7 класс. Ответы.

7 класс. Ответы.
1) Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли
одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца-70 см, сына- 56см. Найти расстояние
между этим деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.
Решение: Найдем наименьшее общее кратное для 70 и 56. Оно равно (2*7*5*6)=280. Если
считать, что их шаги совпали и тогда, когда они начали движение, то мы получим (280*9)=2520см,
что равно 25,2 м.
Ответ: Расстояние между деревьями равно 25,2 м.
2) Первую четверть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, вторую и третью четверти
всего пути – со скоростью 24 км/ч и последнюю четверть – со скоростью только 12 км/ч. Найдите
среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути (ответ дать с точностью до 0,1 км/ч).
Решение: Средняя скорость равна: всё расстояние разделить на всё затраченное время. Обозначим
расстояние за S. Тогда, всё время равно S:4:20 + S:4:24 + S:4:24 + S:4:12. А средняя скорость равна
S:(S:4:20 + S:4:24 + S:4:24 + S:4:12). S сокращается, и получаем среднюю скорость 240:13, что с
точностью до 0,1 км/ч равно 18,5 км/ч.
Ответ: Средняя скорость движения велосипедиста равна 18,5 км/ч.
3)Представить 11/12 в виде суммы трех дробей, числители которых равны 1.
Решение: Все возможные варианты ограничиваются делением целой части, делением дробной
части и деление дроби 13/12 на делители числа 12 (1,2,3,4,6,12). Возможные 3 варианта приведены
в ответе.
Ответ: 1/1 + 1/24 +1/24; ½ + ½ + 1/12; ½ + 1/3 + ¼;
4) На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на
20%?
Решение: Если ребро куба равняется а, то площадь поверхности куба равняется а^2*6. Если
каждое ребро (а) увеличить на 20%, то новая площадь поверхности равна (1,2*а)^2*6. Найдём на
сколько процентов увеличится поверхность куба: [(1,2*а)^2*6 – а^2*6]:[а^2*6]*100% = (1,44 –
1)*100% = на 44%.
Ответ: Поверхность куба увеличится на 44%.
5) Найдите сумму 1+2+3+…+111.
Решение: Представим сумму в виде сумм пар четных и нечетных чисел: (0 + 111) + (1 + 110) + …
+ (55 + 56). Всего таких пар 56. Каждая пара равна 111, поэтому сумма всех пар равна 56*111 =
6216.
Ответ: Сумма равна 6216.
6) Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, а другой - за 3,75 часа. За какое время наполняют
бассейн оба фонтана?
Решение: Пусть объем бассейна равен V. Тогда, скорость первого фонтана равна V:2,5, а скорость
второго – V:3,75. Оба фонтана наполнят бассейн за t = V:(V:2,5 + V:3,75). Сокращая V, получаем
время t = 3/2, что равно 1,5 часа.
Ответ: Оба фонтана наполнят бассейн за 1,5 часа.
7)Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин.
Решение: Часовая стрелка совершает оборот в 360° за 12 часов. Значит, за один час она проходит
(360:12)=30°. За одну минуту часовая стрелка проходит (30:60)=0,5°. Поэтому, за 7 часов 38 минут
часовая стрелка повернётся на (7*30 + 38*0,5)=229°. Минутная стрелка за одну минуту проходит
на (360:60)=6°. Значит, за 38 минут она пройдет (38*6)=228°. Угол между ними равен (229 –
228)=1°.
Ответ: Угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин равен 1°.
8) Докажите, что при a=b+1 выполняется следующее тождество:
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)…(a16+b16)=a32-b32
Решение: a32-b32=(a16+b16)(a16-b16)
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)…(a16+b16)=(a16+b16)(a16-b16)
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)=(a16-b16)=(a8- b8)(a8+b8)
…
1=a-b
Ответ: При a=b+1 тождество выполняется.
9) Улитка ползет по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на
4м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины столба?
Решение: К началу второго дня улитка находится на высоте 1м, а концу второго дня – на высоте
6м. Если учитывать, что за сутки улитка поднимается на 1м, то через четверо суток (к концу
шестого дня) она будет находиться на высоте 10м. Значит, улитка доберется до вершины столба за
пять с половиной суток.
Ответ: Улитка доберется от подножия до вершины столба за пять с половиной суток.
10) Разделить семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более чем на 4 части.
Решение: Каждому достанется 7/12 яблока, что равняется 3/12 + 4/12, или ¼ + 1/3. Другой способ
деления невозможен, потому что в условии сказано, что нельзя делить яблоко более чем на 4 части.
На 12 человек нам нужно 12/4 и 12/3 частей. Значит, на 4 части мы разрезаем (12/4)=3 яблока, а на
3 части мы разрезаем (12/3)=4 яблока.
Ответ: Нужно разрезать 3 яблока на 4 части и 4 яблока на 3 части. Каждому человеку достанется
¼ и 1/3 яблока.