ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Определение ряда и его сходимость
x
Определение 1. Выражение
u1  u2  ...  un  ...   un
n 1
называется числовым рядом. Числа u1 , u2 ,..., un ,... называются первым,
вторым, ..., n  m , ... членами ряда. u n называется общим членом ряда.
Определение 2. Сумма конечного числа первых членов ряда наз. n -ой
частичной суммой: S , ,  u1  u2  ...  un
Определение 3. Если существует конечный предел lim S , ,  S , то он
называется суммой ряда, а ряд называется сходящимся. Если
lim S n
n
не существует или равен бесконечности, то ряд
называется расходящимся и суммы не имеет.
Простейшие свойства числовых рядов
Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда отбрасыванием
нескольких его членов, то сходится и ряд. Обратно, если сходится
данный ряд, то сходится ряд, полученный из ряда отбрасыванием
нескольких членов. Другими словами: на сходимость ряда не влияет
отбрасывание конечного числа его членов.
S n  Ck   n  k
, где
Ck - постоянное число, не зависящее от n.
Из последнего равенства следует, что если существует
то существует и
то существует и
lim S n
lim  n  k
n
n
lim  n  k
n
, и обратно, если существует
lim S n
n
Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S , то ряд
cu1  cu2  ...  cun  ... , где c- число, также сходится и его сумма равна cS.
u1  u2  ...  un  ... и v1  v2  ...  vn  ...
Теорема3. Если ряды
сходятся и их суммы равны, соответственно ряды
u1  v1   u2  v2   ...  un  vn   ... и u1  v1   u2  v2   ...  un  vn   ...
также сходятся и их суммы равны..
Необходимый признак сходимости ряда
Теорема. Если ряд сходится, то
Следствие. Если
lim un  0
lim un  0
n 
, то ряд u1  u2  ...  un  ... расходится.
n 
Достаточные признаки сходимости
знакоположительных числовых рядов
Определение 4. Числовой ряд называется знакоположительным, если u n >0
при всех n =1,2,3....
Нахождение суммы ряда S  lim S n часто связано с большими техническими

трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: S S n . Последнее
равенство тем точнее, чем больше n , при условии, что ряд сходится.
Сходимость или разходимость ряда во многих случаях можно установить с
помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом
параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для
таких рядов частичные суммы S1 , S 2 ,..., S n ,...образуют возрастающую числовую
последовательность S1 < S 2 < ...< S n< ... .
Возможны два случая:
1) последовательность частичных сумм неограничена;
в этом случае
lim S n   и ряд расходится;
n 
u
2) последовательность частичных сумм ограничена, то
существует такое число C > 0, что S n < C при любых
=1,2,... . В этом cлучае существует конечный предел
lim S n
следовательно, ряд сходится.
n
Теорема 4. (Признак сравнения) Пусть даны два
знакоположительных числовых ряда
u1  u2  ...  un  ... и v1  v2  ...  vn  ... , причём
un  vn при любых n = 1,2,... .
Тогда: 1. Если ряд сходится, то сходится и ряд;
2. Если ряд расходится, то расходится и ряд.
Замечания.
1. В силу теоремы 1 признак сравнения справедлив и в случае, если un  vn
начиная с некоторого номера k , то есть при n  k .
2. Для использования признака сравнения нужно иметь для сравнения ряды,
про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. В качестве таких
рядов
можно
использовать
сходящуюся
бесконечно
убывающую геометрическую
прогрессию,
а также обобщённые

1
где k - действительное число.
гармонические ряды 
k
n 1 n
Несколько позже будет доказано, что при
k такие
1 ряды расходятся, а при
>1 kсходятся. При
=1 получаем уже упоминавшийся расходящийся
гармонический ряд.
Теорема 5. (Предельный признак сравнения)
Даны два знакоположительных числовых ряда и существует конечный
un
предел
 A  0 , то ряды сходятся или расходятся одновременно.
k
lim v
n 
n
Замечание. Предельный признак сравнения рекомендуется применять случаях,
когда общий член ряда представляет собой отношение степенных функций. Для
сравнения выбирается гармонический ряд, общий член которого, равен
отношению степеней числителя и знаменателя общего члена данного ряда.
Теорема 6. (Признак Даламбера)
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
и пусть существует предел
u1  u2  ...  un
u n 1
lim
 p
n  u
При p <1 ряд сходится, при p >1 ряд расходится.
Замечания.
1.Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера,
то
lim u n  0
n 
1. При p  1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В
этом случае нужно применять другие признаки сходимости.
2. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении
общего члена ряда показательной функции или факториала.
Теорема 7. (Признак Коши)
Дан знакоположительный числовой ряд
предел
lim
n 
n
un  p
При
p >1 ряд
u1  u2  ... u n и существует
сходится, при
p >1 ряд
расходится.
Теорема
8.
(Интегральный
признак
Коши)
Пусть
члены
знакоположительного числового ряда u1  u2  ... u n
не возрастают:
u1  u2  ... u n  ... и пусть f x  такая положительная, непрерывная,
невозрастающая на промежутке 1; 
функция, что
f 1  u1 , f 2  u2 ,..., f n  un ,... Тогда ряд сходится или расходится одновременно с
несобственным интегралом

