Комплексные числа содержание урока Определение комплексного числа Свойства операций над комплексными числами Геометрическая интерпретация комплексных чисел Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа Некоторые важные свойства комплексно сопряженных чисел Определение комплексного числа Комплексными числами называются упорядоченные пары (х,у) вещественных чисел х и у, для которых следующим образом введены понятия равенства и операции сложения и умножения. Обозначим комплексное число (х,у) = z. Пусть z1 = (х1,у1), z2 = (х2,у2). z1 = z2 х1 = х2 , у1 = у2 ; z1 + z2 = (х1+ х2 , у1 + у2); z1z2 = (х1х2 – у1у2, х1у2 + х2у1) В частности (х1,0) + (х2,0) = (х1+ х2,0); (х1,0) (х2,0) = (х1х2,0). Поэтому полагают комплексное число (х,0) = х. Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), которое обозначают буквой i и называют мнимой единицей, т.е. i = (0,1). Вычислим произведение ii = (0,1)(0,1) = (–1,0) = –1, т.е. i2 = –1. Пусть у – вещественное число. Вычислим произведение iy = (0,1)(y,0) = (0,y). Тогда z = (х, у) = (х, 0) + (0, y) = x + iy. Итак, любое комплексное число можно представить в виде z = x + iy. z = x + iy – алгебраическая форма записи комплексного числа. х = Re z – действительная часть комплексного числа z, у = Im z – мнимая часть комплексного числа z. Если Re z = 0, то число чисто мнимое. x 2 y 2 называют модулем комплексного числа z и Число обозначают z , то есть z x iy x 2 y 2 . Комплексное число x – iy называют сопряженным комплексному числу z = x + iy и обозначают , то есть z z x iy x iy. Нетрудно проверить, что, что z z , z z z . 2 Свойства операций над комплексными числами Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами: • коммутативности, т.е. z1 + z2 = z2 + z1 , z1z2 = z2z1; • ассоциативности, т.е. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1z2)z3 = z1(z2z3); • дистрибутивности, т.е. (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 . Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций над вещественными числами. Отсюда следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя i2 на –1. Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Числа 0 = 0 + 0i и 1 = 1+ 0i на множестве С имеют такие же свойства, как и на множестве R, а именно: z + 0 = z, z1 = z, zC. Вычитание на множестве С вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел z1 = х1+ iу1 и z2 = х2 + iу2 существует, и притом только одно, комплексное число z , такое что z + z2 = z1 . Это число называют разностью чисел z1 и z2 и обозначают z 1 – z2 . Из определения разности в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что z1 – z2 = (х1– х2 ) + i(у1 – у2). Деление на множестве С вводится как операция, обратная умножению. Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению zz2 = z1 z1 . и обозначается z2 Практически частное от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 может быть найдено следующим образом: ПРИМЕР 1. z1 z1 z2 z1 z2 . 2 z2 z2 z2 z2 z1 (2 3i) (2 3i)(5 2i) 10 15i 4i 6i 2 4 19i 4 19 i. 2 2 z2 (5 2i) (5 2i)(5 2i) 5 2 29 29 29 Геометрическая интерпретация комплексных чисел y iy z x iy x -x 0 z x iy z x iy x - iy z x iy Комплексное число удобно изображать точкой с координатами (х,у) в декартовой прямоугольной СК или радиусом-вектором этой точки. Действительные числа, то есть числа вида х+0i, изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, то есть числа вида 0+iу – точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа z = x + iy х = rcos, y = rsin, r у 0 Пусть r, – полярные координаты точки z = x + iy комплексной плоскости, тогда х где r x2 y 2 z . Угол называют аргументом комплексного числа z (z 0) и обозначают = Arg z = arg z + 2k, где arg z – главное значение аргумента: – < arg z , k. Таким образом, любое комплексное число z = x + iy, где z 0, представляется в виде z = r(cos + i sin). Обозначим ei cos i sin . Отсюда Формулы Эйлера ei cos i sin , ei ei ei ei cos , sin . 2 2i Таким образом, комплексное число может быть записано в показательной форме: i z re . Показательная форма записи удобна для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа. Методом математической индукции нетрудно показать, что n n in n z r e r (cos n i sin n), n . Корень n–ой степени w z из комплексного числа определяется как такое число w, n-ая степень которого равна n подкоренному выражению: n w z. n z n re i (arg z 2 k ) n arg z 2k arg z 2k r (cos i sin ), k 0,1,..., n 1. n n n Таким образом, корень значений w0, w1, … , wn-1. n z имеет при z 0 в точности n ПРИМЕР 2. Найдем все значения корня четвертой степени из числа – 1. у z = –1 = cos( + 2k) + i sin( + 2k); х 2k 2k 4 0 w 1 cos i sin , -1 4 4 k 0,1,2,3 ; у w1 w0 х 1 w2 w3 2 2 w0 i ; 2 2 2 2 w2 i ; 2 2 2 2 w1 i ; 2 2 2 2 w3 i . 2 2 Некоторые важные свойства комплексно сопряженных чисел • z z , arg z arg z • z z z • zz; • 2 ; ; z1 z2 z1 z2 ; • z1 z2 z1 z2 , • z1 z1 z2 z2 . zn z n ; Из истории комплексных чисел Впервые мнимые величины появились в труде Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545 г.). Автор счел их бесполезными, непригодными к употреблению. Вообще выражения вида a b 1, b 0, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, в 16-17 веках стали называть «мнимыми». Однако даже для многих крупных ученых 17 века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной и даже мистической. Ньютон, например, не включал мнимые величины в понятие числа, а Г.Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.»