Степенные ряды

5. Степенные ряды
5.1. Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный ряд вида
2
n
a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + K + an ( x − x0 ) + K =
∞
∑ a (x − x ) ,
n
0
n
(5.1)
n =0
где x0, a0, a1,K, an ,K – некоторые числа, называют степенным рядом.
Числа a0, a1,K, an ,K называют коэффициентами ряда (5.1).
Если x0 = 0 , то степенной ряд будет иметь вид
2
n
a0 + a1x + a2 x + K + an x + K =
∞
∑a x .
n
n
(5.2)
n =0
Заметим, что ряд (5.1) приводится к виду (5.2) с помощью замены
x − x0 = t . Поэтому мы изучим сначала ряд (5.2), а потом перенесем полученные результаты на общий случай, т.е. на ряд (5.1).
Замечание. Степенной ряд (5.1) называют иногда рядом по степеням разности x − x0 , а ряд (5.2) – рядом по степеням x .
Прежде всего, рассмотрим вопрос о сходимости степенного ряда.
Очевидно, что степенной ряд (5.2) не может всюду расходиться. Он всегда сходится при x = 0 , и его сумма в этой точке равна a0 . Но эта точка
может оказаться единственной точкой сходимости степенного ряда (5.2).
∞
Легко проверить, что так будет, например, для ряда
∑ n!⋅ x
n
. Другой
n =1
крайний случай – степенной ряд (5.2) сходится при любом x . Примером
∞
xn
. В общем же случае строение области
такого ряда является ряд
n
!
n =1
сходимости ряда (5.2) позволяет определить следующая теорема.
∑
∞
ТЕОРЕМА 5.1 (Абеля). 1) Если степенной ряд
∑a x
n
n
сходится при
n =0
некотором значении x1 ≠ 0 , то он абсолютно сходится при любом x , для
которого x < x1 .
∞
2) Если степенной ряд
∑a x
n
n
расходится при некотором значении
n =0
x2 , то он расходится при любом x , для которого x > x2 .
25
Из теоремы Абеля следует, что найдется такое число R > 0 , что ряд
(5.2) сходится абсолютно при x < R и расходится при x > R .
x2 – R
расходится
R
сходится абсолютно
O
– x1
x1
x
– x2
расходится
Это число R называют радиусом сходимости степенного ряда (5.2),
а интервал (− R, R) называют интервалом сходимости ряда (5.2). При
этом, если x = 0 – единственная точка сходимости ряда (5.2), то считают,
что R = 0 и интервал сходимости вырождается в точку. Если же ряд
(5.2) не имеет точек расходимости (т.е. сходится при любом x ), то считают, что R = +∞ и интервалом сходимости является вся числовая ось.
Относительно поведения степенного ряда (5.2) на границе интер∞
вала сходимости общих утверждений высказать нельзя. Ряды
∑a R
n
n
n =1
∞
и
∑ a (−R)
n
n
в каждом случае следует рассматривать отдельно.
n =1
Осталось выяснить, как можно найти радиус сходимости степенного
ряда (5.2). Так как внутри интервала сходимости степенной ряд (5.2)
∞
сходится абсолютно, то изучим поведение его ряда модулей
∑a x
n
n
.
n =1
Применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел
u ( x)
a xn+1
a x
a
lim n+1
= lim n+1 n = lim n+1 = x ⋅ lim n+1 = x ⋅ L ,
n → ∞ u ( x)
n →∞
n →∞ a
n →∞ a
an x
n
n
n
где через L обозначен предел lim
n →∞
an+1
. Тогда по признаку Даламбера
an
ряд модулей сходится, если x ⋅ L < 1 , и расходится, если x ⋅ L > 1. Причем в последнем случае
теоремы 9.4).
lim un ( x) = lim an xn ≠ 0
n→∞
Но тогда и
n→∞
lim un ( x) = lim an xn ≠ 0 ,
n →∞
n →∞
(см. замечание после
и ряд
(5.2)
тоже
расходится.
