ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ. Определенный интеграл. Определенным интегралом функции n y=f(x) на [a,b] называется lim f x , max xi 0 i 1 n i i если этот предел существует и не зависит от способа разбиений [a,b] на xi и от выбора точек i . Определенный интеграл b обозначается: f ( x)dx. Числа a и b a называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Геометрический смысл определённого интеграла. y y=f (x) . 0 x0=a x1 x2 xi-1 xi b S xn=b f ( x)dx a b Свойства определённого интеграла. a a 2. f ( x) 0 1. f ( x)dx f ( x)dx a a b b a a b a 3. kf ( x)dx k f ( x)dx, k-любое число b 4. ( f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x))dx f1 ( x)dx a b b a a a f 2 ( x)dx ... f n ( x)dx 5.Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо: b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница: b f ( x)dx F (b) F (a) a Пример. 0, 5 0 dx 1 x 2 arcsin x 0,5 0 arcsin 0,5 arcsin 0 6 Замена переменной в определённом интеграле. 1 0 2 2 1 1 x dx cos tdt (1 cos 2t )dt 2 0 0 2 2 2 1 1 (t sin 2t ) 2 2 4 0 x sin t t arcsin x x 0 t 0 1 2 Интегрирование по частям в определённом интеграле. b b udv u v vdu a b a a Пример. x cos xdx x sin x 0 u x, cos xdx dv du dx, v sin x 0 sin xdx cos x 0 2 0 Геометрические приложения определенного интеграла. y y=-f(x) 0 b b S a f ( x) dx x y=f(x) y y=f(x) y=( ) a 0 b b x S f ( x) ( x)dx a y y=e x 1 1 0 x y=-x2 3 1 1 x 1 2 S (e x )dx (e ) e 1 e 3 0 3 3 0 x 2 x Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически. x x(t ), где y y (t ) t , x( ) a, x( ) b, x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на , . S y(t ) x' (t )dt y 0 a b x Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды:x=a (t-sin t), y= a (1-cos t). y 2 2 0 0 2a x 0 S a (1 cos x) a (t sin t )' dt a 2 (1 cos t ) 2 dt 2 a 2 (1 2 cos t cos 2 t )dt a (t 2 sin t ) 2 2 0 0 2 2 1 a 1 a 2 (1 cos 2t )dt a 2 2 (t sin 2t ) 20 2 2 2 a 2 a 2 2 3a 2 2 2 0 Вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на [a, b]. b l 1 ( f ' ( x)) dx 2 a Пусть кривая задана в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t , , причём x(t), y(t), x’(t) 0, y’(t) непрерывны на , , x( ) a, x( ) b. l ( x' (t )) ( y' (t )) dt 2 2 Несобственный интеграл. b Если существует конечный lim b f ( x)dx a (b>a), то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a; ) и обозначают a f ( x)dx. b b f ( x)dx lim a f ( x)dx a c c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Пример. dx b arctgx 0 lim arctgb arctg 0 0 1 x 2 blim b 2 Функции нескольких переменных. Определение Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой упорядоченной паре чисел (x;y), принадлежащей множеству M, ставится в соответствие единственное действительное число z, принадлежащее множеству L. Множество M называется областью определения функции. Множество L называется областью значения функции при условии, что каждое z L соответствует хотя бы одной паре (x;y) M. Функцию двух переменных обозначают: z=f(x; y). Частные производные. Частные производные по x. f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) xz Предел lim , lim x0 x0 x x если он существует, называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по x в точке ( x0 , y0 ) и обозначается: z ( x0 , y0 ); f ' x ( x0 , y0 ) ; x f ( x0 , y 0 ) . x Частные производные по y. yz f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y 0 y y называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по y в точке ( x0 , y0 ) и обозначается: z f ( x0 , y 0 ) ; f ' y ( x 0 , y 0 ) ; ( x0 , y0 ) . y y Частные производные высших порядков. z 2 x z 2 x x z 2 x z y xy Пример. 2 3 z x y. Вычислить частные производные II порядка функции. 2 2 z z 3 2 2 z 3 z 2 2x y , 3x y , 2y , 2 6 x y , 2 x y x y z z 2 2 6xy , 6xy . xy yx 2 2 Полный дифференциал. z z dz dx dy x y Скалярное поле. Часть пространства или всё пространство, в каждой точке p(x,y,z) которого задана скалярная функция U=F(x, y, z)=F(p), называется скалярным полем, а функция U= F(p) называется функцией поля. Пример. 2 Найти полный дифференциал функции z x y в произвольной точке. z z 2 y , 2 xy . x y Следовательно dz y dx 2 xydy. 2 Производная по направлению. y M 0 M1 y x P l0 l x z z z cos cos y l x Градиент u u u gradU i j k x y z Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Пусть функция z=f(x, y) в точке P0 ( x0 , y 0 ) имеет экстремум и пусть существует f ' x ( x0 , y0 ) и f ' y ( x0 , y0 ) . Тогда f ' x ( x0 , y0 ) 0, f ' y ( x0 , y0 ) 0. Достаточное условие существования экстремума. Пусть для функции z=f(x, y) в критической точке P0 ( x0 , y0 ) существуют производные f xx " ( P0 ) , f yy " ( P0 ) , f xy " ( P0 ). Выражение f xx " ( P0 ) f yy " ( P0 ) [ f xy " ( P0 )]2 ( P0 ) назовём дискриминантом функции z=f(x, y) в точке P0 ( x0 , y0 ) . Возможны три случая: 1) ( P0 ) >0 , тогда точка P0 – точка экстремума: при f xx " ( P0 ) >0 – точка минимума; при f xx " ( P0 ) <0 – точка максимума. 2) ( P0 )<0, тогда P0 не является точкой экстремума. Пример исследовать на экстремум функцию f ( x, y) x 3xy 15x 12 y 3 2 Решение. f 3x y 15 ; f 6 xy 12. ' x Решая систему 2 2 f x' 0 ' f y 0 ' y получим четыре стационарные точки P1 (1,2); P2 (2,1); P3 (1,2); P4 (2,1). Продолжение примера. Проверим достаточное условие экстремума в каждой из точек. f xx" 6 x; f xy" 6 y ; f yy" 6 x. A C B .2 1) Для точки P1 (1,2): A f xx" ( P1 ) 6 ; B f xy" ( P1 ) 12 ; C f yy" ( P1 ) 6 ; 6 6 12 2 0. Значит, в точке P1 экстремума нет. 1) Для точки P2 (2,1) : 0 , A 0 . В точке P2 функция имеет минимум. f min f ( P2 ) 28 Аналогично, проверяют точки P3 и P4 .