[ определенный интеграл как предел интегральной суммы

[ определенный интеграл как предел интегральной суммы - свойства определенного интеграла - основная теорема математического анализа
– теорема Барроу - формула Ньютона-Лейбница - подстановка в определенном интеграле - примеры вычислений определенного интеграла
– примеры - интегрирование нечетных и четных функций в пределах, симметричных относительно начала координат ]
f(xk)
Пусть f(x) определена на [a,b]
и D - разбиение отрезка [a,b]
на подынтервалы - отрезки Ik.
a = x 0 x1

xk
xk-1 xk
xn-1 xn = b
D : x1 ,...,xn  , Ik  xk 1 , xk  , xk  Ik , k  xk  xk 1 ,   max k 
Составим сумму
SD 
n
 f ( xk ) xk
k 1
Сумма SD называется суммой Римана
Предел, к которому стремится интегральная сумма SD при неограниченном
произвольном разбиении D и стремлении к нулю максимального из отрезков разбиения
называется определённым интегралом от функции f(x) на [a, b] .
Предел называют интегралом Римана
b
n
и функцию, для которой этот предел
lim SD  lim f ( xk ) xk  f ( x ) dx
существует, называют интегрируемой
 0 k 1
 0
a
n 
в смысле Римана.


1
@
1
y
3
Вычислить определенный интеграл  x dx
n
3
1
k  1
3
x
dx

lim

lim




n   k 1  n  n
n  n 4
0
0
n
k3
k 1
Воспользуемся формулой для суммы кубов
2
2
n
(
n

1
)
13  2 3  33      n3 
4
1  n 4 n 3 n 2 
1
1  1
1
lim 4 



lim



 n  4 2 n 4 n 2   4
n  n
4
2
4


x
0
k 
1
3
x
 dx 
0
1
4
1
n
1
b
S   f ( x ) dx
S – площадь криволинейной трапеции
a
Свойства определенного интеграла следуют из его
определения, как предела суммы Римана –
интегральной суммы.
a
 f ( x ) dx
a
b
0
c
b
 f ( x ) dx
a
b
a
   f ( x ) dx
b
 f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx
a
b
 ( f ( x ) dx
a
a
b
 rf ( x ) dx
c
a
b
b
a
a
 g ( x )) dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx
y
f(x)
S
a
x
b
b
 r  f ( x ) dx
a
Теорема (об оценке определенного интеграла)
Если g(x)  f(x)  h(x) x  [a, b] 
b
b
b
a
a
a
 g(x)dx   f(x)dx   h(x)dx
b
min{f(x) |x [a,b] }(b - a)   f(x)dx  max{f(x) |x [a,b] }(b - a)
a
Тем более справедливо двойное
неравенство
y
f(x)
max
x
min
a
b
Теорема о среднем
b
x  [a, b]   f ( x ) dx  f ( x )( b  a )
Доказательство
a
Из предыдущей теоремы:
b
1
min { f ( x ) |x [a,b] } 
f ( x ) dx  max { f ( x ) |x [a,b] }

b a a
Используя теорему о среднем, для a < x < b получим:
b
x  [a, b]   f ( x ) dx  f ( x )( b  a )
a
Теорема Барроу (об интеграле с переменным верхним пределом)
x
Функция F ( x )   f ( t ) dt дифференцируема в интервале (a,b)
a
'
и F ( x )  f ( x ) для всех x в этом интервале.
Доказательство
  0

F( x  )  F( x ) 1
 (


1
f ( x )(( x   )  x )  f ( x )

x 

a
1
f ( t ) dt   f ( t ) dt )  

a
  0 , x  0 , lim f ( x )  f ( x )
 0
x
x
F ( x )   f ( t ) dt
a
x 
 f ( t ) dt

x
F' ( x )  f ( x )
Предположим, что F(x) – первообразная функция для f(x) . Тогда
b
 f ( x ) dx
 F(b) - F(a)
a
Действительно, по основной теореме анализа F ( x )  c 
x
 f ( t ) dt
a
первообразная, тогда F(x = a) = F(a) = - с, а F(b) есть величина интеграла
с переменным верхним пределом в точке x = b , что и дает
вышеприведенную формулу
b
 f ( x ) dx  (F(x) - F(a))
a
x b
 F(x)
b
a
 F( b)  F( a)
1
x4
3
 x dx  4
0
1
0

1
1
0 
4
4
Теорема
Если g и её производная g’ непрерывны на [a,b] и f непрерывна на [g(a),g(b)] ,
g( b )
то b
 f ( g ( x )) g ( x )dx
a

 f ( t )dt
g( a )
Доказательство
Если F(x) – первообразная для f(x) , то
b
b
a
a
 f ( g ( x )) g ( x )dx   f ( g ( x ))dg ( x )
g( b )

 f ( t )dt
g( a )
 F ( g ( b ))  F ( g ( a ))
 F ( g ( b ))  F ( g ( a )) 
@
Найти площадь криволинейной трапеции : S 
y
S 
S
1
x
e

e
e
ln x
 x dx 
1
1
e
ln x
 x dx
1
dx
,
x
x  1  t  ln 1  0 ,
t  ln x , dt 
x  e  t  ln e  1
2
ln x
t
dx

t
dt

 x

2
1
0
1

0
1
2

@ I 

2
sin 3 x
 sin 3 x  cos 3 x dx
0

2

 t  dx  dt ,
2


x 0 t  , x  t 0
2
2
I : x 
0
sin 3 x
sin 3 (  / 2  t )
 sin 3 x  cos 3 x dx    sin 3 (  / 2  t )  cos 3 (  / 2  t ) dt 
0
2


2
I 
3
cos t
 cos 3 t  sin 3 t dt
0

2

2

4

2
sin 3 x
cos 3 x

2I   3
dx

dx

dx

 cos 3 x  sin 3 x

3
2
sin
x

cos
x
0
0
0
Теорема Если f – нечетная функция и пределы интегрирования [-a, a] , то
f ( x )  f ( x ) x  [-a, a]
Доказательство
a
 f(x)dx
-a

0
a
0
a
-a
0
a
0
 f(x)dx   f(x)dx   f(-t)d(-t)   f(x)dx
a
a
0
0
a
 f(x)dx
0
-a
   f(t)dt   f(x)dx  0
Для первого слагаемого интеграла делаем подстановку: x = -t и dx = - dt
Теорема
x 5 cos 7 x
-/2
Если f – четная функция и пределы интегрирования [-a, a] , то
y
f ( x )  f ( x ) x  [-a, a]
/2
x
/2
a
 f(x)dx
-a
5
7
x
cos
x dx  0

- /2
a
 2  f(x)dx
0