1 ТЕМА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В математике большую роль

1
ТЕМА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
В математике большую роль играют так называемые обратные операции,
необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов
имеющихся объектов.
Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных
чисел.
Складывая
положительные
числа,
в
ответе
всегда
получались
положительное число. Но обратная операция – вычитание – привела к
необходимости рассматривать числа отрицательные.
Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем
также целые числа. Обратная операция – деление
– приводит нас к
необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.
Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда
также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного
корня – приводит к иррациональным числам ( 2 , например, не является
рациональным числом).
Но та же самая операция извлечения квадратного корня дает и еще один
класс чисел. Как известно, квадрат любого рационального числа есть число
неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлечь только из
неотрицательных чисел. А как быть с  9 ? Чему он равен? Ведь нет такого
рационального числа, квадрат которого был бы равен
– 9.
Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется, то можно. И желание
извлекать корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел,
называемых
комплексными
числами.
Для
их
рассмотрения
оказалось
достаточным ввести всего лишь одно новое число i   1 , которое называется
мнимой
единицей. Считается, что это «число» обладает всеми свойствами
обычных чисел и имеет всего одно единственное новое свойство i 2  1.
так что, например,  9  i 2 9  3i . Поэтому теперь мы можем решить
уравнение вида x 2  1  0, x 2  1, x   1  i .
2
Числа, содержащие i , называются комплексными числами и обозначаются
С. Без них немыслима современная математика.
§1. Понятие комплексного числа. Геометрическое изображение комплексных
чисел
Пусть x и y – действительные числа.
Определение: число вида z  x  iy называется комплексным числом.
Действительное число x называют вещественной или действительной
частью числа z и обозначают x  Re(z ) ; действительное число y называют
мнимой частью числа z и обозначают y  Im(z ) .
Определение:
два
комплексных
числа
z  x  iy и
z  x  iy ,
отличающиеся знаком мнимой части, называются сопряженными.
Определение: если x  0 , то число z  iy называется число мнимым.
Определение:
два
комплексных
числа
z1  x1  iy1
и
z 2  x2  iy2
называются равными если равны их действительные и мнимые части, т.е.
x1  x2 ,
y1  y 2 .
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть имеется комплексное число z  x  iy . Возьмем на плоскости
декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие
точку на этой плоскости с координатами z(x, y) (см. рис. 1), причем это
соответствие взаимно однозначное. Таким образом, геометрически комплексные
числа – это точки на плоскости (вспомните, что вещественные числа – это точки
на числовой оси).
Определение: плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют комплексной плоскостью (или плоскостью комплексной переменной z).
оx – действительная ось
оу – мнимая.
3
Рис. 1 Геометрическая интерпретация комплексного числа
Соединим точку z(x, y) с началом координат радиус-вектором oz .
Определение: длина радиус-вектора называется модулем комплексного
числа z и обозначается | z | или r .
Определение: угол , который образует радиус-вектор с положительным
направлением оси ОХ, называется аргументом комплексного числа z и
обозначается =Аrg z.
Наименьшее по модулю значение Аrg z называется главным значением и
обозначается через аrg z:
   arg z   .
Из рисунка ясно, что имеют место соотношения:
,
или наоборот:
x
y
y
r  x 2  y 2 , cos  , sin   , tg  .
r
r
x
4
§2. Формы записи комплексных чисел
Определение: запись числа z в виде z  x  iy называют алгебраической
формой комплексного числа.
Модуль r и аргумент  комплексного числа z можно рассматривать как
полярные координаты точки z :
Тогда, подставив эти значения в алгебраическую форму комплексного
числа, получим: z  r cos  ir sin   r (cos  i sin  ) .
Определение: запись числа z в виде
z  r (cos  i sin  ) называют
тригонометрической формой комплексного числа.
Одна из важнейших формул математического анализа – формула Эйлера –
имеет вид:
.
С учетом тригонометрической формы комплексного числа его теперь
можно представить в виде:
,
или, с учетом того, что аргумент определяется с точностью до 2,
.
Эта форма записи помогает, например, определить логарифм комплексного числа
Определение:
запись числа z в виде z  re i
называют показательной
формой комплексного числа.
При
переходе
от
алгебраической
формы
комплексного
числа
к
тригонометрической и показательной, достаточно определить модуль и главное
значение аргумента комплексного числа.
Пример: записать комплексное число z  1  i в тригонометрической и
показательной формах.
5
Решение: найдем модуль комплексного числа: | z | = r = (1) 2  12  2 .
Найдем
аргумент
комплексного
числа:
y 1

 1,
x 1
tg 
  arctg (1) .
Учитывая, что точка, изображающая комплексное число, лежит во второй
четверти, получим  
3
.
4
Тогда тригонометрическая форма комплексного числа z  1  i имеет вид:
3
3 

z  2  cos  i sin  .
4
4 

Показательная форма комплексного числа z  1  i имеет вид:
ze
i
3
4
.
§3. Действия над комплексными числами
I.
Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Пусть даны два комплексных числа z1  x1  iy1 и
z 2  x2  iy2 .
1. Равенство и сравнение комплексных чисел.
Как мы уже сказали, два комплексных числа считаются равными, если у них
равны действительные и мнимые части:
.
Но вот операции типа «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
имеют смысла, то есть бессмысленно писать z1  z 2
непонятно, что больше
или
z1  z 2 . Совершенно
2  3i или 3  2i . Комплексные числа не упорядочены.
2. Сложение и вычитание.
Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно
естественно
6
,
то есть надо сложить (или вычесть) отдельно действительные и мнимые части
чисел.
3. Умножение.
Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных
чисел,
надо
лишь
помнить,
что
i 2  1:
z1  z 2  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  x1 x2  ix1 y2  ix2 y1  i 2 y1 y2  x1 x2  y1 y2  ix1 y2  ix2 y1 ,
т.е.
.
4. Деление.
Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило:
чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и
знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю.
z1 x1  iy1 x1  iy1   x2  iy 2 
. Тогда легко получить, что


z 2 x2  iy 2 x2  iy 2   x2  iy 2 
.
II. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть
имеются
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) и
два
комплексных
z 2  r2 (cos  2  i sin  2 ) .
1. Умножение.
Легко вывести, что
,
числа
7
то есть при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а
аргументы – складываются.
2. Деление.
Можно вывести, что
,
то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы –
вычитаются.
3. Возведение в степень.
Пусть z  r (cos  i sin  ) . Тогда имеет место формула
,
эта формула называется формулой Муавра
то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент –
умножается на нее.
4. Извлечение корня.
Пусть снова z  r (cos  i sin  ) . Тогда имеет место формула
,
.
Таким образом, корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n
различных значений.