Итак, получили:
1) степенной ряд (5.2) сходится абсолютно при x ⋅ L < 1 , т.е. если x <
2) степенной ряд (5.2) расходится при x ⋅ L > 1, т.е. если x >
26
1
.
L
1
;
L
R=
Но это означает, что
a
1
= lim n .
L n→∞ an+1
(5.3)
∞
Если применить для исследования ряда модулей
∑a x
n
n
признак
n =1
Коши, то, рассуждая аналогичным образом, получим
1
R = lim
.
n →∞ n a
n
(5.4)
Замечание. Формулы (5.3) и (5.4) получены в предположении, что ряд
содержит все степени x , начиная с некоторого номера N . Если
часть коэффициентов ряда (5.2) – нулевые, т.е. ряд не содержит какой-то последовательности степеней x , то формулы (5.3) и (5.4) не∞
применимы. Например, они неприменимы для ряда
∑a x
n
2n
, кото-
n =0
рый содержит только четные степени x . Чтобы найти радиус сходимости подобного ряда, следует исследовать его ряд модулей также с
помощью признака Даламбера или Коши. Но они в этом случае дадут
результат, отличный от (5.3) и (5.4).
∞
Теперь рассмотрим ряд
∑ a (x − x ) .
n
0
n
Приведя его к виду (5.2)
n =0
(сделав замену x − x0 = t ), получим, что он сходится абсолютно при
x − x0 < R и расходится при x − x0 > R . При этом, если ряд содержит все
степени x − x0 , то R находится по формуле (5.3) или (5.4). В против∞
ном случае R находится в результате исследования ряда
∑ a (x − x )
n
0
n
с
n =0
помощью признаков Даламбера или Коши.
Таким образом, интервалом сходимости ряда (5.1) в общем случае
является интервал ( x0 − R, x0 + R) . Если R = 0 , то этот интервал сходимости вырождается в точку x0 , если R = +∞ , – интервалом сходимости является вся числовая ось. Относительно поведения ряда в граничных точках интервала сходимости общих утверждений высказать нельзя. Как и в
случае ряда (5.2), они требуют отдельного исследования.
НАПРИМЕР. Найти область сходимости ряда
∞
∞
( x − 2) n
xn
;
б)
;
в)
а)
nn ⋅ ( x + 2)n ;
n
n!
n =1
n =1
n =1
∞
∑
∑
∑
27
∞
г)
∑
n =1
(−1)n
( x − 1)2n
.
n ⋅ 2n
а) Найдем интервал сходимости ряда. Его центр будет в точке x0 = 2 ,
а радиус сходимости R можно найти по формуле (5.3):
a
1
1
1
n +1
1
= lim
= 1.
an = , a n+1 =
, R = lim n = lim :
n→∞ n ( n + 1)
n →∞ n
n →∞ a
n
( n + 1)
n +1
Таким образом, ряд сходится абсолютно в интервале (2 − 1; 2 + 1) , т.е. в
интервале (1; 3) .
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При
∞
∞
(3 − 2 ) n
1
x = 3 получаем расходящийся ряд
(гармонический
=
n
n
n =1
n =1
∑
∑
∞
∞
(1 − 2) n
( −1) n
,
ряд). При x = 1 получаем знакочередующийся ряд
=
n
n
n =1
n =1
который сходится (условно) по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости ряда является промежуток [1; 3) .
∑
∑
б) Найдем интервал сходимости ряда. Его центр будет в точке x0 = 0 ,
а радиус сходимости R можно найти по формуле (5.3):
a
(n + 1)!
1
1
an = , an+1 =
, R = lim n = lim
= lim ( n + 1) = ∞ .
n →∞
n →∞
n →∞ a
n!
n
(n + 1)!
!
n +1
Так как R = ∞ , то ряд сходится абсолютно при всех x , т.е. в интервале
(−∞; + ∞) .
