МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНТЕГРАЛЫ В MATHCAD УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Составители: С. В. Киреев, П. А. Вельмисов Ульяновск УлГТУ 2017 1 УДК 517.3(076) ББК 22.161.я7 И 73 Рецензент – профессор кафедры ≪Информационная безопасность и теория управления≫ УлГУ, доктор физико-математических наук О. А. Перегудова Рекомендовано научно-методической комиссией инженерно-экономического факультета в качестве учебно-методического пособия Интегралы в Mathcad : учебно-методическое пособие / сост.: С. В. И 73 Киреев, П. А. Вельмисов. – Ульяновск : УлГТУ, 2017. – 35 с. Изложена методика выполнения в среде Mathcad типового расчета по теме ≪Интегралы≫. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих раздел математики ≪Интегрирование функции одной переменной≫. Работа выполнена на кафедре ≪Высшая математика≫. УДК 517.3(076) ББК 22.161я7 © Киреев С. В., Вельмисов П. А., составление, 2017 © Оформление. УлГТУ, 2017 2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………...…………..…….….... 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ В MATHCAD…............................................…….. 1.1. Определенный интеграл……………................................................… 1.1.1. Оператор интегрирования……………...................................…. 1.1.2. О выборе алгоритма численного интегрирования……………. 1.1.3. О традиционных алгоритмах интегрирования…..……………. 1.1.4. Алгоритм Ромберга………...……...……………………………. 1.2. Неопределенный интеграл…….………...…………………………… 1.2.1. Символьное интегрирование…...........….…………………...… 1.2.2. Интегрирование при помощи меню...………………….....…… 1.3. Интегралы специального вида……………………..………………… 1.3.1. Интегралы с бесконечными пределами………...…..………..... 1.3.2. Расходящиеся интегралы……………………………...……….. 1.3.3. Интеграл с переменным пределом………….…………………. 1.4. Кратные интегралы…………………………….……………………... 1.5. Приложения определенного интеграла…………….….…………….. 1.5.1. Пример: длина дуги кривой….………………..……………….. 1.6. Примеры решения задач в Mathcad……………………………....….. Задача 1…………………..…..………..…………….………..……….. Задача2…………………..…..………..………………...…………….. Задача 3…………………..…..………..…………..……………...….... Задача 4…………………..………………..……..……………….….... Задача5…………………..………………..……..……………….….... Задача6…………………..………………..……..……………….….... Задача7…………………..………………..……..…………………..... Задача8………………………..…………..……..……………….….... Задача9…………………..………………..……..……………….….... Задача10…………………..……………..……..………………...….... Задача11……………………..…………..……..…………………....... Задача12……………………..…………..……..…………………....... Задача13…………………..……………..……..…………………....... Задача14……………………..…………..……..…………...……….... Задача15…………………..……………..……..……………...…….... Задача16…………………..……………..……..………………...….... Задача17……………………..…………..……..………………...….... Задача18…………………..……………..……..…………………....... Задача19……………………..…………..……..………………...….... Задача20……………………..…………..……..………………...….... Задача21…………………..……………..……..…………………....... Задача22……………………..…………..……..…………………....... БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..…………………….……..…....... 3 4 5 5 5 7 9 12 13 13 14 15 15 15 16 16 18 18 19 19 20 20 20 20 21 21 22 22 23 23 24 25 27 28 30 30 31 31 32 32 33 35 ВВЕДЕНИЕ На кафедре ≪Высшая математика≫ УлГТУ проводится работа по созданию методических указаний к типовым расчетам в рамках концепции совершенствования методики преподавания математики в вузе. Вектор перемен направлен в сторону привлечения современных информационных компьютерных технологий (ИКТ) в преподавании математики. В качестве программной среды выбрана программа Mathcad. Она относится к классу приложений, называемых PSE (problem solution environment – программная среда для решения задач). Приложение Mathcad – один из самых популярных компьютерных математических пакетов, остающийся, бесспорно, на протяжении многих последних лет одним из лидеров в своем классе математического и образовательного программного обеспечения. Одной из отличительных особенностей среды Mathcad от других аналогов является его язык представления информации, который практически не отличается от привычного математического языка. Документ, созданный в Mathcad, выглядит как рукописный. Именно это обстоятельство повлияло на выбор программной среды. Студенту будет легко воспринимать информацию, поскольку он привык к такой форме записи математических объектов еще со школы. Предлагаемое учебно-методическое пособие служит руководством для выполнения типового расчета по теме ≪Интегралы≫ из учебного пособия Л. А. Кузнецова ≪Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты≫, [1, с. 56-86]. Весь необходимый теоретический материал для выполнения типового расчета можно почерпнуть из конспекта лекций или из учебников [2-7], и кратких сведений поMathcad, приведенных в пункте 1. 