ОБЪЕМ наклонной призмы, пирамиды, конуса

ОБЪЕМЫ НАКЛОННОЙ
ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ,
КОНУСА
Геометрия 11 класс
Р.О. Калошина
ГБОУ лицей №533
Санкт-Петербург
План урока







Вычисление объемов тел с помощью
определенного интеграла
Объем наклонной призмы
Объем пирамиды
Объем усеченной пирамиды
Объем конуса
Объем усеченного конуса
Вопросы для закрепления
Вычисление объемов тел
n
V  Vn   S ( xi )xi
i 1
β
α
S(xi)
Приближенное значение
объема тела равно
сумме объемов
прямых призм,
основания которых
равны площадям
сечений тела, а высоты
равны ∆xi = xi – xi – 1
a
xi-1 xi
b
Отрезок [a; b] разбит
на n частей
Вычисление объемов тел с
помощью определенного интеграла
Основная формула
для вычисления объемов тел:
b
V  lim Vn   S ( x)dx
n 
a
Где S(x) – непрерывная функция
на отрезке [a; b].
Объем наклонной призмы
C’
Теорема: Объем
наклонной призмы равен
произведению площади
основания на высоту
A’
или
определенному интегралу
от площади основания на
промежутке от 0 до h
h
V  S  h   S ( x)dx
0
S – площадь основания
h – высота
B’
A
H
B
C
Объем наклонной призмы
Объем
произвольной
призмы равен сумме
объемов
треугольных призм,
которые получены
путем разбиения
основания на
треугольники
или
произведению
площади основания на
высоту
h
S1
S2
S3
V  (S1  S2  S3 )  h
Объем пирамиды
Теорема: Объем
треугольной пирамиды
равен одной трети
произведения площади
основания на высоту
O
h
B
или
определенному интегралу
от площади основания на
промежутке от 0 до h
h
1
S  S  h   S ( x)dx
3
0
A
M
C
Объем пирамиды
Объем произвольной пирамиды
равен сумме объемов
треугольных пирамид, которые
получены путем разбиения
основания на треугольники
или
одной трети произведения
площади основания на высоту
1
V  ( S1  S 2  S3 )h
3
h
S1
S2
S3
Объем усеченной
пирамиды
Объем усеченной
пирамиды, высота
которого равна h, а
площади оснований
h
h
равны S и S1,
вычисляется по формуле:
1
V  h( S  S1  S  S1 )
3
D
B1
A1
B
C1
A
M
C
Объем конуса
D
Объем конуса равен
1/3 произведения
площади основания на
высоту.
1
V  Sh
3
x
h
O1
A
S ( x)  R 
2
1
O
B
R
h
2
2
x
2
Объем конуса
D
Объем конуса равен
x
1 2
V  R h
3
h
S ( x)
По основной формуле объема тела:
h
h
V   S ( x)dx  
0
O1
0
R
h
2
2
x dx 
2
O
A
R x
2
h
2
3 h
3
|
0
B
R h
2
3
Объем усеченного конуса
Объем усеченного
конуса вычисляется
по формуле:
1
V  h( S  S1  S  S1 )
3
S1
O1
h
A
Где h – высота конуса,
S и S1 – площади оснований
S
O
B
Вопросы для закрепления
Чему равно приближенное значение
объема тела?
 Чему равен объем наклонной призмы?
 Чему равен объем произвольной
пирамиды?
 Чему равен объем усеченной
пирамиды?
 Чему равен объем конуса?
 Чему равен объем усеченного конуса?
