(х) + С - WordPress.com

Тема 11. Лекция 1
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Лектор доц. ЧИКИНА ТАТЬЯНА
ЕВГЕНЬЕВНА
1.1 Первообразная функции и
неопределённый интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления
является нахождение производной f’(х) или
дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).
В интегральном исчислении решается обратная
задача:
• Дана функция f(х); требуется найти такую функцию
F(х), производная которой равна f(х) в области
определения функции f(х), то есть, в этой области
функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) =
f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.
Определение 1
• Функция F(х) называется первообразной
функцией для данной функции f(х) на
некотором промежутке, если для любого х
из этого промежутка F(х) непрерывна,
дифференцируема в каждой точке этого
промежутка и выполняется равенство F’(х)
= f(х) или dF(х) = f(х)dх.
Примеры:
• 1) Пусть f(х) = cos х.
•
Решение: Тогда F(х) = sin х, так как
F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх =
f(х)dх
2) Пусть f(х) = х2.
Решение: Тогда
F(х) = х3
3, так как F’(х) = х2 = f(х) или
dF(х) =
х2dх = f(х)dх.
СВОЙСТВА первообразных:
• Известно, что если две функции f(х) и g(х)
отличаются друг от друга на постоянную величину,
то производные или дифференциалы этих функций
равны, то есть, если f(х) = g(х) + С, то f’(х) = g’(х) или
f’(х)dх = g’(х)dх.
• Известно также, что и наоборот, если две функции
f(х) и g(х) имеют одну и ту же производную или
один и тот же дифференциал, то они отличаются
друг от друга на постоянную величину, то есть, если
•
f’(х) = g’(х) или df(х) = dg(х), то
•
f(х) = g(х) + С.
ЗАМЕЧАНИЕ
• Действительно, если производная f’(х) обращается
в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом
интервале f(х) = С.
• В самом деле, если х1 ϵ(а,в) и х2 ϵ(а,в), то в силу
теоремы Лагранжа, имеем f(х2) – f(х1) = (х2–х1) f’(х0),
где х1 <х0 <x2 . Но, так как f’(х0) = 0, то f(х2) – f(х1) = 0.
• Отсюда непосредственно следует что, если в
формуле у = F(х) + С мы будем придавать
постоянной С все возможные значения, то получим
все возможные первообразные функции для
функции f(х).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
•
Множество F(х) +С всех первообразных
функций для функции f(х), где С принимают
все возможные числовые значения,
называется неопределённым интегралом
от функции f(х) и обозначается символом
•
∫ f(х)dх
• Таким образом, по определению,
∫f(х)dх = F(х) + С
∫ f (x)dx≝F(x)+ C .
• ∫ – знак интеграла (квадратура),
• ► f (x) – подынтегральная функция,
• ► f (x)dx – подынтегральное выражение ( f
(x) умножено на dx ),
• ► x – переменная интегрирования (может
быть обозначена любой буквой),
• ► dx – дифференциал переменной
интегрирования
• Неопределённым интегралом называют не
только множество всех первообразных, но
и любую функцию этого множества.
• Определение.
Нахождение
первообразной по данной функции f(х)
называется интегрированием.
Геометрический смысл
неопределённого интеграла
• Пусть задан неопределённый интеграл F(х)
+ С для функции f(х) в некотором
интервале. При фиксированном значении С
= С1 получим конкретную функцию у1 = F(х)
+ С1, для которой можно построить график;
его называют интегральной кривой.
Изменив значение С и положив С = С2,
получим другую первообразную функцию С
соответствующей новой интегральной
кривой.
Аналогично можно построить график любой первообразной
функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно
рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых
неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является
параметром этого семейства – каждому конкретному значению С
соответствует единственная интегральная кривая в семействе.
Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2,
можно получить из интегральной кривой, соответствующей
значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси
Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 1 изображены интегральные
кривые от функции f(х) = 2х, то есть,
семейство парабол.
5
4
3
2
1
рис. 1
Основные свойства неопределённого
интеграла.
• 1)Производная неопределённого интеграла равна
подынтегральной функции, то есть,
∫ [ f(х)dх ]’ = f(х) (1)
• Доказательство.
Согласно определению неопределённого
интеграла, ∫ f(х)dх = F(х) + С, где F’(х) = f(х)
• Дифференцируя обе части равенства (1), имеем
[F(х) + С ]’,
• откуда
(∫f(х)dх )’ =
[∫ f(х)dх ]’ = F’(х) + С1 = F’(х) = f(х) .
2) Дифференциал неопределённого интеграла равен
подынтегральному выражению, то есть
d ∫ f(х)dх = f(х)dх
• Доказательство.
Согласно определению
неопределённого интеграла,