в) Найдем интервал сходимости ряда. Его центр будет в точке
x0 = −2 , а радиус сходимости R можно найти по формуле (5.4):
1
1
1
= lim = 0 .
an = nn , R = lim
= lim
n→∞ n
n→∞ n a
n →∞ n
nn
n
Так как R = 0 , то интервал сходимости вырождается в точку – центр интервала сходимости, т.е. ряд сходится только в точке x0 = −2 .
г) Найдем интервал сходимости ряда. Так как ряд содержит
только четные степени x , то для нахождения радиуса сходимости
применять формулы (5.3) и (5.4) нельзя. Исследуем ряд
2n
∞
∞
2n
x −1
n ( x − 1)
с помощью признака Даламбера. Имеем
=
(−1)
n
n
n
⋅
2
n
⋅
2
n =1
n =1
∑
∑
2(n +1)
2n
2(n +1)
⋅ n ⋅ 2n
x −1
x −1
x −1
un+1( x)
lim
= lim
:
= lim
2n =
n
n→∞ u ( x)
n→∞ (n + 1) ⋅ 2n +1
n→∞ (n + 1) ⋅ 2n +1 ⋅ x − 1
⋅
2
n
n
28
2
2
x −1
x −1
n
=
⋅ lim
=
.
n →∞ n + 1
2
2
2
x −1
Следовательно, ряд модулей сходится, если
< 1, и расходится,
2
2
2
x −1
x −1
если
> 1 . Из условия
< 1 получаем:
2
2
2
x −1 < 2,
⇒
x −1 < 2 ,
⇒ 1− 2 < x <1+ 2 .
Таким образом, ряд абсолютно сходится в интервале (1 − 2; 1 + 2 ) .
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При
∞
∞
∞
2n
2n
( −1) n
n (1 ± 2 −1)
n (± 2 )
,
x = 1 ± 2 получаем ряд
( −1)
=
(
−
1
)
=
n
n
n
n
⋅
2
n
⋅
2
n =1
n =1
n =1
который сходится (условно) по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости ряда является отрезок [1 − 2; 1 + 2 ] .
∑
∑
∑
5.2. Свойства степенных рядов. Доказано, что степенные ряды обладают следующими свойствами.
1) Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [a, b] , лежащем внутри его интервал сходимости.
2) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале
сходимости.
Замечание. В том конце интервала сходимости, который входит в область
сходимости ряда, сумма остается непрерывной. Это следует из следующей теоремы.
∞
ТЕОРЕМА 5.2 (Абеля). Пусть степенной ряд
∑x
n
сходится при
n =1
x < R к функции S ( x) . Если степенной ряд сходится на концах интервала сходимости, т.е. в точках x1 = − R и x2 = R , то его сумма в этих точках равна соответственно
S ( −R ) = lim S ( x ) и S ( R ) = lim S ( x ) .
x → − R +0
x → R −0
∞
3) Степенные ряды
∑ a (x − x )
n
0
n
∞
и
n =1
∑ (a (x − x ) )′
n
n =1
же радиус сходимости.
29
0
n
имеют один и тот
∞
Замечания. 1) Ряды
∑
an ( x − x0 )n и
n =1
∞
∑ (a (x − x ) )′
n
n
0
имеют один и тот же
n =1
радиус сходимости, но их область сходимости может не совпадать.
∞
∞
∞
xn
xn
x n−1
сходится
на
[−
1
;
1
]
,
а
ряд
Например, ряд
=
2
2
n
n =1 n
n =1 n
n =1
сходится на промежутке [−1; 1) .
)′ ∑
∑(
∑
∞
2) Из свойства 3 следует, что ряд
∑ a (x − x )
n
0
n
и ряды
n =1
∞
∞
∑(a ( x − x ) )′ ∑(a ( x − x ) )′′ ,
n
n
0
n =1
n
0
n
∞
…,
n =1
∑(a
n ( x − x0 )
n
)( n) ,
…
n =1
тоже будут иметь один и тот же радиус сходимости.
4) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз.
5) Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости ряда.
5.3. Разложение функции в степенной ряд. До сих пор мы интересовались областью сходимости функционального ряда и свойствами его
суммы в области сходимости. Теперь поставим другую задачу: найти
функциональный ряд, суммой которого на промежутке X будет заданная
функция. Если такой ряд существует, то говорят, что функция разложима в ряд на промежутке X . В этом пункте мы рассмотрим вопросы,
связанные с разложением функции в степенной ряд.
Прежде всего заметим, что сумма степенного ряда имеет в интервале
сходимости производные любого порядка. Следовательно, ставить задачу
о разложении функции f ( x) в степенной ряд по степеням x − a можно
лишь по отношению к функции, имеющей производные любого порядка в
некоторой окрестности точки x = a (такую функцию называют бесконечно дифференцируемой в окрестности точки x = a ).
Пусть функция f ( x) бесконечно дифференцируема в точке x = a .
∞
Степенной ряд
∑
n =0
f (n) (a)
( x − a)n , т.е. ряд вида
n!
f ′(a)
f ′′(a)
f (n) (a)
2
(5.5)
( x − a) +
( x − a) + K +
f (a) +
( x − a)n + K
1!
2!
n!
называется рядом Тейлора функции f ( x) по степеням x − a (в окрестности точки a ). В частности, при a = 0 ряд (5.5) принимает вид
30
f (0) +
f ′(0)
f ′′(0) 2
f (n) (0) n
x+
x +K+
x +K =
n!
1!
2!
∞
∑
n =0
f (n) (0) n
x .
n!
(5.6)
Ряд (5.6) называется рядом Маклорена функции f ( x) . Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 5.3. Если функция f ( x) в некоторой окрестности точки
a является суммой степенного ряда по степеням x − a , то этот ряд является ее рядом Тейлора (рядом Маклорена, если a = 0 ).
СЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 5.3. Не может быть двух различных степенных рядов по степеням x − a , сходящихся к одной и той же функции
f ( x) .
Ряд Тейлора мы можем записать для любой функции, бесконечно
дифференцируемой в точке x = a . Но не любая функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности точки a , разлагается в ряд. Причина в том,
что ряд Тейлора функции f ( x) в окрестности точки a может сходиться к
другой, отличной от f ( x) , функции.
НАПРИМЕР. Можно показать, что функция
⎧⎪ − x12
при x ≠ 0,
f (x ) = ⎨ e
⎪⎩ 0
при x = 0,
бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, при этом все ее производные в точке x = 0 равны нулю. Поэтому ее ряд Маклорена имеет
0 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x2 + K + 0 ⋅ xn + K .
вид
Этот ряд сходится при любом x , но его сумма при всех x тождественно
равна нулю и, следовательно, равна функции f ( x) только в одной точке
x = 0 . Таким образом, какую бы окрестность точки x = 0 мы не рассматривали, функция f ( x) в ней не будет разлагаться в ряд Маклорена.
Укажем условия, при которых ряд Тейлора функции f ( x ) будет сходиться к самой функции f ( x ) . Обозначим через S n (x ) n –ю частичную
сумму ряда Тейлора функции f ( x ) по степеням x − a , т.е.
f ′( a )
f ′′( a )
f (n) (a)
2
S n (x ) = f ( a ) +
( x − a) +
( x − a) + K +
( x − a)n .
1!
2!
n!
Разность f ( x ) − S n ( x ) называют остаточным членом ряда Тейлора и
обозначают Rn (x ) . Справедлива следующая теорема.
31
∞
f (n) (a)
( x − a)n сходится к функции
n!
n =0
f ( x ) в некоторой окрестности точки a тогда и только тогда, когда
его остаточный член стремится к нулю при n → ∞ .
