b g, b g b g . b g ≤ b g e j b g, 3 e e j. b g , F F HGIKJ e b g b g b g . F

ãäå ϕ — âñïîìîãàòåëüíûé óãîë; ïîñêîëüêó
5 cos b + sin b =
ãäå α = arcsin
5
26
b
îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî
ðåøåíèé (äîêàæèòå ýòî).
g
26 sin b + α ,
, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
b
(& )
g b g
26 sin bb + α g ≤ 26 + 1 , ïîëó÷à-
27 + 2 26 sin b + α sin x + ϕ = a .
Ïîñêîëüêó
26 − 1 ≤ 27 + 2
åì, ÷òî ïðè ëþáîì |a| ≤ 26 + 1 íàéäåòñÿ b, ïðè êîòîðîì
óðàâíåíèå ( & ) èìååò êîðíè, à ïðè |a| ≤ 26 − 1 ýòî óðàâíåíèå
èìååò êîðíè ïðè âñåõ b.
Âàðèàíò 8
1. –1. 2. ±
π
3
; ±
2
5
.
2
πn
b
b g b
g e
j
g e
j e
1
x − 2a +
x − 2a
b
g
+ x −1
2
j
= 2,
à) l = 10 , åñëè K ′ ∈ P ′ R ′ , L ′ ∈ Q ′ S ′ ;
F 634 I
GG 5 ; + ∞JJ , åñëè K ∉ P′ R′ , L′ ∈ Q′ S ′ ;
H
K
F 8194 I
ã) l ∈ G
GH 5 ; + ∞JJK , åñëè K ′ ∈ P ′ R ′ , L′ ∉ Q ′ S′ .
a
r − a 3.
5. c ∈ e 3 − 2 3 ; − 6 + 2 15 j .
6.
2 3
2
R| px + qb11 − x g = 4402 , R|b p − q gx + 11q = 4402,
|S py + qb21 − yg = 4402 ,⇔ |Sb p − q gy + 21q = 4402 ,
||
|
T pz + qb29 − z g = 4402 , |Tb p − q gz + 29q = 4402 .
2. 2.
+ 2πn , n U Z. Óêàçàíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íå
6
ïðåâîñõîäèò 2, à ïðàâàÿ – íå ìåíüøå, ÷åì 2. Ïîýòîìó sin x +
π
= 0.
+ 3 cos x = 2, cos 2x +
6
5. 31 6 .
F
GH
e
2
I
JK
j
6. 15k − 6 k; 3k − 1 , k UZ . Óêàçàíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò,
b
gb
g
÷òî 3õ = y + 1 5 y − 1 . Ïîýòîìó ëèáî ó + 1, ëèáî 5y – 1 =
= 5 y + 1 − 6 äåëèòñÿ íà 3. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 3k – 1,
k U Z.
b
g
Âàðèàíò 10
g
1. −3; 1 . 2. ÀÂ = ÀÑ = 2 10 . 3. 3 − 2 .
4. à) È; á) Ð. Óêàçàíèå. à) Âûïèøèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
áóêâ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óêàçàííîìó ïðàâèëó, è ïîäñ÷èòàéòå,
êàêàÿ èç íèõ ÷àùå äðóãèõ âñòðå÷àåòñÿ â ïåðèîäå. á) Ïóñòü à
è b — öèôðû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ çàïèñûâàåòñÿ ïîðÿäêîâûé
íîìåð ab ýòîé áóêâû. Öèêë ñîñòîèò èç îäíîé áóêâû, åñëè è
òîëüêî åñëè 2(à + b) = 10a + b, ò.å. b = 8a, îòêóäà à = 1,
b = 8.
5. 0. Óêàçàíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà íå ìåíüøå äâóõ.
Ïðàâàÿ – íå áîëüøå äâóõ, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ
ëèøü ïðè õ = 0.
6. (1; 5). Óêàçàíèå. Ñèñòåìà sin x + 6 = 0, sin πx = 0 èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = –6. Ïîýòîìó ìû äîëæíû íàéòè
òàêèå à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå íå èìååò äðóãèõ ðåøåíèé.
2
Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå íà sin πx è âûïîëíèâ çàìåíó t =
sin x + 6
=
, ïîëó÷èì
sin πx
2
t − a −1 t + a −1 = 0.
(& )
ÊÂÀÍT$ 1999/¹1
b
b
g
g
b
g b
g
Óðàâíåíèå (& ) íå èìååò êîðíåé ïðè 1 < a < 5, ïðè ýòîì
èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = –6. Ïðè
$
2
7. 426 ð. è 142 ð. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x, y, z êîëè÷åñòâà àêöèé âèäà À â íà÷àëå äíÿ ó ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî
áðîêåðà ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç ð è q – öåíû íà àêöèè âèäîâ
À è Á. Òîãäà èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóþò óðàâíåíèÿ
Âàðèàíò 9
3. 3. 4.
346 , åñëè K ∉ P ′ R ′ , L ′ ∉ Q ′ S ′ ;
â) l ∈
îòêóäà x − 2a = 1 , õ = 1.
F1 O
1. G ; 3P .
H 3 Qπ
I
JJ
K
41 + 7 7
;
.
4
2
37 − 1
+ 2πn , n U Z.
2. kπ , k U Z; π − arcsin
6
3. (17; 248). Óêàçàíèå. Âûïîëíèòå çàìåíó ð = x + 8 .
4. Ïóñòü K ′L′ = l.  çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ òî÷åê K ′ è
L′ âîçìîæíû ñëó÷àè
á) l =
πn
1
arctg 6 +
3.
,
, n U Z.
3
2
3
3
4. 1000 ë.
5. 2; 19 9 7 3; 2 + 3 .
6. 319. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü ïîäîáèåì òðåóãîëüíèêîâ
PMS è RQM.
7. 3; 2 , −2; − 3 , 3 + 10 ; − 3 + 10 , 3 − 10 ; − 3 − 10 .
8. à = 0, à = 1. Óêàçàíèå. Óðàâíåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
+
Âàðèàíò 11
F1 I L
1. x ∈ G ; 3J 7 M
H 4 K MN
Âû÷èòàÿ òðåòüå óðàâíåíèå èç ïåðâîãî è âòîðîãî, ïîëó÷àåì
b p − q gb x − z g = 18q , b p − q gb y − z g = 8q .
(& )
Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ p > q > 0, òî x – z > 0 è y – z > 0.
Ïîñëå äåëåíèÿ óðàâíåíèé â ( & ) èìååì
9
x−z
= .
4
y−z
Èñïîëüçóÿ öåëî÷èñëåííîñòü ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì x = z +
+ 9n, y = z + 4n, ãäå n U N. Òàê êàê 11 > x = z + 9n > z >
> 0, òî z = 1, n = 1. Ïîýòîìó õ = 10, ó = 5. Îáðàùàÿñü ê
èñõîäíîé ñèñòåìå, íàõîäèì ð = 426, q = 142.
Âàðèàíò 12
2  17 + 117 
 7
; 8 .
3.  − 4 ; − 3  7 
9



17
π
π
π
+
2
1
n
−
+
k , k = 1, 2, 3, 4.
4.
, n = –1, 0, 1, 2;
8
4 10
2b + l
5.
. Óêàçàíèå. Ïóñòü ÂÎ – áèññåêòðèñà óãëà  â
c
òðåóãîëüíèêå ABL, à ∠ABO = ∠LBO = β . Òîãäà
1
1
AB ⋅ BL sin 2β = S ABL = S ABO + SLBO = AB ⋅ BO sin β +
2
2
1
1
AB + BL ⋅ BO sinβ ,
+ BL ⋅ BO sin β =
2
2
b
g
1. −17 5 ; 11 3 . 2. tg
b
g
226 π
.
b
îòêóäà
AB ⋅ BL
AB + BL
=
BO
2 cos β
.
Àíàëîãè÷íî, èç òðåóãîëüíèêà MBN èìååì
MB ⋅ BN
MB + BN
=
BO
2cosβ
,
g