компл.числа-урок

«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа, почти что амфибия бытия с
небытием… »
Г. Лейбниц
Известно, что квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет
решений в области действительных чисел. Например
z2 + 1 = 0.
Возникает потребность расширить множество вещественных чисел так, чтобы на этом
множестве
было
разрешимо
квадратное
уравнение
с
любыми
вещественными
коэффициентами.
Определение комплексного числа
Комплексными числами называются упорядоченные пары (х, у) вещественных чисел х
и у, для которых следующим образом введены понятия равенства и операции сложения и
умножения.
Обозначим z = (х, у).
Пусть z1 = (х1, у1), z2 = (х2, у2). Тогда

z1 = z2  х1 = х2 , у1 = у2 ;

z1 + z2  (х1 + х2 , у1 + у2);

z1z2  (х1х2 – у1у2, х1у2 + х2у1)
Рассмотрим пары вида (х, 0). Для них операции над комплексными числами
совпадают с соответствующими операциями над вещественными числами. Поэтому
полагают (х,0) = х.
Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое обозначают
буквой i и называют мнимой единицей.
Вычислим произведение
i  i = (0,1)  (0, 1) = (–1, 0) = –1, т.е. i2 = –1.
Пусть у – вещественное число. Вычислим произведение
i  y = (0, 1)  (y, 0) = (0, y).
Тогда
z = (х, у) = (х, 0) + (0, y) = x + iy.
Итак, любое комплексное число можно представить в виде
z = x + iy.
Это алгебраическая форма записи комплексного числа. Здесь
х = Rez – действительная часть комплексного числа z,
у = Imz – мнимая часть комплексного числа z.
Если Rez = 0, то число чисто мнимое.
z 
x 2  y 2 – модуль комплексного числа z.
z  x  iy – комплексно сопряженное к z число.
z z  z .
2
Свойства операций над комплексными числами
1) z1 + z2 = z2 + z1,
z1  z2 = z2  z1 – коммутативность;
2) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1 z2)  z3 = z1  (z2  z3 ) –
ассоциативность;
3) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 – дистрибутивность.
Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения
комплексных чисел и свойств операций над вещественными числами. Отсюда следует, что
сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с
многочленами, заменяя i2 на –1.
Множество комплексных чисел обозначается С.
Вычитание – операция, обратная сложению. Разностью двух комплексных чисел z1 и
z2 называется комплексное число z, такое что
z + z2 = z 1 .
z = z1 – z2 = (х1– х2 ) + i(у1 – у2) – разность чисел z1 и z2.
Деление – операция, обратная умножению. Частным двух комплексных чисел z1 и
z2  0 называется комплексное число z , такое что
z  z2 = z1

z
z1 z1  z2
.

2
z2
z2
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Для геометрического изображения комплексных
чисел
удобно пользоваться
декартовой прямоугольной системой координат. При этом комплексное число изображается
точкой с координатами (х, у) или вектором ОМ, идущим из начала координат в точку М(х, у).
Ось ОХ – действительная ось, ось ОУ – мнимая ось. Модуль комплексного числа – длина
вектора ОМ.
Y
M( x, y)
iy
z = x + iy
O
x
X
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Наряду с декартовой можно ввести полярную систему координат, так чтобы полюс
находился в точке О, а полярная ось была направлена вдоль положительного направления
оси ОХ. Тогда r =z, х = rcos, y = rsin и
z = r(cos + i sin) –
тригонометрическая форма комплексного числа. Здесь угол  – аргумент комплексного
числа z. Он определяется неоднозначно. Используется следующее обозначение:
 = Argz = argz + 2k, где – < argz  , k  ,
argz – главное значение аргумента.
Обозначим
ei = cos + i sin.
Отсюда, в частности, получим
е–i = cos – i sin,
cos  
ei  e  i
,
2
sin  
ei  e  i
.
2i
Эти четыре формулы называются формулами Эйлера.
Таким образом комплексное число может быть записано в показательной форме
z = r ei.
Такая форма записи удобна для возведения в степень и извлечения корня из комплексного
числа:
z n = rn ein = rn(cosn + i sinn);
n z = n re
i (arg z  2k )
arg z  2k
arg z  2k 

n
 i sin
= n r  cos
, k  0, 1, ... , n  1.

n
n

Некоторые важные свойства комплексно-сопряженных чисел
1) | z | = | z|, arg z   arg z ;
2) 2. z  z  z ;
5) 5. z1 z2  z1  z2 ;
2
z  z
6) 6.  1   1 ;
 z2  z2
3) 3. z  z ;

n
4) z1  z 2  z1  z 2 ;
7) 7. z n  z .