Заметим, что n –я частичная сумма ряда Тейлора
f ′( a )
f ′′( a )
f (n) (a)
2
S n (x ) = f ( a ) +
( x − a) +
( x − a) + K +
( x − a)n
1!
2!
n!
есть ни что иное, как многочлен Тейлора n –й степени для функции
f ( x ) , а представление функции f ( x ) в виде
f ( x ) = S n ( x ) + Rn ( x ) –
формула Тейлора для функции f ( x ) (см. дифференциальное исчисление
функции одной переменной). Но тогда Rn (x ) можно записать в виде
ТЕОРЕМА 5.4. Ряд Тейлора
∑
f ( n+1) (ξ )
( x − a ) n+1 ,
( n + 1)!
где ξ – какая-то точка между a и x . Используя этот факт, можно получить удобное для практического использования достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. А именно, будет справедлива следующая теорема.
Rn ( x ) =
ТЕОРЕМА 5.5. Если функция f ( x ) в некоторой окрестности точки
a бесконечно дифференцируема, причем все ее производные ограничены в
совокупности (т.е. существует такое число M > 0 , что f ( n) ( x ) < M для
любого n и любого x из рассматриваемой окрестности точки a ), то
функция f ( x ) разлагается в этой окрестности в ряд Тейлора по степеням x − a .
НАПРИМЕР. Разложим в ряд Маклорена функцию f ( x ) = sin x .
Находим производные данной функции:
π
π
π
f ′( x ) = cos x = sin ⎛⎜ x + ⎞⎟ ,
f ′′( x ) = cos⎛⎜ x + ⎞⎟ = sin ⎛⎜ x + 2 ⋅ ⎞⎟ ,
2⎠
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
π
π
π
f ′′′( x ) = cos⎛⎜ x + 2 ⋅ ⎞⎟ = sin ⎛⎜ x + 3 ⋅ ⎞⎟ , …, f ( n ) ( x ) = sin ⎛⎜ x + n ⋅ ⎞⎟ , … .
2⎠
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
Вычисляем значения функции и ее производных при x = 0 :
f ( 0) = 0 , f ′( 0) = 1 , f ′′( 0) = 0 , f ′′′( 0) = −1 , f ( 4 ) ( 0) = 0 , … .
В общем случае получаем
f ( 2 n+1) ( 0) = ( −1) n ,
f ( 2 n ) ( 0) = 0 ( n = 0,1, 2,K).
Следовательно, ряд Маклорена функции f ( x ) = sin x будет иметь вид:
32
x x3 x5 x7
x 2 n+1
−
+
−
+ K + ( −1) n
+K=
1! 3! 5! 7!
( 2 n + 1)!
∞
∑
( −1) n
n =0
x 2 n+1
.
( 2 n + 1)!
Найдем область сходимости полученного ряда. Исследуем его ряд
модулей с помощью признака Даламбера. Имеем
2 ( n +1)+1
2 n +1
2 n +3
⋅ ( 2 n + 1)!
x
x
x
u n+1 ( x )
= lim
= lim
lim
:
=
n →∞ u ( x )
n→∞ ( 2 ⋅ ( n + 1) + 1)! ( 2 n + 1)! n→∞ ( 2 n + 3)!⋅ x 2 n +1
n
1
= 0.
n →∞ ( 2 n + 2 ) ⋅ ( 2 n + 3)
Следовательно, ряд модулей сходится при любом x . Значит, ряд Маклорена функции f ( x ) = sin x сходится абсолютно на всей числовой оси. А
2
= x ⋅ lim
π
поскольку f ( n ) ( x ) = sin ⎛⎜ x + n ⋅ ⎞⎟ ≤ 1 для любого n и любого x , то, по
2⎠
⎝
теореме 5.5, его суммой будет именно функция f ( x ) = sin x .
Итак, мы доказали, что
∞
2n +1
x x3 x5 x 7
x2n+1
n x
, − ∞ < x < +∞ .
sin x = − + − + K + (−1)
+ K = (−1)n
1! 3! 5! 7!