4 1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ В MATHCAD С одной стороны, численное интегрирование – одна из самых простых, с вычислительной точки зрения, операций, с другой – аналитически проинтегрировать можно далеко не каждую функцию. Всегда помните об этом, когда вы сталкиваетесь с численным или аналитическим интегрированием. 1.1. Определенный интеграл Интегрирование в Mathcadреализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярными. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным. 1.1.1. Оператор интегрирования Интегрирование, как и дифференцирование, и множество других математических действий, устроено в Mathcad по принципу «как пишется, так и вводится». Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Математический анализ нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7>(или символа “&”, что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими место заполнителями (рис. 1.1), в которые нужно ввести нижний и верхний пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования. Примечание Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов. Рис. 1.1. Оператор интегрирования 5 Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором – в случае успеха будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора Mathcad. Эти два способа иллюстрирует листинг 1.1. Конечно, символьное интегрирование возможно только для сравнительно небольшого круга несложных подынтегральных функций. Листинг 1.1. Численное и символьное вычисление определенного интеграла π 2 exp x dx 0.886 0 π 2 exp x dx 0 erf() 0.886 2 Примечание Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами (листинг 1.2). Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Математический анализ. Чтобы ввести -∞ (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как обычному числу. Листинг 1.2. Вычисление интеграла с бесконечными пределами 2 exp x dx - Примечание Подынтегральная функция может зависеть от любого количества переменных. Именно для того, чтобы указать, по какой переменной Mathcad следует вычислять интеграл, и нужно вводить ее имя в соответствующий место заполнитель. Помните, что для численного интегрирования по одной из переменных предварительно следует задать значение остальных переменных, от которых зависит подынтегральная функция и для которых вы намерены вычислить интеграл (листинг 1.3). 6 Листинг 1.3. Интегрирование функции двух переменных по разным переменным e a z e b z exp x z dx z2 a b 2 2 exp- x z dz b a 2 2 erf a x erf b x 2 x Примечание Оператор интегрирования может использоваться точно так же, как и другие операторы: для определения функций, в циклах и при вычислении ранжированных переменных. Пример присваивания пользовательской функции f(z) значения определенного интеграла и вычисления нескольких ее значений приведен на рис. 1.2. На том же рисунке показано, как можно построить график результата интегрирования. Рис.1.2. Использование оператора интегрирования в функции пользователя 1.1.2. О выборе алгоритма численного интегрирования Результат численного интегрирования – это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить большее значение TOL. 7 С ОВЕТ Если скорость расчетов имеет для вас принципиальное значение, например, при многократном вычислении интеграла внутри цикла, проявите осторожность, выбирая значение точности. Обязательно поэкспериментируйте на тестовом примере с характерной для ваших расчетов подынтегральной функцией. Посмотрите, как уменьшение константы TOL сказывается на погрешности интегрирования, вычислив интеграл для разных ее значений и выбрав оптимальное, исходя из соотношения точность/скорость вычислений. Отдавайте себе отчет в том, что при вводе в редакторе Mathcad оператора численного интегрирования, вы фактически создаете самую настоящую программу. Например, программой является первая строка листинга с рис. 1.2, просто основная ее часть скрыта от вашего взора разработчиками Mathcad. В большинстве случаев об этом не приходится специально задумываться, можно полностью положиться на Mathcad. Но иногда может потребоваться умение управлять параметрами этой программы, как мы уже рассмотрели на примере выбора константы TOL. Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого: 1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла. 2. В появившемся контекстном меню выберите один из имеющихся в наличии численных алгоритмов, например, Метод Ромберга (рис. 1.3). Рис. 1.3. Выбор алгоритма численного интегрирования производится при помощи контекстного меню 8 Обратите внимание: перед тем, как один из алгоритмов выбран впервые, что показано на рис. 1.3, флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта Автовыбор (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется Mathcad, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой. Разработчиками Mathcad запрограммированы четыре численных метода интегрирования: Метод Ромберга – для большинства функций, не содержащих особенностей; Адаптивный метод – для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования; Предел в бесконечности (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами; Особая конечная точка (Сингулярная граница) – для интегралов с сингулярностью на конце (применяется модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования). Старайтесь все-таки оставить выбор численного метода за Mathcad, установив флажок Автовыбор (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности. Если подынтегральная функция «хорошая», т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро, не имеет особенностей и не обращается в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов. 1.1.3. O традиционных алгоритмах интегрирования Прежде чем перейти к изложению метода численного интегрирования, реализованного в Mathcad, скажем несколько слов об основных принципах численного интегрирования. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла функции f(х) как площади фигуры, образованной графиком этой функции и осью х, можно предложить самый простой способ интегрирования «хорошей» функции – применить формулу прямоугольников. С ее помощью площадь упомянутой искомой фигуры подсчитывается как сумма площадей элементарных прямоугольников, множеством которых заменяется исходная фигура. Иллюстрация метода прямоугольников приведена на рис. 1.4. 9 Рис. 1.4. Реализация алгоритма прямоугольников Для подсчета интеграла I интервал интегрирования [а,b] разбивается на N отрезков. На каждом i-м отрезке f(х) заменяется прямоугольником с шириной h и высотой f(xi). Площадь каждого из этих элементарных прямоугольников составляет h f(xi ) ,а их сумма S может считаться приближением к искомому интегралу I. Несложно показать, что при N множество элементарных прямоугольников стремится к искомой фигуре, образованной подынтегральной функцией, а значение S I , причем погрешность (отличие S от точного значения I) составляет o(h 2 ) . Можно воспринимать смысл алгоритма прямоугольников в замене исходной подынтегральной функции другой, близкой к ней (в данном случае, кусочно-непрерывной) функцией, интеграл от которой легко подсчитать аналитически. Принцип более точных методов интегрирования как раз и состоит в интерполяции подынтегральной функции f(x) некоторой близкой зависимостью у(х) и расчете интеграла уже от этой функции. Важно, чтобы при этом, во-первых, интеграл от у(х) мог быть точно рассчитан аналитическими методами, и, во-вторых, функция f(х) была бы по возможности ближе к у(х), чтобы уменьшить погрешность. Очевидно, что наиболее простой алгоритм заключается в интерполяции подынтегральной функции на каждом из N шагов интегрирования f(x)каким-либо полиномом у(х). Известно, что могут быть предложены различные пути построения интерполирующих полиномов, отличающихся, в частности, порядком. Например, полиномы Лагранжа строятся при 10 интерполяции f(х) в n точках на каждом из N элементарных интервалов интегрирования. Семейство классических алгоритмов интегрирования в этом случае называется методами Ньютона-Котеса. Заметим, что при n=1 полиномом является прямая линия, и мы имеем метод трапеций; при n=2 интерполирующим полиномом на каждом шаге интегрирования будет квадратичная парабола, и мы получим алгоритм Симпсона и т. д. Недостатком перечисленных традиционных алгоритмов являются затруднения в количественной оценке погрешности. Аналитические формулы для погрешности включают, помимо множителя hk, задающего, собственно, порядок аппроксимации метода, сомножитель, характеризующий величину производной (определенного высшего порядка) подынтегральной функции. Оценить ее значение при конкретных расчетах очень сложно, и поэтому, соответственно, сложно вычислить суммарную погрешность алгоритма. Рис. 1.5. Оценка погрешности алгоритма прямоугольников 11 В тоже время сведения о величине погрешности являются очень важными, и, чаще всего, желательно иметь их количественную оценку, чтобы оптимально выбрать число разбиений интервала интегрирования N. Для апостериорной оценки погрешности можно, например, применять анализ зависимости S(N), подсчитанной для нескольких значений N(рис. 1.5). Зная, что, с одной стороны, S(N) изменяется по определенному степенному закону N-k, и, с другой, S(N)→I (К точному значению интеграла), можно довольно точно определить погрешность метода. На нижнем графике рис. 1.5 приведена зависимость погрешности от N (правда, в данном случае мы использовали для наглядности графика точное значение интеграла, которое в практических случаях, конечно, неизвестно). Именно с подобной процедурой и связан алгоритм расчета определенных интегралов, использованный в Mathcad, который будет представлен в следующем пункте. 