíêöèè. Òîãäà ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó âàðèàíòó ìåòîäà ñïëàéíêîëëîêàöèè ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
W =
N
X
ϕj (η)Wj (ξ),
(4)
j=0
ãäå ϕj (η) èçâåñòíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè áàçèñíûõ ñïëàéíîâ. Ïîäñòàíîâêîé (4) â (2) ïîëó÷àåì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Ïðèâåäåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ê íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè:
dY~
= AY~ + B,
dξ
(5)
~ âåêòîð-ñòîëáåö èñêîìûõ ôóíêöèé âìåñòå ñ èõ ïðîèçâîäíûìè, A è
ãäå Y
B ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû è âåêòîð-ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ
ñîîòâåòñòâåííî.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà êðàÿõ ξ = 0 è
ξ = 1 ñîñòàâëÿåò êðàåâóþ çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ
ïðîãèáà ïëàñòèíêè. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ìåòîä äèñêðåòíîé îðòîãîíàëèçàöèè Ñ.Ê. Ãîäóíîâà [2].
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
π
f (x) = C cosk (x − x0 ),
2
(6)
ãäå x0 ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, C ìàñøòàáèðóþùàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ
Z1
f (x)dx = 1,
0
à äëÿ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå k >> 1.
Î÷åâèäíî, ÷òî f (x0 ) = C , à ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè x = x0 ôóíêöèÿ f (x) áûñòðî óáûâàåò äî ìàëîãî ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé çíà÷åíèÿ.
134
Åñëè ðàññìàòðèâàòü
f (x)
ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè
íóþ â òî÷êå
x = x0
êàê ðàñïðåäåëåíèå íàãðóçêè ïî êîîðäèíàòå, òî
k→∞
ôóíêöèÿ
f (x)
îïèñûâàåò ñîñðåäîòî÷åí-
ñèëó. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ âèäà (6) îïèñûâàåò
ëîêàëüíóþ íàãðóçêó, ñîñðåäîòî÷åííóþ â îêðåñòíîñòè òî÷êè
x = x0 .
Áóäåì èñïîëüçîâàòü ôóíêöèè âèäà (6) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñîñðåäîòî÷åííîé íàãðóçêè, äåéñòâóþùåé íà ïëàñòèíêó.
Ïóñòü íà ïðÿìîé
ñòâóþùåé
Q.
ξ = ξ0
ïðèëîæåíà ïîñòîÿííàÿ íàãðóçêà ñ ðàâíîäåé-
Óñèëèÿ òàêîãî âèäà áóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåí-
íîé íàãðóçêîé èíòåíñèâíîñòè
π
q(ξ, η) = C cosk (ξ − ξ0 ).
2
Åñëè íàãðóçêà ïðèëîæåíà â òî÷êå
âèä
(ξ, η), òî ôóíêöèÿ íàãðóçêè ïðèìåò
π
π
q(ξ, η) = C cosk (ξ − ξ0 ) cosk (η − η0 ).
2
2
Ñëó÷àþ, êîãäà íàãðóçêà ðàñïðåäåëåíà ïî äèàãîíàëè ïëàñòèíêè
= 0,
ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ
q(ξ, η) = C cosk
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû
C
ξ −η =
πξ −η
√ .
2 2
âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ ñëåäóåò
ïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì
Z
q(ξ, η)dξdη = Q.
0≤ξ,η≤1
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîãî ïîäõîäà ðàññìîòðèì ðÿä
çàäà÷, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ êîòîðûõ ïîçâîëÿþò ïðèìåíèòü ìåòîä ñïëàéíêîëëîêàöèè â îïèñàííîì âàðèàíòå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïëàñòèíêó òîë-
h = 0, 01ì ñ äëèíàìè ñòîðîí a = b = 1ì, óïðóãèå êîíñòàíòû êîòîðîé ðàâíû E = 2 · 1011 Ïà, ν = 0, 3. Äëÿ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè k èñïîëüçóåì
çíà÷åíèå k = 5000. Êàê âûÿñíèëîñü â õîäå âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ìåíüøèå çíà÷åíèè k íå îáåñïå÷èâàþò äîñòàòî÷íî òî÷íîãî ñîâïàäåíèÿ
ùèíîé
ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ ñ èçâåñòíûìè òåîðåòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè çàäà÷è, à
áîëüøèå çíà÷åíèÿ òðåáóþò ñóùåñòâåííî áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòè ñåòêè è,
ñîîòâåòñòâåííî, çíà÷èòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ âðåìåíè âû÷èñëåíèé.
