Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя

1. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя
деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же
дерева. Длина шага отца-70 см, сына- 56см. Найти расстояние
между этим деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.
Решение: 1) Разложим на множители: 70=2*5*7;
56=2*2*2*7 ;
2) НОК(70;56) = 70 * 4 = 280. Через каждые 280 см следы отца и сына
совпадают.
3) 280 * 10 = 2800 (см); 2800 см = 28 м - расстояние между деревьями
Ответ: 28м
2. Первую четверть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч,
вторую и третью четверти всего пути – со скоростью 24 км/ч и
последнюю четверть – со скоростью только 12 км/ч. Найдите
среднюю скорость движения велосипедиста на всем пути (ответ
дать с точностью до 0,1 км/ч).
Решение: 1) vср=
vср=
Тогда,
vср= 𝑠/4
20
𝑠
𝑡
𝑠
; t=t1+t2+t3+t4 ;
𝑡1+𝑡2+𝑡3+𝑡4
𝑠
𝑠/4= 𝑠
𝑠/4 𝑠/4
+ +
24 24 12
+
;
𝑠
𝑠
𝑠
𝑠
+ + +
80 96 96 48
𝑠
= 6𝑠+5𝑠+5𝑠+10𝑠 =
480
480𝑠
26𝑠
≈
18,46 ≈ 18,5.
Ответ: 18,5 км/ч
3. Представить 1
1
12
в виде суммы трех дробей, числители которых
равны
Решение: 1
1
13
= ;
12 12
1
2
1
1
6
3
4
12
+ + =
+
4
12
+
3
=
12
13
12
.
4. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если
каждое его ребро увеличить на 20%?
Решение:
Ребро
Было:
%
x
Получили:
100%
?
120%
1) 100+20 120% составляет длина ребра получившегося куба от
первоначального;
2) x*1,2=1,2x длина получившего ребра куба
3) S = 6𝑥 2 первоначальная площадь поверхности куба
4) S1= 6*1.2x * 1.2x =1.44*6𝑥 2 = 1.44 ∗ 𝑆 (площадь поверхности
получившегося куба)
5) 1.44S-S=0.44 т.е на 44%
Ответ: на 44%
5. Найдите сумму 1+2+3+…+111.
Решение:
1+2+3+…+100+111;
Запишем в порядке убывания:111+100+99+…+2+1;
Суммируем эти ряды чисел, тогда получим
112+112+112+…112+112
Тогда сумма
112∗111
2
=6216
Ответ: 6216.
6. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 часа, а другой - за 3,75 часа.
За какое время наполняют бассейн оба фонтана?
Решение
Пусть 1 – это вся работа. Тогда I фонтан за час наполняет
второй бассейн
2
3
3
2
1
=
4
3.75 15
1
2
= бассейна, а
2.5 5
10 2
бассейна. Вместе за час они набирают
= бассейна.
15 3
1 : = =1.5 ч
Ответ: 1.5 часов
7. Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 ч 38 мин.
Решение:
Каждую минуту минутная стрелка поворачивается на 360/60 =6°.
2) 38*6=228°;
3) Часовая стрелка поворачивается на 30° и за 1 минуту на
30
60
1°
= .
2
Следовательно, часовая стрелка за 7 ч 38 мин повернется на
1
7*30+ 38* =229°.
2
Угол между часовой и минутной стрелкой равен: 229°-228° = 1°
Ответ:1°
8. Докажите, что при a=b+1 выполняется следующее тождество:
(a+b)(a2+b2)(a4+b4)…(a16+b16)=a32-b32
Решение:𝑎32 -𝑏 32 =(𝑎16 -𝑏16 ) )(𝑎16 + 𝑏16 )=(𝑎8 -𝑏 8 )∗ (𝑎8 +𝑏 8 )*(𝑎16 + 𝑏16 )=
(𝑎4 -𝑏 4 ) *(𝑎4 -𝑏 4 )* (𝑎8 +𝑏 8 )* (𝑎16 -𝑏16 ) = (𝑎2 -𝑏 2 )*(𝑎2 +𝑏 2 )*(𝑎4 +𝑏 4 ) (𝑎8 +𝑏 8 )*
(𝑎16 -𝑏16 )=(a-b)( a+b)(𝑎2 +𝑏 2 )(𝑎4 +𝑏 4 ) (𝑎8 +𝑏 8 )* (𝑎16 -𝑏16 ) =
=(a+b)(𝑎2 +𝑏 2 )(𝑎4 +𝑏 4 ) (𝑎8 +𝑏 8 )* (𝑎16 -𝑏16 ) , так как a-b=1
Итак, a32-b32= (a+b)(a2+b2)(a4+b4)(𝒂𝟖+𝒃𝟖 )(a16+b16)=a32-b32
9) Улитка ползет по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м,
а за ночь опускается на 4м. За какое время улитка доберется от
подножия до вершины столба?
Решение: За 24 часа, т.е за сутки улитка поднимается на 1 м. Но в один день
(начало 6-ой сутки) она дойдет до вершины столба. Получится 6 дней и 5
ночей.
Ответ: 6 дней и 5 ночей.
9. Разделить семь яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки
более чем на 4 части.
Каждое из трех яблок разделить на 4 равные части, а каждое из остальных –
на 3 части. При дележке каждому достанется по четверти и по трети яблока.
Всем будет поровну и все.
Ответ: по четверти и по трети яблока.