Математический анализ (собеседование)

050100.62 Педагогическое образование
профиль Математика и Информатика
вопросы для собеседования по дисциплине
«Математический анализ» (для 3 курса)
1.
Понятие первообразной функции и ее свойства. Определение
неопределенного интеграла и его геометрическое толкование.
2.
Основные свойства неопределенного интеграла. Правила интегрирования.
Таблица
основных
неопределённых
интегралов.
Метод
непосредственного
интегрирования.
2
dx
х
2х


5

е
dx
,
,
.
tg
x
dx
4



x  x2
3.
Метод подстановки (замены переменной) в неопределенном интеграле.
Тригонометрические подстановки.
dx
x2
dx
2
2
 x 3 1 dx ,  tg x dx ,  x  1  ln 2 x  ,  x 2  a 2 ,  a  x dx .
4.
Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
dx
2 x
2
 arctg x dx ,  x e dx ,  х  а dx ,  x 2  a 2 n .
5.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
5
2x  1
 2 x  711 dx ,  x 2  x  1 dx .
6.
Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.
2 x3  4 x 2  x  2
х5
3x 4  2 x 3  3x 2  1
dx
,
,
dx
 x  12 x 2  x  1
 1  х 3 dх .
 x  2x 2  12


dx
 x 4  x 
2 2
2
,


dx
 x1  x 
3 2
dx (вычислить без разложения дроби на простейшие).
7.
Интегрирование некоторых иррациональных функций (дробно-линейных
иррациональностей, биномиальных дифференциалов, квадратичных иррациональностей
посредством подстановок Эйлера).
dx
 x  1 x  2
3
4
5
2х  1  1
dx ,
, 
2 х  1 3 2 х  1  1
6

8.

dx


2

3
dx
 sin 3x  cos 7 x dx ,  sin
2
2
,
х

dx ,

x3
1  x 
2 3
dx
x
dx
2
1  x2
,
dx
.
4  3x  x
x  2x  3
x А
Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
dx
sin x
sin x
 sin x  2 cos x ,  cos 2 x  sin x  cos x  dx ,  cos 2 x  4 cos x  7 dx .
2
,
2  3 х 
x  cos 4 x dx ,
2
 sin
4
x  cos 3 x dx .
9.
Конструктивное
определение
определенного
интеграла
и
его
геометрический смысл. Необходимое условие существования определенного интеграла и
его определение в школьном учебнике.
10.
Суммы Дарбу и их свойства. Следствие из свойств сумм Дарбу.
11.
Критерий интегрируемости функций в терминах сумм Дарбу.
12.
Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора и ее следствие.
13.
Классы интегрируемых функций.
14.
Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами и
неравенствами.
15.
Теорема о среднем значении.
16.
Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной
для непрерывной функции.
17.
Основная формула интегрального исчисления (формула НьютонаЛейбница).
18.
Замена переменной в определенном интеграле.
19.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
20.
Понятие о несобственных интегралах:
а) с бесконечными пределами интегрирования;
б) от неограниченной функции.
Квадрируемые фигуры (конструктивное определение площади плоской
23.
фигуры).
24.
Критерии квадрируемости. Примеры квадрируемых фигур.
25.
Площадь криволинейной трапеции в прямоугольных координатах.
26.
Площадь криволинейной трапеции в случае, когда y = f(x) задана
параметрическими уравнениями. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
27.
Кубируемые тела (конструктивное определение объема тела). Критерии
кубируемости.
28.
Объем прямого цилиндра.
29.
Объем тела вращения. Вычислить объем шара. Принцип Кавальери.
30.
Спрямляемые дуги (конструктивное определение длины дуги).
31.
Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах. Пример: найти
длину окружности.
32.
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Пример: найти длину окружности.
33.
Вычисление длины дуги в полярных координатах. Пример: найти длину
дуги кардиоиды   1  sin  .
34.
Понятие п – мерного евклидова пространства. Топологические понятия в
пространстве Rn (открытый и замкнутый круг;  – окрестность, внутренняя точка,
открытое множество, изолированная, предельная и граничная точка; замкнутое и
ограниченное множество).
35.
Последовательности точек в пространстве Rn и их сходимость (определение
последовательности и её предела, свойства сходящихся последовательностей. Сходимость
в m – мерном евклидовом пр-ве, фундаментальная последовательность, критерий Коши,
теорема Больцано-Вейерштрасса).
36.
Функции нескольких переменных как отображения из Rn в R. Основные
понятия (область определения, аргументы, значение функции в точке, множество
значений, график функции).
37.
Предел функции нескольких переменных (определения «на языке
окрестностей», по Коши и по Гейне, сформулировать основные теоремы о пределах).
Повторные пределы и их связь с пределом функции.
38.
Непрерывные функции нескольких переменных (определения на разных
языках). Непрерывность по отдельным переменным.
39.
Частные производные (определение и примеры). Геометрический и
механический (физический) смысл частных производных функции двух переменных.
40.
Дифференцируемость функции двух переменных в точке (определение,
необходимое
условие
дифференцируемости,
следствия;
связь
между
дифференцируемостью и непрерывностью. Достаточные условия дифференцируемости).
41.
Дифференциал функции двух переменных и его свойства.
42.
Экстремумы функции двух переменных (определение, необходимое условие
экстремума, необходимое и достаточное условия экстремума, достаточные условия
экстремума).
43.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции z = f(x,y) на
замкнутом ограниченном множестве.