(2n +1)!
(
2
n
+
1
)!
n =0
∑
В заключение этого пункта приведем наиболее часто используемые разложения в ряд Маклорена (на практике чаще используются
именно ряды Маклорена).
∞
x x 2 x3
xn
xn
x
• e =1+ + + +K +
, − ∞ < x < +∞ .
+K=
1! 2! 3!
n!
n!
n =0
∑
∞
x x3 x5 x 7
x2n+1
x2n+1
• sin x = − + − + K + (−1)n
, − ∞ < x < +∞ .
+ K = (−1)n
1! 3! 5! 7!
(2n +1)!
(
2
n
+
1
)!
n =0
∑
∞
x2 x4 x6
x2n
x 2n
• cos x = 1 − + − + K + ( −1) n
, − ∞ < x < +∞ .
+ K = ( −1) n
2! 4! 6!
( 2 n )!
(
2
n
)!
n =0
∑
x x3 x5 x 7
x2n+1
• sh x = + + + + K +
+K=
1! 3! 5! 7!
(2n + 1)!
x2 x4 x6
x 2n
• ch x = 1 +
+
+
+K+
+K =
2! 4! 6!
(2 n )!
∞
x2n+1
,
(
2
n
+
1
)!
n =0
∑
∞
x 2n
,
(
2
n
)!
n =0
∑
− ∞ < x < +∞ .
− ∞ < x < +∞ .
∞
n
n
x2 x3 x4
n +1 x
n +1 x
• ln(1+ x ) = x − + − + K + ( −1)
,
+ K = ( −1)
n
n
2
3 4
n =1
∑
∞
− 1 < x ≤ 1.
2 n +1
2 n +1
x3 x5 x7
n x
n x
• arctg x = x − + − + K + ( −1)
, − 1 ≤ x ≤ 1.
+ K = ( −1)
3
5
7
2n + 1
2
n
+
1
n =0
∑
33
m ( m − 1) 2 m ( m − 1)( m − 2) 3
m
x+
x +
x +K+
1!
2!
3!
m ( m − 1)( m − 2)K( m − n + 1) n
+
x + K,
− 1 < x < 1.
n!
• (1 + x ) m = 1 +
5.4. Применения степенных рядов. Представление функции в виде
суммы степенного ряда дает дополнительные возможности при решении
ряда задач математического анализа. Рассмотрим несколько примеров использования степенных рядов.
а) Приближенное вычисление значений функции
Если функция f ( x ) разлагается в степенной ряд в окрестности точки
x = a и точка x0 лежит в этой окрестности, то можно найти приближенное значение f ( x0 ) с любой точностью ε . А именно, полагаем
f ′( a )
f ′′( a )
f ( n) (a)
2
f ( x0 ) ≈ S n ( x 0 ) = f ( a ) +
( x0 − a ) +
( x0 − a ) + K +
( x0 − a ) n ,
1!
2!
n!
где n выбирается так, чтобы выполнялось неравенство Rn ( x0 ) < ε (так как
lim Rn ( x ) = 0 , то такое n существует).
n →∞
НАПРИМЕР. Найти e с точностью ε = 0,00001.
Используя разложение функции e x в ряд, получаем
1 12 13
1n
(5.7)
e = e1 ≈ 1 + + + + K + .
1! 2! 3!
n!
Определим число n так, чтобы погрешность приближенного равенства не
превышала ε = 0,00001. В общем случае
f ( n+1) (ξ )
Rn ( x ) =
( x − a ) n+1 ,
( n + 1)!
где ξ – какая-то точка между a и x . В нашем случае a = 0 , x = 1 и
f ( n+1) ( x ) = e x , т.е. имеем
f ( n+1) (ξ )
eξ
,
Rn (1) =
(1 − 0) n+1 =
( n + 1)!
( n + 1)!
где 0 < ξ < 1 . Поскольку e < 3 , то 1 < eξ < 3 и
eξ
3
.