•
•
∫ f(х)dх = F(х) + С
d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) + dС = F’(х)dх =
f(х)dх
3)Неопределённый интеграл от дифференциала
некоторой функции F(х) равен самой функции с
точностью до произвольной постоянной С, то есть
∫ dF(х) = F(х) + С,
• Доказательство. Продифференцировав оба равенства
(3), будем иметь d ∫ dF(х) = dF(х) (по свойству 2)
•
d(F(х) + С) = dF(х)
• Следовательно, функции ∫ dF(х) и F(х) отличаются
друг от друга на постоянную величину, то есть
∫ dF(х) = F(х) + С
4) Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределённого интеграла, то есть
∫ а f(х)dх = а ∫ f(х)dх (а ≠ 0)
• Доказательство. Продифференцируем обучение части
равенства. Тогда получим
d ∫а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2) и d [ a ∫f(х)dx ] =
ad ∫ f(х)dх =а f(х)dх
(в силу свойства
дифференциала).
Таким образом, дифференциалы функций
∫а f(х)dх и а ∫f(х)dх равны, а потому эти функции
отличаются друг от друга на постоянную величину, то
есть, ∫а f(х)dх = = а ∫ f(х)dх dх + С. Но постоянную С можно
считать включённой в состав неопределённого интеграла,
следовательно,
∫ а f(х)dх = а ∫ f(х)dх.
5)Интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций равен алгебраической сумме
интегралов от слагаемых функций, например:
∫[f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = ∫ f1(х)dх + ∫ f3(х)dх – ∫f3(х)dх
(5)
• Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.
Дифференцирование любой части равенства даёт:
d ∫ [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх
В результате дифференцирования правой части равенства
(5), получается дифференциал алгебраической суммы
нескольких функций, который как известно равен
алгебраической сумме дифференциалов слагаемых
функций. Следовательно,
• d[∫ f1(х)dх + ∫ f2(х)dх - ∫ f3(х)dх] =
•
= d ∫ f1(х)dх + d ∫ f2(х)dх -d ∫ f3(х)dх
• Применяя свойство 1, в правой части
последнего равенства получаем
f1(х)dх + f2(х)dх -f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) - f3(х)]dх
Итак, после дифференцирования обеих частей
равенства (5) получены тождественные
результаты, следовательно, справедлива
формула (5) (см. доказательство свойства 3).
ЛЕКЦИЯ 2
Метод непосредственного
интегрирования
• Определение. Непосредственным
интегрированием называется интегрирование
заключающееся в прямом применении формул
таблицы основных интегралов.
• Чтобы найти неопределённый интеграл от
какой–нибудь функции f(х), нужно прежде
всего отыскать в таблице интегралов формулу,
в левой части которой стоит интеграл такого
же вида, как данный, и записать ответ в
соответствии с правой частью этой формулы.
ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
ПРИМЕРЫ:
1) ∫ х7dх
• Решение. ∫ х7dх =
х8
8
+ С.
• 2) ∫ 2 3 √х2 dх
• Решение. Имеем ∫ 2 3 √х2 dх = ∫ 2х2/3dх
• Применяя формулы, получаем ∫ 2х2/3dх = 2 ∫ х2/3dх = 6 х5/3
+C .
5
• 3)∫ 3dх
•
cos23х
• Так как 3dх = d(3х), а потому ∫ 3dх = ∫ d(3х) .
•
cos23х
cos23x
• Применяя формулу, получаем tg3х + С
Метод замены переменной в
неопределенном интеграле
• Наиболее общим приёмом интегрирования функций является способ
подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл
∫ f(х)dх не является табличным, но путём ряда элементарных
преобразований он может быть сведён к табличному.
• Метод подстановки основан на применении следующей формулы:
∫ f(х)dх = f[g(t)]g’(t)dt, (!)
• где х = g(t) – дифференцируемая функция от t, производная
которой g’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений
переменных.
•
Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном
интеграле
f(х)dх переменная х заменяется переменной t по
формуле х = g(t) и, следовательно, dх произведением g’(t)dt.
• Справедливость формулы (!) будет доказана если
после дифференцирования обеих её частей
получатся одинаковые выражения.
Продифференцировав левую часть формулы, имеем
d [∫ f(х)dх ] = f(х)dх = f [g(t)] g’(t)dt
• Продифференцировав правую часть формулы,
имеем
d ∫ f [g(t)] g’(t)dt = f [ g(t) ] g’(t)dt
• Таким образом, формула (!) справедлива. Часто
употребляется обратная замена переменной, то есть,
подстановка t = g(t), dt = g’(t)dх.
• Важно подчеркнуть, что если
дифференцирование элементарной функции
вновь приводит к элементарной функции, то
обратная операция интегрирования этим
свойством не обладает. Именно, известны
элементарные функции, первообразные
которых, хотя и существуют, но не могут быть
выражены конечным числом алгебраических
операций и/или суперпозиций над
элементарными функциями.
ЛЕКЦИЯ 4. Интегрирование
иррациональных и
тригонометрических функций
• Продолжение примера 1 Л.3:
1
A B ( A  B) x  ( A  2 B)



