dxxf

Интеграл и его приложения.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F ( x)  f ( x) , или,
что то же самое,
dF ( x)  f ( x)dx.
Совокупность всех первообразных функции
, определенных на заданном
промежутке, называется неопределенным интегралом от функции
и обозначается
символом
. То есть
Знак
называется интегралом,
- подынтегральным выражением,
подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции
называется интегрированием функции
.
Неопределенный интеграл представляет
собой семейство параллельно расположенных
кривых
, где каждому конкретному
числовому значению постоянной
соответствует
определенная кривая из указанного семейства.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
 аf ( x)dx  а f ( x)dx.
(a  const )
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций
равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Таблица основных интегралов.
Методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств
неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличных интегралов.
Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)
Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной
интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который
сравнительно легко берется непосредственно.
Интегрирование по частям.
Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию. При
вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение f ( x)dx представляется в
виде произведения множителей u и dv; при этом dx обязательно входит в dv. В результате
получается, что заданный интеграл находят по частям:
 udv  uv   vdu.
Определенный интеграл
Приращение F(b) - F(a) любой из первообразных F(x)+c при изменении аргумента от
х=а до х=b называется определенным интегралом от a до b функции f(x) и обозначается
b
 f ( x)dx
a
Где а- нижний предел интегрирования,
b-верхний предел интегрирования.
b
Таким образом, по определению
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Формула Ньютона-Лейбница
b

f ( x)dx  F ( x) |ba  F (b)  F (a).
a
Геометрический смысл определенного интеграла.
b
Определенный интеграл
 f ( x)dx
численно равен площади S криволинейной
a
трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b,
b
т.е. S=
 f ( x)dx
a
Свойство определенного итеграла.
Если поменять местами границы интегрирования определенного интеграла, то
значение определенного интеграла поменяется на противоположное, т.е.
b
a
a
b
 f ( x)dx = -  f ( x)dx