 f x dx
1
Знакопеременные ряды
Определение 5. Числовые ряды, содержащие как
положительные, так и отрицательные члены,
называются знакопеременными рядами. Ряды, все члены
которых отрицательные числа, не представляют нового
по сравнению со знакоположительными рядами, так как
они получаются умножением знакоположительных
рядов на 1. Изучение знакопеременных рядов начнём с
частного случая - знакочередующихся рядов.
Определение 6. Числовой ряд вида
u1  u2  u3  u4  ...   1n  1un  ...,
где un— модуль члена ряда, называется
знакочередующимся числовым рядом.
Теорема 9. ( Признак Лейбница) Если для знакочередующегося числового ряда
n 1
u1  u2  u3  u4  ...   1 un  ...
Выполняются два условия:
1. Члены ряда убывают по модулю
>
>…>
>…,
1
2
n
2.
то ряд сходится, причём его сумма положительна и не превосходит
n
первого члена ряда.
u
lim u  0
n
u

n 1
  1 
Исследовать на сходимость ряд
i 1
u
1
2
n  n  1
1
1
un 
> u n 1 
2
n  1n  22
nn  1
Применим признак Лейбница.
1
lim un  lim
0
2
n  x nn  1
n 
Замечания.
1. Теорема Лейбница справедлива и если условие
n > n 1 выполняется, начиная
с некоторого номера N.
2. Условие
n > n 1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не
выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов
1 1 1
1
1
u
u
1
2
2



n 1
3
3

4
2
u
u
 ... 
2n  1

1

3
2n 1 n1
3
1
2n2

2n 
2
 ...
хотя условие
u n > u n 1 не выполняется.
Определение 8. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный
ряд сходится условно.
Определение 9. Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится
абсолютно.
Теорема 10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
или признак абсолютной сходимости)
Пусть u1  u2  ...  un  ... 

u
n 1
n
знакопеременный ряд и пусть сходится ряд,
составленный из абсолютных величин его членов

u1  u2  ...  un  ...   un
Замечание. Обратное утверждение неверно.
n 1
Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
может и расходиться.

Например, ряд

n 1
 1n
n

1

n 1 n
сходится по признаку Лейбница, а ряд
расходится (это гармонический ряд).
Остаток ряда и его оценка
Рассмотрим сходящийся числовой ряд u1  u2  ...  u2 n  un 1  un  2  ...
Вычисление суммы ряда
S  lim S обычно технически очень сложно.
n 
Поэтому в качестве
n
S берут S  Sn
Точность этого равенства возрастает с увеличением n.
Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность R  S  S называется
n
n
остатком ряда. Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:
Заметим, что
R  u  u  ...
n
n 1
n2
lim Rn  lim S  S n   S  S  0
n 
n 
Абсолютная погрешность при замене суммы ряда Sего частичной суммой равна
Rn  S  Sn . Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью
до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось
условие Rn < E . Однако в общем случае находить точно Rn, не удаётся.
Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда) Если
знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -ой остаток
по абсолютной величине не превосходит модуля n  1 -го члена ряда.
ГЛАВА 2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Основные понятия
Определение 10. Ряд, члены которого являются функциями, называется
фундаментальным рядом. Его обозначают: u1 x   u2 x   ...  un x   ... .
Определение 11. Если при x  x0 функциональный ряд сходится, то x0 называется
точкой сходимости функционального ряда.
Определение 12. Множество всех точек сходимости функционального ряда
называется его областью сходимости. Очевидно, что в области сходимости
функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S x .
Определение 13. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
2
a0  a1 x  a   a2 x  a   ...  an x  a  , где a, a0 , a1 , a2 ,..., an некоторые
числа, называемые коэффициентами степенного ряда
Теорема 12. (О структуре области сходимости степенного ряда) Областью
сходимости степенного ряда является интервал a  R; a  R , к которому в зависимости
от конкретных случаев могут быть присоединены точки a  R и a  R , где
a
(если этот предел существует). В каждой точке интервала
R  lim n
ряд сходится абсолютно.
a  R; a  R
n  a