( x  2)( x  1) x  2 x  1
( x  2)( x  1)
Два многочлена равны тогда и только тогда,
когда равны коэффициенты при одинаковых
степенях. Поэтому:
A-2B=1, -3B=1, B=-1/3
x: A+B=0, A=-B, A=1/3.
1/ 3 1/ 3
1 dx 1 dx 1
1
 ( x  2  x  1 )dx  3  x  2  3  x 1  3 ln x  2  3 ln x 1  C 
1 x2
 ln
C
3 x 1
Интегрирование иррациональных
выражений
• Иррациональным относительно переменной x (буква может
быть любая) алгебраическим выражением будем считать такое
выражение, значение которого получается из x в результате
конечного числа основных арифметических операций и
операции извлечения корня.
• Далее рассматриваются простейшие иррациональные
выражения, а именно такие, которые хотя и являются
иррациональными относительно x , но рационально зависят от
образующих их частей.
• Всюду ниже буквой R обозначена рациональная функция
своих аргументов. Изложение носит рецептурный характер с
указанием типа подынтегрального выражения и возможной
рационализирующей подстановки (строгие доказательства
всех «рецептов» интегрирования можно найти в
фундаментальных курсах математического анализа) .
1. Интегралы вида:

 R( x, x , x ,..., x )dx


 ,  ,...,   Z
x  t , N  наименьший
Замена:
общий знаменатель
дробей  ,  , .
N
Пример:

x 2
6
5
dx

x

t
,
dx

6
t
dt 
3
x( x  1)
t3  2 5
6 6 2
t dt 
t (t  1)
t3  2
t2
 6 2
 6(  dt   3 dt ) 
t (t  1)
t t
t2
 6t  6  2
dt  6t  12 ln t  6 ln(t 2  1)  6arctgt  C 
t (t  1)
 6 6 x  12 ln 6 x  6 ln( 6 x  1)  6arctg 6 x  C.
• 2. Интеграл вида:




 ax  b   ax  b 
 ax  b  
 R( x,  cx  d  ,  cx  d  ,...,   cx  d   dx,


где  ,  ,...,   рациональные, дробные числа.
ax  b N
Замена:
 t , где N- наим.общий знаменатель
cx  d
дробей  ,  ,..., .
Пример:

x  2 dx x  2 2
2  2t 2
4t (1  t 2 )  2t (2  2t 2 )
(
t ,x 
, dx 
)dt 
2
2 2
x2 x x2
1 t
(1  t )
1 t
t

dt )  8 t 

dt  4
dt 
2
2
2
2
2
2
2
1  t  (1  t )
1

t
1

t
 
  2  2t
8t
t
2
t
 4
dt  ...
2
1  t  (t  1)(1  t )
2
2
3. Интегрирование биномиальных
дифференциалов(дифференциальных
биномов)
• Выражение вида
x
(
a

bx
)
• называется дифференциальным биномом
m
n p
относительно переменной x , где , a,b –
действительные числа, m,n,p- любые
рациональные числа.
• Интеграл от диф.бинома сводится к интегралу
от рациональной функции в следующих 3-х
случаях:
• 1. P- целое число; рационализирующая
подстановка:
x  t N , N  наим. общий
знаменатель дробей m,n
• 2. m  1
 Z , замена : a+bx  t ,
n
n
N  знаменатель дроби р.
N
• 3.
m 1
n
N
(
 p)  Z , замена : a  x  b  t ,
n
N  знаменатель дроби р.
Пример:

6
dx
1
1

(
p


2

Z
,
m


,
n

,
6
3
x ( 3 x  1) 2
замена : x  t , dx  6t dt ) 
6
5
t dt
 6 2
 ...
2
t (t  1)
5
4. Интегралы, сводящиеся к интегралам от
тригонометрических функций
 R ( x,
 R ( x,
 R ( x,
a  x )dx : замена : x  a sin t или x  aсost
2
2
a  x )dx : замена : x  a sin t или x  aсost
2
2
a  x )dx : замена : x  a / sin t или x  a / сost
2
2
Пример:

dx
4  x 
2
3
 ( x  2 sin t , dx  2 cos tdt ) 
cos tdt
cos tdt
 2
 2 3

3
2
3
2  cos t
( (4  4 sin t ))
1
dt
1
1
 
 tgt  C 
2
4 cos t 4
4
x
4 x
2
 c.
5.Подстановки Эйлера:
Примеры:
Интегрирование тригонометрических
функций
Примеры:
Примеры:
Немного истории
 Интеграл» - латинское слово integro –
“восстанавливать” или integer –
“целый”.
 Одно из основных понятий математического
анализа, возникшее в связи потребностью измерять
площади, объемы, отыскивать функции по их
производным.
 Впервые это слово употребил в печати шведский
ученый Я. Бернулли (1690 г.).
Немного истории
• Знак ∫ - стилизованная буква S от
латинского слова summa – “сумма”.
Впервые появился у Г.В. Лейбница в 1686
году.
Лейбниц Готфрид Вильгельм
(1646-1716)
« Общее искусство знаков
представляет чудесное
пособие, так как оно
разгружает воображение…
Следует заботиться о том,
чтобы обозначения были
удобны для открытий.
Обозначения коротко
выражают и отображают
сущность вещей. Тогда
поразительным образом
сокращается работа
мысли.»
Лейбниц
Применение интеграла
Площадь фигуры
Объем тела вращения
Работа электрического заряда
Работа переменной силы
Центр масс
Формула энергии заряженного
конденсатора