Определенный интеграл

Определенный
интеграл
продолжение
План лекции:
Замена переменной в
определенном интеграле.
II. Приложения определенного
интеграла.
III. Функции нескольких переменных
I.
(частные производные,
дифференцирование сложных функций,
экстремумы функций нескольких
переменных)
I. Замена переменной в
определенном интеграле
 При вычислении
определенного
b
интеграла
 f ( x)dx
методом замены
a
переменной данный интеграл с
помощью замены ψ(х) = t
преобразуется в другой определенный
интеграл с новой переменной
интегрирования t, причем старые
пределы интегрирования х1 = a и х2 = b
заменяются новыми пределами
t1 = ψ(a) и t2 = ψ(b) согласно уравнению
 (b )
замены: b
 f ( x)dx   g (t )dt
a
 (a)
5
Пример. Вычислить

3
5 x  2dx
2
Сделаем замену:
5 x  2  t  5 x  2  t 3  d (5 x  2)  d (t 3 ) 
3 2
3
2
(5 x  2)dx  (t )dt  5dx  3t dt  dx  t dt
5
3
 Вычислим новые пределы
интегрирования:
при x1  2 t1  3 5  (2)  2  2,
при
x2  5 t2  5  5  2  3.
3
5
Теперь

2
4 3
3 t
 
5 4
2
3
3
3
3 2
3 3
5 x  2dx   t  t dt   t dt 
5
5 2
2
3  43  3 4
39
4
  t   (3  (2) )  .
20   2  20
4
II. Приложения
определенного интеграла.
1. Площадь плоской фигуры:
а) площадь фигуры,
ограниченной прямыми х = а,
х = b и двумя непрерывными
кривыми y = f1(x) и y = f2(x), где
разность функций имеет
постоянный знак, находится по
b
формуле S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx .
a
Если знаки разности функций известны, то знаки
модуля можно опустить согласно определению модуля
б) В случае, если фигура ограничена по бокам
точками пересечения кривых f1(x) и f2(x), то
площадь вычисляется по такой же формуле,
но пределы интегрирования находятся как
абсциссы этих точек пересечения.
 Пример. Вычислить
площадь фигуры,
ограниченной
параболой
y = x2 + 4x и прямой
y = x + 4.
Сделаем чертеж:
 Предел a = -4 находится по
построению.
 Найдем оба предела интегрирования
как абсциссы точек пересечения
линий. Так как в точках пересечения
значения обеих функций y1 и y2 равны,
то
 x  4  a
2
2
x  4 x  x  4  x  3x  4  0  
x  1  b
b
1
 Тогда S   ( y2  y1 )dx   ( x  4  x 2  4 x)dx 
a



0
4
3
2


x
3x
3
  ( x  3x  4)dx    
 4 x 
2
 3

4
1 2
 64
 125
    4    24  16  
кв. ед.
3 3
 3
 6
1
1
4

2. Решение физических
задач
a) Если точка движется по некоторой
кривой со скоростью v(t) ≥ 0, то путь,
пройденный точкой за время [t1; t2],
равен S 
t2
 v(t )dt
t1
Расслабляйся!