1.1.4. Алгоритм Ромберга После сделанных вводных замечаний приведем основные идеи итерационного алгоритма Ромберга, который применяется в системе Mathcadдля выполнения операции численного интегрирования. Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f(х). В качестве первой итерации полиномы вычисляются по 1, 2 и 4 интервалам. Например, как уже отмечалось выше, первый полином, построенный по 1 интервалу, — это просто прямая линия, проведенная через две граничные точки интервала интегрирования, второй — квадратичная парабола и т. д. Интеграл от каждого полинома с известными коэффициентами легко вычисляется аналитически. Таким образом, определяется последовательность интегралов от интерполирующих полиномов: I1, I2, I4, ... . Например, по правилу трапеций I1=(b-a)(f(a)+f(b))/2 и т. д. Из-за интерполяции по разному числу точек вычисленные интегралы I1, I2, … несколько отличаются друг от друга. Причем чем больше точек используется для интерполяции, тем интеграл от интерполяционного полинома ближе к искомому интегралу I, и стремится к нему в пределе при бесконечном числе точек. Поэтому определенным образом осуществляется экстраполяция последовательности I1, I2, I4, ... до нулевой ширины элементарного интервала. Результат этой экстраполяции J принимается за приближение к вычисляемому интегралу. 12 Осуществляется переход к новой итерации с помощью еще более частого разбиения интервала интегрирования, добавления нового члена последовательности интерполирующих полиномов и вычисления нового (N-го) приближения Ромберга JN. Чем больше количество точек интерполяции, тем ближе очередное приближение Ромберга к вычисляемому интегралу и, соответственно, тем меньше оно отличается от приближения предыдущей итерации. Как только разница между двумя последними итерациями |JN-JN-1| становится меньше погрешности TOL или меньше TOL•|JN|, итерации прерываются, и JN появляется на экране в качестве результата интегрирования. 1.2. Неопределенный интеграл Предыдущий подраздел был посвящен проблеме поиска определенного интеграла, т. е. числового значения, равного площади фигуры, образованной графиком подынтегральной функции и осью х (см. рис. 1.4). Задача нахождения неопределенного интеграла намного сложнее, поскольку связана с поиском функции, производная от которой равна исходной подынтегральной функции. Решение этой задачи целиком возложено на символьный процессор Mathcad. 1.2.1. Символьное интегрирование Для того, чтобы аналитически проинтегрировать некоторую функцию, следует ввести с панели Calculus (Вычисления) символ неопределенного интеграла, в появившемся в документе шаблоне заполнить место заполнители и, наконец, ввести знак символьного равенства. В случае успеха по истечении некоторого времени расчетов справа от введенного выражения появится его аналитический результат (листинг 1.4). Если же функцию не удается проинтегрировать аналитически, введенное вами выражение будет просто продублировано (листинг 1.5). Примечание Помните, что при символьном интегрировании допускается использовать в выражениях, которые вы вводите, различные параметры. Если перед выражением вы нигде не определяли их значения, то (в случае успешных вычислений) символьный процессор Mathcad выдаст аналитическую зависимость результата интегрирования от этих параметров (как в листинге 1.4 от параметра а). 13 Листинг 1.4. Аналитическое вычисление неопределенного интеграла exp(a x 2 )dx π erf( a x) 2 a Листинг 1.5. Аналитическое интегрирование невозможно exp(a x b )dx exp(a x b )dx 1.2.2. Интегрирование при помощи меню ДЛЯ вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменной при помощи меню выделите в выражении переменную и выполните команду Symbolics / Variable / Integrate (Символика / Переменная / Интегрировать) (рис. 1.6). Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже. При этом результат может содержать как встроенные в Mathcad функции, так и другие спецфункции, которые нельзя непосредственно рассчитать в Mathcad, но символьный процессор «умеет» выдавать их в качестве результата некоторых аналитических операций. Рис. 1.6. Интегрирование выражения по переменной при помощи меню 14 1.3. Интегралы специального вида Завершим разговор о приемах интегрирования в среде Mathcadпримерами вычислений в некоторых специальных случаях, которые довольно часто встречаются в самых разнообразных областях математики. 