Контрольная работа № 3 Функции нескольких переменных

Контрольная работа № 3
Функции нескольких переменных
Вариант 1
1. Вычислить предел или доказать, что его не существует:
(a) lim
x→0
y→0
x2 y 3
(x2 + y 2 )2
;
x3 y 2
.
x→0 x6 + y 4
y→0
(b) lim
2. Исследовать функцию
(
f (x, y) =
x sin √y , x 6= 0;
|x|
0,
x = 0.
на дифференцируемость в точке (0; 0).
x
3. Для функции f (u, v) найти fx0 и fy0 , если u = xy, v = .
y
4. Для функции u(x, y), заданной неявно уравнением
2x2 + 2y 2 + u2 − 8xu − u + 8 = 0,
найти частные производные второго порядка
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
,
,
в точке x = 2, y =
∂x2 ∂x∂y ∂y 2
= 0, u = 1.
5. Разложить функцию
u(x, y) =
1
x−y
по формуле Тейлора в окрестности точки (2; 1) до членов 2-го порядка включительно.
x
6. Исследовать функцию z = (x + y 2 ) e 2 на экстремум.
7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции u = y 4 − x4 на множестве
x2 + y 2 6 9.
Контрольная работа № 3
Функции нескольких переменных
Вариант 2
1. Вычислить предел или доказать, что его не существует:
xy 5
(a) lim 2
;
x→0 x + y 10
y→0
(b) lim
x→0
y→0
x3 y 2
(x2 + y 2 )2
.
2. Исследовать функцию
(
f (x, y) =
−
e
1
x2 +y 2
0,
, x2 + y 2 > 0;
x = y = 0.
на дифференцируемость в точке (0; 0).
3. Для функции f (u, v) найти fx0 и fy0 , если u = x2 − y 2 , v = exy .
4. Для функции z(x, y), заданной неявно уравнением
x2 y 2 z 2
+ − = 1,
a2 b 2 c 2
найти частные производные второго порядка
∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z
,
,
в точке x = a, y =
∂x2 ∂x∂y ∂y 2
= b, z = c.
5. Разложить функцию
u(x, y) =
√
x+y
по формуле Тейлора в окрестности точки (2; 2) до членов 2-го порядка включительно.
2 −y
6. Исследовать функцию z = (5 − 2x + y) ex
на экстремум.
7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции u = x2 − y 2 на множестве
x2 + y 2 6 2x.