Ïóñòü âåñü êîíòóð ïëàñòèíêè øàðíèðíî ïîäêðåïëåí, à â öåíòðàëüíîé
òî÷êå ïðèëîæåíà ñîñðåäîòî÷åííàÿ ñèëà èíòåíñèâíîñòè
Q = 1Í. Òàêàÿ çà-
äà÷à èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ðÿäà [3].
135
Ïðè óêàçàííûõ âûøå ïàðàìåòðàõ ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá ïëàñòèíêè, ïîñ÷èòàííûé ïî ýòîé ôîðìóëå, ñîñòàâëÿåò wmax
= 6, 12·10−7 ì. Òà æå âåëè÷è-
íà, ïîñ÷èòàííàÿ ÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà, ñîñòàâëÿåò
wmax = 6, 18 · 10−7 ì.
Åñëè ïðè øàðíèðíî îïåðòîì êîíòóðå íàãðóçêà ñ òîé æå ðàâíîäåé-
ξ = 0, 5,
= 3, 68 · 10−7 ì.
ñòâóþùåé ïðèëîæåíà âäîëü ïðÿìîé
ïëàñòèíêè ñîñòàâëÿåò
wmax
òî ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá
Ïðè æåñòêî çàäåëàííîì êîíòóðå ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá ïëàñòèíêè ñî-
wmax = 3, 75·10−7 ì â ñëó÷àå ïðèëîæåííîé â öåíòðàëüíîé òî÷êå ñèëû, wmax = 1, 83 · 10−7 ì ïðè íàãðóçêå, ñîñðåäîòî÷åííîé íà ïðÿìîé ξ = 0, 5
è wmax = 1, 48 · 10−7 ì, ïðè íàãðóçêå, ïðèëîæåííîé íà äèàãîíàëè ξ = η .
ñòàâèë
Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ ïî ïðåäëîæåííîé ìåòîäèêå ñ èçâåñò-
íûìè òåîðåòè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î ïðèìåíèìîñòè ôóíêöèé ëîêàëüíîé íàãðóçêè âèäà (6) äëÿ àïïðîêñèìàöèè ñîñðåäîòî÷åííûõ óñèëèé. Ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò
îáðàùàòü íà âûáîð ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè
k,
êîòîðûé äîëæåí îáåñïå÷èâàòü
äîñòàòî÷íóþ ñêîðîñòü ðîñòà ôóíêöèè è âìåñòå ñ òåì íå òðåáîâàòü ÷ðåçìåðíîãî âîçðàñòàíèÿ ðàçìåðíîñòè çàäà÷è.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Ãðèãîðåíêî ß.Ì., Êðþêîâ Í.Í. Ðåøåíèå çàäà÷ òåîðèè ïëàñòèí è îáîëî÷åê ñ
ïðèìåíåíèåì ñïëàéí-ôóíêöèé (îáçîð) // Ïðèêë. ìåõ. 1995. Ò. 31, âûï 6. Ñ. 327.
2. Ãîäóíîâ Ñ.Ê. Î ÷èñëåííîì ðåøåíèè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // ÓÌÍ 1961. Ò. XVI,  3(99). Ñ. 171174.
3.
Òèìîøåíêî Ñ.Ï., Âîéíîâñêèé-Êðèãåð Ñ.
Ïëàñòèíêè è îáîëî÷êè Ïåð. ñ àíãë.
Â.È. Êîíòîâòà; Ïîä ðåä. Ã.Ñ. Øàïèðî. Ì.: Íàóêà, 1966. 636 ñ.
ÓÄÊ 232.5; 232.135
Ì.È. Ñàôðîí÷èê
ÐÀÇÂÈÒÈÅ ÒÅ×ÅÍÈß
ÂßÇÊÎÏËÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÑÐÅÄÛ
ÏÎ ÍÀÊËÎÍÍÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
 ðàáîòå [1] ðàññìîòðåí ïåðåõîä îò îäíîãî ñòàöèîíàðíîãî òå÷åíèÿ âÿçêîïëàñòè÷íîé ñðåäû ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ê äðóãîìó ïðè èçìåíåíèè
óãëà íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó. Âîïðîñ î ðàçâèòèè òå÷åíèÿ è ïåðåõîä ê ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó îñòàëñÿ îòêðûòûì. Íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ ïîñâÿùåíà îòâåòó íà ýòîò âîïðîñ.
Ïóñòü ñëîé âÿçêîïëàñòè÷íîé ñðåäû òîëùèíû
òàëüíîé ïëîñêîñòè. Â ìîìåíò
t=0
H
íàõîäèòñÿ íà ãîðèçîí-
ïëîñêîñòü áûëà íàêëîíåíà íà óãîë
ê ãîðèçîíòó. Ñõåìà òå÷åíèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå.
136
β