Распределенные системы

ПРОГРАММА
Итогового междисциплинарного государственного экзамена
для направления подготовки 231300 -“Прикладная математика”
2014/2015 учебный год
Классическая математика
Алгебра и аналитическая геометрия
1. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.
Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными.
2. Линейная зависимость векторов в арифметическом пространстве Rn. Базис и размерность пространства. Ранг матрицы, вычисление ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц.
3. Системы линейных алгебраических уравнений. Совместность системы. Правило решения произвольной системы линейных уравнений. Однородные системы. Фундаментальная система решений.
4. Линейное пространство над произвольным полем. Линейные подпространства, линейная оболочка.
5. Линейные операторы в линейном пространстве.
6. Матрицы и операции над ними. Ранг матрицы. Обратные матрицы. Применение матриц при решении систем линейных уравнений.
7. Квадратичные формы. Изменение матрицы формы при линейном преобразовании переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции.
8. Положительно определенные квадратичные формы.
9. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Пучки и связки прямых. Критерии
параллельности и перпендикулярности прямых.
10. Уравнения плоскости в пространстве. Критерии параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
11. Уравнения эллипса, параболы и гиперболы в декартовых координатах. Геометрические свойства этих кривых.
12. Кривые второго порядка. Классификация кривых 2-го порядка.
13. Поверхности второго порядка
Математический анализ
1. Понятие предела числовой последовательности в R. Сходимость последовательностей
комплексных чисел
2 Непрерывность функций действительного аргумента. Классификация точек разрыва.
3. Дифференцируемость функций одной вещественной переменной. Дифференцируемость
векторных функций вещественной переменной.
4. Дифференцируемость вещественных функций многих переменных. Частные производные и дифференциал.
5. Производные высших порядков. Смешанные производные. Дифференциалы высших
порядков.
6. Комплексная дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Аналитические (голоморфные) функции и их свойства.
7. Интеграл Римана функций одной переменной.
8. Первообразная. Теорема Ньютона - Лейбница. Дифференцируемость интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу.
9. Криволинейные интегралы на плоскости и в пространстве. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Теорема Коши об интеграле функции.
10. Понятия о двойном и тройном интегралах. Критерии интегрируемости. Поверхностные интегралы. Теоремы Остроградского и Стокса.
11. Числовые ряды. Вещественные и комплексные ряды. Сходимость и сумма ряда. Основные признаки сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости.
12. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
13. Степенные ряды и их область сходимости. Ряды Тейлора и Лорана.
Дискретная математика
1. Логика высказываний. Логические формулы. Логические операции. Таблицы истинности.
2. Равносильность формул логики высказываний. Свойства равносильности. Равносильные преобразования.
3. Логическое следствие. Его свойства. Логический вывод.
4. Предикат, его местность, область истинности. Логические операции над предикатами.
5. Кванторы. Составные префиксы. Формулы логики предикатов и их равносильность.
6. Множество и его характеристический предикат. Теоретико-множественные операции,
их связь с логическими операциями.
7. Отображения и функции. Композиция отображений. Обратные отображения. Основные
классы отображений (инъекции, сюръекции и биекции).
8. Бинарные отношения. График, граф и матрица бинарного отношения. Основные классы
бинарных отношений. Отношение эквивалентности.
9. Графы и способы их задания. Матрица смежности и матрица инцидентности
10. Связность ориентированного и неориентированного графов. Компоненты связности.
Алгоритм нахождения сильно связанных компонент ориентированного графа.
11. Комбинаторика. Перестановки, размещения, сочетания.
Теория вероятности и математическая статистика
1. Пространства элементарных событий (вероятное пространство). Алгебра и  - алгебра
событий. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности.
2. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения.
3. Многомерная случайная величина. Ее функция и плотность распределения.
4. Условная вероятность. Независимость случайных величин. Вид функции и плотность
распределения многомерной случайной величины в случае независимости компонент.
5. Испытание Бернулли. Биномиальные вероятности. Распределение Бернулли и его характеристики.
6. Нормальное распределение и его характеристики. Формула Лапласа для нормального
приближения распределения Бернулли.
7. Пуассоновское распределение и его характеристики. Пуассоновское приближение для
распределения Бернулли.
8. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины.
9. Дисперсия случайной величины. Ковариация двух случайных величин. Среднеквадратическое отношение. Коэффициент корреляции.
10. Свойства коэффициента корреляции. Условие, при котором модуль его равен единице.
Смысл знака коэффициента корреляции.
11. Неравенство Чебышева. Доверительный интервал. Закон больших чисел в форме Чебышева.
12. Генеральная совокупность и выборка из нее. Эмпирическая функция распределения и
гистограмма.
13. Оценка параметра распределения, ее несмещенность и состоятельность. Оценки математического ожидания, дисперсии, ковариации, коэффициента корреляции.