Определённый интеграл

Определённый
интеграл
Задача о площади
y  f x 
Y
a
x1 x 2 x 3
xn 2 xn 1
b
X
S i  f Ci    xi  xi 1 
y
xi 1 C i
xi
x
a  x0  x1  x2  x3  .....  xn2  xn1  xn  b
n
Sступ.фигуры   Si
i 1
S кр .тр.   f Ci    xi  xi 1 
n
i 1
S кр .тр.   f Ci   xi
n
i 1
S  lim  f Ci   xi
n
xi 0 i 1
Определённый интеграл
 
• Пусть на сегменте a; b задана
функция y  f  x  :
1) с помощью точек деления
a  x0  x1  x2  x3  .....  xn2  xn1  xn  b
разобьем сегмент на n малых
сегментов
x ; x  , x ; x  ,...,x
0
1
1
2
n 1
; xn 
2) в каждом малом сегменте xi 1 ; xi 
выбираем произвольно точку C i и
умножим значение функции в этой точке
на длину сегмента: f Ci   xi .
3) составим сумму (интегральную)
 n   f Ci   xi .
n
i 1
Если интегральная сумма  n имеет
предел, который не зависит ни от
способа разбиения сегмента a; b,ни
от выбора точек C i в каждом малом
сегменте, то этот предел называется
определённым интегралом от
функции f  x  на a;b.
f Ci   xi
 f ( x)dx  lim 
i 1
b
a
n
xi 0
n
Геометрический смысл
определённого интеграла.
b
S

a
f ( x)dx
Свойства
определённого
интеграла
1.
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
 f ( x)  0
2.
a
3.
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
, k-любое число
b
b
4.
b
 ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx  a f1 ( x)dx  a f 2 ( x)dx
a
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a; b f x   0, то
6) Если на
 f x   dx  0.
b
a
7) Если на
a; b
f x    x 
 f x   dx    x   dx
b
b
a
a
Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Пример.
0, 5

0
dx
1 x
2
 arcsin x
0,5
0
 arcsin 0,5  arcsin 0 

6
Методы
интегрирования
xz
9
dx  2 z  dz 3 2 z  dz
dx




x  1 x  4; z  2 2 z  1
4
x  9; z  3
2
3
 2
z  1  1  dz  2
z 1
2
1 

 1  z  1 dz 
2

3
9
 2 z 2  2ln z  1 2  6  4  2 ln 4  2 ln 3  2  ln
16
3
3
Интегрирование по частям в
определённом интеграле.
b
b
udv

u

v

vdu


a
b
a
a
u  x; du  dx

 x  cos x  dx  dv  cos x  dx
0

v   cos x  dx  sin x


 x  sin x 0   sin x  dx 
0
   sin   0  sin 0   cos x  0 

 0  0  cos  cos0  1  1  2
Геометрические
приложения
определенного
интеграла
• 1. Если y  f  x  непрерывна и
положительна, то S кр .тр. с основанием
a; b ограниченной сверху графиком
этой функции можно найти по формуле
 
S   f x dx
b
a
2. Если f  x   0 на
a; b
.
 f x   0
S    f x   dx   f x   dx
b
b
a
a
b
S   f ( x) dx
a
y
y=-f(x)
0 a
b
x
y=f(x)
3.Рассмотрим случай, когда фигура
ограничена сверху графиком функции
y  f  x  , снизу графиком функции
y  g (x)
b
S   ( f ( x)  g ( x))dx;
a
y
y=f(x)
y=  (x)
0
a
b
x
y
y=e
x
1
1
0
x
y=-x2
3 1
1
x
1
2
S   (e  x )dx  (e  )  e  1   e 
3 0
3
3
0
x
2
x
Объём тела вращения
Y
f x 
aa
x
b
X
• Объем тела, образованного вращением
трапеции вокруг оси OX:
V      f x   dx
b
2
a
• Объем тела, образованного вращением
трапеции вокруг оси OY:
V     g  y   dy
d
c
2
Несобственные
интегралы
• Несобственным интегралом с
бесконечной верхней границей от
непрерывной функции f x называется
предел определенного интеграла
 
 f x   dx
b
a
при условии, что
b   :

b
a
a
f x   dx
 f x   dx  lim

b 
• Если этот предел конечное число, то

 f x   dx
a
существует или сходится.
• Если этот предел не существует( или
равен бесконечности), то говорят, что
интеграл не существует или расходится.
b

b
f ( x)dx  lim
a  





f ( x)dx
a

c
f ( x)dx 


f ( x)dx 

c
f ( x)dx
Пример.

dx
b
arctgx

 1  x 2  blim
0
 
0
 blim
(
arctgb

arctg
0
)

 

2
• Несобственный интеграл от разрывной
функции при приближении
к числу b
слева называется
x
f x   dx :
lim

c b 0
c
a
f x   dx
 f x   dx  clim

b 0
b
c
a
a
• Аналогично, если функция f  x 
разрывна при приближении x справа к
точке
a
f x   dx.
 f x   dx  clim

a  0
b
b
a
c
• Если функция разрывна в точке d  a; b
 f x   dx   f x   dx   f x   dx
b
d
b
a
a
d