n 1





a  R; a  R , называется интервалом сходимости
Определение 14. Интервал
степенного ряда, а половина его длины
называется
R радиусом сходимости степенного
ряда.
Замечание. Любой степенной ряд сходится при x  a. Если других точек сходимости у
ряда нет, то считают, что
R. Если
 0 степенной ряд сходится во всех точках числовой
прямой, то считают, что
. R
Свойство степенных рядов
2
n 1
1) Сумма S x  степенного ряда S x  a0  a1 x  a   a2 x  a   ...  an x  a   ...
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости
a  R; a  R
2) Ряд
 x  a1  2a2 x  a   ...  nan x  an1  ... , полученный
почленным дифференцированием ряда, является степенным рядом с тем же,
что и ряд, интервалом сходимости a  R; a  R .
Сумма ряда  x  S ' x
Замечание. Ряд также можно почленно дифференцировать и сумма
полученного после этого ряда  ' x  S ' ' x и так далее.




Таким образом, сумма ряда S x  является бесконечно дифференцируемой
функцией в интервале сходимости a  R; a  R . Сумма ряда, полученного из
n 
ряда n -кратным дифференцированием равна S
x . Область сходимости
степенного ряда при дифференцируемости не меняется.
 
3) Пусть числа

и

принадлежат интервалу сходимости a  R; a  R ряда.
Тогда имеет место равенство




 S xdx   a0dx   a1 x  a dx  ...   an x  a   ...
n




Разложение функций в степенные ряды

Пусть функция f xбесконечно
дифференцируема в

a  Rи; является
a  R суммой
2
степенного ряда
n  ...
f x  a0  a1 x  a   a2 x  a   ...  an x , aгде
a  R; a  R - интервал сходимости ряда. В этом случае говорят, что функция
f x  разлагается в степенной ряд в окрестности точки a или по степеням
x  a . Определим коэффициенты a, a0 , a1 , a2 ,..., an ряда , для чего
продифференцируем n раз ряд.
f x  a0  a1 x  a   a2 x  a   a3 x  a   a4 x  a  ...  an x  a   ...
2
3
4
n
2
3
n










f ' x  a0  2a2 x  a  3a3 x  a  4a4 x  a  ...  nan x  a  ...
f ' ' x  2a2  3  2a3 x  a   4  3a4 x  a   ...  n 1nan x  a 
2
n 2
f ' ' ' x  3  2a3  4  3  2a4 x  a   ...  n  2n 1nan x  a 
n 3
 ...
 ...
f n   x   2  3...n  2n  1nan  ...
Все ряды имеют интервал сходимости a  R; a  R. При x  a из полученных
n 
тождеств получаем f a   a0 , f ' a   a1 , f ' ' a   2a2 ,..., f a   2  3...n  2n  1nan ,...
Отсюда находим коэффициенты степенного ряда :
n 
f ' a 
f ' ' a 
f ' ' ' a 
f a 
a0  f a , a1 
, a2 
, a3 
,..., an 
,...
1!
2!
3!
n!
Подставляя полученные значения коэффициентов в ряд, получаем
f ' a 
f ' ' a 
f ''  a 
2
x  a  
x  a   ... 
x  a n  ...
f x   f a  
1!
2!
n!

ряд называется рядом Тейлора для функции f x в точке
a  0 ряд принимает вид и называется рядом Маклорена.
'' 
a . В частном случае при
f ' 0
f ' ' 0 2
f 0 n
f x   f 0 
x
x  ... 
x  ...
1!
2!
n!
Таким образом, если функция f x  является суммой степенного ряда, то этот ряд
называется рядом Тейлора для функции f x  . Пусть теперь дана бесконечно
дифференцируемая в точке функция f x . Составим для неё формально ряд Тейлора:
a
f ' a 
f ''  a 
x  a   ... 
x  a n  ...
f a  
1!
n!
Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией f x  , для которой он
составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает
с функцией, для которой он составлен? Рассмотрим
-ю частичную сумму ряда
Тейлора
 '' 
n
f ' a 
f a 
x  a   ... 
x  a n
S n x   f a  
1!
n!
n
Многочлен называется многочленом Тейлора степени
.
Разность
остаточным членом ряда Тейлора. Приведём
Rn x  f x  S nназывается
x
без доказательства следующую теорему.



Теорема 13. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке
функция f x  являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора,
необходимо и достаточно, чтобы lim R x  0
n 
n
a
 
Можно показать, что остаточный член можно представить в форме
Лагранджа
f n1 c 
n 1
x  a  , где c - некоторое число из интервала a; x .
Rn x  
n  1!
Таким образом:
f ' a 
f ''  a 
f n1 c 
n
x  a   ... 
x  a  
x  a n1
f x   f a  
n  1!
1!
n!
Формула называется формулой Тейлора, а её частный случай при a  0
называется формулой Маклорена:
f' 0
f '' 0 n f n1 c n1 где c  0; x
f x f 0 
x  ... 
x 
x ,



1!

n!

n  1!


Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и
Маклорена
x
1)Разложение функции f  x   e в ряд Маклорена:
f 0  f ' 0  f ' ' 0  ...  f n  0  ...  1
f x   f ' x   f ' ' x   ...  f n  x   ...  e x
2
n
x
x
x
 ...
Составим для функции f x   e x формально ряд Маклорена: 1    ... 
1! 2!
n!
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых
 ;
lim
n 
x
n 
un
 lim
n 
n! x
n 1
n  1! x
n
 lim
n 
x
n 1
0
x , следовательно, областью сходимости ряда является промежуток
Заметим, что так как ряд сходится абсолютно,
n
 0 при любых
n!
Так как
lim
un 1
x
xn
и тем более lim
 0 при любых
n  n!
f n1 x   e x и f n1 c   ec , то
n 1
ec  x n1
x
lim Rn x   lim
 ec lim
0
n
n n  1!
n n  1!
Таким образом, имеет место разложение при
x x2
xn
e  1    ...   ...
1! 2!
n!
x
x.
x   ;
2) Разложение функции
данной функции.
f x  sin x в ряд Маклорена Вычислим производные





f  x   cos x  sin  x   ; f '  x    sin x  sin  x  2  ; f ' '  x    cos x  sin  x  3  ;
2
2


2



f 4   x   sin x  sin  x  4  ;
2



f n  x   sin  x  n 
2

f x  и производных в точке
n 1
О : f 0  0, f ' 0  1, f ' ' 0  0, f ' ' ' 0  1, f 4  0  0... f 2 n 1 0   1 , f 2 n  0  0
Вычислим значения
Исследуем остаточный член ряда.
f n 1 c   x n 1
Rn x  
n  1!


sin  c  n  1  
n 1

x

2

  x n 1 


sin
c

n

1


 1
так как
2
n  1!
n  1!

Переходя к пределу при
следовательно,
n   получаем
lim Rn x   0
n
и
lim Rn x   lim
n 
lim Rn  x   0
n 
x
n 1
n  1!
0
n 
Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является
промежуток  ; Таким образом, имеет место разложение при x   ;

x3 x5
 1  x 2 n 1
sin x  x    ... 
 ...
2n  1!
3! 5!
n 1
3) Разложение функции y  cos x в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд , получаем
разложение при x   ;



x2 x4
 1  x 2 n 2
cos x  1    ... 
 ...
2n  2!
2! 4!
n 1
4) Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию f  x   1  x mгде
- любое действительное число. Для этого вычислим производные:
f x   1  x  , f ' x   m  1  m1  x 
m2
m
, f ' ' x   m  2m  1  m1  x 
m 3
f n   x   m  n  1...m  2 m  1  m1  x 
mn
,... При
x0
m0
,...,
получаем
.
f 0  1, f ' 0  m, f ' ' 0  m  1 m, f ' ' ' 0  m  2m  1 m,..., f 0  m  n  1...m  2m  1 m,...
Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток  1;1
(на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных
значений m ) и что
n 
x  1;1 имеет место разложение:
1  x m  1  m x  mm  1 x 2  mm  1m  2 x 3  ...  mm  1m  2...m  n  1 x n  ...
lim Rn  x   0
n 
Таким образом, при
1!
2!
3!
Ряд называется биномиальным рядом.
n!


5) Разложение функции f x  ln x в ряд Тейлора. При x  0 функция f x  ln x
не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в
ряд Тейлора, например, по степеням x 1 . Для этого, вычислим производные:

f ' x  

1
 x 1 , f ' '  x   1 x  2  1! x  2 , f ' ' ' x   1 2  x 3  2! x 3 , f 4  x   1 2  3  x  4  3! 4 ,...,
x
n 1
n 
f  x    1  n  1! x  n ,... При
получаем
x 1
f 1  0, f ' 1  1, f ' ' 1  1!, f ' ' ' 1  2!, f 4  1  3!, f n  1   1
Можно показать, что областью сходимости ряда является
Rn  0
промежуток 0;2 и что lim
n 
n 1

Таким образом, при x  0;2
имеет место разложение:
 1
x  1  x  1  x  1
ln x 


 ... 
1
2
3
2
3
 n  1!,...
n 1
  x  1n
 ...
n
Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена
непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при
нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах
покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.
Применение рядов к приближённым вычислениям
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых
вычислениях. Рассмотрим это на примерах.
.