+ + Ответ

Решение олимпиадных задач по математике
1 тур 7 класс
1. Решение:
Разложим числа 56 и 70 на простые множители : 70=2*5*7; 56=2*2*2*7
НОК (56;70) = 2*2*2*7*5 = 280. Вывод: через 280 см следы совпадут.
Т.к. следы совпадали 10 раз, то 280*10=2800 см=28 м
Ответ: расстояние между деревьями 28 м.
2. Решение:
Средняя скорость движения определяется по выражению
𝑠
Vср = , где
𝑡
S – общий пройденный путь,
t = t1 + t2+ t3+t4 – суммарное время, затраченное на прохождение этого пути.
t1 – время, затраченное на преодоление первой четверти пути
t2 – время, затраченное на преодоление второй четверти пути
t3 – время, затраченное на преодоление третьей четверти пути
t4 – время, затраченное на преодоление четвертой четверти пути
Из условия задачи имеем:
t1 =
0,25𝑠
𝑣1
0,25𝑠
t=
𝑣1
Vср =
+
; t2 =
0,25𝑠
𝑣2
0,25𝑠
𝑣2
; t3 =
0,25𝑠
+
𝑣3
+
𝑣3
0,25𝑠
𝑣4
𝑠
0,25∗ s∗(
0,25𝑠
1
1
1
1
+ + + )
𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4
=
; t4 =
0,25𝑠
= 0,25s (
𝑣4
1
𝑣1
+
1
𝑣2
+
1
1
1
1
1
0,25∗( + + +
20 24 24 12
)
=
1
𝑣3
+
1
𝑣4
1
26
0,25∗
120
)
=
480
26
= 18,4615…≈
18,5 км/ч
3. Решение:
1
1
12
=
13
12
1
1
= + +
2
3
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
Ответ: + +
1
4
4. Решение: 1) Пусть ребро куба равно а, тогда Sполной = 6a2
2) Увеличим ребро куба на 20 %. Новое ребро: a + 0,2 a = 1,2 a.
Sполной = 6*(1,2a)2 = 8,64a2
3) 8,64a2 - х %.
6a2
- 100 %.
х=
8,64а2 ∗100
6а2
=
864
6
=144 %.
4) 144 %-100 % = 44 %
Ответ: на 44 %
5. Решение:
1 + 2 + 3 +……..+ 109 + 110 + 111= ….
Заметим, что 1 + 111 = 112 ; 2+110 = 112 ; 3 + 109 = 112.
Таких пар 55, значит 112 * 55=6160. Одно число 56 не парное.
6160+56 = 6216.
Ответ: 6216
6. Решение:
I
Время
2,5 ч
II
3,75 ч
Вместе
Объем
Производительность
1
2,5
+
1
3,75
=
10
25
+
100
375
2
4
5
15
= +
=
10
15
Производительность
1
2,5
1
3,75
1
1
+
2,5 3,75
Объем
1
1
1
2
= ( производительность)
3
2
1: = 1,5 часа
3
Ответ: за 1,5 часа наполнят бассейн два фонтана.
7. Решение:
В часе 60 минут, а циферблат составляет 360°
Значит 1 минута = 360° : 60° = 6°
Часовая стрелка стоит на 7 часах или 35 минутах, а минутная на 38 минутах.
Между стрелками 38 - 35 = 3 минуты.
3* 6° = 18°
Ответ: между стрелками 18 °
8. при a = b+1, док-ть, что (a+b)(a2+ b2)( a4+ b4)……..( a16+ b16) = a32- b32
Решение: для доказательства будем использовать формулу сокращенного
умножения (разность квадратов)
a32- b32 = (a16- b16)( a16+ b16) =(a8- b8)( a8+ b8) ( a16+ b16) = (a4- b4)( a4+ b4) ( a8+ b8) (
a16+ b16) = (a2- b2)( a2+ b2) ( a4+ b4) ( a8+ b8) ( a16+ b16) = (a- b)( a+ b)( a2+ b2)( a4+ b4)
( a8+ b8) ( a16+ b16) = (b+1- b)( a+ b)( a2+ b2)( a4+ b4) ( a8+ b8) ( a16+ b16) = 1( a+ b)( a2+
b2)( a4+ b4) ( a8+ b8) ( a16+ b16) = ( a+ b)( a2+ b2)( a4+ b4) ( a8+ b8) ( a16+ b16)
9. Решение: Составим схему к данной задаче
0м____5м____1м, 1м____6м____2м, 2м____7м____3м, 3м____8м____4м,
4м____8м____5м, 5м____10м.
Всего за 5 суток и 1 день.
Ответ: за 5 суток и 1 день.
10. Решение:
Ответ: Разделим 3 яблока на 4 части и 4 яблока на 3 части.