ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Рассмотрим решение квадратного уравнения x  1  0 . Отсюда x  1 .
Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и
2
2
i 2  1 , откуда i   1 .
2
Решение квадратного уравнения, например, x  8 x  25  0 , можно
обозначается i. Таким образом
записать следующим образом:
x  4  16  25  4   9  4  9 1  4  3  1  4  3i .
Числа вида 4  3i и 4  3i называют комплексными числами. В общем виде
комплексное число записывается a  bi , где a и b – действительные числа (a, b
 R), а i – мнимая единица (i2 = –1). Число а называется действительной частью
комплексного числа, bi – мнимой частью этого числа, b – коэффициентом
мнимой части комплексного числа.
На множестве комплексных чисел определены все операции, выполнимые с
действительными числами, причем определяются они через соответствующие
операции над действительными числами.
СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Суммой двух комплексных чисел
z1  a  bi
и
z2  c  di
называется
z  a  c   b  d i .
Числа a  bi и a  bi называются сопряженными. Их сумма равна
действительному числу 2а, a  bi   a  bi   2a .
Числа a  bi и  a  bi называются противоположными. Их сумма равна
комплексное число
нулю.
Комплексные числа равны, если равны их действительные части и
коэффициенты мнимых частей: a  bi  c  di , если a  c, b  d .
Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и
коэффициент мнимой части равны нулю, т. е.
z  a  bi  0 , если a  0 ,
b  0 . Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.
Если b  0 , то a  bi  a – действительное число.
Если a  0 , b  0 , то a  bi  bi – чисто мнимое число. Для
комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы
сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел
по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов
мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых
справедливы указанные законы.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное
сложению: разностью двух комплексных чисел
x  yi
a  bi и c  di называется
комплексное число
, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.
Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел,
получим два уравнения, из которых найдем, что
Значит,
x  a c, y  b  d .
a  bi  c  di  a  c   b  d i .
ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Произведение комплексных чисел
комплексное число
z1  a  bi
и
z2  c  di
называется
z  ac  bd   ad  bci ,
z1 z2  a  bic  di  ac  bd   ad  bci .
Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как
умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел
также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также
распределительный закон умножения по отношению к сложению.
Из определения умножения получим, что произведение сопряженных
комплексных чисел равно действительному положительному числу:
a  bia  bi  a 2  b2 .
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как
действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав
частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число,
сопряженное со знаменателем:
a  bi c  di ac  bd  bci  adi ac  bd b
a  bi : c  di 


 2

2
2
2
c  di c  di
c d
c d
c
Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4.
 
4n
4
i

i
i


1
i


i
i

1
Действительно,
,
,
,
i 4 n 2  1, i 4 n3  i .
2
3
4
n
 1n  1 , i 4 n1  i ,
Можно использовать следующие соотношения, связывающие сопряженные
комплексные числа:

z  a  bi , z  a  bi , z  z  a 2  b 2 , z  z . z  z
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Исходя из того, что все действительные числа можно представить в виде
точек числовой прямой, а комплексное число имеет две независимых
характеристики – действительную и мнимую части, разместим комплексные
числа на координатной плоскости Оху. Комплексному числу z  a  bi
поставим в соответствие точку М с координатами (a, b) на комплексной
плоскости. Отметим, что это соответствие взаимно однозначно.
y
b
M
φ
O
a
x
z  a  0i ,
располагаются на координатной оси Ох, чисто мнимые числа  z  0  bi  ,
Действительные числа, представимые в виде комплексных как
располагаются на координатной оси Оу.
OM (см. рисунок).
z  x; y   x  yi называется комплексно
Комплексное число
сопряженным числу z  x; y   x  yi и изображается на комплексной
Для точки М рассмотрим её радиус-вектор
плоскости точкой, симметричной точке z относительно оси Ox.
Получаем новое взаимно однозначное соответствие точек комплексной
плоскости (а, следовательно, и комплексных чисел) радиус-векторам этих
точек. На рисунках изображены геометрические иллюстрации к операциям над
комплексными числами, слева – сложение, справа – вычитание.
Запишем действия с комплексными числами при помощи координат.
Пусть z1 = (x1; y1) и z2 = (x2; y2) – два комплексных числа.
Тогда суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число
z = (x1 + x2 ; y1 + y2);
разностью – комплексное число z = (x1 – x2; y1 – y2);
произведением – комплексное число z = (x1 x2 – y1 y2; x1 y2 + x2 y1);
частным – комплексное число
 x x  y1 y2 x2 y1  x1 y2 
, z 2  0
z   1 22
; 2
2
2
x2  y 2 
 x2  y 2
МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем
этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного
нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi
r  a  bi  a 2  b 2
обозначается | a + bi |, а также буквой r. То есть
.
Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением.
Сопряженные комплексные числа a + bi и a – bi имеют один и тот же модуль.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Пусть комплексному числу z = a + bi соответствует радиус-вектор ОМ.
r  Z  a2  b2
Обозначим
, φ –
положительным направлением оси Ох (рад).
угол,
образованный
a
a
b
b
cos



sin    2
r
a2  b2
r a  b2 ;
Тогда
комплексное число можно представить в виде

a
ib
z  a  ib  a  b  2

2
a2  b2
 a b
2
2
;
ОМ
и
a2  b2  0 ,

  r cos  sin  

.
Такая запись называется тригонометрической формой записи
комплексного числа. При этом угол φ определяется с точностью до периода
2  k, k  Z и называется аргументом комплексного числа (Arg z):
Аrg z  arg z  2k , k  Z , arg z   ;  ,
где arg z — главное значение аргумента.
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ,
ЗАПИСАННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Рассмотрим два отличных от нуля комплексных числа, заданных в
тригонометрической форме:
z1  r1 cos1  i sin1  и z2  r2 cos2  i sin2 
Произведение этих комплексных чисел определяется по формуле:
z1  z2  r1  r2 cos1  2   i sin1  2 
Частное двух комплексных определяется по формуле:
z1  r1 
  cos1   2   i sin1   2 
z2  r2 
Возведение комплексного числа z  r cos  i sin   в n-ю натуральную
степень определяется по формуле Муавра:
z n  r n cos n  i sin n  , z  0 .
Если в формуле положить r = 1, то получим формулу
cos  i sin  n  cos n  i sin n .
В частности:
i 2  1 , i 3  i , i 4  1 , и далее, i 4 n k  i k .


Корнем n-й степени из комплексного числа z  r cos  i sin 
называется такое комплексное число W, что Wn = z. Это число обозначается W =
n
Z
. В множестве комплексных чисел существует ровно n корней n-й степени
из ненулевого комплексного числа
по формуле:
n
z  rcos  i sin , которые находятся
  2π k 
   2πk
Z  r  cos
 isin
,
n
n


n
n
r – арифметический корень из положительного
где k = 0,1,... , п – 1;
числа r. Отметим, что, в отличие от остальных числовых множеств,
множество комплексных чисел неупорядочено.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z  a , где а –
заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это
уравнение:
1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
2
z
 a
2) имеет два действительных корня 1, 2
, если а > 0;
3) не имеет действительных корней, если а < 0.
На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корни.
Вообще уравнение
z1, 2   ai
z 2  a , где а < 0 имеет два комплексных корня:
.
Используя равенство i2 = – 1, квадратные корни из отрицательных чисел
принято записывать так:
1  i ,
 4  i,
4  2i ,
7 i 7 .
а – определен для любого действительного числа а
Итак,
(положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное
уравнение az2+bz+c=0, где а, b, с – действительные числа, а  0, имеет корни.
Эти корни находятся по известной формуле:
z1, 2 
 b  b  4ac
2a
.