Конспект урока Объем наклонной призмы пирамиды и конуса. Урок практикум

Характеристика урока
Учебник: Геометрия. 10-11 классы\ Атанасян Л. С. и др. - М: Просвещение,
2010. Глава 7 § 3.
Тема урока: «Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса»
Тип урока: урок-практикум
Учебная задача урока: отработка решения различных видов задач по теме.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает:
– Формулы нахождения объема пирамиды, наклонной призмы, конуса,
усеченной пирамиды и усеченного конуса;
– Виды задач на вычисление объёмов пирамиды (призмы), у которой вершина
(одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на
плоскость (нижнего) основания:
1. в центр описанной окружности основания;
2. в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов основания.
– Как находить объем призмы если известно перпендикулярное сечение
Умеет:
– Находить недостающие для вычисления объема пирамиды, призмы, конуса
величины, исходя из вида фигуры;
– Применять формулы для вычисления объема пирамиды, наклонной
призмы, конуса, усеченной пирамиды и усеченного конуса;
– Решать различные виды задач на вычисление объёмов наклонной призмы,
пирамиды и конуса;
Понимает
– Аналогию между формулами: пирамиды–конуса, усеченной пирамиды–
усеченного конуса;
– Как определяется положение высоты призмы или пирамиды, исходя из её
вида.
Учебные действия, формируемые на уроке:

Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью
учебной деятельности и её мотивом, т.е. между результатом учения, и
тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким
образом,
должна
осуществляться
собственной деятельности ученика
осмысленная
организация

Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе
соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что ещё
неизвестно, планирование - определение последовательности
промежуточных целей с учётом конечного результата, оценка выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё
подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем
и сверстниками, т. е. определение цели сотрудничества, функций
участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и
точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями
коммуникации, владение монологической и диалогической формами
речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами
родного языка, умение доказывать собственное мнение

Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков
(существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их
обоснование;
построение
логической
цепи
рассуждений,
доказательство; подведение под понятие; выведение следствий;
установление причинно-следственных связей
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ.
Форма работы: фронтальная, групповая
Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями.
Структура урока:
I. Мотивационно-ориентировочная часть (8 мин.)
II. Операционно-познавательная часть (35 мин.)
III. Рефлексивно-оценочная часть (2 мин.)
Ход урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
I.
Мотивационно - ориентировочный этап
1. Актуализация
Задание. Определите вид фигуры и
найдите её объём.
– Призма
V=𝑆осн *h
V=7*6=42
– Усеченная пирамида
𝑉=1/3*OO1*(𝑆+𝑆1+√S ∙ S1)
S=52 =25
S1=22 =4
V=1/3*3*(25+4+10)=39
– Пирамида
V=1/3*SABCD*h
SABCD=42 =16
V=1/3*16*3=16
– Усеченный конус
1
V= 𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟)
3
V=1/3*8𝜋 ∗ (25 + 4 + 10)=104π
– Конус
V=1/3*Sосн.*h
Sосн=22 *π=4π
V=1/3*4π*5=20π /3
2. Мотивация
На прошлом уроке вы рассмотрели
решение основных видов задач по теме
«Объем наклонной призмы, пирамиды
и конуса».
Постановка учебной задачи
Целью сегодняшнего урока будет
отработка решения различных видов
задач по теме «Объём наклонной
призмы, пирамиды и конуса» в ходе
групповой работы.
II. Операционно-познавательный этап
Примерное содержание карточки для групп:
1. Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если ∠САВ =90°, ВС=4,
∠АВС=30° и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°.
Дано: SABC-пирамида;
∠САВ =90°;
ВС=4;
∠АВС= 30°;
∠ (SA,(ABC))= ∠ (SB,(ABC))= ∠ (SC,(ABC))= 60°
Найти: VSABC-?
1
1) V= Sосн∙Н
3
2) ∠ (SA,(ABC))= ∠ (SB,(ABC))= ∠ (SC,(ABC)) => вершина пирамиды
проектируется в т. О - центр описанной окружности ∆ABC.
Т.к. ∠САВ =90°, т.е. ∆ABC – прямоугольный => т.О - середина гипотенузы ВС,
1
1
т.е. ОС= BC= 4=2 и ∠ SCO = ∠ (SC,(ABC))= 60°
2
2
3) Рассмотрим ∆SOC – прямоугольный (∠𝑆𝑂𝐶 = 90° т. к. 𝑆𝑂 ⊥
𝐵𝐶 как высота пирамиды)
SO
tg∠SCO =
OC
SO
tg60° =
2
SO=2∙tg 60°=2√3
4) Рассмотрим ∆ABC − прямоугольный (∠САВ =90°) , ∠СВА =30°
AB=4∙cos 30°=2√3, AC=4∙sin 30°=2
1
SABC= *2*2√3=2√3
2
1
1
3
3
5) V= SABC∙SO= *2√3*2√3=4
Ответ: 4.
2. Найдите объем конуса, в осевом сечении SCB которого высота CD к образующей
SB равна 6 см и образующая SB наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Дано:
конус
∆SBC- осевое сечение конуса
CD – высота ∆𝑆𝐵𝐶
CD=6см
∠𝑆𝐵𝑂 =60°
SO – высота конуса
Найти: V
Решение:
1
1
1) 1)V= 𝜋 𝑟 2 h= 𝜋 𝑟 2 *SO ;
3
3
2) 2)Рассмотрим ∆CDB – прямоугольный (∠𝐶𝐷𝐵 = 90° так как 𝐶𝐷 ⊥
𝑆𝐵 как высота ∆𝑆𝐵𝐶(дано)) ;
∠𝑆𝐵𝑂 =60°
𝐶𝐷
sin ∠𝑆𝐵𝑂=
sin60◦=
6
𝐶𝐵
√3
2
=
6
𝐶𝐵
𝐶𝐵
;
;
CB=4√3
1
𝑟 =OB= CB = 2√3
2
3) ∆𝑆𝐶𝐵 − равносторонний, т.к. SC=SB (как образующие конуса) и ∠𝑆𝐵С = 60°
тогда 𝑆О = 𝐶𝐷 = 6
1
4) 𝑉 = 𝜋 ∗ 6 ∗ 6 = 2𝜋 ∗ 12 = 24𝜋
3
Ответ: V=24π
3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м.
Найдите объем конуса.
Дано:
усеченный конус
𝑟 = 3м
𝑅 = 6м
𝑙 = 5м
Найти: V ус.к.
Решение:
1
1) 𝑉 = 𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟 2 + 𝑅𝑟)
3
2) Рассмотрим осевое сечение: ABCD – равнобедренная трапеция, где AB–
большее основание, CD–меньшее.
Проведём СС1 – высота трапеции
O1С1 = OС= r=3 м
Тогда C1B = R–r=6 - 3 = 3 м
3) Рассмотрим ΔСВС1 – прямоугольный (∠СС1В=90° т.к. СС1 – высота трапеции)
По т. Пифагора:
𝐶𝐵2 = 𝐶𝐶1 2 + 𝐵𝐶1 2
𝐶𝐶1 2 = 𝐶𝐵2 -𝐵𝐶1 2
𝐶𝐶1 2 = 52 -32
𝐶𝐶1 2 =16
СС1 =h=4м
1
4) 𝑉 = 𝜋 ∗ 4(62 + 32 + 6 ∗ 3) = 84 𝜋 м3
3
Ответ: 84 𝜋 м3
4. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 𝑎 и
0,5𝑎, апофема боковой грани равна 𝑎. Найдите объем усеченной пирамиды.
Дано:
𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 – треугольная усеченная пирамида
𝐴𝐵 = 𝑎
1
𝐴1 𝐵1 = 𝑎
2
ℎ = 𝑎–апофема боковой грани
Найти: V.
Решение:
1
1)
V= h(𝑆 + 𝑆1 + √𝑆𝑆1 );
3
2)
Построим осевое сечение АА1МН усеченной пирамиды 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1
3)
Рассмотрим ОО1MN – прямоугольная трапеция, где ON–большее основание
O1M– меньшее основание
Проведем 𝑀𝑇 − высота прямоугольной трапеции ОО1 MN
О1 M = 𝑂𝑇
𝑇𝑁 = 𝑂𝑁 − 𝑂1 𝑀
4) ∆𝐴𝐵𝐶, AN–медиана
1
1 𝑎 √3
3
3 2
ON= А𝑁 =
=
𝑎
2 √3
5) ∆𝐴1 𝐵1 𝐶1 , A1M–медиана
𝐴1 𝑀 =
𝑎 √3
4
1
𝑎
𝑂1 𝑀 = 𝐴1 𝑀 =
3
4 √3
TN=
𝑎
-
𝑎
=
𝑎
2 √3 4 √3 4 √3
3) Рассмотрим ∆MTN –
трапеции ОО1 MN)
прямоугольный
48𝑎2 − 𝑎2 𝑎 47
ℎ = 𝑀𝑇 = √𝑀𝑁 2 − 𝑇𝑁 2 = √
= √
48
4 3
4) 𝑆∆ABC =
𝑎 2 √3
4
(∠MTN = 90° т.к. МТ–высота
𝑆∆A1B1C1
1
( )2 𝑎2 √3 𝑎2 √3
= 2
=
4
16
1
𝑎
47 𝑎2 √3
3
4
3
5) V= ∗ √ (
4
+
𝑎 2 √3
16
+√
𝑎 2 √3
4
∗
𝑎 2 √3
16
)=
7√47𝑎3
192
7√47𝑎3
Ответ:
192
5. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8
см. Найдите объем параллелепипеда.
Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 -параллелепипед
𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵𝐵1 𝐴1 =B𝐵1 𝐶1 C – ромбы
A𝐵1 = 6 см
𝐵𝐴1 = 8 см
Найти: V
Решение:
1)Т.к. 𝐴𝐵𝐵1 𝐴1 =B𝐵1 𝐶1 C , то ∠ 𝐵1 𝐵𝐴 = ∠ 𝐵1 𝐵𝐶=> луч BB1 проектируется на
биссектрису ∠ABC
Т.к. в основании ABCD − ромб, то биссектрисой является диагональ 𝐵𝐷 ⟹
т. О лежит на диагонале 𝐵𝐷, где 𝐵1 𝑂 − высота параллелепипеда.
2) 𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ∙ 𝐻
1
3)𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 = 3 ∙ 8 = 24см2
2
1
1
4) AB𝐵1 𝐴1 - ромб, значит B𝐴1 ⊥A𝐵1 и 𝐵1 𝑆 = A𝐵1 = 3 см, 𝑆𝐴1 = 𝐵𝐴1 = 4 см, где
2
2
S= B𝐴1 ∩A𝐵1
5) ∆𝐵1 𝑆𝐴1 − прямоугольный(∠𝑆 = 90° по свойству диагоналей ромба)
По т.Пифагора:
B1 A1 = √( B1 S)2 + (SA1 )2 = 5 см
4)Т.к. SABCD = 24 см2 , а ABCD = ABB1 A1 , то
24
SABB1A1 = a ∗ h = BA ∗ B1 M = SABCD = 24 ⟹ 24= 5 ⋅ B1 M ⟹ B1 M= см
5
5) ∆B1 MB − прямоугольный (∠𝑀 = 90° 𝐵1 𝑀 ⊥ 𝐵𝐴 как высота ромба 𝐵𝐵1 𝐴1 𝐴)
По т. Пифагора:
2
BM = √( B1 B) − (B1 M)2 = √25 −
576 7
= см
25
5
6) Пусть T = BD ∩ AC
Рассмотрим ∆ABT − прямоугольный ((∠BTA = 90 °)по свойству диагоналей
ромба)
BT 4
сos ∠ABT =
=
BA 5
7)Рассмотрим ∆MOB − прямоугольный (∠BMO = 90 °, т. к. 𝑂𝑀
⊥ 𝐴𝐵 как высота ∆ 𝑂𝐵𝐴)
BM
4
ВМ
7
cos ∠MBO =
= cos ∠ABT = , тогда BO =
= см
BO
5
cos ∠ MBO 4
8)∆B1 OB − прямоугольный (∠𝑂 = 90°)
По т. Пифагора:
2
B1 O = √( B1 B) − (BO)2 = √25 −
49 3
= √39см = H
16 4
3
V=Sосн ∗ H=24∙ √39 = 18√39 см3
4
Ответ: 18√39 см3
III. Рефлексивно-оценочный этап
– Какова была цель урока?
– отработка решения различных видов
задач по теме «Объём наклонной
призмы, пирамиды и конуса» в ходе
групповой работы.
– Достигли ли мы ее?
– Да.
– Как мы ее достигли?
– Решали задачи на нахождение объема
-пирамиды,
вершина
которой
проектируется в центр описанной
окружности основания;
-конуса;
-усеченного конуса;
-усеченной пирамиды;
-призмы, в которой одна из вершин
верхнего
основания
которого
проектируется с точку, лежащую на
биссектрисе угла нижнего основания.
Домашнее задание
№683.
Дано:
𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 – наклонная призма
𝜌(𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1 ) = 37 см
𝜌(𝐵𝐵1 ; 𝐶𝐶1 ) = 13 см
𝜌(𝐶𝐶1 ; 𝐴𝐴1 ) = 30 см
𝑆б.п. = 480 см2
Найти: 𝑉
Решение:
Построим перпендикулярное сечение А2 В2 С2
Расстояние между прямыми определяется по перпендикуляру
⇒ 𝜌(𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1 ) = А2 В2 = 37 см
𝜌(𝐵𝐵1 ; 𝐶𝐶1 ) = В2 С2 = 13 см
𝜌(𝐶𝐶1 ; 𝐴𝐴1 ) = С2 А2 = 30 см
𝑉 = 𝑆перп.сеч. ∗ 𝐴𝐴1
По формуле Герона:
𝑆сеч = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
𝑝=
37 + 13 + 30
= 40 см
2
𝑆сеч = √40(40 − 37)(40 − 13)(40 − 30) = 180 см2
𝑆б.п. = 2𝑝 ∗ 𝑙 = 𝑙(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝑙=
480
= 6 см
37 + 13 + 30
𝑉 = 𝑆перп.сеч. ∗ 𝑙 = 180 ∗ 6 = 1080 см3
Ответ: 1080 см3
№694.
Дано:
SABCD – пирамида
ABCD – ромб
АВ = 6 см
SO=1,5 см – высота SABCD
∠𝑆𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑆𝐵𝐶𝐷 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = ∠𝑆𝐷𝐴𝐵 = 45°
Найти: 𝑉
Решение:
1) ∠𝑆𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑆𝐵𝐶𝐷 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = ∠𝑆𝐷𝐴𝐵 = 45°=> вершина пирамиды
проектируется в т. O - центр вписанной окружности АВСD, т.е. в точку
пересечения диагоналей ромба ABCD
2) ∠𝑆𝐸𝑂 − линейный угол двугранноо угла ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 (OE=r ⊥
𝐷𝐶 – радиус проведенный в точку касания, 𝑂𝐸– проекция 𝑆𝐸 на
плоскость 𝐴𝐵𝐶𝐷 => 𝑆𝐸 ⊥ DC по теореме о 3ех перпендикулярах.
∠𝑆𝐸𝑂 = ∠𝑆𝐶𝐷𝐴 = 45°
3) ∆𝑆𝑂𝐸 − прямоугольный(∠𝑆𝑂𝐸 = 90° т.к. SO⊥
𝐴𝐵𝐶𝐷 как высота пирамиды), SO=1,5 см , ∠𝑆𝐸𝑂 = 45°, ∠𝑆𝑂𝐸 =
90⇒∠𝐸𝑆𝑂 = 45°⇒∆𝑆𝑂𝐸–равнобедренный OE=r= SO=1,5 см
4) S ромба=2ra, r=1,5 см, АВ=a=6 см
SАBCD=2*1.5*6=18 cм2
1
1
𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ∗ 𝑊𝐻 = ∗ 18 ∗ 1,5 = 9 см2
3
3
Ответ: 9 см2
№707.
Дано:
Конус
𝑆п. = 45𝜋 дм2
Сектор с 𝛼 = 60°
Найти: 𝑉
Решение:
1) 𝑆полн = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙)
45 𝜋= 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙)
45=r(r+l)
2) Сектор с 𝛼 = 60°
𝛼=
360°∗𝑟
𝑙
𝑙 = 6𝑟
3) 45= 𝑟 2 + 6𝑟 ∗ 𝑟
𝑟 2 + 6𝑟 2 − 45 = 0
𝑟=√
45
7
дм
4) ∆𝐴𝐵𝐻 − прямоугольный ∠𝐵𝐻𝐴 = 90° т. к. 𝐵𝐻 − высота конуса
ℎ = √𝑙 2 − 𝑟 2 = √36𝑟 2 − 𝑟 2 = 𝑟√35
45
ℎ = √ ∗ √35 = 15 дм
7
1
45
225𝜋 3
5) 𝑉 = 𝜋 ∗
∗ 15 =
дм
3
7
7
Ответ:
225𝜋
7
дм3