u(x, 0)

Spektralmethoden
Mathematik, FS
Prof. D. Cohen und I. Sim
2008
Universität Basel
Serie 6
1.
Implementieren Sie eine Fourier-Galerkin-Methode um die folgende Gleihung zu lösen

∂u(x, t)
∂u(x, t)

in (0, 2π),

=
∂t
∂x
u(x, 0) = sin(π cos(x))


u(0, t) = u(2π, t).
Hinweis: Als Zeit-Verfahren, benutzen Sie Runge
4.
2.
Es sei
uN (x) :=
X
ûn exp (i n x),
|n|≤N/2
wobei
1
cn N
ûn =
mit
xj =
2πj
,
N
cn =
1 |n| < N/2
2 |n| = N/2
N
−1
X
u(xj ) exp (−i n xj )
j=0
.
a) Zeigen Sie, dass
N
−1
X
uN (x) =
u(xj )gj (x),
j=0
mit Lagrange-Polynomen
gj (x).
gj (xi ) = δij .
eine Matrix Dij ,
Geben Sie einen expliziten Ausdruk für
zeigen Sie, dass
b) Finden Sie
die der folgenden Gleihung genügt:
N
−1
X
duN (xi )
=
Dij u(xj ).
dx
j=0
Hierbei beweisen Sie, dass
Dij = −Dji .
3.
Mit Matlab, lösen Sie die folgende Gleihung

∂ 2 u(x, t)
∂u(x, t)


=
in (−1, 1)
∂t
∂x2
u(x, 0) = sin(x)


u(−1, t) = u(1, t) = 0
mit der Chebyshev-Kollokation-Methode.
1
gj (x)
und
4.
Hinweis: Als Zeit-Verfahren, benutzen Sie Runge
4.
Es sei
(u, v)N,ω :=
N
X
u(xj )v(xj )ωj
j=0
mit
xj = cos(πj/N)
Berehnen Sie
und
(Tk , Tk )N,ω
ωj =
mit
π/(2N) j = 0, N
π/N j = 1, . . . N − 1
den Chebyshev-Polynomen Tk .
5.
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Für
u(x) :=
N
X
an Tn
hat man
n=0
N
X
d2 u
:=
a(2)
n Tn ,
dx2
n=0
wobei
a(2)
n
=
1
cn
N
X
p(p2 − n2 )ap
p=n+2
p+n gerade
mit cn
=
2 n=0
1 sonst
.
6. (optional)
Zeigen Sie, dass für die n-te Chebyshev-Polynome den folgenden Gleihungen genügen:
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x), T0 (x) = 1 T1 (x) = x,
2Tn (x) =
1 dTn+1 (x)
n+1
dx
2
−
1 dTn−1 (x)
.
n−1
dx