Слайды_лекция_3
advertisement
Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ËÅÊÖÈß 3 22 ñåíòÿáðÿ 2014 ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ ËÅÊÖÈß 3 Ñîäåðæàíèå 1 Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà 2 Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò 3 Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò 4 Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíîæåñòâî A ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, íàçûâàåìûõ òî÷êàìè, êîòîðîìó ñîïîñòàâëåíû: 1) ëèíåàë L, íàçûâàåìûé ïðèñîåäèíåííûì ê A; 2) ñîîòâåòñòâèå, ïî êîòîðîìó ëþáûì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò AB ∈ L ñ íà÷àëîì â A è ñ êîíöîì â B . Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâå àêñèîìû: 10o . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ∈ A è ëþáîãî ýëåìåíòà v ∈ L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà B ∈ A òàêàÿ, ÷òî AB = v . 11o . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåõ òî÷åê A, B, C ∈ A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî AB + BC = AC . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî ýòî ìíîæåñòâî A ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, íàçûâàåìûõ òî÷êàìè, êîòîðîìó ñîïîñòàâëåíû: 1) ëèíåàë L, íàçûâàåìûé ïðèñîåäèíåííûì ê A; 2) ñîîòâåòñòâèå, ïî êîòîðîìó ëþáûì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A îòâå÷àåò íåêîòîðûé ýëåìåíò AB ∈ L ñ íà÷àëîì â A è ñ êîíöîì â B . Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâå àêñèîìû: 10o . Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A ∈ A è ëþáîãî ýëåìåíòà v ∈ L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà B ∈ A òàêàÿ, ÷òî AB = v . 11o . Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåõ òî÷åê A, B, C ∈ A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî AB + BC = AC . Ðàçìåðíîñòü àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà A ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà L è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì dim(A). Åñëè dim(L) = n, òî dim(A) = n. Îáîçíà÷åíèå: An . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ Ïðèìåð àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà Ðàññìîòðèì òî÷å÷íîå òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó O è ðàññìàòðèâàåì âñåâîçìîæíûå ðàäèóñ-âåêòîðû ñ íà÷àëîì â òî÷êå O . Òîãäà òî÷êàìè àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà A3 , ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 3 , ÿâëÿþòñÿ êîíöû ðàäèóñ-âåêòîðîâ ñ íà÷àëîì â òî÷êå O . Ïðè ýòîì äâóì òî÷êàì A, B ∈ A3 ñîïîñòàâëÿåòñÿ âåêòîð −→ → − AB = − r B −→ r A ∈ V3 . Òàêèì îáðàçîì, òî÷êå A ∈ A3 àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà ñòàâèòñÿ â − ñîîòâåòñòâèå ðàäèóñ-âåêòîð → r A ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà V 3 . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 1. Àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà  àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè áóäåì èçó÷àòü àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà A1 , A2 , A3 , ñ êîòîðûìè àññîöèèðîâàíû ëèíåàëû V 1 , V 2 , V 3 è êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Oe1 e2 ...en â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln . Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò n Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Oe1 e2 ...en â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln . Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò n Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò çàäàåòñÿ äâóìÿ ðàçíîðîäíûìè îáúåêòàìè òî÷êîé O ∈ An è áàçèñîì e1 , e2 , ..., en ëèíåàëà Ln . Âàæíî! Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Oe1 e2 ...en â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå A íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷êè O ∈ A, íàçûâàåìîé íà÷àëîì êîîðäèíàò, è áàçèñà e1 , e2 , ..., en èç ïðèñîåäèíåííîãî ëèíåàëà Ln . Àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò n Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò çàäàåòñÿ äâóìÿ ðàçíîðîäíûìè îáúåêòàìè òî÷êîé O ∈ An è áàçèñîì e1 , e2 , ..., en ëèíåàëà Ln . Âàæíî! Îïðåäåëåíèå Ïóñòü B ∈ An . Âåêòîð OB ∈ Ln íàçûâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êè B è îáîçíà÷àåòñÿ r (B) = rB = OB ∈ Ln . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè B ∈ An íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà îòíîñèòåëüíî áàçèñà e1 , e2 , ..., en , òî åñòü B(β1 , β2 , ..., βn ) ∈ An =⇒ OB = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en .  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûå êîîðäèíàòû òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè B ∈ An íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà îòíîñèòåëüíî áàçèñà e1 , e2 , ..., en , òî åñòü B(β1 , β2 , ..., βn ) ∈ An =⇒ OB = β1 e1 + β2 e2 + ... + βn en .  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûå êîîðäèíàòû òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò AB ∈ Ln ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ: AB = rB − rA , ãäå A ∈ An è B ∈ An íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè A(α1 , α2 , ..., αn ) è B(β1 , β2 , ..., βn ), òî êîîðäèíàòû AB ∈ Ln îòíîñèòåëüíî òîãî æå áàçèñà îïðåäåëÿþòñÿ â âèäå: AB = (β1 − α1 )e1 + (β2 − α2 )e2 + ... + (βn − αn )en . Îáîçíà÷åíèå: AB(β1 − α1 , β2 − α2 , ..., βn − αn ). Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî, λ ∈ (−∞, ∞). Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî, λ ∈ (−∞, ∞). Îïðåäåëåíèå Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ei íàçûâàåòñÿ i -îé êîîðäèíàòíîé îñüþ. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà v ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λv, ãäå λ âåùåñòâåííîå ÷èñëî, λ ∈ (−∞, ∞). Îïðåäåëåíèå Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ei íàçûâàåòñÿ i -îé êîîðäèíàòíîé îñüþ. Îïðåäåëåíèå Ïëîñêîñòüþ â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C ∈ An â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ v1 , v2 ∈ Ln , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M ∈ An òàêèõ ÷òî CM = λ1 v1 + λ2 v2 , ãäå λ1 , λ2 âåùåñòâåííûå ÷èñëà, λ1 , λ2 ∈ (−∞, ∞). Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Ðàññìîòðèì àôôèííûå ïðîñòðàíñòâà A1 (ïðÿìàÿ), A2 (ïëîñêîñòü), A3 (ïðîñòðàíñòâî) ñ àññîöèèðîâàííûìè ëèíåàëàìè V 1 , V 2 , V 3 . Ââåäåì â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò: 1) A1 (ïðÿìàÿ): O~ e1 êîîðäèíàòíàÿ îñü, 2) A2 (ïëîñêîñòü): O~ e1 e~2 , ãäå O~ e1 è O~ e2 êîîðäèíàòíûå îñè, 3) A3 (ïðîñòðàíñòâî): O~ e1 e~2 e~3 , ãäå O~ e1 , O~ e2 è O~ e3 êîîðäèíàòíûå îñè, à O~ e1 e~2 , O~ e1 e~3 , O~ e2 e~3 êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 , e~3 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè ïî ýòèì âåêòîðàì ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê îáùåìó íà÷àëó ìîæíî íàïðàâèòü ñîîòâåòñâåííî áîëüøîé, óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîé (ëåâîé) ðóêè. Åñëè òðîéêà âåêòîðîâ e~1 , e~2 , e~3 ïðàâàÿ, òî ïðàâûìè òàêæå áóäóò òðîéêè âåêòîðîâ e~3 , e~1 , e~2 è e~2 , e~3 , e~1 . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ (ïî) õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 2. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà áàçèñíûõ âåêòîðîâ e~1 , e~2 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ (ïî) õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè. Îïðåäåëåíèå Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O~ e1 e~2 e~3 íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè e~1 , e~2 , e~3 ïðàâàÿ òðîéêà âåêòîðîâ (ëåâàÿ òðîéêà), à O~ e1 e~2 ïðàâàÿ àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, åñëè e~1 , e~2 ïðàâàÿ ïàðà. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïðÿìîé Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A1 (ïðÿìàÿ) ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 1 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~ e1 . −−→ OM = ~a, ~a || e~1 =⇒ ~a = λ~ e1 , ãäå ÷èñëî λ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Åñëè ~a ↑↑ e~1 , òî λ = |~ a| |~ e1 | , a| à åñëè ~a ↑↓ e~1 , òî λ = − |~|~ e1 | . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïðÿìîé Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A1 (ïðÿìàÿ) ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 1 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~ e1 . −−→ OM = ~a, ~a || e~1 =⇒ ~a = λ~ e1 , ãäå ÷èñëî λ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Åñëè ~a ↑↑ e~1 , òî λ = |~ a| |~ e1 | , a| à åñëè ~a ↑↓ e~1 , òî λ = − |~|~ e1 | . Îïðåäåëåíèå Óêàçàííîå ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ìåðîé âåêòîðà ~a íà îñè, îïðåäåëÿåìîé âåêòîðîì e~1 . Îáîçíà÷åíèå: λ = mes~e1 ~a Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ: ~a = (mes~e1 ~a)~ e1 Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïðÿìîé Ëåììà Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ: 1) mes~e1 (µ~a) = µmes~e1 ~a; 2) mes~e1 (~a + ~b) = mes~e1 ~a + mes~e1 ~b . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïðÿìîé Ëåììà Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ: 1) mes~e1 (µ~a) = µmes~e1 ~a; 2) mes~e1 (~a + ~b) = mes~e1 ~a + mes~e1 ~b . Âûâîä. Àôôèííàÿ êîîðäèíàòà ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ∈ A1 íà ïðÿìîé (îñè) = àëãåáðàè÷åñêàÿ ìåðà åå ðàäèóñ-âåêòîðà íà ýòîé îñè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïëîñêîñòè Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A2 (ïëîñêîñòü) ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 2 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~ e1 e~2 . −−→ Ïóñòü NM = ~a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M íà êîîðäèíàòíûå îñè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïëîñêîñòè Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A2 (ïëîñêîñòü) ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 2 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~ e1 e~2 . −−→ Ïóñòü NM = ~a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M íà êîîðäèíàòíûå îñè. Îïðåäåëåíèå −−−→ Âåêòîð N1 M1 íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèåé âåêòîðà −−→ −−−→ NM = ~a íà êîîðäèíàòíóþ îñü O~ e1 . Àíàëîãè÷íî, âåêòîð N2 M2 −−→ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà NM = ~ a íà îñü O~ e2 . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïëîñêîñòè Îáîçíà÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè: −−−→ −−→ −−−→ −−→ N1 M1 = Proj~e1 NM = Proj~e1 ~a, N2 M2 = Proj~e2 NM = Proj~e2 ~a ßñíî, ÷òî ~a = Proj~e1 ~a + Proj~e2 ~a. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, Proj~e1 ~a = λ1 e~1 = (mes~e1 (Proj~e1 ~a))~ e1 = (Apr~e1 ~a)~ e1 . Àíàëîãè÷íî, Proj~e2 ~a = λ2 e~2 = (mes~e2 (Proj~e2 ~a))~ e2 = (Apr~e2 ~a)~ e2 . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïëîñêîñòè Îïðåäåëåíèå Âåëè÷èíû Apr~e1 ~a è Apr~e2 ~a íàçûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè âåêòîðà ~ a íà êîîðäèíàòíûå îñè, îïðåäåëÿåìûå âåêòîðàìè e~1 è e~2 . Òàêèì îáðàçîì, àëãåáðàè÷åñêîé ïðîåêöèåé âåêòîðà ~a íà îñü, îïðåäåëÿåìóþ âåêòîðîì e~1 , íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ìåðà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà îñü e~1 . Òîãäà ~a = (Apr~e1 ~a)~ e1 + (Apr~e2 ~a)~ e2 . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò Íà ïëîñêîñòè ~a = (Apr~e1 ~a)~ e1 + (Apr~e2 ~a)~ e2 Âûâîä.  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ñëóæàò àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà êîîðäèíàòíûå îñè, à àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè àôôèííûå êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò  ïðîñòðàíñòâå Ðàññìîòðèì àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî A3 (ïðîñòðàíñòâî) ñ ïðèñîåäèíåííûì ëèíåàëîì V 3 . Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O~ e1 e~2 e~3 . −−→ ~ Ïóñòü NM = a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ñïðîåêòèðóåì òî÷êè N è M íà −−−→ êîîðäèíàòíûå îñè O~ e1 , O~ e2 , O~ e3 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðè âåêòîðà N1 M1 , −−−→ −−−→ −−→ N2 M2 , N3 M3 , íàçûâàåìûõ ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè âåêòîðà NM = ~ a íà êîîðäèíàòíûå îñè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àôôèííûõ êîîðäèíàò  ïðîñòðàíñòâå −−−→ −−−→ −−−→ N1 M1 = Proj~e1 ~a, N2 M2 = Proj~e2 ~a, N3 M3 = Proj~e3 ~a. −−−→ −−−→ −−−→ ßñíî, ÷òî ~a = N1 M1 + N2 M2 + N3 M3 = Proj~e1 ~a + Proj~e2 ~a + Proj~e3 ~a. Î÷åâèäíî, ÷òî Proj~ei ~a = λi e~i , ãäå λi = mes~ei (Proj~ei ~a) = Apr~ei ~a. Ñëåäîâàòåëüíî, ~a = (Apr~e1 ~a)~ e1 + (Apr~e2 ~a)~ e2 + (Apr~e3 ~a)~ e3 . Âûâîä Àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ñëóæàò àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà íà êîîðäèíàòíûå îñè, à àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè àôôèííûå êîîðäèíàòû åå ðàäèóñ-âåêòîðà. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îïðåäåëåíèå Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÄÏÑÊ).  òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÄÏÑÊ îáîçíà÷àåòñÿ O~i ~j ~k (Oxyz ), ãäå |~i| = |~j| = |~k| = 1 è ~i ⊥ ~j , ~i ⊥ ~k , ~j ⊥ ~k . Îñè êîîðäèíàò: O~i îñü àáñöèññ, O~j îñü îðäèíàò, O ~k îñü àïïëèêàò. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Îïðåäåëåíèå Áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè áàçèñíûå âåêòîðû èìåþò åäèíè÷íóþ äëèíó è ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îïðåäåëåíèå Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÄÏÑÊ).  òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÄÏÑÊ îáîçíà÷àåòñÿ O~i ~j ~k (Oxyz ), ãäå |~i| = |~j| = |~k| = 1 è ~i ⊥ ~j , ~i ⊥ ~k , ~j ⊥ ~k . Îñè êîîðäèíàò: O~i îñü àáñöèññ, O~j îñü îðäèíàò, O ~k îñü àïïëèêàò. Îïðåäåëåíèå Êîîðäèíàòíàÿ îñü ÄÏÑÊ íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé îñüþ. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Òàê êàê ÄÏÑÊ ÷àñòíûé ñëó÷àé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~a ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: ~a = (Apr~i ~a)~i + (Apr~j ~a)~j + (Apr~k ~a)~k, òî åñòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû âåêòîðà (àáñöèññà, îðäèíàòà è àïïëèêàòà) ýòî àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà äåêàðòîâû îñè. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Òàê êàê ÄÏÑÊ ÷àñòíûé ñëó÷àé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~a ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: ~a = (Apr~i ~a)~i + (Apr~j ~a)~j + (Apr~k ~a)~k, òî åñòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû âåêòîðà (àáñöèññà, îðäèíàòà è àïïëèêàòà) ýòî àëãåáðàè÷åñêèå ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà äåêàðòîâû îñè. Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i íà ïðÿìîé. ßñíî, ÷òî Apr~i ~a = |~a|, åñëè ~a ↑↑ ~i , è Apr~i ~a = −|~a|, åñëè ~a ↓↑ ~i . Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j íà ïëîñêîñòè. Îïðåäåëåíèå Óãëîì íàêëîíà âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé óãîë, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü îðò äåêàðòîâîé îñè äî åãî ñîâïàäåíèÿ ñ îðòîì äàííîãî âåêòîðà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê îáùåìó íà÷àëó. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ 4. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j íà ïëîñêîñòè. Îïðåäåëåíèå Óãëîì íàêëîíà âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé óãîë, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü îðò äåêàðòîâîé îñè äî åãî ñîâïàäåíèÿ ñ îðòîì äàííîãî âåêòîðà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ê îáùåìó íà÷àëó. Òåîðåìà Àëãåáðàè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà äåêàðòîâó îñü ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëÿ ýòîãî âåêòîðà íà êîñèíóñ óãëà íàêëîíà ýòîãî −−→ −−→ âåêòîðà ê äåêàðòîâîé îñè, òî åñòü Apr~i NM = |NM| cos α, ãäå α óãîë íàêëîíà âåêòîðà ê îñè. Ðàññìîòðèì ÄÏÑÊ O~i ~j ~k â ïðîñòðàíñòâå. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàâíû àëãåáðàè÷åñêèì ïðîåêöèÿì äàííîãî âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ ÃËÀÂÀ 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐ
