1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = (1 – 1)

ТЕМА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
РЯДЫ
I. Парадоксы, связанные с бесконечностью.
Задание 1. Попробуйте определить сумму, состоящую из бесконечного числа
слагаемых, в которой чередуются 1 и –1. Используйте для вычисления различные
способы группировки.
1–1+1–1+1–1+…=?
Решение.
I способ.
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … =
II способ.
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) – … =
III способ.
Пусть S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
Тогда
т.е.
.
.
1–1+1–1+1–1+…=1–(

S=
выразите чер ез S
),
S=
.
значение
Сумма, состоящая из бесконечного количества слагаемых, называется рядом. В
школьном курсе рассматривалась бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
для которой известна формула суммы всех ее членов:
S  b  bq  bq 2  ... 
,
где
b–
q–
,
( q
).
??
Какие проблемы могут возникнуть при суммировании бесконечного количества
слагаемых?
.
.
.
Историческая справка. Одна из знаменитых апорий Зенона Элейского (V век до н.э.)
«Ахиллес и черепаха» приводит к понятию бесконечного суммирования. В то время, когда
Ахиллес, находящийся на определенном расстоянии от черепахи и догоняющий ее, преодолеет
половину исходного расстояния между ними, черепаха успеет за это время отползти на какоето расстояние. Далее Ахиллес вновь преодолевает половину разделяющего их расстояния, а
черепаха снова удаляется от Ахиллеса. Сможет ли Ахиллес догнать черепаху?
Геометрический ряд исторически был первым бесконечным рядом, для которого была
определена его сумма. Архимед (III век до н.э.) для вычисления площади параболического
сегмента (фигуры, ограниченной прямой и параболой) применил суммирование бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем 14 . Интересно, что после Архимеда вплоть до XVI
века математика рядами не занималась. Ряды вошли в математику лишь тогда, когда началось
изучение изменяющихся процессов. Эти исследования связаны с именами таких известных
ученых, как Г.В. Лейбниц, Л. Эйлер и др., например, идея представления функций степенными
рядами принадлежит И. Ньютону.
44
II. Основные понятия.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел:
а
n
n

а1, а2, …, аn, …
–
аn, где n =
  ai
Sn 
(*)
–
;
–
.
i
Частичные
суммы
можно
также
последовательность:
S1, S2, …, Sn, …
рассматривать
Если существует предел этой последовательности
как
числовую
S=
,
м а т е м а т и ч е с ка я з а п и с ь
то ряд (*) называется
,
при этом
.
S–
Если последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд называется
. (Такой ряд суммы не имеет.)
Примеры.
а) 1 + q + q2 + … + qn + … –
.
Sn 
Если q  1, то
,
н а з ва н и е ч и с ло во й п о с ле д о в а т е л ь н о с т и
при этом lim S n  lim
n  

n  

.
вывод о сходимости ряда
Если q =1, то

, Sn =

б) Исследуйте ряд
1
 n(n  1)
.
вывод о сходимости ряда
вид ряда
на сходимость.
n 1

1
 n(n  1)
=
n 1
п р е д с т а в ь т е р я д в ви д е б е с ко н е ч н о й с ум м ы
an 
1

n(n  1)
п р е д с т а в ь т е n - ы й ч л е н р я д а в ви д е р а з н о с т и д в ух д р о б е й
45
Тогда Sn =
п р е д с т а в ь т е к а ж д ы й ч л е н р я д а в ви д е р а з н о с т и д в ух д р о б е й и уп р о с т и т е
lim S n  lim
n  

n  
.

.
в ы в о д о сходимости ряда (если возможно, то укажите его сумму)
III. Основные свойства рядов.
Пусть дан ряд

a
n 1
n
.
(*)
Если в ряде (*) отбросить первые m членов, то получится ряд:
=
a
i
i
;
(**)
его называют остатком ряда (*) после m-го члена (или просто остаток m).
Теорема 1. Остаток m ряда сходится или расходится одновременно с
.
.
Доказательство.

Пусть S k – частичная сумма k членов ряда (**), т.е.
.
выр а з и т е ч е р е з ч а с т и ч н ы е с ум м ы р я д а ( *)
При фиксированном значении m
Sm –
.

Тогда существование предела lim S k (или
)
n  
с м ы с л с ущ е с т во в а н и я п р е д е ла
равносильно
.
(или
).
Следствие 1. При исследовании ряда на сходимость можно
.
.
Теорема 2 (необходимый признак сходимости ряда).
Общий член аn сходящегося ряда (*) стремится к
при
, т.е.
.
.
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь
46
Доказательство.
Так как ряд сходится, то
.
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь

аn =
lim an 
n  
в ы р а з и т е ч е р е з ч а с т и ч н ы е с ум м ы
Следствие 2. Если общий член аn ряда не стремится к нулю при n
,
то
.
в ы в о д о с хо д и мо с т и р я д а
??
Если lim an  0, то означает ли это, что ряд
n  

a
n 1
n
сходится?
.
Пример.

1
n 
– гармонический ряд.
n 1
п р е д с т а в ь т е р я д в в и д е б е с к о н е ч н о й с ум м ы
lim an 
n  

S2n – Sn = 

 
 – 
 
=
>
п р е д с т а в ь т е в в и д е с ум м ы д р о б е й ; с к о ль ко и х ?

 =

о ц е н и т е с п о мо щ ь ю с а мо й м а ле н ь ко й д р о б и
Если бы гармонический ряд сходился, то lim (S 2n  S n ) 

n  
.
в ы в о д о с хо д и мо с т и г а р м о н и ч е с ко г о р я д а

Теорема 3. Если ряд
a
n 1

n
сходится и его сумма равна S, то ряд
n 1
, тоже сходится и его сумма равна

Теорема 4. Если ряды
 an и
n 1

А и В, то ряд
 (a
n 1
n
с a
n
, где с –
.

b
n 1
n
сходятся и их суммы равны соответственно
 bn ) тоже сходится и его сумма равна
.
Доказательства теорем 3 и 4 основаны на свойствах пределов последовательностей:
;
.
ук а ж и т е с о о т ве т с т в ую щ и е с во й с т в а
47
IV. Положительные ряды и признаки сходимости.

Ряд
a
n 1
n
называется положительным, если
.
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь
.
с л о в е с н а я ф о р м ул и р о в к а
Тогда Sn+1
Sn , т.е. последовательность частичных сумм
.
сравните
Чтобы существовал предел частичных сумм
, необходимо и
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь
достаточно, чтобы последовательность S n  была ограничена сверху.
Теорема 5 (признак сравнения).
Пусть даны два положительных ряда:

a
n

(1)
n

(2)
n 1

b
n 1
Если члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2), т.е.
, то
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь

из сходимости ряда (2) следует
;
вы во д о т н о с и т е ль н о р я д а ( 1 )

из расходимости ряда (1) следует
.
вы во д о т н о с и т е ль н о р я д а ( 2 )

Пример.
Исследуйте на сходимость ряд
n 1
??
1
 (n  1)
Является ли данный ряд положительным?
2
.
, так как
.
Можно ли n-ый член данного ряда сравнить с помощью n-го члена другого ряда,
сходимость которого уже известна?
1
1


2
(n  1)( n  1)
(n  1)
.
в ы в о д о с хо д и мо с т и р я д а
.
48
Признак Даламбера.

Если члены положительного ряда
a
n 1
при 
n
таковы, что lim
n  
ряд
;
условие
при 
an1
  , то
an
вывод о сходимости ряда
ряд
.
условие
вывод о сходимости ряда
Примечание. Если 
, то необходимо дополнительное исследование, так как
возможно, что ряд сходится или расходится.
Примеры.

а)
1
n
–
, при этом lim
a n 1
=
an
, при этом lim
a n 1
=
an
n  
n 1
вывод о сходимости ряда

б)
1
 (n  1)
n 1
2
–
n  
вывод о сходимости ряда
Исследуйте следующие ряды на сходимость:

в)
1
 n! =
n 1
п р е д с т а в ь т е р я д в в и д е б е с ко н е ч н о й с ум м ы
lim
n  
a n 1
=
an
.
в ы в о д о с хо д и мо с т и р я д а

г)
nn
 n! =
n 1
п р е д с т а в ь т е р я д в в и д е б е с ко н е ч н о й с ум м ы
lim
n  
a n 1
=
an
.
в ы в о д о с хо д и мо с т и р я д а
49
V. Знакочередующиеся ряды и признак сходимости.
Ряд вида
.
называется знакочередующимся.
Теорема Лейбница (признак сходимости знакочередующегося ряда).
Если:

члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно убывают,
т.е.
;
м а тем ат ич ес ка я з а п и сь

n-ый член ряда при неограниченном возрастании n стремится к нулю,
т.е.
,
м а тем ат ич ес ка я з а п и сь
то знакочередующийся ряд сходится.
1 1 1
(1) n1
1     ... 
 ...
2 3 4
n
Пример. Исследуйте на сходимость следующий ряд:
.
пр о вер ка п ер во го ус ло в ия т ео р ем ы

.
пр о вер ка в то р о го ус л о в ия т ео р ем ы
вы во д о с хо д им о с т и р я да
VI. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Пусть
a
n 1
n
– произвольный знакопеременный ряд.

a
n 1
n
–
ряд.
к а ко й?

Теорема. Если ряд
 an сходится, то ряд
n 1

a
n 1
.
n
вы во д о с хо д им о с т и р я да

Определения. Ряд
a
n 1

Если же ряд

n
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
 an расходится, а ряд
n 1
a
n 1
n
.

a
n 1
n
сходится, то его называют
.
.
Задание 1. Приведите пример условно сходящегося ряда.
50
VII. Степенные ряды.
Определение 1. Ряд

 a( х) ,
каждый член которого является функцией от х,
n 1
называется
.
Из них наиболее употребительными являются степенные и тригонометрические.

Определение 2. Функциональный ряд вида
a
n 1
n
 х n , где а1, а2, …, аn, … –
, называется
.

Иногда рассматривают степенные ряды более общего вида:
a
n 1
n
 ( х  х0 ) n .
Если значение х фиксировано, то степенной ряд из функционального
превращается в
. В зависимости от значения х можно
говорить о сходимости или расходимости ряда.
Возможна сходимость степенного ряда:

только при х = 0;

на всей числовой прямой, т.е.
;
ук а ж и те зн аче н и я х

при х  R , где R –
.
Если при х  R ряд сходится, а при х  R – расходится, то тогда:
R–
;
(-R; R) –
.
Если ряд сходится только при х = 0, то R =
;
если ряд сходится на всей числовой оси, то R =
.
В простейших случаях радиус сходимости R определяют с помощью признака
an
сходимости Даламбера:
.
R  lim
n   a
n 1

Пример. Определите радиус и интервал сходимости степенного ряда
аn =
R=
51
n
1  x
  .

n 1 n  3 
VIII. Применение рядов в приближенных вычислениях.
В приближенных расчетах очень часто используют представление функции
у = f(x) в виде степенного ряда. При этом используются, как правило, частичные суммы
этого ряда. Следует иметь в виду, что если какую-то функцию удалось разложить в ряд,
то это представление единственно.
Например,
1
 1  х  х 2  ...  х n  ...
1 х
Такой ряд сходится при х
, так данный ряд при этом условии будет
являться
.
В случае, если функция у = f(x) n раз дифференцируема в окрестности некоторой
точки х0, то ее можно представить в виде степенного ряда следующим образом:
f ( x )  f ( x0 ) 
f ( x0 )
f ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
1!
2!
 ...
в ып и ш и т е n - ый ч л е н р я д а
Такой ряд называется рядом Тейлора функции f(x). При х0 = 0 ряд Тейлора называется
рядом Маклорена и имеет вид:
Используя разложение функции в ряд, ее можно представить через n-ую частичную
сумму степенного ряда:
f ( x)  S n ( x)  rn ( x) , где
S n (x) –
;
rn (x) –
.
Существуют специальные признаки, позволяющие установить, что ряд Тейлора
(или Маклорена) сходится к функции у = f(x) (тогда и только тогда, когда
lim rn ( x)  0 ).
n  
Представление функции в виде степенного ряда позволяет находить ее значения
с заданной точностью, интегрировать как сумму степенных функций и т.п.
Задание 2. Разложите следующие функции в ряд Маклорена:
а) у = ех.
у  
; …;
у (n ) 
; у (0) 
; …;
у (n) (0) 
Ряд сходится на всей числовой оси (R =
).
у 
у (0) 
;
у(0) =
Тогда ех=
52
б) у  sin x .
у 
;
у (V ) 
у(0) = у (
у(0)  у (
у  
;
у  
;
у ( IV ) 
;
;
у ( IV ) 
;
;
у ( IV ) 
;
; …;
у (n) (0) 
и т.д.
)
(0) =
)
(0) 
;
у(0)  у ( ) (0) 
Тогда sin x =
Ряд сходится на всей числовой оси (R =
).
в) у  cos x .
у 
;
у (V ) 
у(0) = у (
у(0)  у (
у  
;
у  
и т.д.
)
(0) =
)
(0) 
;
у(0)  у ( ) (0) 
Тогда cos x =
Ряд сходится на всей числовой оси (R =
).
г) y  ln( 1  x) .
у 
;
у  
у (V ) 
и т.д.
у (0) 
; у (0) 
;
у  
; у (0) 
у(0) =
Тогда ln( 1  x) 
Ряд сходится при х  (–1; 1].
53