Investigation of influence of diurnal variations of temperature on

Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Îáðàòíûå è íåêîððåêòíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè,
ïîñâÿùåííàÿ 75-ëåòèþ àêàäåìèêà Ì.Ì.Ëàâðåíòüåâà, 20-25 àâãóñòà 2007 ã., Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
Èññëåäîâàíèå âëèÿíèÿ ñóòî÷íîãî õîäà òåìïåðàòóðû íà êîíâåêòèâíûå
ïðîöåññû â ãëóáîêîì ñòðàòèôèöèðîâàííîì îçåðå â ìîäåëüíîì ñëó÷àå
À.Í. Åðìîëåíêî∗
∗
ÍÃÓ,
Ïèðîãîâà, 2,
630090 Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ
E-mail: [email protected]
Ðàáîòà àâòîðà áûëà ïîääåðæàíà ÑÎ ÐÀÍ (ïðîåêò 117)
Ñ öåëüþ èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ ñóòî÷íîãî õîäà òåìïåðàòóð íà êîíâåêòèâíûå ïðîöåññû â ãëóáîêîì ñòðàòèôèöèðîâàííîì âîäîåìå (îçåðå) ðàññìîòðåíà ìîäåëüíàÿ çàäà÷à òåîðèè ãèäðîäèíàìè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè.
Èíòåðåñ ê çàäà÷å âûçâàëè èññëåäîâàíèÿ ïîñëåäíèõ ëåò íà îçåðå Áàéêàë. Ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé,
ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîâðåìåííîé àïïàðàòóðû, ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè÷èè â îçåðå ìåõàíèçìà
ãëóáîêîãî ïåðåìåøèâàíèÿ, ñïîñîáñòâóþùåãî ïåðåíîñó ïîâåðõíîñòíûõ âîä Áàéêàëà â ïðèäîííûå îáëàñòè
[1].
Ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ãëóáîêîâîäíûõ îçåðàõ, ïðèâëåêàåò âíèìàíèå ýôôåêò
àíîìàëüíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ âîäû. Èçâåñòíî, ÷òî â ïðåíåáðåæåíèè çàâèñèìîñòüþ ïëîòíîñòè
îò äàâëåíèÿ, ïëîòíîñòü âîäû ÿâëÿåòñÿ íåìîíîòîííîé ôóíêöèåé òåìïåðàòóðû. Ýòà ôóíêöèÿ äîñòèãàåò
ìàêñèìóìà ïðè òåìïåðàòóðå, ïðèáëèæåííî ðàâíîé 4 0 Ñ (ïðè òàê íàçûâàåìîé òåìïåðàòóðå èíâåðñèè
òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ âîäû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
ρ = ρ0 (1 − γ[T − T0 ]2 ),
ãäå ρ0 - ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè; γ êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ; T0 òåìïåðàòóðà
èíâåðñèè. Íåìîíîòîííàÿ çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò òåìïåðàòóðû âûçûâàåò ñëîæíóþ ñòðàòèôèêàöèþ
â ñëîå æèäêîñòè, òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî áîëüøå òåìïåðàòóðû èíâåðñèè, à òåìïåðàòóðà
íèæíåé ãðàíèöû ìåíüøå åå. Âûøå òî÷êè èíâåðñèè ãðàäèåíò ïëîòíîñòè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñèëû
òÿæåñòè è æèäêîñòü ãðàâèòàöèîííî óñòîé÷èâà. Íèæå ýòîé òî÷êè ïëîòíîñòü óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì ãëóáèíû è ñòðàòèôèêàöèÿ æèäêîñòè îêàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâîé. Êîíâåêòèâíûå äâèæåíèÿ, çàðîæäàþùèåñÿ
â íèæíåé, íåóñòîé÷èâîé îáëàñòè, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òàêæå è â âåðõíþþ, óñòîé÷èâî ñòðàòèôèöèðîâàííóþ çîíó. Àíàëîãè÷íûå ÿâëåíèÿ èìåþò ìåñòî è â äðóãèõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà óñòîé÷èâûå ñëîè æèäêîñòè
îãðàíè÷èâàþò íåóñòîé÷èâî ñòðàòèôèöèðîâàííóþ îáëàñòü. Òàêóþ êîíâåêöèþ íàçûâàþò ïðîíèêàþùåé.
