Степенные ряды Лекции12, 13, 14 Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается u1 ( x) u 2 ( x) ... u n ( x). ... Если при x x0 ряд сходится, то x 0 называется точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. Пример функционального ряда Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: 2 3 n 1 x x x ... x .... Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель x 1. Тогда она 1 имеет сумму S , которая 1 x очевидно является функцией от х. Степенные ряды Определение. Ряд a x n 0 n n a0 a1 x a2 x ... an x ... 2 n называется степенным по степеням х . Ряд n 2 n a x x a a x x a x x ... a x x n 0 0 1 0 2 0 n 0 ... n 0 является степенным по степеням x x0 . Интервал сходимости степенного ряда Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если R 0 , то при x R ряд сходится, а при x R расходится. Интервал R, R называется интервалом сходимости степенного ряда. Если R , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же R 0 , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0. Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если n 1 u n 1 an 1 x lim lim 1 n n u n ,то an x n степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию. Продолжение В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: an R lim n a n 1 . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где n 1 an1 x 1 , требуется lim n n an x дополнительное исследование. Примеры Найти интервал сходимости ряда xn . 2 n 1 n 0 x n 1 2n 1 lim n 2n 3 x n 2n 2n 1 x x 1 lim x lim n 2n 2n 3 n Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1). Примеры Положим x 1 . Тогда получим числовой 1 . Этот ряд расходится ряд n 0 2n 1 (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем 1 n знакочередующийся ряд , n 0 2n 1 который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1). Примеры Найти интервал сходимости степенного xn xn xn ряда . Здесь un , n! 1 2 3 ... n n 1 n! x n 1 x n 1 = .Тогда un 1 n 1! 1 2 3 ... n n 1 = lim n u n 1 un =lim x n 1 1 2 3 ... n n 1 2 3 ... n n 1 x n = lim n x n 1 Продолжение 1 x lim x 0 0 = n n 1 . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток , . Пример Найти интервал сходимости ряда lim n 1! x n n! x n n 1 = lim 1 2 3 ... n n 1 x n 1 2 3 ... n n.! x n n 1 = = lim n 1 x = x lim n 1. n n Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда 1. Сумма степенного ряда S ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n ... является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, 1 2 3 n S ( x) 1 x x x ... x ... 1 x непрерывна , если x 1 . Почленное дифференцирование 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если 2 n S ( x) a 0 a1 x a 2 x ... a n x ... , то 2 n 1 S ( x) a1 2a 2 x 3a3 x ... na n x ... Почленное интегрирование 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом S ( x)dx a dx a xdx ... a 0 где ( , ) ( R, R) . 1 x dx ... n n Разложение функций в степенные ряды Определения Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются f ( n ) ( x0 ) по формулам a n , т.е. ряд ( n ) n ! f ( n ) ( 0) f ( x0 ) n . ( x x0 ) n или x n ! n0 n! n0 Степенной ряд как ряд Тейлора Теорема. Если в некоторой окрестности точки x 0 n f ( x ) a0 a1 ( x x0 )...a n ( x x0 ) .., то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно. Формула Тейлора Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: (n) f ( x0 ) f ( x0 ) S n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ... ( x x0 ) n 1! n! Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции f (x) . Разность Rn ( x) f ( x) S n ( x) называется остаточным членом ряда Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: ( n 1) f (c) Rn ( x) ( x x0 ) n1 , где c ( x0 , x) (n 1)! Тогда ( n 1) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f (c ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ... ( x x0 ) n ( x x0 ) n 1 1! n! (n 1)! называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x) Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех x ( R, R) при n Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех x ( R, R) выполняется условие (n) f ( x) M при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале. Разложение f ( x) e x Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд 2 n Маклорена: x x x 1 1 2! ... n! ... Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. f ( n 1) (c) e c e R , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится x именно к функции e . Разложение в ряд синуса. Вычислим производные синуса: f ( x) cos x sin( x f ( x) cos( x 2 ) ) sin( x 2 ) 2 2 f ( x) cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 ....................................................... f (n) ( x) sin( x n ). 2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0 f (0) 1 f ( 4 ) ( 0) 0 .................. f ( 2 n 1) (0) (1) n 1 ........................ Продолжение Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: 2 n 1 2 n 1 x3 x5 x x sin x x ...( 1) n .. ( 1) n , 3! 5! ( 2n 1)! ( 2n 1)! n0 при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси. Разложения некоторых функций в ряд Тейлора При решении задач удобно пользоваться разложениями: 2 n n x x x x 1. e 1 x ... .. , x ( , ) 2! n! n0 n! 2 n 1 2 n 1 x3 x5 x x n n sin x x ... ( 1 ) .. ( 1 ) , 2. 3! 5! ( 2n 1)! ( 2n 1)! n0 2 4 2n 2n x x n x n x 3.cos x 1 2 ! 4 ! ...( 1) (2n )! .. ( 1) (2n )! n0 Продолжение Геометрическую прогрессию мы получили выше: 1 4. 1 x x 2 ...( 1) n x n .. ( 1) n x n ,/ x / 1 1 x n0 Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд: n n x2 x3 x x 5. ln(1 x ) x ...( 1) n1 .. ( 1) n1 , 2 3 n n 1 n Биномиальный ряд 6. 7. 2 n 1 2 n 1 x3 x5 x x arctgx x ... (1) n ... (1) n , 3 5 2n 1 n 0 2n 1 m( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x ... 2! m( m 1)( m 2)...( m n 1) n x ... n! m( m 1)...( m n 1) n 1 x n! n 1 Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1). Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию f ( x ) 3 27 x Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом. 1 x x x 3 27 x 3 27(1 ) 33 1 3(1 ) 3 27 27 27 1 1 ( 1) x 1 x x 2 3 3 3(1 ) 31 ( ) ( ) ... 27 3 27 2! 27 1 1 1 1 ( 1)( 2)...( n 1) x 3 3 3 3 ( ) n ... , где n! 27 1 3 x 1 27 Применение степенных рядов Приближенное вычисление интегралов Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001 1 e 0 x2 dx Решение Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: ex 1 2 2 2 2 3 2 4 ( x ) ( x ) ( x ) 2 1 x ... 2! 3! 4! 1 4 6 8 x x x x 2 e dx ( 1 x ... )dx 0 0 2 ! 3! 4 ! 1 1 1 1 1 4 6 8 x x x dx x 2 dx dx dx dx ... 2! 3! 4! 0 0 0 0 0 2 3 x x 10 3 1 0 x5 25 1 0 x7 67 1 0 x9 1 0 .. 24 9 Продолжение 3 5 7 x x x 1 1 x 10 0 0 3 25 67 1 1 1 1 1 .. 3 10 42 216 1 0 x9 1 0 .. 24 9 Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001. Продолжение Вычислив еще несколько членов ряда 1 1 1 , , 1320 9360 75600 видим, что 1 0,0001 75600 Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим: 1 e 0 x2 1 1 1 1 1 1 dx 1 0,7468 3 10 42 216 1320 9360 Приближенное вычисление значений функций Вычислить 3 10 с точностью до 0,001.Преобразуем 3 10 3 8 10 2 23 1 23 1 0,25 2(1 0.25) 8 8 1 3 Воспользуемся биномиальным рядом 1 при х=0,25 и m . 3 Продолжение Получим 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)( 2) 1 3 3 10 2(1 0,25 3 3 0,25 2 3 3 0,25 3 ) 3 2! 3! 2(1 0,0833 0,0069 0,0009) 2(1 0,0833 0,0069) 2,1528 2,153.