1.3.1. Интегралы с бесконечными пределами Как мы уже говорили (см. примечание 1 в пункте 1.1.1 и листинг 1.2), для того чтобы вычислить определенный интеграл с одним или обоими бесконечными пределами, достаточно ввести, пользуясь панелью Calculus (Вычисления), специально предусмотренный разработчиками символ бесконечности в нужные местозаполнители интервалов интегрирования. 1.3.2. Расходящиеся интегралы Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор Mathcad может выдать сообщение об ошибке, выделив при этом оператор интегрирования, как обычно, красным цветом. Чаще всего ошибка будет иметь тип «Found a number with a magnitude greater than 10^307» (Найдено число, превышающее значение 10307) или «Can't converge to a solution» (Не сходится к решению). Листинг 1.6 1 dx демонстрирует невозможность численного расчета интеграла x 0 (нижняя строка листинга). Тем не менее, символьный процессор справляется с этим интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение (верхняя строка листинга 1.6). Листинг 1.6. Вычисление расходящегося интеграла 0 1 dx x 15 При попытке численного решения задачи листинга 1.6 методом, отличным от алгоритма вычисления интегралов с бесконечными пределами (Infinite Limit), получится неверное решение (листинг 1.7). А именно, вместо бесконечности будет выдано большое, но конечное число, немного не дотягивающее до численной бесконечности, являющейся для вычислительного процессора просто большим числом 10307. Отметим, что Mathcad в режиме автоматического выбора алгоритма (Auto Select) предлагает для интегралов с бесконечным пределом именно алгоритм Infinite Limit. Листинг 1.7. Плохо выбранный численный алгоритм (в данном случае, адаптивный) неверно находит расходящийся интеграл 0 1 dx 6.325 10153 x 1.3.3. Интеграл с переменным пределом Символьный процессор предоставляет замечательные возможности аналитического вычисления интегралов, в том числе зависящих от параметров. Особую важность имеет вычисление интеграла с переменным пределом (верхним или нижним), для которого один из пределов интегрирования является переменной, отличной от переменной интегрирования (листинг 1.8). Листинг 1.8. Аналитическое вычисление интеграла с переменным верхним пределом z 0 1 dx 2 z x 1.4. Кратные интегралы Кратным называется интеграл от функции многих переменных, берущийся по нескольким переменным. Для того чтобы вычислить кратный интеграл: 1. Введите, как обычно, оператор интегрирования. 2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной. 16 3. На месте ввода подынтегральной функции введите еще один оператор интегрирования (рис. 1.7). Рис. 1.7. Ввод нескольких операторов интегрирования для расчета кратного интеграла 4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно. Пример символьного и численного расчета двукратного интеграла в бесконечных пределах приведен в листинге 1.9. Обратите внимание на то, что символьный процессор «угадывает» точное значение интеграла π, а вычислительный определяет его приближенно и выдает в виде числа 3.142. Листинг 1.9. Символьное и численное вычисления кратного интеграла (x e 2 y2 ) dxdy π (x e 2 y2 ) dxdy 3.142 Листинг 1.10. Символьное вычисление кратных интегралов b 1 1 4 1 4 3 x y dxdy b a 2 2 a 1 b 1 x y dydx b 3 2 a2 a 1 17 1.5. Приложения определенного интеграла 1.5.1. Пример: длина дуги кривой В заключение приведем пример использования вычислительного процессора Mathcad для расчета длины участка кривой, задаваемой некоторой функцией f(х) в промежутке между двумя значениями ее аргумента, а и b (рис. 1.8). Решение данной простой задачи математического анализа приведено в листинге 1.11, причем формула, по которой рассчитывается длина дуги, приведена в третьей (последней) строке листинга. Обратите внимание, что для получения результата необходимо применить и операцию численного интегрирования, и дифференцирования. Листинг 1.11 Расчет длины дуги кривой x3 f(x) : x a : 0 b : 0 2 2 b a 2 d 1 f(x) dx 2.42 dx Рис. 1.8. График функции определяет дугу некоторой длины (продолжение листинга 1.11) 18 1.6. Примеры решения задач в Mathcad Задача 1. Найти неопределенный интеграл xcos(x) sin 3 (x) dx . Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: xcos(x) sin(4x) 2 sin(2x) 4 x 4 x cos(2x) . dx sin 3 (x) 2 cos(4x) 8 cos(2x) 6 Упростим правую часть с помощью встроенного оператора simplify: xcos(x) 8 x sin 2 (x) 2 sin(2x) sin(4x) . sin 3 (x) dx simplify 4 sin 2 (2x) 16 sin 2 (x) Перепишем правую часть через котангенс с помощью встроенного оператора rewrite: 2 cot(2x) 4 cot(x) 4 x (cot2 (x) 1) 4x xcos(x) cot 2 (2x) 1 cot 2 (x) 1 cot 2 (x) 1 sin 3 (x) dx rewrite, cot 2 (cot2 (2x) 1) 8 (cot2 (x) 1) 6 cot 2 (2x) 1 cot 2 (x) 1 . Упростим правую часть с помощью встроенного оператора simplify: 1 2 x tan(x) x cot2 (x) x tan 2 (x) rewrite, cot xcos(x) tan(x) . sin 3 (x) dx simplify 2 tan 2 (x) 2 Сгруппируем члены с помощью встроенного оператора collect: 1 rewrite, cot tan(x) 2 2 cot (x) tan (x) 2 xcos(x) tan(x) x dx simplify . sin 3 (x) 2 2 2 tan (x) 2 2 tan (x) 2 collect, x Вновь упростим с помощью simplify: rewrite, cot simplify xcos(x) x cot2 (x) cot(x) x sin 3 (x) dx collect, x 2 2 2 . simplify Заменим встроенную функцию котангенса “cot(x)” на стандартную “ctg(x)” с помощью встроенной функции substitute и получим ответ: 19 rewrite, cot simplify xcos(x) sin 3 (x) dx collect, x simplify x ctg2 (x) ctg(x) x . 2 2 2 substitute, cot(x) ctg(x) 0 Задача 2. Вычислить определенный интеграл (x 2 2)ex/2 dx . 2 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 0 (x 2 2)ex/2 dx 20 44 e 1 . 2 Задача 3. Найти неопределенный интеграл 1 x dx . x (x 1) Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 1 1 x x (x 1) dx ln(x 1) 2 atan x 2 . Заменим встроенную функцию арктангенса “atan(x)” на стандартную “arctg(x)” с помощью встроенной функции substitute и получим ответ: 1 1 1 1 x 2 2 x (x 1) dx substitute, atan x arctg x ln(x 1) 2 arctg x 2 . 9 xdx Задача 4. Вычислить определенный интеграл 3 . x 1 2 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 9 xdx 231 3 x 1 10 . 2 2x 3 40x 8 Задача 5. Найти неопределенный интеграл dx . x(x 4)(x 2) Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 20 2x 3 40x 8 2 x(x 4)(x 2)dx 2 x 6 ln(x 2) ln x 4 x . x 3 6x 2 13x 6 Задача 6. Найти неопределенный интеграл dx . (x 2)(x 2)3 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: x 3 6x 2 13x 6 1 (x 2)(x 2)3 dx ln(x 2) 2 x 2 4 x 4 . 2x 3 3x 2 3x 2 Задача 7. Найти неопределенный интеграл 2 dx . (x x 1)(x2 1) Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 2 1 3 ln x 3 2 2 4 2x 3x 3x 2 ln x 2 1 atan(x) (x 2 x 1)(x2 1)dx 2 2 1 2 3 x 2 3 2 atan π 3 . 6 Упростим правую часть с помощью встроенного оператора simplify: 2x 3 3x 2 3x 2 ln(x 2 x 1) ln x 2 1 atan(x) (x 2 x 1)(x2 1)dx simplify 2 2 2 x 1 3 atan 3 3 3 3π . 3 6 Заменим встроенную функцию арктангенса “atan(x)” на стандартную “arctg(x)” с помощью встроенной функции substitute и получим ответ: simplify 2x 3 3x 2 3x 2 (x 2 x 1)(x2 1)dx substitute, atan(x) arctg(x), 2 x 1 2 x 1 atan 3 arctg 3 3 3 3 3 21 2 x 1 3 arctg 3 ln x 1 3 3 3π ln(x 2 x 1) . arctg(x) 2 2 3 6 /2 sin(x)dx Задача 8. Вычислить определенный интеграл . 5 3sin(x) 0 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: /2 1 sin(x)dx x 5 3sin(x) (3 x 5) 1 x 2 . 0 0 2 Поскольку символьный процессор не в состоянии вычислить данный определенный интеграл, вычислим неопределенный и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Введем обозначение: sin(x)dx . F(x) : 5 3sin(x) 3 5 atan π 5 atan(2) π 4 . F F(0) 6 6 6 2 Заменим встроенную функцию арктангенса “atan(x)” на стандартную “arctg(x)” с помощью встроенной функции substitute и получим ответ: π 3 3 F F(0) substitute, atan(2) arctg(2),atan arctg 2 4 4 3 5 arctg π 5 arctg(2) 4. 6 6 6 arccos(1/ 6 ) 3tg 2 (x) 1 Задача 9. Вычислить определенный интеграл tg 2 (x) 5 dx . 0 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 1 acos 6 3 tan(x) 2 1 π 5 1 tan(x)2 5 dx 5 acos 6 6 . 0 Заменим встроенную функцию арккосинуса “acos(x)” на стандартную “arccos(x)” с помощью встроенной функции substitute и получим ответ: 1 acos 6 0 6 6 3 tan(x) 2 1 dx substitute , acos arccos 6 6 tan(x) 2 5 22 π 5 1 arccos 6 5 6 2 Задача 10. Вычислить определенный интеграл sin 4 (3x)cos4 (3x)dx . 0 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 2 3 π 4 4 sin (3x)cos (3x)dx . 64 0 Задача 11. Вычислить определенный интеграл 2 4 2x x2 x 2 4 2 x x 22 dx . 0 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 2 2 4 2x x2 4 2x x2 dx x 2 4 2 x x 22 x 2 4 2 x x 22 dx . 0 0 Аналитический процессор не справляется с задачей, выдавая в качестве решения исходный интеграл. Применим метод замены переменной. Введем две функции: 2x 4 2x x2 , F(x) : . t(x) : x2 x2 4 2x Продифференцируем функцию t(x) и обозначим ее через f(x): x2 1 2 d x 2 x 2 . f(x) : t(x) dx x2 2 x2 Упростим полученное выражение с помощью встроенной функции 2 simplify, соберем коэффициенты при x 2 с помощью функции coeffs и обозначим через функцию A(x): 0 2 2 coeffs,(x 2) . A(x) : f(x) x2 simplify x2 Выразим переменную u через x с помощью оператора solve: 2x 2 u2 2 . u solve, x 2 x2 u 1 Подставим в функцию A(x) выражение x через u и обозначим через A(u): 23 2 u2 2 substitute, x 2 2 A(u) : A(x)1 u 1 . u assume,u 0 Подставим в функцию F(x) выражение x через u и обозначим через F(u): 2 u2 2 substitute, x 2 4 u 1 F(u) : F(x) . u 1 4 u 1 assume,u 0 Выразим дифференциал dx через du с помощью оператора solve: du u . K : du A(u)dx solve, dx 2 Соберем коэффициенты в подынтегральном выражении и обозначим через функцию F1(u): 0 coeffs,du F1(u) : K F(u) u 4 u2 . simplify 8 u 2 Найдем первообразную функцию и обозначим ее через G(u): 1 ln u 2 u 4 u G(u) : F1(u)1 du . 