<
( n + 1)! ( n + 1)!
Следовательно, если мы возьмем n так, чтобы выполнялось неравен3
ство
< ε , то неравенство Rn (1) < ε тем более будет выполняться,
( n + 1)!
и при этом значении n мы найдем e с требуемой точностью.
34
Rn (1) = Rn (1) =
3
для различных n , выясняем,
( n + 1)!
⎛3
⎞
3
что неравенство
< ε выполняется при n ≥ 8 ⎜⎜ ≈ 0,000008 < ε ⎟⎟ .
( n + 1)!
⎝ 9!
⎠
Следовательно, для достижения требуемой точности в (5.7) достаточно
взять n = 8 . В итоге получаем
1 1 1 1 1 1 1 1
e = e1 ≈ 1 + + + + + + + + ≈ 1 + 1 + 0,5 + 0,166667 + 0,041667 +
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
+ 0,008333 + 0,001389 + 0,000198 + 0,000025 = 2,718279 ≈ 2,718228 .
Вычисляя значения выражения
б) Приближенное вычисление определенных интегралов
Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости ряда. Это свойство
позволяет использовать степенные ряды при приближенном вычислении определенных интегралов.
1
НАПРИМЕР. Вычислить
∫ cos x dx
2
с точностью ε = 0,00001.
0
Формула Ньютона – Лейбница для вычисления этого интеграла неприменима, так как первообразная функции cos x 2 в элементарных функциях не выражается. Разложим подынтегральную функцию в ряд по степеням x . Имеем
∞
x2n
x2 x4 x6
x 2n
cos x = ( −1) n
=1 − +
− + K + ( −1) n
+K.
(
2
n
)!
2
!
4
!
6
!
(
2
n
)!
n =0
∑
∞
4n
4n
x 4 x 8 x12
n x
n x
Тогда cos x = 1 − + −
,
+ K + ( −1)
+ K = ( −1)
2! 4! 6!
( 2 n )!
( 2 n )!
n =0
причем это разложение имеет место для любого x . Интегрируя этот ряд
почленно в пределах от 0 до 1 , находим
∑
2
1
1
⎞
⎛
x5
x9
x13
x 4 n+1
cos x dx = ⎜⎜ x −
+
−
+ K + ( −1) n
+ K ⎟⎟ =
5 ⋅ 2! 9 ⋅ 4! 13 ⋅ 6!
( 4 n + 1)( 2 n )!
⎠0
⎝
0
∫
2
( −1) n
1
1
1
+
−
+K+
+ K.
5 ⋅ 2! 9 ⋅ 4! 13 ⋅ 6!
( 4 n + 1)( 2 n )!
Получился знакочередующийся ряд. Следовательно, ошибка при замене
суммы ряда его частичной суммой по абсолютной величине будет меньше
абсолютной величины первого из отброшенных членов. Значит, чтобы
найти интеграл с заданной точностью, следует сложить пять первых чле= 1−
35
нов ряда (следующий член ряда будет
−1
≈ −0,00000001 ). Таким обра21 ⋅ 10 !
зом, получаем:
1
∫ cos x dx ≈ 1 − 0,1 + 0,004630 − 0,000107 + 0,000001= 0,904524 ≈ 0,90452 .
2
0
в) Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов
Если дифференциальное уравнение не является интегрируемым в
квадратурах, то прибегают к приближенным методам интегрирования
уравнения. Одним из таких методов является представление решения
в виде ряда Тейлора. В этом случае задача сводится к нахождению коэффициентов этого ряда. Покажем на примерах, как это можно сделать.
НАПРИМЕР. Найти решение уравнения y ′′ = xyy ′ , удовлетворяющее
начальным условиям y (1) = 0 , y ′(1) = 1 .
