Лекция 6. Тема: Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования. Определенный интеграл.

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»
Лекция 6.
Тема: Неопределенный интеграл и основные методы
интегрирования. Определенный интеграл.
Цель: Изучить понятие неопределенного интеграла и
освоить основные правила интегрирования.
Рассмотреть приложения определенного интеграла.
Функция F(x) называется
первообразной для функции
f(x) на промежутке (a;b), если
для всех x(a;b) выполняется
равенство F(x) = f(x).
Докажем две вспомогательные теоремы:
Если F(x) – первообразная для f(x) на
(a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
Доказательство:
(F + C) = F + C = f + 0 = f
Если функция g(x) постоянна на
(a;b), то g(x) = 0.
Если g(x) = 0 при всех x(a;b),
то g(x) = C на (a;b).
Если F(x) есть первообразная
для f(x) на промежутке (a;b),
а G(x) – другая первообразная
для f(x) на (a;b),
то G = F + C, где C – число.
Множество всех первообразных для
функции f(x) на промежутке (a;b)
называется неопределенным
интегралом и обозначается f(x)dx.
Вычисление
неопределенного
интеграла от заданной функции
называется интегрированием.
Замена переменной в неопределенном
интеграле.
Если функция f(x) непрерывна, а
функция (t) имеет непрерывную
производную (t), то имеет место
формула:
 f((t))(t) dt =  f(x) dx,
где x = (t).
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на
некотором промежутке функции, тогда
(uv) = uv + vu, отсюда следует:
 (uv)dx =  (uv + vu )dx =
= uv dx +  vu dx
или
 uv dx = uv –  uv dx .
Отсюда следует формула, которая
называется формулой
интегрирования по частям:
 u(x)dv(x) = u(x) v(x) –  v(x)du(x)
Определенный интеграл.
Определенным интегралом функции
n
y=f(x) на [a,b] называется
lim
 f    x ,
max xi 0
i 1
 n  
i
i
если этот предел существует и не зависит от
способа разбиений [a,b] на xi и от выбора
точек  i . Определенный интеграл
b
обозначается:
 f ( x)dx. Числа a и b
a
называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Геометрический смысл
определённого интеграла.
y
y=f (x)
.
0 x0=a x1 x2 xi-1 xi
b
S
xn=b
 f ( x)dx
a
b
Свойства определённого
интеграла.
a
a
2.  f ( x)  0
1.  f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
b
b
a
a
b
a
3.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx, k-любое число
b
4.  ( f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x))dx   f1 ( x)dx 
a
b
b
a
a
a
  f 2 ( x)dx  ...   f n ( x)dx
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Замена переменной в
определённом
интеграле.


1

0
2
2
1
2
2
1  x dx   cos tdt   (1  cos 2t )dt 
2
0
0

2
1
1

 (t  sin 2t ) 
2
2
4
0
x  sin t
t  arcsin x
x
0
t
0

1
2
Интегрирование по частям в
определённом интеграле.
b
b
udv

u

v

vdu


a
b
a
a
Геометрические приложения
определенного интеграла
y
y=-f(x)
0
x
y=f(x)
b
b
S 

a
f ( x) dx
y
y=f(x)
y=( )
a
0
b
b
x
S    f ( x)   ( x)dx
a
y
y=e
x
1
1
0
x
y=-x2
3 1
1
x
1
2
S   (e  x )dx  (e  )  e  1   e 
3 0
3
3
0
x
2
x
Площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой,
заданной параметрически.
 x  x(t ), где

 y  y (t )
  t   , x( )  a, x(  )  b,


x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на  ,  .

S   y(t )  x' (t )dt

y
0 a
b
x
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой
циклоиды:x=a (t-sin t), y= a (1-cos t).
y
2
2
0
0
2a x
0
S   a  (1  cos x)  a  (t  sin t )' dt  a 2  (1  cos t ) 2 dt 
2
a
2
 (1  2 cos t  cos
2
t )dt  a (t  2 sin t )
2
2
0

0
2
2
1
a
1
 a 2  (1  cos 2t )dt  a 2  2  (t  sin 2t )
20
2
2
2
a
 2  a 2 
 2  3a 2
2
2
0

Вычисление длины дуги кривой.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x),
где f(x) и f’(x) непрерывны на [a, b].
b
l   1  ( f ' ( x)) dx
2
a
Пусть кривая задана в параметрической
форме x=x(t), y=y(t), t   ,  , причём x(t),
y(t), x’(t)  0, y’(t) непрерывны на  ,  ,
 
 
x( )  a, x(  )  b.

l   ( x' (t ))  ( y' (t )) dt
2

2
Вопросы:
1)Свойства неопределенного интеграла?
2)Свойства определенного интеграла?
3)Площадь каких фигур можно находить с
помощью определенного интеграла?