4 16 4 Пересчитаем пределы интегрирования: a : t(0) 1, b : t(2) 0 . Подставим полученные пределы интегрирования в первообразную функцию G(u): ln(5) G(b) G(a) simplify . 16 3/2 x 2 dx dx . Задача 12. Вычислить определенный интеграл 2 9x 0 Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 3/2 x 2 dx 9i ln(6) 9 3 9i ln( 27 3i) dx . 9 x2 2 8 2 0 Аналитический процессор не справляется с задачей, выдавая в качестве решения комплексное выражение. Применим метод замены переменной. Введем две функции: x2 f(x) : , x(t) : 3 sin(t) . 2 9x Подставим в подынтегральную функцию f(x) замену x(t) с помощью 24 функции substitute, упростим функцией simplify и обозначим через f1(t): substitute, x 3sin(t) 3 cos2 (t) 3 . f1(t) : f(x) 2 simplify cos (t) Упростим полученное выражение с наложением ограничения на параметр t: simplify 3 cos(2 t) 3 . f1(t) : f1(t) π 2 cos(t) assume,0 t 2 Продифференцируем x(t) и обозначим результат через K(t): d K(t) : x(t) 3 cos(t). dt Проинтегрируем f1(t)K(t) и обозначим через F(t): 9 t 9 sin(2 t) . F(t) : f1(t) K(t)dt 2 4 Выразим t через u: u asin 3 . B(u) : u 3sin(t) solve, t 1 π asin 3 u Пересчитаем пределы интегрирования: 3 π t(u) : B(u) 0 , a : t(0) 0 , b : t . 2 6 Подставим в первообразную: 3 π 9 3 . F(b) F(a) 4 8 5 1 3 x Задача 13. Найти неопределенный интеграл dx . 5 2 x x Решение: Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 5 5 1 3 x 1 3 x dx x5 x 2 x5 x 2 dx . Аналитический процессор не справляется с задачей, выдавая в качестве решения исходный интеграл. Применим метод замены переменной. Решение представлено в следующем листинге: 1 1 7 a : 1, b : 1 , n : , p : , m : , d1 : 3 , d2 : 5 , d3 : 5 . 3 5 5 25 1 m 1 6 m 1 p , , p 1. 5 n 5 n m 1 m 1 x n t d2 if p floor p 0 n n m 1 m 1 w2(x,t) : t d2 if floor 0 n n 0 otherwise w1(t) : t lcmd1,d2 if p floor(p) 0 0 . otherwise w1(t) 0 , w2(x, t) t 5 1 x3 . s(x) : a b x n . s2(x, t) : w1(t) if w1(t) 0 x otherwise . s1(x, t) : s(x) substitute, s(x) w2(x, t) t s2(x, t) x , s1(x, t) 1 5 t x3 5 1 x3 . . 1 h(t) : s(x) s1(x, t) solve, x 15 . t 3 t10 3 t 5 1 1 h(t) : h(t) simplify . 3 t5 1 d 15 t 4 . k(t) : h(t) 4 dt t5 1 F(x, t) : s1(x, t) p s2(x, t) m k(t) . 1 1 5 3 1 4 5 15 t t 3 5 t 1 . G(t) : F(h(t),t) simplify 7 1 5 5 4 t 1 3 t 5 1 G(t) : 15 t 5 . 26 I(t) : G(t)dt 5 t6 . 2 Задача 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций x 4 (y 1) 2 , x y 2 4y 3 . Решение: Введем функции: f1(y) : 4 (y 1) 2 , f2(y) : y 2 4y 3 . Найдем точки пересечения кривых, решив систему с помощью блока Given-Find: Given f1(y) f2(y) Y : Find(y) 0 3 . Рис. 3.9. Фигура (к задаче 14) Обозначим точки пересечения: y1: Y0,0 0 . y2 : Y0,1 3 . x1: f1(y1) 3 . x2 : f2(y2) 0 . Построим фигуру: y11: y1, y12 : y2 , d:=1000 , 27 h : y12 y11 . d for i 0,2..d xx i y11 h i xx : yy xx i 1 xx i h yyi f 1(xx i ) yyi 1 f2(xxi 1 ) xx yy Вычислим площадь, заштрихованной области (рис. 3.9): y2 S : f1(y) f2(y)dy 9 . y1 Задача Вычислить площадь фигуры, ограниченной 3 x 32cos (t), заданными уравнениями , x 12 3 x 12 3 . 3 y 3sin (t) Решение: 15. линиями, Введем функции: x(t) : 32cos3 (t) , y(t) : 3sin 3 (t) , x : 12 3 x 12 3 . Найдем точки пересечения кривых, решив систему с помощью блока Given-Find: Given x(t) 12 3 π T : Find(t) 6 3 3 3 3 acos i acos i 4 4 4 4 3 3 3 3 acos i acos i . 4 4 4 4 Обозначим точки пересечения: π t1 : T0,0 . 6 π t2 : T0,1 - . 6 x1: x(t1) 12 3 . π 6 28 Построим фигуру: left : x(t1) , right : x(0) , d : 100 000 , h : right left . d 3 2 x 3 , f2(x) : 3 f1(x) : 3 1 32 3 2 x 1 3 . 32 for i 0,2..d xx i left h i xx : yy xx i 1 xx i h yyi f 1(xx i ) yyi 1 f2(xxi 1 ) xx yy Вычислим площадь, заштрихованной области (см. рис.3.10): t1 d S : y(t) x(t) dt 9 3 6 π . dt t2 Рис. 3.10. Фигура (к задаче 15) 29 Задача 16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r 6sin( ) , r 4sin( ) . Решение: Введем функции и построим фигуру: r( ) : 6 sin( ) , r1( ) : 4 sin( ) , r2(i, ) : i sin( ) . π : 0, ..2π , i : 4,4.1..6. 10 000 Рис. 3.11. Фигура (к задаче 16) Фигура ограничена двумя окружностями (см. рис. 3.11). Вычислим площади кругов по формулам: 1 2π 2 1 2π 2 S1 : r ( )d 18 π , S2 : r1 ( )d 8 π . 2 0 2 0 Тогда площадь искомой фигуры есть разность их площадей: S : S1 S2 10 π . Задача 17. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в 1 ex ex прямоугольной системе координат: y , 0 x 3. 