Условие теоремы существования и единственности решения в окрестности точки (1; 0; 1) выполнено (см. теорему 5.1), следовательно, искомое
решение y = y ( x ) существует. Допустим, что оно представимо в виде ряда Тейлора по степеням ( x − 1) :
y ′(1)
y ′′(1)
y ′′′(1)
y ( 4 ) (1)
2
3
y ( x ) = y (1) +
( x −1) +
( x −1) +
( x −1) +
( x −1) 4 + K .
1!
2!
3!
4!
y (1) = 0 и y ′(1) = 1 .
По условию
Из уравнения находим
y ′′(1) = 1 ⋅ y (1) ⋅ y ′(1) = 0 .
Последовательно дифференцируя исходное дифференциальное уравнение,
находим
y ′′′ = ( y ′′)′ = ( xyy ′)′ = yy ′ + x ( y ′) 2 + xyy ′′ ,
y ′′′(1) = 1 ;
y ( 4 ) = ( y ′′′ )′ = [ y y ′ + x ( y ′ )2 + xy y ′′]′ = 2( y ′ )2 + 2 y y ′′ + 3 x y ′y ′′ + xy y ′′′ , y ( 4 ) (1) = 2 ;
y ( 5 ) = ( y ( 4 ) )′ = 9 y ′y ′′ + 3 y y ′′′ + 4 x y ′y ′′′ + 3 x ( y ′′ )2 + xyy ( 4 ) , y ( 5 ) (1) = 4 ;
……………………………………………………… .
Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем
1
1
2
4
y ( x ) = ( x − 1) + ( x − 1) 3 + ( x − 1) 4 + ( x − 1) 5 + K .
1!
3!
4!
5!
Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения методом неопределенных коэффициентов.
Этот метод в данном случае состоит в следующем:
а) решение записывают в виде
36
y ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + a3 ( x − x0 ) 3 + K + a n ( x − x0 ) n + K ;
б) из начальных условий определяют коэффициенты a0 , a1 ,K, a n −1 ;
в) заменяют все функции в дифференциальном уравнении степенными рядами по степеням x − x0 и производят над рядами требуемые действия
(т.е. складывают или умножают ряды);
г) сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x − x0 . Из полученных в результате этого уравнений и определяют коэффициенты ряда.
НАПРИМЕР. Найти решение уравнения
щее начальным условиям y ( 0) = 1 , y ′( 0) = 0 .
y ′′ − yx = 0 , удовлетворяю-
Запишем искомое решение в виде ряда
y ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + K + a n x n + K .
Тогда
y ′( x ) = a1 + 2 a 2 x + 3a3 x 2 + K + na n x n−1 + K ,
y ′′( x ) = 2a2 + 3 ⋅ 2 a3 x + K + n ⋅ ( n − 1) an x n−2 + K .
Подставим y ( x ) и y ′′( x ) в исходное уравнение:
(2a
2
) (
)
+ 3 ⋅ 2 a3 x + 4 ⋅ 3a4 x 2 + 5 ⋅ 4 a5 x 3 + K − x a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + K = 0
⇒ 2 a2 + (3⋅ 2 a3 − a0 ) x + ( 4 ⋅ 3a4 − a1 ) x 2 + (5 ⋅ 4 a5 − a2 ) x 3 + ( 6 ⋅ 5a6 − a3 ) + K = 0 .
Откуда получаем равенства:
2 a 2 = 0 , 3 ⋅ 2 a3 − a0 = 0 , 4 ⋅ 3a 4 − a1 = 0 , 5 ⋅ 4 a5 − a2 = 0 , 6 ⋅ 5a6 − a3 = 0 , … .
Из начальных условий находим
a0 = y ( 0) = 1 и a1 = y ′( 0) = 0 .
Тогда остальные коэффициенты будут равны
a 1
a
a
a
1
,… .
a 2 = 0 , a3 = 0 = , a 4 = 1 = 0 , a5 = 2 = 0 , a 6 = 3 =
6 6
30 180
20
12
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд, получаем
x3 x6
y( x) = 1 + +
+K .
6 180
37