Читать подробнее

Интеграл не поможет.
Применения
интеграла
разнообразны, однако в школьном курсе
математике
перечень
задач
на
использование определённого интеграла
ограничен. Одной из основных задач на
применение определённого интеграла в
школьном курсе математики – это
задача на нахождение площади фигуры,
ограниченной линиями. Самая простая из таких задач: задача нахождения
площади криволинейной трапеции, при условии, что кривая линия,
ограничивающая фигуру сверху на отрезке [a; b] лежит не ниже оси ОХ.
Тогда, если известна функциональная зависимость для этой линии и найдены
b
значения a и b, то S   f ( x)dx , а далее по формуле Ньютона-Лейбница
a
вычисляется значение определённого интеграла, найденное число и даёт
значение искомой площади. Но так ли проста эта задача? В отличии от
производной, первообразная для «сложной» функции в школьном курсе либо
находится очень хитро (пример: для функции у  x  sin x ), либо не может быть
найдена в принципе (пример: для функции y  sin x2 ).
Рассмотрим задачу. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=0 и y  7  6 x  x 2 .
Решение. Условие классическое, поэтому многие учащиеся идут по
известному алгоритму:
1) Находят область определения функции y  7  6 x  x 2 , решив несложное
неравенство, находят D(y)=[-1; 7].
2) Очевидно, что на области определения функция y  7  6 x  x 2 принимает
неотрицательные значения (в силу определения арифметического
квадратного корня), и у(-1)=0; у(7)=0. Таким образом, мы нашли точки
пересечения графика функции y  7  6 x  x 2 с осью ОХ, т.е. a=-1; b=7.
3) Построим график функции y  7  6 x  x 2 на координатной плоскости и
определим фигуру, площадь которой нам нужно вычислить (большинство
этот пункт игнорируют). Очевидно, что применима формула для нахождения
b
площади криволинейной трапеции через определённый интеграл S   f ( x)dx и
a
чертёж, как правило, не упрощает решение, а только удлиняет его (на
построение графика требуется время).
Итак, задача свелась к следующей: нужно взять определённый интеграл,
который, как утверждалось выше, численно равен искомой площади:
7
S

7  6 x  x 2 dx .
Вот
на
этом
1
этапе
нас
и
поджидает
неприятность.
Взять
такой
интеграл ученикам не по силам. И
что же делать? Поможет картинка,
пропущенная
в
пункте
(3)
алгоритма. Что же является
графиком
функции
у=
?
Некоторые ученики считают,
что это часть некоторой параболы,
другие, что это часть прямой,
немногие понимают, что речь идёт
о полуокружности. Действительно после преобразований (возведение в
квадрат левой и правой части формулы и выделение полных квадратов),
получаем более угадываемую зависимость: (х-3)2+у2=42. А уж по рисунку
видно, что необходимая площадь может быть вычислена без использования
интеграла, просто из геометрических соображений. Нам нужно вычислить
площадь полукруга, радиус которого равен 4. Значит, искомая площадь
равняется: S  8   .
Задача решена, площадь найдена. А интеграл не понадобился?