Îäíàêî, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî â îáëàñòè áîëüøèõ ãëóáèí áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ ýôôåêò ñæèìàåìîñòè
âîäû ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ, ïðîÿâëÿþùèéñÿ, íàïðèìåð, â ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû èíâåðñèè ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ ÷àñòèöû æèäêîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ ðîñòîì äàâëåíèÿ. Ìàêñèìàëüíûå
çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ïëîòíîñòü è êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè äàâëåíèÿ. Âîçíèêàþùèå ïåðåïàäû äàâëåíèÿ ìîãóò îêàçûâàòü ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà
ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, è íà ïðîòåêàþùèå êîíâåêòèâíûå ïðîöåññû. Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò äàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðû îïèñûâàåò ýòó àíîìàëèþ.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîÿùàÿñÿ âÿçêàÿ òåïëîïðîâîäíàÿ æèäêîñòü çàïîëíÿåò ñëîé
c ïëîñêèìè ãðàíèöàìè. Òåìïåðàòóðà íèæíåé ãðàíèöû ñëîÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, à íà âåðõíåé ãðàíèöå
ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó: T = T2 + A sin Ωt. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîäíîðîäíîìó ïî
ãëóáèíå è ïåðèîäè÷åñêîìó ïî âðåìåíè ðàâíîâåñíîìó ãðàäèåíòó òåìïåðàòóðû. Íà íèæíåé ãðàíèöå ñëîÿ
âûïîëíåíî óñëîâèå ïðèëèïàíèÿ, âåðõíÿÿ ãðàíèöà ñ÷èòàåòñÿ ñâîáîäíîé. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ æèäêîñòè
(âîäû) ïðè ýòîì îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé [2]:
1
ρ(T, p) = ρm (p)[1 − γ(p)(T − Tm (p))2 ], ãäå
ρm (p) = 999, 972 + 4, 916 021 · 10−2 p,
γ(p) = 8, 572 628 · 10−6 − 7, 061 491 · 10−9 p,
Tm (p) = 3, 985 694 − 0, 020 617p
(åäèíèöà èçìåðåíèÿ äàâëåíèÿ - áàð, òåìïåðàòóðû - ãðàäóñ Öåëüñèÿ).
 ðàìêàõ ëèíåéíîé òåîðèè ÷èñëåííî èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ñîñòîÿíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîÿ.
Ïðè âûâîäå ìîäåëè êîíâåêöèè èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè, âûçâàííûå èçìåíåíèÿìè òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ, ó÷èòûâàëèñü, êàê è â ïðèáëèæåíèè Îáåðáåêà - Áóññèíåñêà [3], òîëüêî â ÷ëåíàõ, îòâå÷àþùèõ
ïîäúåìíîé ñèëå.
Ðåøåíèÿ âîçíèêàþùåé ïðè àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé çàäà÷è äëÿ âîçìóùåíèé èùóòñÿ â âèäå:
(V, p, T )(x, y, z, t) = (V, p, T )(z, t)exp(σt + iαx x + iαy y),
ãäå àìïëèòóäû (V, p, T )(z, t) ïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè ôóíêöèè.
 îáùåì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå ÷èñëà σ ñîîòâåòñòâóþùåé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè. Ïðè ýòîì òå ñîáñòâåííûå ÷èñëà, êîòîðûå ëåæàò íà ìíèìîé îñè íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè (ïîðîãîâûìè).  ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ îíè îòäåëÿþò îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè îò îáëàñòè, îòâå÷àþ÷åé
íåóñòîé÷èâûì ñîñòîÿíèÿì.
Íåïîñðåäñòâåííûé ÷èñëåííûé ïîèñê âîçìóùåíèé äëÿ êîòîðûõ σ 6= 0 íå óâåí÷àëñÿ óñïåõîì. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è íà êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ÷èñëà Ðýëåÿ (îíè îïðåäåëÿþòñÿ èç
óñëîâèÿ σ = 0) è âîëíîâîãî ÷èñëà, à òàêæå íà êðèòè÷åñêèå äâèæåíèÿ, âîçíèêàþùèå â ñëîå ïðè ïîòåðå
óñòîé÷èâîñòè.
Ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä îðòîãîíàëèçàöèè Ãîäóíîâà
- Àáðàìîâà [4,5].
1. Ãðàíèí Í.Ã., Øèìàðàåâ Ì.Í. Ê âîïðîñó î ñòðàòèôèêàöèè è ìåõàíèçìå êîíâåêöèè â Áàéêàëå //
Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1991. T. 321,  2. C.381-385.
2. Áî÷àðîâ Î.Á., Âàñèëüåâ Î.Ô., Îâ÷èííèêîâà Ò.Ý. Ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðåñíîé
âîäû âáëèçè òåìïåðàòóðû ìàêñèìàëüíîé ïëîòíîñòè// Èçâ. ÐÀÍ. Ôèçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà. 1999. Ò.
35.  4. Ñ. 556-558.
3. Êîíâåêòèâíàÿ óñòîé÷èâîñòü íåñæèìàåìîé æèäêîñòè/ Ã.Ç. Ãåðøóíè, Å.Ì. Æóõîâèöêèé. Ì.: Íàóêà, 1972.
4. Ãîäóíîâ Ñ.Ê. Î ÷èñëåííîì ðåøåíèè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé// Óñïåõè ìàò. íàóê. 1961. T. 16., âûï.3,  99. C. 171-174.
5. Òåðìîêàïèëëÿðíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü/ Â.Ê. Àíäðååâ, Â.Å. Çàõâàòàåâ, Å.À. Ðÿáèöêèé. Íîâîñèáèðñê:
Íàóêà, 2000.
2