ОБЪЕМЫ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ, КОНУСА Геометрия 11 класс План урока ■Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла ■Объем наклонной призмы ■Объем пирамиды ■Объем усеченной пирамиды ■Объем конуса ■Объем усеченного конуса ■Вопросы для закрепления Вычисление объемов тел n V Vn S ( xi )xi i 1 β α S(xi) Приближенное значение объема тела равно сумме объемов прямых призм, основания которых равны площадям сечений тела, а высоты равны ∆xi = xi – xi – 1 a xi-1 xi b Отрезок [a; b] разбит на n частей Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла Основная формула для вычисления объемов тел: b V lim Vn S ( x)dx n a Где S(x) – непрерывная функция на отрезке [a; b]. Объем наклонной призмы Теорема : Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту V S h C’ A’ B’ Либо определенному интегралу от площади основания на промежутке от 0 до h h V S h S ( x)dx 0 S – площадь основания h – высота A H B C Объем наклонной призмы Объем произвольной призмы равен сумме объемов треугольных призм, которые получены путем разбиения основания на треугольники V ( S1 S 2 S3 ) h h S1 S3 S2 Объем пирамиды Теорема: Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту 1 S S h 3 Либо определенному интегралу от площади основания на промежутке от 0 до h h 1 S S h S ( x)dx 3 0 O h B A M C Объем пирамиды Объем произвольной пирамиды равен сумме объемов треугольных пирамид, которые получены путем разбиения основания на треугольники h S1 1 V ( S1 S 2 S3 )h 3 S2 S3 Объем усеченной пирамиды D Объем усеченной пирамиды, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле: B1 A1 h 1 V h( S S1 S S1 ) 3 B C1 A M C Объем конуса D Теорема: Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту. x h O1 1 V Sh 3 A O B 1 2 V R h 3 Объем конуса По основной формуле объема тела: S ( x) R 2 1 R 2 h 2 x D x 2 h O1 S ( x) O A h h V S ( x)dx 0 0 R 2 h 2 x 2 dx R 2 x 3 h R 2 h h 2 3 | 0 3 B Объем усеченного конуса Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: 1 V h( S S1 S S1 ) 3 Где h – высота конуса, S и S1 – площади оснований S1 O1 h A S O B Вопросы для закрепления ■ Чему равно приближенное значение объема тела? ■ Чему равен объем наклонной призмы? ■ Чему равен объем произвольной пирамиды? ■ Чему равен объем усеченной пирамиды? ■ Чему равен объем конуса? ■ Чему равен объем усеченного конуса?