2 Решение: Зададим функцию y(x) и построим график (рис. 3.12): 1 ex ex y(x) . 2 Воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла по формуле 30 3 l : 0 2 3 d 1 y(x) dx dx 0 2 e x ex 1dx . 2 2 Рис. 3.12. Фигура (к задаче 17) Аналитический процессор не справляется с задачей, выдавая в качестве решения исходный интеграл. Введем обозначения: d f(x) : y(x) simplify sinh(x) . dx f1(x) : 1 f 2 (x) simplify cosh2 (x) . l(x) : cosh(x)dx sinh(x) . l : l(0) l(3) substitute, sinh(3) sh(3) sh(3) . Задача 18. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими 2 x (t 2)sin(t) 2tcos(t), уравнениями: ,0 t π . 2 y (2 t )cos(t) 2tsin(t) Решение: Зададим функции x(t) и y(t) и воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла по формуле: x(t) : (t 2 2) sin(t) 2 t cos(t), y(t) : (2 t 2 ) cos(t) 2 t sin(t) . 2 2 π3 d d l : x(t) y(t) dt dt 3 dt 0 Задача 19. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах: r 6sin( ) , 0 π . 3 Решение: Зададим функцию r(φ) и воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла по формуле: 31 r( ) 6 sin( ) . π 3 2 d l : r( ) r( ) d 2 π d 0 Задача 20. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 1, z 7 , z 0 . 16 9 196 Решение: Зададим функцию S(z) – площадь поперечного сечения, согласно формуле S(z)=πab, где a и b – полуоси эллипса, и воспользуемся аналитическим равенством “→” для вычисления интеграла: 2 7 V : S(z)dz 77 π 0 Задача 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций: y (x 1) 2 , x 0 , x 2 , y 0 . Решение: Обозначим функции, определяющие границы фигуры вращения: y1(x) (x 1) 2 , y2(x) 0 . Зададим параметры, необходимые для построения фигуры: ba . a : 0 , b : 2 , d : 100 000 , h : d Построим эту фигуру (рис. 3.13): for i 0,2..d xx i a h i xx : yy xx i 1 xx i h yyi y1(xx i ) yyi 1 y2(xxi 1 ) xx yy Выразим x через y с помощью оператора solve: y 1 . x(y) : y (x 1) 2 solve, x 1 y Согласно рисунку, фигура состоит из двух частей. Вычислим объем заштрихованной фигуры: 32 Рис. 3.13. Фигура (к задаче 21) 1 V1 : π x(y)0 2 0 1 17 π π 2 dy , V2 : π x(y)1 dy , 6 6 0 1 8 π V3 : V1 V2 , V4 : π 22 dy 4 π , 3 0 4 π V : V4 V3 . 3 Задача 22. Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением 103.3 кПа. Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h м (см. рис. 3.14). H 2,0 м, h 1,0 м, R 0,4 м. Решение: Рис. 3.14. Фигура (к задаче 22) Из уравнения состояния идеального газа pV C . В начальном состоянии: p p1 103,3 кПа 1,033 105 Па , V V1 HS . Здесь S πR 2 – площадь поршня. Таким образом C p1V1 . Давление изменяется по закону: 33 C p1V1 . V V При этом объем газа V H x S , где x – смещение поршня, изменяющееся от нуля до h . Следовательно, pV p HS pS p 1 1 1 1 . H x S H x V Сила, действующая на поршень F pS . Работа: p V2 A p(V)dV . V1 Дифференциал объема dV Sdx . Подставляя в формулу работы выражениедля давления и дифференциала объема, и интегрируя, получим h h h p1H dx H A Sdx p1HS p1HSln x H p1HSln H x x H H h 0 0 0 πp1HR 2 ln Таким образом, работа равна H . Hh H . Hh Подставляя исходные данные, согласно варианту, получаем 2,0 A π 1,033 105 2,0 0,42 ln 71982 Дж . 2,0 1,0 A πp1HR 2 ln 34 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты : учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов. – 9-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2007. – 239 с. 2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 1. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2004. 3. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учебник для вузов / Я. С. Бугров, Н. С. Никольский. – 4-е изд., перераб. и доп. – Ростов н/Д. : Феникс, 1997. – 509 с. 4. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т. 1. / Л. Д. Кудрявцев – 5-е изд., перераб. и доп. – М. : Дрофа, 2003. –– 400 с. 5. Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа : учеб. пособие для вузов / А. Ф. Бермант – 15-e изд., стер. – СПб. : Лань, 2009. – 736 с. 6. Кирьянов, Д. В. Mathcad 14 / Д. В. Кирьянов. – СПб. : БХВ-Петербург, 2007. – 704 с. 7. Анкилов, А. В. Высшая математика: учебное пособие [для бакалавров всех специальностей, изучающих дисциплину «Математика»: в 2 ч. ] / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников; М-во образования и науки Рос. Федерации, Ульян. гос. техн. ун-т. – 3-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – Ч. 1. - 250 с. 35 Учебное издание ИНТЕГРАЛЫ В MATHCAD Учебно-методическое пособие Составители: Киреев Сергей Владимирович, Вельмисов Петр Александрович Редактор Н. А. Евдокимова ЭИ № 1113. Объем данных 0,9 Мб Подписано в печать 30.11.2017. Формат 60×84/16. Усл. п. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32. Тел.: (8422) 778-113 E-mail: [email protected] venec.ulstu.ru 36
